Chuyên đề tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 25 của đề tham khảo môn Toán.
TÌM TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA AB
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề 1: Tọa độ điểm
1. Lý thuyết cần nắm:
Ⓐ. Định nghĩa: $M(x;\,\,y;\,\,z) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} \,\, = \,\,x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + \,z.\overrightarrow k $ (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Ⓑ. Chú ý:
①. $M \in \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow z = 0;\,M \in \left( {Oyz} \right) \Leftrightarrow x = 0;\,M \in \left( {Oxz} \right) \Leftrightarrow y = 0$
②. $M \in Ox \Leftrightarrow y = z = 0;\,M \in Oy \Leftrightarrow x = z = 0;\,M \in Oz \Leftrightarrow x = y = 0$.
Ⓒ. Tính chất: Cho $A({x_A};\,\,{y_A};\,\,{z_A}),\,\,\,B({x_B};\,\,{y_B};\,\,{z_B})$
①. $\overrightarrow {AB} = ({x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A})$
②. $AB\,\, = \,\,\sqrt {{{({x_B} – {x_A})}^2} + {{({y_B} – {y_A})}^2} + {{({z_B} – {z_A})}^2}} $
③. Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$: $M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$
④. Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:
$G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$
2. Bài tập minh họa:
Vấn đề 2: Tọa độ vectơ và tính chất cơ bản
| 1.Lý thuyết cần nắm:
.Định nghĩa: $\vec a = {a_1}.\vec i + {a_2}.\vec j + {a_3}.\vec k \Leftrightarrow \vec a = \left( {a{}_1;{a_2};{a_3}} \right)$. .Tính chất: Cho $\vec a = \left( {a{}_1;{a_2};{a_3}} \right);\vec b = \left( {b{}_1;{b_2};{b_3}} \right)$. Ta có: |
 |
①. $\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\\{a_3} = {b_3}\end{array} \right.$.
②. $\vec a \pm \vec b = \left( {a{}_1 \pm b{}_1;{a_2} \pm {b_2};{a_3} \pm {b_3}} \right)$.
③. $k\vec a = \left( {ka{}_1;k{a_2};k{a_3}} \right)$, $k \in \mathbb{R}$.
④. $\vec 0 = (0;0;0),\,\,\,\vec i = \left( {1;0;0} \right),\,\,\vec j = \left( {0;1;0} \right),\,\,\vec k = \left( {0;0;1} \right)$.
⑤. $\vec a$ cùng phương $\vec b$ $ \Leftrightarrow $$\exists k \in \mathbb{R}:\vec a = k\vec b\,\,\,\left( {\vec b \ne \vec 0} \right)$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_3} = k{b_3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\,\,\,\left( {{b_1},{b_2},{b_3} \ne 0} \right)$
⑥. $A,B,C$ thẳng hàng$ \Leftrightarrow $$\overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow {AC} $.
2. Bài tập minh họa:
| Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {3;2;1} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { – 2;0;1} \right)$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ bằng
Ⓐ.$2$. Ⓑ.$1$. Ⓒ. $\sqrt 2 $. Ⓓ. $3$. |
|
| Lời giải
Chọn D Ta có $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {1;2;2} \right)$$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {1 + 4 + 4} = 3$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: |
| Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j $. Tọa độ điểm $M$là
Ⓐ.$M\left( {1;2;0} \right)$. Ⓑ.$M\left( {2;1;0} \right)$. Ⓒ. $M\left( {2;0;1} \right)$. Ⓓ. $M\left( {0;2;1} \right)$. |
|
| Lời giải
Chọn B Ta sử dụng định nghĩa, nếu điểm $M$ thỏa mãn: $\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k $ thì $M\left( {x;y;z} \right)$ với $\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k $ lần lượt là các véc tơ đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Hệ số trước $\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k $. Suy ra $M\left( {x;y;z} \right)$ |
| Câu 3: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 1;1;3} \right)$, $B\left( { – 2;5;4} \right)$. Vectơ $\overrightarrow {AB} $ có tọa độ là
Ⓐ.$\left( { – 3;6;7} \right)$. Ⓑ.$\left( {1; – 4; – 1} \right)$. Ⓒ. $\left( {3; – 6;1} \right)$. Ⓓ. $\left( { – 1;4;1} \right)$. |
|
| Lời giải
Chọn D Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;4;1} \right)$ |
PP nhanh trắc nghiệm
|
Ⓑ Bài tập rèn luyện
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 2 vectơ $\vec a = \left( { – 1\,;1\,;0} \right)$; $\vec b = \left( {1\,;\,1\,;0} \right)$. Trong các kết luận : $\left( I \right)$. $\vec a = – \vec b$; $\left( {II} \right)$. $\left| {\vec b} \right| = \left| {\vec a} \right|$; $\left( {III} \right)$. $\vec a = \vec b$; $\left( {IV} \right)$. $\vec a \bot \vec b$, có bao nhiêu kết luận sai?
A. $3$. B. $4$. C. $1$. D. $2$.
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba vectơ $\overrightarrow a = \left( { – 1;1;0} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right)$, $\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. $\overrightarrow b \bot \overrightarrow c .$ B. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 .$ C. $\overrightarrow b \bot \overrightarrow a .$ D. $\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 .$
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$cho điểm $M\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Tọa độ $\overrightarrow {OM} $là $\left( {a;b;c} \right)$. B. Tọa độ hình chiếu của $M$lên $Ox$là $\left( {a;0;0} \right)$.
C. Điểm $M$ thuộc $Oz$ khi và chỉ khi $a = b = 0.$. D. Khoảng cách từ $M$đến $\left( {Oxy} \right)$ bằng $c$.
Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, cho hai vector $\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)$ khác $\overrightarrow 0 $. Tích hữu hướng của $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ và $\overrightarrow c $. Câu nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow c = \left( {{a_3}{b_1} – {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1},{a_2}{b_3} – {a_3}{b_1}} \right)$. B. $\overrightarrow c = \left( {{a_2}{b_3} – {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} – {a_1}{b_b},{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}} \right)$.
C. $\overrightarrow c = \left( {{a_1}{b_3} – {a_2}{b_1},{a_2}{b_3} – {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} – {a_1}{b_3}} \right)$. D. $\overrightarrow c = \left( {{a_1}{b_3} – {a_3}{b_1},{a_2}{b_2} – {a_1}{b_2},{a_3}{b_2} – {a_2}{b_3}} \right)$.
Câu 5: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai vector $\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)$ khác $\overrightarrow 0 $. $cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ là biểu thức nào sau đây?
A. $\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$. B. $\frac{{{a_1}{b_3} + {a_2}{b_1} + {a_3}{b_2}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$. C. $\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_1}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$. D. $\frac{{{a_1}{b_2} + {a_2}{b_3} + {a_3}{b_1}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow a = \left( {3;2;1} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { – 2;0;1} \right)$. Độ dài $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ là:
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $\sqrt 2 $.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {a;b;c} \right);B\left( {m;n;p} \right)$. Điều kiện để $A,B$ nằm về hai phía của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là
A. $cp < 0$. B. $bn < 0$. C. $am < 0$. D. $c + p < 0$.
Câu 8: Hai điểm $M$ và $M’$ phân biệt và đối xứng nhau qua mặt phẳng ${\rm{(Ox}}y)$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hai điểm $M$và $M’$có cùng tung độ và cao độ.
B. Hai điểm $M$và $M’$có cùng hoành độ và cao độ.
C. Hai điểm $M$và $M’$có hoành độ đối nhau.
D. Hai điểm $M$và $M’$có cùng hoành độ và tung độ.
Câu 9: Cho $\overrightarrow a = \left( {3;\, – 1;\,2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {4;\,2;\, – 6} \right)$. Tính $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$?
A. $8$. B. $9$. C. $\sqrt {66} $. D. $5\sqrt 2 $.
Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;2;3} \right)$. Tìm tọa độ điểm ${A_1}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$.
A. ${A_1}\left( {1;0;0} \right)$. B. ${A_1}\left( {0;2;3} \right)$. C. ${A_1}\left( {1;0;3} \right)$. D. ${A_1}\left( {1;2;0} \right)$.
Câu 11: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 1\,;\,5\,;\,2} \right)$ và $B\left( {3\,;\, – 3\,;\,2} \right)$. Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là
A. $M\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)$ B. $M\left( {2\,;\,2\,;\,4} \right)$ C. $M\left( {2\,;\, – 4\,;\,0} \right)$ D. $M\left( {4\,;\, – 8\,;\,0} \right)$
Câu 12: Trong không gian cho ba điểm $A\left( {5;{\rm{ }} – 2;{\rm{ }}0} \right),B\left( { – 2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}0} \right)$ và $C\left( {0;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là
A. $\left( {1;1;1} \right)$. B. $\left( {1;1; – 2} \right)$. C. $\left( {1;2;1} \right)$. D. $\left( {2;0; – 1} \right)$.
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$?
A. $N\left( {1;0;2} \right)$. B. $P\left( {0;1;2} \right)$. C. $Q\left( {0;0;2} \right)$. D. $M\left( {1;2;0} \right)$.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K\left( {2;\,4;\,6} \right)$, gọi $K’$ là hình chiếu vuông góc của $K$ lên $Oz$, khi đó trung điểm của $OK’$ có tọa độ là:
A. $\left( {0;\,0;\,3} \right)$. B. $\left( {1;\,0;\,0} \right)$. C. $\left( {1;\,2;\,3} \right)$. D. $\left( {0;\,2;\,0} \right)$.
Câu 15: Cho hai điểm $M\left( {1; – 2;3} \right)$ và $N\left( {3;0; – 1} \right)$. Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$.
A. $I\left( {4; – 2;2} \right)$. B. $I\left( {2; – 1;2} \right)$. C. $I\left( {4; – 2;1} \right)$ D. $I\left( {2; – 1;1} \right)$
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $M\left( {3; – 2;3} \right),I\left( {1;0;4} \right).$ Tìm tọa độ điểm $N$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn $MN.$
A. $N\left( {5; – 4;2} \right)$. B. $N\left( {0;1;2} \right)$. C. $N\left( {2; – 1;\frac{7}{2}} \right)$. D. $N\left( { – 1;2;5} \right)$.
Câu 17: Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ: $\overrightarrow a = (2; – 5;3)$, $\overrightarrow b = \left( {0;2; – 1} \right)$, $\overrightarrow c = \left( {1;7;2} \right)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow x = 4\overrightarrow a – \frac{1}{3}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c $ là
A. $\overrightarrow x = \left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};18} \right)$. B. $\overrightarrow x = \left( {5; – \frac{{121}}{3};\frac{{17}}{3}} \right)$.
C. $\overrightarrow x = \left( {11;\frac{1}{3};\frac{{55}}{3}} \right)$. D. $\overrightarrow x = \left( {11;\frac{5}{3};\frac{{53}}{3}} \right)$.
Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vec tơ $\vec a\left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right)$ và $\vec b\left( { – 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\vec a.\vec b = – 8$. B. $2\vec a = \left( {2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} – 4;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right)$.
C. $\vec a + \vec b = \left( { – 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} – 1} \right)$. D. $\left| {\vec b} \right| = 14$.
Câu 19: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $G\left( {1; – 2;3} \right)$ và ba điểm $A\left( {a;0;0} \right)$, $B\left( {0;b;0} \right)$, $C\left( {0;0;c} \right)$. Biết $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $a + b + c$ bằng
A. $3$. B. $6$. C. $0$. D. $9$.
Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ$Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;1; – 2} \right);B\left( {2;2;1} \right)$. Vec tơ $\overrightarrow {AB} $ có tọa độ là:
A. $\left( {{\rm{3;1;1}}} \right)$. B. $\left( {{\rm{1;1;3}}} \right)$. C. $\left( {{\rm{3;3; – 1}}} \right)$. D. $\left( {{\rm{ – 1; – 1; – 3}}} \right)$.
Câu 21: Cho hình bình hành $ABCD$ với $A\left( { – 2;\,\,3;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\,0; – 1} \right)$,$C\left( {6;\,\,5;\,\,0} \right)$. Tọa độ đỉnh $D$ là
A. $D\left( {1;\,\,8; – 2} \right)$. B. $D\left( {11;\,\,2;\,\,2} \right)$. C. $D\left( {1;\,\,8;\,\,2} \right)$. D. $D\left( {11;\,\,2; – 2} \right)$.
Câu 22: Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow a = \left( {1;2; – 3} \right)$; $\overrightarrow b = \left( { – 2;2;0} \right)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b $ là:
A. $\overrightarrow c = \left( {4; – 1; – 3} \right)$. B. $\overrightarrow c = \left( {8; – 2; – 6} \right)$. C. $\overrightarrow c = \left( {2;1;3} \right)$. D. $\overrightarrow c = \left( {4; – 2; – 6} \right)$.
Câu 23: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1; – 2;3} \right)$. Tọa độ điểm $A$ là hình chiếu vuông góc của $M$trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là
A. $A\left( {1; – 2;3} \right)$. B. $A\left( {1; – 2;0} \right)$. C. $A\left( {1;0;3} \right)$. D. $A\left( {0; – 2;3} \right)$.
Câu 24: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)$. Hình chiếu của $M$ lên trục $Oy$ là điểm
A. $P\left( {1;0;3} \right)$. B. $Q\left( {0;2;0} \right)$. C. $R\left( {1;0;0} \right)$. D. $S\left( {0;0;3} \right)$.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {2;1; – 3} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( { – 1;3; – 4} \right)$. Vectơ $\overrightarrow u = 2\overrightarrow a – \overrightarrow b $ có tọa độ là
A. $\left( { – 5; – 1;2} \right)$. B. $\left( {5;1; – 2} \right)$. C. $\left( {5; – 1;2} \right)$. D. $\left( {5; – 1; – 2} \right)$.
Câu 26: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i – \overrightarrow j $ và $\overrightarrow b = \left( { – 4;2} \right)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng hướng. B. $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ ngược hướng.
C. $\overrightarrow a = \left( { – 1;2} \right)$ . D. $\overrightarrow a = \left( { 2;1} \right)$.
Câu 27: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và $B\left( { – 2;1;2} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa $\overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MA} $.
A. $M\left( { – \frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)$. B. $M\left( {4;3;1} \right)$. C. $M\left( {4;3;4} \right)$. D. $M\left( { – 1;3;5} \right)$.
Câu 28: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 1;1;2} \right)$ và $B\left( {3; – 5;0} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là
A. $\left( {2; – 4;2} \right)$ B. $\left( {4; – 6;2} \right)$ C. $\left( {1; – 2;1} \right)$ D. $\left( {2; – 3; – 1} \right)$
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$ cho $\vec x = 2\vec i + 3\vec j – \vec k$. Tọa độ của $\vec x$ là
A. $\vec x = \left( {2;\, – 1;\,3} \right)$. B. $\vec x = \left( { – 1;\,2;\,3} \right)$. C. $\vec x = \left( {2;\,3;\, – 1} \right)$. D. $\vec x = \left( {3;\,2;\, – 1} \right)$.
Câu 30: Trong không gian $Oxyz$ cho $2$ điểm $A\left( {1;2;3} \right)$, $B\left( {x;y;z} \right)$. Biết rằng $\overrightarrow {AB} = \left( {6;3;2} \right)$, khi đó $\left( {x;y;z} \right)$ bằng
A. $\left( {11;4;1} \right)$ B. $\left( { – 7; – 5; – 5} \right)$ C. $\left( {7;5;5} \right)$ D. $\left( {5;1; – 1} \right)$
Câu 31: Trong không gian $Oxyz$, tìm tọa độ của véc tơ $\overrightarrow u = – 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 4\overrightarrow k $.
A. $\overrightarrow u = \left( {3;\,4;\,2} \right)$. B. $\overrightarrow u = \left( { – 3;\,4;\,2} \right)$. C. $\overrightarrow u = \left( {6;\,8;\,4} \right)$. D. $\overrightarrow u = \left( { – 6;\,8;\,4} \right)$.
Câu 32: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {1;\,1;\, – 1} \right)$ và $B\left( {2;\,3;\,2} \right)$. Vectơ $\overrightarrow {AB} $
có tọa độ là
A. $\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)$ B. $\left( { – 1;\, – 2; & \,\,3} \right)$ C. $\left( {3;\,5;\,1} \right)$ D. $\left( {3;\,4;\,1} \right)$
Câu 33: Trong không gian $Oxyz$, cho 3 vec tơ $\overrightarrow a = \left( {2; – 1;0} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { – 1; – 3;2} \right)$, $\overrightarrow c = \left( { – 2; – 4; – 3} \right)$. Tọa độ của $\overrightarrow u = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b + \overrightarrow c $.
A. $\left( {5;\,\,3;\,\, – 9} \right)$ B. $\left( { – 5;\,\, – 3;\,\,9} \right)$ C. $\left( { – 3;\,\, – 7;\,\, – 9} \right)$ D. $\left( {3;\,\,7;\,\,9} \right)$
Câu 34: Cho $\overrightarrow a = \left( { – 1;{\rm{ 2}};{\rm{ 3}}} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {2;{\rm{ 1}};{\rm{ 0}}} \right)$, với $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a – \overrightarrow b $ thì tọa độ của $\overrightarrow c $ là
A. $\left( { – 1;{\rm{ 3}};{\rm{ 5}}} \right)$ B. $\left( { – 4;{\rm{ 1}};{\rm{ 3}}} \right)$ C. $\left( { – 4;{\rm{ 3}};{\rm{ 6}}} \right)$ D. $\left( { – 4;{\rm{ 3}};{\rm{ 3}}} \right)$
Câu 35: Cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right)\,$; $\overrightarrow b = \left( { – 2;4;1} \right)\,$; $\overrightarrow c = \left( { – 1;3;4} \right)\,$. Vectơ $\overrightarrow v = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c $ có tọa độ là
A. $\overrightarrow v = \left( {7;3;23} \right)$. B. $\overrightarrow v = \left( {23;7;3} \right)$. C. $\overrightarrow v = \left( {7;23;3} \right)$. D. $\overrightarrow v = \left( {3;7;23} \right)$.
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ $\vec u$ biết $\vec u = 2\vec i – 3\vec j + 5\vec k$.
A. $\vec u = \left( {5; – 3;2} \right)$. B. $\vec u = \left( {2; – 3;5} \right)$. C. $\vec u = \left( {2;5; – 3} \right)$. D. $\vec u = \left( { – 3;5;2} \right)$.
Câu 37: Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow a $ biểu diễn của các vectơ đơn vị là $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k – 3\overrightarrow j $. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a $ là
A. $\left( {1;\,2;\, – 3} \right)$. B. $\left( {2;\, – 3;\,1} \right)$. C. $\left( {2;\,1;\, – 3} \right)$. D. $\left( {1;\, – 3;\,2} \right)$.
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; 2; 3} \right)$ và $B\left( { – 3; – 4; – 5} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:
A. $\left( {1; 1; 1} \right)$ B. $\left( { – 1; – 1; – 1} \right)$ C. $\left( { – 2; – 2; – 2} \right)$ D. $\left( {4; 6; 8} \right)$
Câu 39: Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {3;\,0;\, – 1} \right)$ và $\overrightarrow c = \left( { – 2;\,5;\,1} \right)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow a + \overrightarrow b – \overrightarrow c $ là:
A. $\overrightarrow u = \left( { – 6;\,6;\,0} \right)$ B. $\overrightarrow u = \left( {6;\, – 6;\,0} \right)$ C. $\overrightarrow u = \left( {6;\,0;\, – 6} \right)$ D. $\overrightarrow u = \left( {0;\,6;\, – 6} \right)$
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {3;\;2;\;1} \right)$, $B\left( { – 1;\;0;\;5} \right)$. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn $AB$.
A. $I(1;\;1;\;3)$. B. $I( – 1;\; – 1;\;1)$. C. $I(2;\;1;\;3)$. D. $I(2;\;2;\;6)$.
Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow a = – 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k $. Tọa độ của $\overrightarrow a $ là
A. $\left( {2\,;\,3\,;\,5} \right)$. B. $\left( { – 2\,;\,3\,;\,5} \right)$. C. $\left( {2\,;\,3\,;\, – 5} \right)$. D. $\left( {2\,;\, – \,3\,; – \,5} \right)$.
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho $A\left( { – 1;\,\,2;\,\,3} \right)$, $B\left( {1;\,\,0;\,\,2} \right).$ Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {AB} = 2.\overrightarrow {MA} $?
A. $M\left( { – 2;3;\frac{7}{2}} \right)$. B. $M\left( { – 2;3;7} \right)$. C. $M\left( { – 4;6;7} \right)$. D. $M\left( { – 2; – 3;\frac{7}{2}} \right)$.
Câu 43: Trong không gian $Oxyz$ với hệ tọa độ $\left( {O;\vec i;\vec j;\vec k} \right)$ cho $\overrightarrow {OA} = – 2\vec i + 5\vec k$. Tìm tọa độ điểm $A$.
A. $\left( { – 2;5} \right)$. B. $\left( {5; – 2;0} \right)$. C. $\left( { – 2;0;5} \right)$. D. $\left( { – 2;5;0} \right)$.
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {1;3;5} \right),{\rm{ }}B\left( {2;0;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;9;0} \right).$ Tìm trọng tâm $G$ của tam giác $ABC.$
A. $G\left( {3;12;6} \right)$. B. $G\left( {1;5;2} \right)$. C. $G\left( {1;0;5} \right)$. D. $G\left( {1;4;2} \right)$.
Câu 45: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $M\left( {1; – 3;2} \right)$. Gọi $A$ và $B$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M$trên các mặt phẳng tọa độ $Oxy$, $Oyz$. Tìm tọa độ véc tơ $\overrightarrow {AB} $.
A. $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;0; – 2} \right)$. B. $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1; – 3;0} \right)$. C. $\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; – 2} \right)$. D. $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;0;2} \right)$.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 1;2;3} \right),B\left( {2;4;2} \right)$ và tọa độ trọng tâm $G\left( {0;2;1} \right)$. Khi đó, tọa độ điểm $C$ là:
A. $C\left( { – 1; – 4;4} \right)$. B. $C\left( {1;4;4} \right)$. C. $C\left( { – 1;0; – 2} \right)$. D. $C\left( {1;0;2} \right)$.
Câu 47: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)\,$và $B(3;0; – 5)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là
A. $I(2;1; – 1).$ B. $I(2;2; – 2).$ C. $I(4;2; – 2).$ D. $I( – 1;1;4).$
Câu 48: Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {3\,;\,1\,;\, – 1} \right)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là
A. $\left( {3\,;\,0\,;\, – 1} \right)$. B. $\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)$. C. $\left( {0\,;\,0\,;\, – 1} \right)$. D. $\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$.
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j + \overrightarrow k $. Tọa độ của điểm $M$ là:
A. $M\left( {2\,;\,1\,;\,0} \right)$. B. $M\left( {2\,;\,0\,;\,1} \right)$. C. $M\left( {0\,;\,2\,;\,1} \right)$. D. $M\left( {1\,;\,2\,;\,0} \right)$.
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; – 2; – 1} \right)$ và $B\left( {1;4;3} \right)$. Độ dài đoạn $AB$ là:
A. $2\sqrt {13} $. B. $2\sqrt 3 $. C. $\sqrt 6 $. D. $3$.
Câu 51: Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( {1;1; – 3} \right)$, $B\left( {3; – 1;1} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, đoạn $OM$ có độ dài bằng
A. $\sqrt 5 $. B. $\sqrt 6 $. C. $V = AA’.{S_{ABC}} = \sqrt 3 .{\sqrt 6 ^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{9}{2}{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$. D. $2\sqrt 6 $.
Câu 52: Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón đỉnh $S\left( {\frac{{17}}{{18}}; – \frac{{11}}{9};\frac{{17}}{{18}}} \right)$ có đường tròn đáy đi qua ba điểm $A\left( {1;0;0} \right)$,$B\left( {0; – 2;0} \right)$,$C\left( {0;0;1} \right)$. Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón đã cho.
A. $l = \frac{{\sqrt {86} }}{6}$. B. $l = \frac{{\sqrt {194} }}{6}$. C. $l = \frac{{\sqrt {94} }}{6}$. D. $l = \frac{{5\sqrt 2 }}{6}$.
Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {2; – 1;2} \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng $OM$.
A. $OM = \sqrt 5 $. B. $OM = 9$. C. $OM = \sqrt 3 $. D. $OM = 3$.
Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, độ dài của véc tơ $\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$ được tính bởi công thức nào?
A. $\left| {\overrightarrow u } \right| = a + b + c$. B. $\left| {\overrightarrow u } \right| = {a^2} + {b^2} + {c^2}$.
C. $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {a + b + c} $. D. $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $.
Câu 55: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;{\rm{ }} – 1;{\rm{ }}2} \right)$ và $B\left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)$. Độ dài đoạn $AB$ bằng
A. $2$. B. $\sqrt 6 $. C. $\sqrt 2 $. D. $6$.
Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {2;1; – 2} \right)$ và $N\left( {4; – 5;1} \right)$. Tìm độ dài đoạn thẳng $MN$.
A. $49$. B. $7$. C. $\sqrt 7 $. D. $\sqrt {41} $.
Câu 57: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {3;\, – 1;\,1} \right)$. Gọi $A’$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Oy$. Tính độ dài đoạn $OA’$.
A. $OA’ = – 1$. B. $OA’ = \sqrt {10} $. C. $OA’ = \sqrt {11} $. D. $OA’ = 1$.
Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {3; – 2;1} \right)$, $N\left( {0;1; – 1} \right)$. Tìm độ dài của đoạn thẳng $MN$.
A. $MN = \sqrt {10} $. B. $MN = \sqrt {22} $. C. $MN = 10$. D. $MN = 22$.
Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $M\left( {3;0;0} \right),\,N\left( {0;0;4} \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.
A. $MN = 7$. B. $MN = 10$. C. $MN = 1$. D. $MN = 5$.
Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {2; – 3;5} \right)$, $N\left( {6; – 4; – 1} \right)$ và đặt $u = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. $u = \left( { – 4;1;6} \right)$. B. $u = \sqrt {53} $. C. $u = 3\sqrt {11} $. D. $u = \left( {4; – 1; – 6} \right)$.
Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {3;2; – 1} \right)$, $B\left( {5;4;3} \right)$. $M$ là điểm thuộc tia đối của tia $BA$ sao cho $\frac{{AM}}{{BM}} = 2$. Tìm tọa độ của điểm $M$.
A. $\left( {7;6;7} \right)$. B. $\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3};\frac{5}{3}} \right)$. C. $\left( { – \frac{5}{3}; – \frac{2}{3};\frac{{11}}{3}} \right)$. D. $\left( {13;11;5} \right)$.
Câu 62: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho$A\left( {2;0;0} \right){\rm{, }}B\left( {0;3;1} \right){\rm{, }}C\left( { – 3;6;4} \right)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn $BC$ sao cho $MC = 2MB$. Độ dài đoạn $AM$ là
A. $AM = 3\sqrt 3 $. B. $AM = 2\sqrt 7 $. C. $AM = \sqrt {29} $. D. $AM = \sqrt {19} $.
Lời giải
Câu 63: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho$A\left( {2;0;0} \right){\rm{, }}B\left( {0;3;1} \right){\rm{, }}C\left( { – 3;6;4} \right)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn $BC$ sao cho $MC = 2MB$. Độ dài đoạn $AM$ là
A. $AM = 3\sqrt 3 $. B. $AM = 2\sqrt 7 $. C. $AM = \sqrt {29} $. D. $AM = \sqrt {19} $.
Lời giải
Câu 64: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right)$, $B\left( {4\,;\,4\,;\,5} \right)$, $C\left( {0\,;\,0\,;\,3} \right)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ cách mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$ một khoảng bằng
A. $2$ B. $3$ C. $\sqrt 5 $ D. $1$
Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A$\left( {1; – 3;1} \right)$,
B. $\left( {3;0; – 2} \right)$ Tính độ dài AB.
A. 26. B. 22. C. $\sqrt {26} $. D. $\sqrt {22} .$
Câu 66: Trong không gian $Oxyz$, cho vec tơ $\vec a = \overrightarrow {2i} – \vec j – 2\vec k$. Độ dài của vec tơ $\overrightarrow a $ bằng
A. $\sqrt 5 $. B. $9$. C. $5$. D. $3$
Câu 67: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {2;1; – 1} \right),B\left( {1;2;3} \right)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng:
A. $3\sqrt 2 $. B. $\sqrt 3 $. C. $\sqrt {22} $. D. $18$.
Câu 68: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 2;7;3} \right)$ và $B\left( {4;1;5} \right)$. Tính độ dài của đoạn $AB$.
A. $AB = 6\sqrt 2 $. B. $AB = 76$. C. $AB = 2$. D. $AB = 2\sqrt {19} $.
ĐÁP ÁN
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | A | D | B | A | C | C | D | C | B |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| A | A | D | A | D | D | C | C | B | B |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| C | B | D | B | D | B | C | C | B | C |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| D | A | A | C | D | B | B | B | B | A |
| 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| B | A | C | D | D | C | A | B | C | A |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| A | A | D | D | B | B | D | B | D | B |
| 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | ||
| A | C | C | B | D | D | A | D |
Hướng dẫn giải
Dạng 00: Các câu hỏi chưa phân dạng
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 2 vectơ $\vec a = \left( { – 1\,;1\,;0} \right)$; $\vec b = \left( {1\,;\,1\,;0} \right)$. Trong các kết luận : $\left( I \right)$. $\vec a = – \vec b$; $\left( {II} \right)$. $\left| {\vec b} \right| = \left| {\vec a} \right|$; $\left( {III} \right)$. $\vec a = \vec b$; $\left( {IV} \right)$. $\vec a \bot \vec b$, có bao nhiêu kết luận sai?
A. $3$. B. $4$. C. $1$. D. $2$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow a = \left( { – 1\,;1\,;0} \right) = – \left( {1\,; – 1\,;0} \right) \ne \overrightarrow b $. Do đó $\left( I \right);\left( {III} \right)$ sai.
Ta có $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 = \left| {\overrightarrow b } \right|$. Do đó $\left( {II} \right)$ đúng.
Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { – 1} \right).1 + 1.1 = 0$. Do đó $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ hay $\left( {IV} \right)$ đúng.
Vậy có $2$ kết luận sai.
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba vectơ $\overrightarrow a = \left( { – 1;1;0} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right)$, $\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. $\overrightarrow b \bot \overrightarrow c .$ B. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 .$ C. $\overrightarrow b \bot \overrightarrow a .$ D. $\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 .$
Lời giải
Ta có $\overrightarrow b .\overrightarrow c = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow b $ không vuông góc với $\overrightarrow c $.
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$cho điểm $M\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Tọa độ $\overrightarrow {OM} $là $\left( {a;b;c} \right)$. B. Tọa độ hình chiếu của $M$lên $Ox$là $\left( {a;0;0} \right)$.
C. Điểm $M$ thuộc $Oz$ khi và chỉ khi $a = b = 0.$. D. Khoảng cách từ $M$đến $\left( {Oxy} \right)$ bằng $c$.
Lời giải
Ta có: $d\left( {M,\left( {Oxy} \right)} \right) = |c|$, nên mệnh đề B sai.
Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, cho hai vector $\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)$ khác $\overrightarrow 0 $. Tích hữu hướng của $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ và $\overrightarrow c $. Câu nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow c = \left( {{a_3}{b_1} – {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1},{a_2}{b_3} – {a_3}{b_1}} \right)$. B. $\overrightarrow c = \left( {{a_2}{b_3} – {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} – {a_1}{b_b},{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}} \right)$.
C. $\overrightarrow c = \left( {{a_1}{b_3} – {a_2}{b_1},{a_2}{b_3} – {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} – {a_1}{b_3}} \right)$. D. $\overrightarrow c = \left( {{a_1}{b_3} – {a_3}{b_1},{a_2}{b_2} – {a_1}{b_2},{a_3}{b_2} – {a_2}{b_3}} \right)$.
Lời giải
Ta có: $\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a_2}{b_3} – {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} – {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} – {a_2}{b_1}} \right)$.
Câu 5: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai vector $\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)$ khác $\overrightarrow 0 $. $cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ là biểu thức nào sau đây?
A. $\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$. B. $\frac{{{a_1}{b_3} + {a_2}{b_1} + {a_3}{b_2}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$. C. $\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_1}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$. D. $\frac{{{a_1}{b_2} + {a_2}{b_3} + {a_3}{b_1}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.
Lời giải
Ta có $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow a = \left( {3;2;1} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { – 2;0;1} \right)$. Độ dài $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ là:
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $\sqrt 2 $.
Lời giải
$\vec a = \left( {3;2;1} \right)$, $\vec b = \left( { – 2;0;1} \right)$ $ \Rightarrow \vec a + \vec b = \left( {1;2;2} \right)$ $ \Rightarrow \left| {\vec a + \vec b} \right| = \sqrt {1 + 4 + 4} = 3$.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {a;b;c} \right);B\left( {m;n;p} \right)$. Điều kiện để $A,B$ nằm về hai phía của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là
A. $cp < 0$. B. $bn < 0$. C. $am < 0$. D. $c + p < 0$.
Lời giải
Ta có phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$là $x = 0.$.
Do vậy $A$ và $B$ nằm về hai phía của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$khi và chỉ khi hoành độ của điểm $A$ và hoành độ của điểm $B$ trái dấu. Điều này xảy ra khi $am < 0.$.
Câu 8: Hai điểm $M$ và $M’$ phân biệt và đối xứng nhau qua mặt phẳng ${\rm{(Ox}}y)$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hai điểm $M$và $M’$có cùng tung độ và cao độ.
B. Hai điểm $M$và $M’$có cùng hoành độ và cao độ.
C. Hai điểm $M$và $M’$có hoành độ đối nhau.
D. Hai điểm $M$và $M’$có cùng hoành độ và tung độ.
Lời giải
“Hai điểm $M$và $M’$có cùng hoành độ và tung độ” là MĐ đúng.
Câu 9: Cho $\overrightarrow a = \left( {3;\, – 1;\,2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {4;\,2;\, – 6} \right)$. Tính $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$?
A. $8$. B. $9$. C. $\sqrt {66} $. D. $5\sqrt 2 $.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {7;\,1;\, – 4} \right)$ $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2}} = \sqrt {66} $.
Dạng 01: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec tơ thỏa đk cho trước
Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;2;3} \right)$. Tìm tọa độ điểm ${A_1}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$.
A. ${A_1}\left( {1;0;0} \right)$. B. ${A_1}\left( {0;2;3} \right)$. C. ${A_1}\left( {1;0;3} \right)$. D. ${A_1}\left( {1;2;0} \right)$.
Lời giải
Tọa độ điểm ${A_1}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là: ${A_1}\left( {0;2;3} \right)$.
Câu 11: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 1\,;\,5\,;\,2} \right)$ và $B\left( {3\,;\, – 3\,;\,2} \right)$. Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là
A. $M\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)$ B. $M\left( {2\,;\,2\,;\,4} \right)$ C. $M\left( {2\,;\, – 4\,;\,0} \right)$ D. $M\left( {4\,;\, – 8\,;\,0} \right)$
Lời giải
Trung điểm $M$ có tọa độ là $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ – 1 + 3}}{2} = 1\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{5 – 3}}{2} = 1\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow M\left( {1;1;2} \right)$.
Câu 12: Trong không gian cho ba điểm $A\left( {5;{\rm{ }} – 2;{\rm{ }}0} \right),B\left( { – 2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}0} \right)$ và $C\left( {0;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là
A. $\left( {1;1;1} \right)$. B. $\left( {1;1; – 2} \right)$. C. $\left( {1;2;1} \right)$. D. $\left( {2;0; – 1} \right)$.
Lời giải
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}A = \left( {5; – 2;0} \right)\\B = \left( { – 2;3;0} \right)\\C = \left( {0;2;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G = \left( {1;1;1} \right)$.
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$?
A. $N\left( {1;0;2} \right)$. B. $P\left( {0;1;2} \right)$. C. $Q\left( {0;0;2} \right)$. D. $M\left( {1;2;0} \right)$.
Lời giải
Phương trình mặt phẳng $\left( {Oxy} \right):z = 0$. Kiểm tra tọa độ các điểm ta thấy $D \in \left( {Oxy} \right)$.
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K\left( {2;\,4;\,6} \right)$, gọi $K’$ là hình chiếu vuông góc của $K$ lên $Oz$, khi đó trung điểm của $OK’$ có tọa độ là:
A. $\left( {0;\,0;\,3} \right)$. B. $\left( {1;\,0;\,0} \right)$. C. $\left( {1;\,2;\,3} \right)$. D. $\left( {0;\,2;\,0} \right)$.
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm của $OK’$.
Ta có $K’\left( {0;\,0;\,6} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $K$ lên $Oz$$ \Rightarrow $$I\left( {0;\,0;\,3} \right)$.
Câu 15: Cho hai điểm $M\left( {1; – 2;3} \right)$ và $N\left( {3;0; – 1} \right)$. Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$.
A. $I\left( {4; – 2;2} \right)$. B. $I\left( {2; – 1;2} \right)$. C. $I\left( {4; – 2;1} \right)$ D. $I\left( {2; – 1;1} \right)$
Lời giải
Trung điểm $I$có tọa độ là $I\left( {\frac{{1 + 3}}{2};\frac{{ – 2 + 0}}{2};\frac{{3 – 1}}{2}} \right) \Leftrightarrow I\left( {2; – 1;1} \right)$.
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $M\left( {3; – 2;3} \right),I\left( {1;0;4} \right).$ Tìm tọa độ điểm $N$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn $MN.$
A. $N\left( {5; – 4;2} \right)$. B. $N\left( {0;1;2} \right)$. C. $N\left( {2; – 1;\frac{7}{2}} \right)$. D. $N\left( { – 1;2;5} \right)$.
Lời giải
Giả sử $N(x;y;z)$. Do $I$ là trung điểm của $MN$ nên
$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} – {x_M}\\{y_N} = 2{y_I} – {y_M}\\{z_N} = 2{z_I} – {z_M}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = – 1\\{y_N} = 2\\{z_N} = 5\end{array} \right. \Rightarrow M( – 1;2;5)$.
Câu 17: Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ: $\overrightarrow a = (2; – 5;3)$, $\overrightarrow b = \left( {0;2; – 1} \right)$, $\overrightarrow c = \left( {1;7;2} \right)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow x = 4\overrightarrow a – \frac{1}{3}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c $ là
A. $\overrightarrow x = \left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};18} \right)$. B. $\overrightarrow x = \left( {5; – \frac{{121}}{3};\frac{{17}}{3}} \right)$.
C. $\overrightarrow x = \left( {11;\frac{1}{3};\frac{{55}}{3}} \right)$. D. $\overrightarrow x = \left( {11;\frac{5}{3};\frac{{53}}{3}} \right)$.
Lời giải
$4\overrightarrow a = (8; – 20;12)$, $ – \frac{1}{3}\overrightarrow b = \left( {0; – \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)$, $3\overrightarrow c = \left( {3;21;6} \right)$.
$\overrightarrow x = 4\overrightarrow a – \frac{1}{3}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c = \left( {11;\frac{1}{3};\frac{{55}}{3}} \right)$.
Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vec tơ $\vec a\left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right)$ và $\vec b\left( { – 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\vec a.\vec b = – 8$. B. $2\vec a = \left( {2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} – 4;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right)$.
C. $\vec a + \vec b = \left( { – 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} – 1} \right)$. D. $\left| {\vec b} \right| = 14$.
Lời giải
$\vec a + \vec b = \left( { – 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)$.
Câu 19: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $G\left( {1; – 2;3} \right)$ và ba điểm $A\left( {a;0;0} \right)$, $B\left( {0;b;0} \right)$, $C\left( {0;0;c} \right)$. Biết $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $a + b + c$ bằng
A. $3$. B. $6$. C. $0$. D. $9$.
Lời giải
Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{a + 0 + 0}}{3}\\ – 2 = \frac{{0 + b + 0}}{3}\\3 = \frac{{0 + 0 + c}}{3}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = – 6\\c = 9\end{array} \right.$.
Do đó $a + b + c = 3 + \left( { – 6} \right) + 9 = 6$.
Câu 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ$Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;1; – 2} \right);B\left( {2;2;1} \right)$. Vec tơ $\overrightarrow {AB} $ có tọa độ là:
A. $\left( {{\rm{3;1;1}}} \right)$. B. $\left( {{\rm{1;1;3}}} \right)$. C. $\left( {{\rm{3;3; – 1}}} \right)$. D. $\left( {{\rm{ – 1; – 1; – 3}}} \right)$.
Lời giải
$\overrightarrow {AB} \left( {1;1;3} \right)$.
Câu 21: Cho hình bình hành $ABCD$ với $A\left( { – 2;\,\,3;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\,0; – 1} \right)$,$C\left( {6;\,\,5;\,\,0} \right)$. Tọa độ đỉnh $D$ là
A. $D\left( {1;\,\,8; – 2} \right)$. B. $D\left( {11;\,\,2;\,\,2} \right)$. C. $D\left( {1;\,\,8;\,\,2} \right)$. D. $D\left( {11;\,\,2; – 2} \right)$.
Lời giải
Câu 22: Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow a = \left( {1;2; – 3} \right)$; $\overrightarrow b = \left( { – 2;2;0} \right)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b $ là:
A. $\overrightarrow c = \left( {4; – 1; – 3} \right)$. B. $\overrightarrow c = \left( {8; – 2; – 6} \right)$. C. $\overrightarrow c = \left( {2;1;3} \right)$. D. $\overrightarrow c = \left( {4; – 2; – 6} \right)$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b $$ = 2\left( {1;2; – 3} \right) – 3\left( { – 2;2;0} \right)$$ = \left( {8; – 2; – 6} \right)$.
Câu 23: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1; – 2;3} \right)$. Tọa độ điểm $A$ là hình chiếu vuông góc của $M$trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là
A. $A\left( {1; – 2;3} \right)$. B. $A\left( {1; – 2;0} \right)$. C. $A\left( {1;0;3} \right)$. D. $A\left( {0; – 2;3} \right)$.
Lời giải
Câu 24: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)$. Hình chiếu của $M$ lên trục $Oy$ là điểm
A. $P\left( {1;0;3} \right)$. B. $Q\left( {0;2;0} \right)$. C. $R\left( {1;0;0} \right)$. D. $S\left( {0;0;3} \right)$.
Lời giải
Hình chiếu của $M\left( {1;2;3} \right)$ lên trục $Oy$là điểm $Q\left( {0;2;0} \right)$.
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {2;1; – 3} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( { – 1;3; – 4} \right)$. Vectơ $\overrightarrow u = 2\overrightarrow a – \overrightarrow b $ có tọa độ là
A. $\left( { – 5; – 1;2} \right)$. B. $\left( {5;1; – 2} \right)$. C. $\left( {5; – 1;2} \right)$. D. $\left( {5; – 1; – 2} \right)$.
Lời giải
Ta có $2\overrightarrow a = \left( {4;2; – 6} \right)$$ \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {5; – 1; – 2} \right)$.
Câu 26: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i – \overrightarrow j $ và $\overrightarrow b = \left( { – 4;2} \right)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng hướng. B. $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ ngược hướng.
C. $\overrightarrow a = \left( { – 1;2} \right)$ . D. $\overrightarrow a = \left( { 2;1} \right)$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i – \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; – 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow b = – 2\overrightarrow a $
$ \Rightarrow \overrightarrow a \,$ và $\overrightarrow b $ ngược hướng.
Câu 27: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và $B\left( { – 2;1;2} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa $\overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MA} $.
A. $M\left( { – \frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)$. B. $M\left( {4;3;1} \right)$. C. $M\left( {4;3;4} \right)$. D. $M\left( { – 1;3;5} \right)$.
Lời giải
Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$, $\overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MA} $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2 – x = 2\left( {1 – x} \right)\\1 – y = 2\left( {2 – y} \right)\\2 – z = 2\left( {3 – z} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.$$ \Rightarrow M\left( {4;3;4} \right)$.
Câu 28: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 1;1;2} \right)$ và $B\left( {3; – 5;0} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là
A. $\left( {2; – 4;2} \right)$ B. $\left( {4; – 6;2} \right)$ C. $\left( {1; – 2;1} \right)$ D. $\left( {2; – 3; – 1} \right)$
Lời giải
Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$ cho $\vec x = 2\vec i + 3\vec j – \vec k$. Tọa độ của $\vec x$ là
A. $\vec x = \left( {2;\, – 1;\,3} \right)$. B. $\vec x = \left( { – 1;\,2;\,3} \right)$. C. $\vec x = \left( {2;\,3;\, – 1} \right)$. D. $\vec x = \left( {3;\,2;\, – 1} \right)$.
Lời giải
Ta có $\vec x = 2\vec i + 3\vec j – \vec k = \left( {2;3; – 1} \right)$.
Câu 30: Trong không gian $Oxyz$ cho $2$ điểm $A\left( {1;2;3} \right)$, $B\left( {x;y;z} \right)$. Biết rằng $\overrightarrow {AB} = \left( {6;3;2} \right)$, khi đó $\left( {x;y;z} \right)$ bằng
A. $\left( {11;4;1} \right)$ B. $\left( { – 7; – 5; – 5} \right)$ C. $\left( {7;5;5} \right)$ D. $\left( {5;1; – 1} \right)$
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {6;3;2} \right)$$ = \left( {x – 1;y – 2;z – 3} \right)$ nên $\left( {x;y;z} \right) = \left( {7;5;5} \right)$.
Câu 31: Trong không gian $Oxyz$, tìm tọa độ của véc tơ $\overrightarrow u = – 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 4\overrightarrow k $.
A. $\overrightarrow u = \left( {3;\,4;\,2} \right)$. B. $\overrightarrow u = \left( { – 3;\,4;\,2} \right)$. C. $\overrightarrow u = \left( {6;\,8;\,4} \right)$. D. $\overrightarrow u = \left( { – 6;\,8;\,4} \right)$.
Lời giải
$\overrightarrow u = – 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 4\overrightarrow k $$ \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { – 6;\,8;\,4} \right)$.
Câu 32: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {1;\,1;\, – 1} \right)$ và $B\left( {2;\,3;\,2} \right)$. Vectơ $\overrightarrow {AB} $
có tọa độ là
A. $\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)$ B. $\left( { – 1;\, – 2; & \,\,3} \right)$ C. $\left( {3;\,5;\,1} \right)$ D. $\left( {3;\,4;\,1} \right)$
Lời giải
$\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} \right) = \left( {1;\,2;\,3} \right)$
Câu 33: Trong không gian $Oxyz$, cho 3 vec tơ $\overrightarrow a = \left( {2; – 1;0} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { – 1; – 3;2} \right)$, $\overrightarrow c = \left( { – 2; – 4; – 3} \right)$. Tọa độ của $\overrightarrow u = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b + \overrightarrow c $.
A. $\left( {5;\,\,3;\,\, – 9} \right)$ B. $\left( { – 5;\,\, – 3;\,\,9} \right)$ C. $\left( { – 3;\,\, – 7;\,\, – 9} \right)$ D. $\left( {3;\,\,7;\,\,9} \right)$
Lời giải
$\overrightarrow u = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b + \overrightarrow c $$ = 2\left( {2;\,\, – 1;\,\,0} \right) – 3\left( { – 1;\,\, – 3;\,\,2} \right) + \left( { – 2;\,\, – 4;\,\, – 3} \right)$$ = \left( {2.2 + 3 – 2;\,\, – 2 + 9 – 4;\,\, – 6 – 3} \right)$ $ = \left( {5;\,\,3;\,\, – 9} \right)$
Câu 34: Cho $\overrightarrow a = \left( { – 1;{\rm{ 2}};{\rm{ 3}}} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {2;{\rm{ 1}};{\rm{ 0}}} \right)$, với $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a – \overrightarrow b $ thì tọa độ của $\overrightarrow c $ là
A. $\left( { – 1;{\rm{ 3}};{\rm{ 5}}} \right)$ B. $\left( { – 4;{\rm{ 1}};{\rm{ 3}}} \right)$ C. $\left( { – 4;{\rm{ 3}};{\rm{ 6}}} \right)$ D. $\left( { – 4;{\rm{ 3}};{\rm{ 3}}} \right)$
Lời giải
Ta có: $2\overrightarrow a = \left( { – 2;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}}} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {2;{\rm{ 1}};{\rm{ 0}}} \right)$ nên $\overrightarrow c = 2\overrightarrow a – \overrightarrow b = \left( { – 4;{\rm{ 3}};{\rm{ 6}}} \right)$.
Câu 35: Cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right)\,$; $\overrightarrow b = \left( { – 2;4;1} \right)\,$; $\overrightarrow c = \left( { – 1;3;4} \right)\,$. Vectơ $\overrightarrow v = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c $ có tọa độ là
A. $\overrightarrow v = \left( {7;3;23} \right)$. B. $\overrightarrow v = \left( {23;7;3} \right)$. C. $\overrightarrow v = \left( {7;23;3} \right)$. D. $\overrightarrow v = \left( {3;7;23} \right)$.
Lời giải
Ta có: $2\overrightarrow a = \left( {2;4;6} \right)$, $ – 3\overrightarrow b = \left( {6; – 12; – 3} \right)$, $5\overrightarrow c = \left( { – 5;15;20} \right)$.
$ \Rightarrow \overrightarrow v = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c $$ = \left( {3;7;23} \right)$.
Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ $\vec u$ biết $\vec u = 2\vec i – 3\vec j + 5\vec k$.
A. $\vec u = \left( {5; – 3;2} \right)$. B. $\vec u = \left( {2; – 3;5} \right)$. C. $\vec u = \left( {2;5; – 3} \right)$. D. $\vec u = \left( { – 3;5;2} \right)$.
Lời giải
Vì $\vec u = 2\vec i – 3\vec j + 5\vec k$ nên $\vec u = \left( {2; – 3;5} \right)$.
Câu 37: Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow a $ biểu diễn của các vectơ đơn vị là $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k – 3\overrightarrow j $. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a $ là
A. $\left( {1;\,2;\, – 3} \right)$. B. $\left( {2;\, – 3;\,1} \right)$. C. $\left( {2;\,1;\, – 3} \right)$. D. $\left( {1;\, – 3;\,2} \right)$.
Lời giải
$\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k – 3\overrightarrow j = 2\overrightarrow i – 3\overrightarrow j + \overrightarrow k $ nên $\overrightarrow a = \left( {2; – 3;1} \right)$.
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; 2; 3} \right)$ và $B\left( { – 3; – 4; – 5} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:
A. $\left( {1; 1; 1} \right)$ B. $\left( { – 1; – 1; – 1} \right)$ C. $\left( { – 2; – 2; – 2} \right)$ D. $\left( {4; 6; 8} \right)$
Lời giải
Ta có $I\left( {\frac{{1 + \left( { – 3} \right)}}{2}; \frac{{2 + \left( { – 4} \right)}}{2}; \frac{{3 + \left( { – 5} \right)}}{2}} \right)$ $ \Leftrightarrow I\left( { – 1; – 1; – 1} \right)$.
Câu 39: Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {3;\,0;\, – 1} \right)$ và $\overrightarrow c = \left( { – 2;\,5;\,1} \right)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow a + \overrightarrow b – \overrightarrow c $ là:
A. $\overrightarrow u = \left( { – 6;\,6;\,0} \right)$ B. $\overrightarrow u = \left( {6;\, – 6;\,0} \right)$ C. $\overrightarrow u = \left( {6;\,0;\, – 6} \right)$ D. $\overrightarrow u = \left( {0;\,6;\, – 6} \right)$
Lời giải
$\overrightarrow u = \overrightarrow a + \overrightarrow b – \overrightarrow c $$ = \left( {1 + 3 + 2;\, – 1 + 0 – 5;\,2 – 1 – 1} \right)$$ = \left( {6;\, – 6;\,0} \right)$.
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {3;\;2;\;1} \right)$, $B\left( { – 1;\;0;\;5} \right)$. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn $AB$.
A. $I(1;\;1;\;3)$. B. $I( – 1;\; – 1;\;1)$. C. $I(2;\;1;\;3)$. D. $I(2;\;2;\;6)$.
Lời giải
Dựa vào công thức trung điểm $I({x_I};\;{y_I};\;{z_I})$ của đoạn $AB$.
$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow $$I(1;1;3)$.
Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow a = – 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k $. Tọa độ của $\overrightarrow a $ là
A. $\left( {2\,;\,3\,;\,5} \right)$. B. $\left( { – 2\,;\,3\,;\,5} \right)$. C. $\left( {2\,;\,3\,;\, – 5} \right)$. D. $\left( {2\,;\, – \,3\,; – \,5} \right)$.
Lời giải
Tọa độ của $\overrightarrow a $là $\left( { – 2;\,3;\,5} \right)$.
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho $A\left( { – 1;\,\,2;\,\,3} \right)$, $B\left( {1;\,\,0;\,\,2} \right).$ Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {AB} = 2.\overrightarrow {MA} $?
A. $M\left( { – 2;3;\frac{7}{2}} \right)$. B. $M\left( { – 2;3;7} \right)$. C. $M\left( { – 4;6;7} \right)$. D. $M\left( { – 2; – 3;\frac{7}{2}} \right)$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = 2.\overrightarrow {MA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} – {x_A} = 2\left( {{x_A} – {x_M}} \right)\\{y_B} – {y_A} = 2\left( {{y_A} – {y_M}} \right)\\{z_B} – {z_A} = 2\left( {{z_A} – {z_M}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{3{x_A} – {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{3{y_A} – {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{3{z_A} – {z_B}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow M\left( { – 2;\,3;\,\frac{7}{2}} \right)$.
Câu 43: Trong không gian $Oxyz$ với hệ tọa độ $\left( {O;\vec i;\vec j;\vec k} \right)$ cho $\overrightarrow {OA} = – 2\vec i + 5\vec k$. Tìm tọa độ điểm $A$.
A. $\left( { – 2;5} \right)$. B. $\left( {5; – 2;0} \right)$. C. $\left( { – 2;0;5} \right)$. D. $\left( { – 2;5;0} \right)$.
Lời giải
Dựa vào định nghĩa $\overrightarrow {OA} = – 2\vec i + 0\vec j + 5\vec k$$ \Rightarrow A\left( { – 2;0;5} \right)$.
Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {1;3;5} \right),{\rm{ }}B\left( {2;0;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;9;0} \right).$ Tìm trọng tâm $G$ của tam giác $ABC.$
A. $G\left( {3;12;6} \right)$. B. $G\left( {1;5;2} \right)$. C. $G\left( {1;0;5} \right)$. D. $G\left( {1;4;2} \right)$.
Lời giải
Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 2 + 0}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + 0 + 9}}{3} = 4\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{5 + 1 + 0}}{3} = 2\end{array} \right.$ $ \Rightarrow G\left( {1;4;2} \right)$.
Câu 45: Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $M\left( {1; – 3;2} \right)$. Gọi $A$ và $B$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M$trên các mặt phẳng tọa độ $Oxy$, $Oyz$. Tìm tọa độ véc tơ $\overrightarrow {AB} $.
A. $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;0; – 2} \right)$. B. $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1; – 3;0} \right)$. C. $\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; – 2} \right)$. D. $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;0;2} \right)$.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra $A\left( {1; – 3;0} \right),B\left( {0; – 3;2} \right)$. Do vậy $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;0;2} \right)$.
Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 1;2;3} \right),B\left( {2;4;2} \right)$ và tọa độ trọng tâm $G\left( {0;2;1} \right)$. Khi đó, tọa độ điểm $C$ là:
A. $C\left( { – 1; – 4;4} \right)$. B. $C\left( {1;4;4} \right)$. C. $C\left( { – 1;0; – 2} \right)$. D. $C\left( {1;0;2} \right)$.
Lời giải
G là trọng tâm $\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{{\rm{x}}_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G}\\{z_A} + {z_B} + {z_C} = 3{{\rm{z}}_G}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 + 2 + {x_C} = 0\\2 + 4 + {y_C} = 6\\3 + 2 + {z_C} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = – 1\\{y_C} = 0\\{z_C} = – 2\end{array} \right.$.
Vậy $C\left( { – 1;0; – 2} \right)$.
Câu 47: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)\,$và $B(3;0; – 5)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là
A. $I(2;1; – 1).$ B. $I(2;2; – 2).$ C. $I(4;2; – 2).$ D. $I( – 1;1;4).$
Lời giải
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1\\{z_I} = \frac{{3 – 5}}{2} = – 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;\,1;\, – 1} \right)$
Câu 48: Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {3\,;\,1\,;\, – 1} \right)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là
A. $\left( {3\,;\,0\,;\, – 1} \right)$. B. $\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)$. C. $\left( {0\,;\,0\,;\, – 1} \right)$. D. $\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$.
Lời giải
Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {{x_M}\,;\,{y_M}\,;\,{z_M}} \right)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là $\left( {{x_M}\,;\,0\,;\,0} \right)$.
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j + \overrightarrow k $. Tọa độ của điểm $M$ là:
A. $M\left( {2\,;\,1\,;\,0} \right)$. B. $M\left( {2\,;\,0\,;\,1} \right)$. C. $M\left( {0\,;\,2\,;\,1} \right)$. D. $M\left( {1\,;\,2\,;\,0} \right)$.
Hướng dẫn giải
Vì $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j + \overrightarrow k $ nên tọa độ điểm $M$ là $M\left( {0;2;1} \right)$.
Dạng 02: Tính độ dài đoạn thẳng
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; – 2; – 1} \right)$ và $B\left( {1;4;3} \right)$. Độ dài đoạn $AB$ là:
A. $2\sqrt {13} $. B. $2\sqrt 3 $. C. $\sqrt 6 $. D. $3$.
Hướng dẫn giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;6;4} \right)$ nên $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{0^2} + {6^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13} $.
Câu 51: Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( {1;1; – 3} \right)$, $B\left( {3; – 1;1} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, đoạn $OM$ có độ dài bằng
A. $\sqrt 5 $. B. $\sqrt 6 $. C. $V = AA’.{S_{ABC}} = \sqrt 3 .{\sqrt 6 ^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{9}{2}{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$. D. $2\sqrt 6 $.
Lời giải
Ta có $M$ là trung điểm $AB$ nên $M\left( {2;0; – 1} \right)$ $ \Rightarrow $$OM$$ = \sqrt {4 + 0 + 1} = \sqrt 5 $.
Câu 52: Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón đỉnh $S\left( {\frac{{17}}{{18}}; – \frac{{11}}{9};\frac{{17}}{{18}}} \right)$ có đường tròn đáy đi qua ba điểm $A\left( {1;0;0} \right)$,$B\left( {0; – 2;0} \right)$,$C\left( {0;0;1} \right)$. Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón đã cho.
A. $l = \frac{{\sqrt {86} }}{6}$. B. $l = \frac{{\sqrt {194} }}{6}$. C. $l = \frac{{\sqrt {94} }}{6}$. D. $l = \frac{{5\sqrt 2 }}{6}$.
Lời giải
$l = SA$$ = \sqrt {{{\left( {\frac{{17}}{{18}} – 1} \right)}^2} + {{\left( { – \frac{{11}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{17}}{{18}}} \right)}^2}} $$ = \frac{{\sqrt {86} }}{6}$.
Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {2; – 1;2} \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng $OM$.
A. $OM = \sqrt 5 $. B. $OM = 9$. C. $OM = \sqrt 3 $. D. $OM = 3$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow {OM} = \left( {2; – 1;2} \right)$$ \Rightarrow OM = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {2^2}} = 3$.
Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, độ dài của véc tơ $\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$ được tính bởi công thức nào?
A. $\left| {\overrightarrow u } \right| = a + b + c$. B. $\left| {\overrightarrow u } \right| = {a^2} + {b^2} + {c^2}$.
C. $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {a + b + c} $. D. $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $.
Lời giải
Ta có $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $.
Câu 55: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;{\rm{ }} – 1;{\rm{ }}2} \right)$ và $B\left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)$. Độ dài đoạn $AB$ bằng
A. $2$. B. $\sqrt 6 $. C. $\sqrt 2 $. D. $6$.
Lời giải
Ta có: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 – 1} \right)}^2} + {{\left( {1 – \left( { – 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 – 2} \right)}^2}} = \sqrt 6 $.
Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {2;1; – 2} \right)$ và $N\left( {4; – 5;1} \right)$. Tìm độ dài đoạn thẳng $MN$.
A. $49$. B. $7$. C. $\sqrt 7 $. D. $\sqrt {41} $.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {2; – 6;3} \right)$ nên $MN = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2} + {3^2}} = 7$.
Câu 57: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {3;\, – 1;\,1} \right)$. Gọi $A’$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Oy$. Tính độ dài đoạn $OA’$.
A. $OA’ = – 1$. B. $OA’ = \sqrt {10} $. C. $OA’ = \sqrt {11} $. D. $OA’ = 1$.
Lời giải
Vì $A’$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Oy$nên $A’\left( {0;\, – 1;\,0} \right)$$ \Rightarrow OA’ = 1$.
Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {3; – 2;1} \right)$, $N\left( {0;1; – 1} \right)$. Tìm độ dài của đoạn thẳng $MN$.
A. $MN = \sqrt {10} $. B. $MN = \sqrt {22} $. C. $MN = 10$. D. $MN = 22$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( { – 3;3; – 2} \right)$$ \Rightarrow $$MN = \sqrt {22} $.
Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $M\left( {3;0;0} \right),\,N\left( {0;0;4} \right)$. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.
A. $MN = 7$. B. $MN = 10$. C. $MN = 1$. D. $MN = 5$.
Lời giải
$MN = \sqrt {{{\left( {0 – 3} \right)}^2} + {{\left( {0 – 0} \right)}^2} + {{\left( {4 – 0} \right)}^2}} = 5$.
Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {2; – 3;5} \right)$, $N\left( {6; – 4; – 1} \right)$ và đặt $u = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. $u = \left( { – 4;1;6} \right)$. B. $u = \sqrt {53} $. C. $u = 3\sqrt {11} $. D. $u = \left( {4; – 1; – 6} \right)$.
Lời giải
$\overrightarrow {MN} \left( {4;{\rm{ }} – {\rm{1; }} – {\rm{6}}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{4^2} + 1 + 36} = \sqrt {53} $.
Câu 61: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {3;2; – 1} \right)$, $B\left( {5;4;3} \right)$. $M$ là điểm thuộc tia đối của tia $BA$ sao cho $\frac{{AM}}{{BM}} = 2$. Tìm tọa độ của điểm $M$.
A. $\left( {7;6;7} \right)$. B. $\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3};\frac{5}{3}} \right)$. C. $\left( { – \frac{5}{3}; – \frac{2}{3};\frac{{11}}{3}} \right)$. D. $\left( {13;11;5} \right)$.
Lời giải
$M$ là điểm thuộc tia đối của tia $BA$ sao cho $\frac{{AM}}{{BM}} = 2$ nên $B$ là trung điểm $AM$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = \frac{{3 + {x_M}}}{2}\\4 = \frac{{2 + {y_M}}}{2}\\3 = \frac{{ – 1 + {z_M}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 7\\{y_M} = 6\\{z_M} = 7\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {7;6;7} \right)$.
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {4;\,1; – \,2} \right)$. Tọa độ điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là
A. $A’\left( {4;\, – 1;\,2} \right)$.
B. $A’\left( { – 4;\, – 1;\,2} \right)$.
C. $A’\left( {4;\, – 1;\, – 2} \right)$.
D. $A’\left( {4;\,1;\,2} \right)$.
Lời giải
Hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $H\left( {4;0; – 2} \right)$.
$ \Rightarrow $ tọa độ điểm đối xứng là $A’\left( {4; – 1; – 2} \right)$.
Câu 62: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho$A\left( {2;0;0} \right){\rm{, }}B\left( {0;3;1} \right){\rm{, }}C\left( { – 3;6;4} \right)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn $BC$ sao cho $MC = 2MB$. Độ dài đoạn $AM$ là
A. $AM = 3\sqrt 3 $. B. $AM = 2\sqrt 7 $. C. $AM = \sqrt {29} $. D. $AM = \sqrt {19} $.
Lời giải
Câu 63: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho$A\left( {2;0;0} \right){\rm{, }}B\left( {0;3;1} \right){\rm{, }}C\left( { – 3;6;4} \right)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn $BC$ sao cho $MC = 2MB$. Độ dài đoạn $AM$ là
A. $AM = 3\sqrt 3 $. B. $AM = 2\sqrt 7 $. C. $AM = \sqrt {29} $. D. $AM = \sqrt {19} $.
Lời giải
Câu 64: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right)$, $B\left( {4\,;\,4\,;\,5} \right)$, $C\left( {0\,;\,0\,;\,3} \right)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ cách mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$ một khoảng bằng
A. $2$ B. $3$ C. $\sqrt 5 $ D. $1$
Lời giải
Ta có $G\left( {2\,;\,1\,;\,3} \right)$, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right):z = 0$. Do đó $d\left( {G;\left( {Oxy} \right)} \right) = 3$.
Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A$\left( {1; – 3;1} \right)$,
B. $\left( {3;0; – 2} \right)$ Tính độ dài AB.
A. 26. B. 22. C. $\sqrt {26} $. D. $\sqrt {22} .$
Lời giải
$\overrightarrow {AB} = (2;3; – 3) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {22} .$
Câu 66: Trong không gian $Oxyz$, cho vec tơ $\vec a = \overrightarrow {2i} – \vec j – 2\vec k$. Độ dài của vec tơ $\overrightarrow a $ bằng
A. $\sqrt 5 $. B. $9$. C. $5$. D. $3$
Lời giải
$\vec a = 2\overrightarrow i – \vec j – 2\vec k \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; – 1; – 2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {4 + 1 + 4} = 3$
Câu 67: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {2;1; – 1} \right),B\left( {1;2;3} \right)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng:
A. $3\sqrt 2 $. B. $\sqrt 3 $. C. $\sqrt {22} $. D. $18$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;1;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {1^2} + {4^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 $.
Câu 68: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 2;7;3} \right)$ và $B\left( {4;1;5} \right)$. Tính độ dài của đoạn $AB$.
A. $AB = 6\sqrt 2 $. B. $AB = 76$. C. $AB = 2$. D. $AB = 2\sqrt {19} $.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {6; – 6;2} \right)$$ \Rightarrow AB = \sqrt {36 + 36 + 4} = 2\sqrt {19} $.
