Chuyên đề tiệm cận của đồ thị hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT 2021 có lời giải và đáp án được phát triển từ câu 6 của đề tham khảo môn Toán.
Dạng: 6
TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa:
.Hàm số $y = f(x)$thỏa mãn một trong các điều kiện: $\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow y = {y_0}$ được gọi là TCN.
.Hàm số $y = f(x)$thỏa mãn một trong các điều kiện: $\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = – \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \end{array} \right.$ $ \Rightarrow x = {x_0}$ được gọi là TCĐ.
2. Dựa vào bảng biến thiên hay đồ thị suy ra tiệm cận:
_Nếu $x \to \pm \infty $ mà $y \to {y_0}$( một số) thì $y = {y_0}$ là TCN.
_Nếu $x \to {x_0}$( một số) mà $y \to \pm \infty $thì $x = {x_0}$ là TCĐ.
Bài tập minh họa:
| Câu 1: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty $. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Ⓐ. Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành. Ⓑ. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng $y = 0$. Ⓒ. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành. Ⓓ. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. |
|
| Lời giải
Chọn C $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0 \Rightarrow y = 0$ tức trục hoành là TCN. |
PP nhanh trắc nghiệm
Sử dụng ĐN, khi $x \to \pm \infty $ mà $y = {y_0}$ là TCN. |
| Câu 2: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Khẳng định nào dưới đây đúng? Ⓐ. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang. Ⓑ. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$. Ⓒ. Giá trị lớn nhất của hàm số là $3$. Ⓓ. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. |
|
| Lời giải
Chọn A Khi $x \to – \infty \Rightarrow y \to 1$ nên $y = 1$ là TCN. Khi $x \to + \infty \Rightarrow y \to – 1$ nên $y = – 1$ là TCN. |
PP nhanh trắc nghiệm
Quan sát BBT khi $x \to \pm \infty $ hay $x \to x_0^ \pm $ để suy ra tiệm cận. |
 Câu 3: Cho đồ thị một hàm số có hình vẽ như hình dưới đây.
Hỏi đồ thị trên có bao nhiêu đường tiệm cận? Ⓐ. $4.$ Ⓑ. Không có tiệm cận. Ⓒ. $2.$ Ⓓ. 3 |
|
| Lời giải
Chọn A Đồ thị hàm số có 2 TCN là $y = 0;\,$$y = b$ và 2 TCĐ là $x = a$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Quan sát nhanh từ đồ thị. |
| Câu 4: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
Ⓐ. $1$ Ⓑ. $3$ Ⓒ. $2$ Ⓓ. $4$ |
|
| Lời giải
Chọn B Dựa vào bảng biến thiên ta có: +$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} f\left( x \right) = – \infty $, suy ra đường thẳng $x = – 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. +$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = + \infty $, suy ra đường thẳng $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. +$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0$, suy ra đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. |
PP nhanh trắc nghiệm
Quan sát nhanh từ BBT, sử dụng định nghĩa dễ thấy đồ thị có 2 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang. |
Vấn đề : Tìm số tiệm cận của những hàm số tường minh thường gặp.
Phương pháp:
_ Đồ thị hàm đa thức không có tiệm cận.
_ Hàm phân thức dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}{\rm{ }}\left( {c \ne 0;{\rm{ }}ad – bc \ne 0} \right)$
Đồ thị hàm số luôn có 1 TCN là $y = \frac{a}{c}$ và 1 TCĐ $x = – \frac{d}{c}.$
_Tìm tiệm cận ngang của hàm phân thức $y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$
Nếu bậc tử bé hơn bậc mẫu có TCN là $y = 0$.
Nếu bậc của tử $ \le $ bậc của mẫu thì đồ thị có TCN.
Nếu bậc của tử $ > $ bậc của mẫu hoặc có tập xác định là 1 khoảng hữu hạn $\left( {a\,;b} \right)$hoặc $\left[ {a;b} \right]$ thì không có TCN.
_Tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức $y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$
Hàm phân thức mà mẫu có nghiệm $x = x{}_0$ nhưng không là nghiệm của tử thì đồ thị có tiệm cận đứng $x = x{}_0$( với đk hàm số xác định trên khoảng $K\backslash \{ {x_0}\} ;{x_0} \in K$).
. Tìm nghiệm mẫu $g(x) = 0$.
Mẫu $g(x) = 0$ vô nghiệm $ \Rightarrow $ đồ thị hàm số không có TCĐ.
Mẫu $g(x) = 0$ có nghiệm ${x_0}$.
. Thay ${x_0}$ vào tử, nếu $f({x_0}) \ne 0$$ \Rightarrow \mathop {\lim \,}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \pm \infty $ thì ta kết luận $x = {x_0}$ là TCĐ.
. Thay ${x_0}$ vào tử, nếu $f({x_0}) = 0$(tức là ${x_0}$ là nghiệm của cả tử và mẫu thì ta tính $\mathop {\lim \,}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ (dùng máy tính Casio để tính giới hạn).
Nếu $\mathop {\lim \,}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \pm \infty $ thì ta kết luận $x = {x_0}$ là TCĐ.
Nếu $\mathop {\lim \,}\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} \ne \pm \infty $ thì ta kết luận $x = {x_0}$ không là TCĐ.
Bài tập minh họa:
| Câu 1: Đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 3x + 1}}{{x + 2}}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
Ⓐ. $x = – 2$ và $y = – 3$. Ⓑ. $x = – 2$ và $y = 1$. Ⓒ. $x = – 2$ và $y = 3$. Ⓓ. $x = 2$ và $y = 1$. |
||
| Lời giải
Chọn A TCĐ $x = \frac{{ – 2}}{1} = – 2$ ; TCN $y = \frac{{ – 3}}{1} = – 3$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Dễ thấy $x = – 2$ và $y = – 3$. TCĐ: nghiệm mẫu TCN: Hệ số trước x chia nhau |
|
| Câu 2: Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x{}^2 – 3x – 2}}$ bằng
Ⓐ. 3 . Ⓑ. 2 . Ⓒ. 1 . Ⓓ. 0. |
||
| Lời giải
Chọn B $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{x{}^2 – 3x – 2}} = 0 \Rightarrow y = 0$ là TCN. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x + 1}}{{x{}^2 – 3x – 2}} = – 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{x{}^2 – 3x – 2}} = + \infty $ Suy ra $x = 2$ là TCĐ. |
PP nhanh trắc nghiệm
Vì bậc tử bé hơn bậc mẫu có TCN là$y = 0$. $\left\{ \begin{array}{l}x{}^2 – 3x – 2 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2;x = – 1\\x = – 1\end{array} \right. \Rightarrow x = 2$. Suy ra đồ thị hàm số có 1 TCĐ $x = 2$. |
|
| Câu 3: Đồ thị hàm số nào nào sau đây không có tiệm cận đứng?
Ⓐ. $y = – \frac{1}{x}$ . Ⓑ. $y = \frac{1}{{{x^2} + 2x + 1}}$. Ⓒ. $y = \frac{{\sqrt {x – 3} }}{{x + 2}}$. Ⓓ. $y = \frac{{3x – 1}}{{{x^2} – 1}}$ . |
||
| Lời giải
Chọn C Mẫu có nghiệm $x = – 2$ nhưng nó không phải giá trị xác định của hàm số nên đồ thị hàm số không có TCĐ. |
PP nhanh trắc nghiệm
Ⓐ. TCĐ $x = 0$. Ⓑ. TCĐ $x = – 1$. Ⓓ. TCĐ $x = \pm 1$. Có thể dùng Casio kiển tra. |
|
| Câu 4: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{{x^2} + x}}$ là
Ⓐ. $3$. Ⓑ. $0$. Ⓒ. $2$. Ⓓ. $1$. |
||
| Lời giải
Chọn C Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1;\,\,0} \right\}$. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \left[ {\frac{1}{{x + 1}}.\frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{x}} \right] = + \infty $. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} \frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} \left[ {\frac{1}{{x + 1}}.\frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{x}} \right] = – \infty $. Do đó đường $x = – 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}} = \frac{1}{4}$. Do đó đường $x = 0$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Vậy đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng là đường $x = – 1$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Nghiệm mẫu ${x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = – 1.$ Thay nghiệm mẫu lên tử: $x = 0$ là nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 4} – 2 = 0.$ Nên đường thẳng $x = 0$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Vậy đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng là $x = – 1$. Có thể dùng Casio kiển tra nhanh. |
|
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Dạng 02: Nhận dạng BBT, nhận dạng hàm số
Câu 1: Đường thẳng $y = \frac{1}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A. $y = \frac{{3x + 1}}{{x – 3}}$ B. $y = \frac{{x + 1}}{{3x – 3}}$ C. $y = \frac{{2x + 1}}{{3x – 1}}$ D. $y = \frac{{ – x + 1}}{{3x – 1}}$
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$và có bảng biến thiên như sau: 
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 1.$ B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. D. Hàm số không có đạo hàm tại $x = – 1.$
Câu 3: Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây?
A. $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$. B. $y = \frac{{3x – 4}}{{x – 2}}$. C. $y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$. D. $y = \frac{{ – x + 1}}{{ – 2x + 1}}$.
Câu 4: Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $4$. B. $2$. C. $1$ D. $3$
Câu 5: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ phù hợp với bảng biến thiên bên dưới. Tổng số đường tiệm cận là:
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.
Câu 6: Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ có tiệm cận đứng là
A. $x = 1$. B. $y = – 1$. C. $x = – 1$. D. $y = 2$.
Câu 7: Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{ – x + 2}}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng
A. $y = 2.$ B. $y = -2.$ C. $y = -1.$ D. $y = 3.$
Câu 8: Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số $y = \frac{{2x – 4}}{{x – 3}}$. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.
A. $\left( C \right)$ có đúng $1$ tiệm cận ngang. B. $\left( C \right)$ có đúng $1$ trục đối xứng.
C. $\left( C \right)$ có đúng $1$ tâm đối xứng. D. $\left( C \right)$ có đúng $1$ tiệm cận đứng.
Câu 9: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 2025}}{{x + 5}}$ là :
A. $y = – 5$ . B. $y = -1001$ . C. $y = – 405$ . D. $y = 5$ .
Câu 10: Cho hàm số $y = \frac{{4x – 1}}{{x – 2}}$. Tìm khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 4$.
C. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
D. Giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm $M\left( {4;2} \right)$.
Câu 11: Cho hàm số$y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
A. Đường thẳng $y = 1$. B. Đường thẳng $x = 1$.
C. Đường thẳng $y = 2$. D. Đường thẳng $x = 2$.
Câu 12: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$.
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là
A. $x = 1$. B. $x = 2$. C. $y = 1$. D. $y = 2$.
Câu 13: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình là
A. không tồn tại tiệm cận đứng. B. $x = – 2$.
C. $x = 1$. D. $x = – 2$ và $x = 1$.
Câu 14: Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 2022}}{{2 + x}}$ có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt là các cặp đường nào sao đây?
A. $y = – \frac{1}{2};x = 1$. B. $y = – 1;x = 1$. C. $y = 2;x = – 2$. D. $y = 1,x = – \frac{1}{2}$.
Câu 15: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?
A. $y = \frac{1}{{{x^4} + 1}}$. B. $y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}$. C. $y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}$. D. $y = \frac{1}{{\sqrt x }}$.
Câu 16: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 2}}$ có phương trình là:
A. $x = 1$; $y = – 2$. B. $x = – 2$; $y = 1$. C. $x = 2$; $y = 1$. D. $x = 1$; $y = 1$.
Câu 17: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 1}}$ có phương trình lần lượt là:
A. $y = 1;\,y = – 2$ . B. $x = 1;\,y = – 2$. C. $x = 1;\,x = – 2$ . D. $x = 1;\,y = 2$
Câu 18: Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2 – 2x}}{{x + 1}}$
A. $y = – 2$ B. $x = – 1$ C. $x = – 2$ D. $y = 2$
Câu 19: Đồ thị hàm số $\left( C \right):\,y = \frac{{2x – 1}}{{2x + 3}}$ có mấy đường tiệm cận
A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $0$
Câu 20: Cho hàm số $y = \frac{{3 – x}}{{x – 1}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 3$ và tiệm cận ngang là $y = 1$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = – 1$.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = – 1$ và tiệm cận ngang là $y = 1$.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = 3$.
Câu 21: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – x + 2}}{{2 + x}}$ là
A. $x = – 1$. B. $x = – 2$. C. $y = – 1$. D. $y = 2$.
Câu 22: Cho hàm số $y = \frac{{3x + 1}}{{2x – 1}}$. Khẳng định nào sau đây khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $y = \frac{3}{2}$. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \frac{3}{2}$.
Câu 23: Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 2x – 3}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{2}$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$.
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x = – 1$ và $x = 3.$.
Câu 24: Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\,$. Đồ thị hàm số có phương trình đường tiệm cận ngang là
A. $x + 2 = 0$ B. $y = 1;x = – 2\,$ C. $y = 1\,$ D. $y = – 2\,$
Câu 25: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{\sqrt {2 – x – {x^2}} }}$ là
A. $0$. B. $2$. C. $3$ D. $1$.
Câu 26: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 2}}$ là
A. $x = 2$. B. $y = – 2$. C. $x = – 2$. D. $y = 2$.
Câu 27: Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}},$ khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 0$ và tiệm cận đứng là $x = – 1$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 0$ và không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = – 1$ và không có tiệm cận ngang.
Câu 28: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{9 – 6x}}{{3x + 12}}$
A. $x = – 4;y = 3$. B. $x = – 4;y = – 2$. C. $x = 3;y = – 4$. D. $x = – 2;y = 3$.
Câu 29: Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2x – 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 30: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{3 – x}}$?
A. $y = 2;x = 3$ B. $y = 2;x = – 3$ C. $y = 3;x = – 2$ D. $y = – 2;x = 3$
Câu 31: Đồ thị hàm số $y = \frac{{3x + 2}}{{2x + 3}}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
A. $y = – \frac{3}{2}$. B. $y = \frac{2}{3}$. C. $y = \frac{3}{2}$. D. $y = – \frac{3}{2}$.
Câu 32: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x + 2}}$ là
A. $y = 1$. B. $x = – 2$. C. $x = 1$. D. $y = – 2$.
Câu 33: Cho hàm số $y = \frac{{3x + 1}}{{2x – 1}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là$x = 1$. B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = \frac{3}{2}$. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \frac{3}{2}$.
Câu 34: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $1$. B. $3$. C. $2$. D. $4$.
Câu 35: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau. Hỏi đồ thị hàm số đó có mấy tiệm cận.
A. $3$. B. $1$. C. $4$. D. $2$.
Câu 36: Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là.
A. $x = – 1$ và $y = 2$. B. $x = 1$ và $y = 2$.
C. $x = – 1$ và $y = – 2$. D. $x = 1$ và $y = – 2$.
Câu 37: Cho hàm số $m \ne – 3$ có bảng biến thiên như sau
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có bao nhiêu tiệm cận đứng
A. $x = m$ B. $x = – 3 < 0$ C. $f\left( {\left| x \right|} \right)$ D. $0.$
Câu 38: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biên thiên như sau:
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. ${\rm{Min}}f\left( x \right) = – 2;{\rm{ Max}}f\left( x \right) = 2$.
B. Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$.
D. Hàm số đồng biến trên $\left( {0;2} \right)$.
Câu 39: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ là
A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
Câu 40: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 1}}$.
A. $x = 1$ và $x = – 1$. B. $x = 1$.
C. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng. D. $x = – 1$.
Câu 41: Đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{{x^2} – 1}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?
A. $3$. B. $1$. C. ${\rm{0}}$. D. $2$.
Câu 42: Hàm số $y = {x^4} + 2{x^2} + 2022$ có bao nhiêu điểm cực trị.
A. $0.$ B. $2.$
C. $3.$ D. $1.$
Câu 43: Số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 5}}{{{x^2} + 2x – 15}}$ là
A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $4$.
Câu 44: Đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 6}}{{{x^2} – 1}}$ có mấy đường tiệm cận?
A. Một. B. Ba. C. Hai. D. Không.
Câu 45: Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}$ là
A. $1$. B. $3$. C. $0$. D. $2$.
Câu 46: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}$
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 47: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ là bao nhiêu?
A. $0$. B. $2$. C. $3$. D. $1$.
Câu 48: Đường cong $y = \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 9}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $3$. B. $2$. C. $4$. D. $1$.
Câu 49: Cho hàm số $y = \frac{3}{{x – 2}}$.Số tiệm cận của đồ thị hàm số bằng:
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Câu 50: Đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 4}}$ có mấy đường tiệm cận.
A. $3$. B. $4$. C. $1$. D. $2$.
Câu 51: Số tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{2 – x}}$ là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 52: Đồ thị hàm số nào sau đây có $3$ đường tiệm cận?
A. $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 9}}$. B. $y = \frac{{x + 2}}{{x – 1}}$. C. $y = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 3x + 6}}$. D. $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }}$.
Câu 53: Số tiệm cận của đồ thị của hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ là
A. $2$. B. $1$. C. $3$. D. $0$.
Câu 54: Đồ thị hàm số $y = \frac{{11}}{{x – 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $1$. B. $0$. C. $2$. D. $3$.
Câu 55: Cho hàm số $y = \frac{{2022}}{{x – 2}}$ có đồ thị $\left( H \right)$. Số đường tiệm cận của $\left( H \right)$ là
A. $2$ B. $0$. C. $3$. D. $1$.
Câu 56: Cho hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 2}}$. Hỏi tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là bao nhiêu?
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Câu 57: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số: $y = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} – 4}}$ là:
A. $1$. B. $4$. C. $2$. D. $3$.
Câu 58: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang?
A. $y = \sqrt {{x^2} – 1} $. B. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. C. $y = \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – x – 2}}$. D. $y = x – \sqrt {{x^2} + 1} $.
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1.B | 2.B | 3.A | 4.C | 5.B | 6.C | 7.B | 8.B | 9.D | 10.D |
| 11.B | 12.A | 13.B | 14.C | 15.D | 16.B | 17.B | 18.A | 19.B | 20.B |
| 21.B | 22.D | 23.A | 24.C | 25.D | 26.B | 27.B | 28.B | 29.A | 30.D |
| 31.C | 32.B | 33.D | 34.B | 35.D | 36.A | 37.B | 38.C | 39.A | 40.C |
| 41.D | 42.D | 43.B | 44.B | 45.D | 46.A | 47.B | 48.A | 49.C | 50.D |
| 51.C | 52.A | 53.A | 54.C | 55.A | 56.B | 57.D | 58.A |
Hướng dẫn giải
Dạng 02: Nhận dạng BBT, nhận dạng hàm số
Câu 1: Đường thẳng $y = \frac{1}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A. $y = \frac{{3x + 1}}{{x – 3}}$ B. $y = \frac{{x + 1}}{{3x – 3}}$ C. $y = \frac{{2x + 1}}{{3x – 1}}$ D. $y = \frac{{ – x + 1}}{{3x – 1}}$
Lời giải
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{3x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{3 – \frac{3}{x}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow $ Đường thẳng $y = \frac{1}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$và có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 1.$ B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. D. Hàm số không có đạo hàm tại $x = – 1.$
Lời giải
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} y = + \infty $ nên hàm số có tiệm cận đứng $x = – 1.$
Câu 3: Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây?
A. $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$. B. $y = \frac{{3x – 4}}{{x – 2}}$. C. $y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$. D. $y = \frac{{ – x + 1}}{{ – 2x + 1}}$.
Lời giải
Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{a}{c}$.
Dạng 03: Tìm đường tiệm cận
Câu 4: Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $4$. B. $2$. C. $1$ D. $3$
Lời giải
Từ BBT suy ra đồ thị có 1 đường tiệm cận ngang $y = 2$.
Câu 5: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ phù hợp với bảng biến thiên bên dưới. Tổng số đường tiệm cận là:
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = – 3$ nên ta có TCN: $y = – 3$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f\left( x \right) = + \infty $ nên ta có TCĐ: $x = – 1$
Câu 6: Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ có tiệm cận đứng là
A. $x = 1$. B. $y = – 1$. C. $x = – 1$. D. $y = 2$.
Lời giải
Câu 7: Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{ – x + 2}}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng
A. $y = 2.$ B. $y = -2.$ C. $y = -1.$ D. $y = 3.$
Lời giải
Ta có , $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 3}}{{ – x + 2}} = \frac{2}{{ – 1}} = – 2$.
Do đó $y = – 2$ là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
Câu 8: Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số $y = \frac{{2x – 4}}{{x – 3}}$. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.
A. $\left( C \right)$ có đúng $1$ tiệm cận ngang. B. $\left( C \right)$ có đúng $1$ trục đối xứng.
C. $\left( C \right)$ có đúng $1$ tâm đối xứng. D. $\left( C \right)$ có đúng $1$ tiệm cận đứng.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} y = – \infty $ $ \Rightarrow x = 3$ là tiệm cận đứng của $\left( C \right)$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2$ $ \Rightarrow y = 2$ là tiệm cận ngang của $\left( C \right)$.
Khi đó đồ thị $\left( C \right)$ nhận điểm $I\left( {3;\,2} \right)$ làm tâm đối xứng.
Do đó B sai.
Câu 9: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 2025}}{{x + 5}}$ là :
A. $y = – 5$ . B. $y = -1001$ . C. $y = – 405$ . D. $y = 5$ .
Lời giải
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x – 2022}}{{x + 5}} = \frac{2}{1} = 2$ Suy ra, đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Câu 10: Cho hàm số $y = \frac{{4x – 1}}{{x – 2}}$. Tìm khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 4$.
C. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
D. Giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm $M\left( {4;2} \right)$.
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$ và tiệm cận ngang $y = 4$.
Do đó giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm $M\left( {2;4} \right)$.
Câu 11: Cho hàm số$y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
A. Đường thẳng $y = 1$. B. Đường thẳng $x = 1$.
C. Đường thẳng $y = 2$. D. Đường thẳng $x = 2$.
Lời giải
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = + \infty $.
Vậy $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 12: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$.
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là
A. $x = 1$. B. $x = 2$. C. $y = 1$. D. $y = 2$.
Lời giải
Quan sát hình vẽ dễ dàng ta thấy đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng.
Câu 13: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:
.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình là
A. không tồn tại tiệm cận đứng. B. $x = – 2$.
C. $x = 1$. D. $x = – 2$ và $x = 1$.
Lời giải
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} y = + \infty $ nên $x = – 2$ là đường tiệm cận đứng.
Dạng 04: Tìm đường tiệm cận
Câu 14: Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 2022}}{{2 + x}}$ có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt là các cặp đường nào sao đây?
A. $y = – \frac{1}{2};x = 1$. B. $y = – 1;x = 1$. C. $y = 2;x = – 2$. D. $y = 1,x = – \frac{1}{2}$.
Lời giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x – 2022}}{{2 + x}} = \frac{2}{1} = 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x – 2022}}{{2 + x}} = \frac{2}{1} = 2$ $ \Rightarrow y = 2$ là tiệm cận ngang.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \frac{{2x – 2022}}{{2 + x}} = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{{2x – 2022}}{{2 + x}} = + \infty $$ \Rightarrow x = – 2$ là tiệm cận đứng.
Câu 15: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?
A. $y = \frac{1}{{{x^4} + 1}}$. B. $y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}$. C. $y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}$. D. $y = \frac{1}{{\sqrt x }}$.
Lời giải
Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt x }}$ có tiệm cận đứng là $x = 0$.
Đồ thị các hàm số ở các đáp án $B,C,D$ đều không có tiệm cận đứng do mẫu vô nghiệm.
Câu 16: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 2}}$ có phương trình là:
A. $x = 1$; $y = – 2$. B. $x = – 2$; $y = 1$. C. $x = 2$; $y = 1$. D. $x = 1$; $y = 1$.
Lời giải
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x – 1}}{{x + 2}} = 1$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = 1$ làm tiệm cận ngang.
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \frac{{x – 1}}{{x + 2}} = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{{x – 1}}{{x + 2}} = + \infty $ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = – 2$ làm tiệm cận đứng.
Câu 17: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 1}}$ có phương trình lần lượt là:
A. $y = 1;\,y = – 2$ . B. $x = 1;\,y = – 2$. C. $x = 1;\,x = – 2$ . D. $x = 1;\,y = 2$
Lời giải
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 2 – \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{1}{x}}} = – 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 2 – \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{1}{x}}} = – 2$.
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = – 2$.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 1}} = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 1}} = + \infty $.
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $x = 1$.
Câu 18: Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2 – 2x}}{{x + 1}}$
A. $y = – 2$ B. $x = – 1$ C. $x = – 2$ D. $y = 2$
Lời giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = – 2 \Rightarrow $Tiệm cận ngang của hàm số là: $y = – 2$
Câu 19: Đồ thị hàm số $\left( C \right):\,y = \frac{{2x – 1}}{{2x + 3}}$ có mấy đường tiệm cận
A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $0$
Lời giải
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 1$.
Và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{3}{2}} \right)}^ + }} y = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{3}{2}} \right)}^ – }} y = + \infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là$x = – \frac{3}{2}$.
Câu 20: Cho hàm số $y = \frac{{3 – x}}{{x – 1}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 3$ và tiệm cận ngang là $y = 1$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = – 1$.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = – 1$ và tiệm cận ngang là $y = 1$.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = 3$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 – x}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{3}{x} – 1}}{{1 – \frac{1}{x}}} = – 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3 – x}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\frac{3}{x} – 1}}{{1 – \frac{1}{x}}} = – 1$.
Do đó hàm số có tiệm cận ngang là $y = – 1$.
Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3 – x}}{{x – 1}} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{3 – x}}{{x – 1}} = – \infty $.
Do đó hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$.
Câu 21: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – x + 2}}{{2 + x}}$ là
A. $x = – 1$. B. $x = – 2$. C. $y = – 1$. D. $y = 2$.
Lời giải
Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad – bc \ne 0} \right)$ có tiệm cận đứng là $x = \frac{{ – d}}{c}$, tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$.
Suy ra đồ thị hàm số $y = \frac{{ – x + 2}}{{2 + x}}$ có tiệm cận ngang là $y = – 1.$.
Câu 22: Cho hàm số $y = \frac{{3x + 1}}{{2x – 1}}$. Khẳng định nào sau đây khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $y = \frac{3}{2}$. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \frac{3}{2}$.
Lời giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3x + 1}}{{2x – 1}} = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 23: Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 2x – 3}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{2}$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$.
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x = – 1$ và $x = 3.$.
Câu 24: Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\,$. Đồ thị hàm số có phương trình đường tiệm cận ngang là
A. $x + 2 = 0$ B. $y = 1;x = – 2\,$ C. $y = 1\,$ D. $y = – 2\,$
Lời giải
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = 1$ vậy đồ thị có phương trình tiệm cận ngang là $y = 1$
Câu 25: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{\sqrt {2 – x – {x^2}} }}$ là
A. $0$. B. $2$. C. $3$ D. $1$.
Lời giải
Tập xác định hàm số $D = \left( {1;\,2} \right)$.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang do $x \in \left( {1;\,2} \right)$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = + \infty $ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 2$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 1}}{{\sqrt {2 – x – {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\frac{{x – 1}}{{2 – x}}} = 0$.
Vậy đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng.
Câu 26: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 2}}$ là
A. $x = 2$. B. $y = – 2$. C. $x = – 2$. D. $y = 2$.
Lời giải
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 2}} = – 2$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 2}} = – 2$.
Do đó $y = – 2$ là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 2x – 1}}{{x – 2}}$.
Câu 27: Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}},$ khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 0$ và tiệm cận đứng là $x = – 1$.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 0$ và không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = – 1$ và không có tiệm cận ngang.
Lời giải
ĐK: $x \ge 0$.
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 0$$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 0$ và không có tiệm cận đứng.
Câu 27: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{9 – 6x}}{{3x + 12}}$
A. $x = – 4;y = 3$. B. $x = – 4;y = – 2$. C. $x = 3;y = – 4$. D. $x = – 2;y = 3$.
Lời giải
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{9 – 6x}}{{3x + 12}} = – 2 \Rightarrow y = – 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 4} \right)}^ + }} \frac{{9 – 6x}}{{3x + 12}} = + \infty \Rightarrow x = – 4$là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 28: Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2x – 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Lời giải
+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 0$ nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y = 0$.
+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} y = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} y = – \infty $nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và $x = – 3$.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Câu 29: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{3 – x}}$?
A. $y = 2;x = 3$ B. $y = 2;x = – 3$ C. $y = 3;x = – 2$ D. $y = – 2;x = 3$
Lời giải
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x – 1}}{{3 – x}} = – 2$$ \Rightarrow y = – 2$ là tiệm cận ngang.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{2x – 1}}{{3 – x}} = + \infty $ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x – 1}}{{3 – x}} = – \infty $$ \Rightarrow x = 3$ là tiệm cận đứng.
Câu 30: Đồ thị hàm số $y = \frac{{3x + 2}}{{2x + 3}}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
A. $y = – \frac{3}{2}$. B. $y = \frac{2}{3}$. C. $y = \frac{3}{2}$. D. $y = – \frac{3}{2}$.
Lời giải
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x + 2}}{{2x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3 + \frac{2}{x}}}{{2 + \frac{3}{x}}} = \frac{3}{2}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang: $y = \frac{3}{2}$.
Câu 31: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x + 2}}$ là
A. $y = 1$. B. $x = – 2$. C. $x = 1$. D. $y = – 2$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}$.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} y = + \infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = – 2$.
Câu 32: Cho hàm số $y = \frac{{3x + 1}}{{2x – 1}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là$x = 1$. B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = \frac{3}{2}$. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \frac{3}{2}$.
Lời giải
Tiệm cận ngang $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x + 1}}{{2x – 1}} = \frac{3}{2}$.
Dạng 05: Đếm số tiệm cận
Câu 33: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $1$. B. $3$. C. $2$. D. $4$.
Lời giải
Từ bảng biến thiên ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0 \Rightarrow y = 0$là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} f\left( x \right) = – \infty \Rightarrow x = – 2$là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = + \infty \Rightarrow x = 0$là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Câu 34: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau. Hỏi đồ thị hàm số đó có mấy tiệm cận.
.
A. $3$. B. $1$. C. $4$. D. $2$.
Lời giải
Ta có.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2$ là tiệm cận ngang.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – 2 \Rightarrow y = – 2$ là tiệm cận ngang.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = – \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \Rightarrow x = 2$ lả tiệm cận đứng.
Câu 35: Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị lần lượt là.
A. $x = – 1$ và $y = 2$. B. $x = 1$ và $y = 2$.
C. $x = – 1$ và $y = – 2$. D. $x = 1$ và $y = – 2$.
Lời giải
.
Nhìn vào đồ thị ta suy ra ngay tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là các đường thẳng $x = – 1;y = 2$.
Câu 36: Cho hàm số $m \ne – 3$ có bảng biến thiên như sau
Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có bao nhiêu tiệm cận đứng
A. $x = m$ B. $x = – 3 < 0$ C. $f\left( {\left| x \right|} \right)$ D. $0.$
Lời giải
Ta thấy $f\left( x \right)$ có $ \Leftrightarrow m > 0$ nghiệm $ \Rightarrow $ đồ thị hàm số $m \in \left[ { – 5;5} \right]$ có $3$ tiệm cận đứng.
Câu 37: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biên thiên như sau:
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. ${\rm{Min}}f\left( x \right) = – 2;{\rm{ Max}}f\left( x \right) = 2$.
B. Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$.
D. Hàm số đồng biến trên $\left( {0;2} \right)$.
Lời giải
B. Sai vì Hàm số đồng biến trên $\left( {0;1} \right)$và $\left( {1;2} \right)$.
C. Sai vì ${f_{CT}}\left( x \right) = – 2;{f_{C{\rm{D}}}}\left( x \right) = 2$.
D. Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;0} \right)$và $\left( {2; + \infty } \right)$.
Dạng 06: Đếm số tiệm cận
Câu 38: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ là
A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
Lời giải
${x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(tm)\\x = 2(tm)\end{array} \right.$
$ \Rightarrow x = 1,x = 2$là TCĐ
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x – 1}}{{{x^2} – 3x + 2}} = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x – 1}}{{{x^2} – 3x + 2}} = 0$
$ \Rightarrow y = 0$là TCN
Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ có ba đường tiệm cận.
Câu 39: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 1}}$.
A. $x = 1$ và $x = – 1$. B. $x = 1$.
C. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng. D. $x = – 1$.
Lời giải
TXĐ: $D = \mathbb{R}$ suy ra đồ thị hàm số không TCĐ.
Câu 40: Đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{{x^2} – 1}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?
A. $3$. B. $1$. C. ${\rm{0}}$. D. $2$.
Lời giải
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 3}}{{{x^2} – 1}} = + \infty $ nên $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Ngoài ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{2x + 3}}{{{x^2} – 1}} = – \infty $ nên $x = – 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
Câu 41: Hàm số $y = {x^4} + 2{x^2} + 2022$ có bao nhiêu điểm cực trị.
A. $0.$ B. $2.$
C. $3.$ D. $1.$
Lời giải
Hàm số đã cho là hàm bậc 4 trùng phương có các hệ số của ${x^4}$ và ${x^2}$ cùng dấu nên hàm số có 1 điểm cực trị.
Câu 42: Số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 5}}{{{x^2} + 2x – 15}}$ là
A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $4$.
Lời giải
Vì hàm số có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 0$.
Giải phương trình ${x^2} + 2x – 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = – 5\end{array} \right.$.
Hai giá trị này đều không làm cho tử bằng không nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Câu 43: Đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 6}}{{{x^2} – 1}}$ có mấy đường tiệm cận?
A. Một. B. Ba. C. Hai. D. Không.
Lời giải
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x – 6}}{{{x^2} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\frac{1}{x} – \frac{6}{{{x^2}}}}}{{1 – \frac{1}{{{x^2}}}}} = 0$.
Suy ra đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 6}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x – 6}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = + \infty $.
Suy ra đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{x – 6}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \frac{{x – 6}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = – \infty $.
Suy ra đường thẳng $x = – 1$ là tiệm cận đứng.
Thực ra ta có thể làm nhanh như sau: Mẫu số bằng 0 khi $x = \pm 1$nên $x = \pm 1$ là hai tiệm cận đứng, kết hợp với $y = 0$ là tiệm cận ngang ta suy ra đồ thị hàm số có ba tiệm cận.
Câu 44: Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}$ là
A. $1$. B. $3$. C. $0$. D. $2$.
Lời giải
Đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}$ có một tiệm cận đứng $x = 1$và một tiệm cận ngang $y = 1$.
Câu 45: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}$
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Lời giải
Ta có TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty \Rightarrow x = 0$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{1} = 1 \Rightarrow y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{1} = – 1 \Rightarrow y = – 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Câu 46: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ là bao nhiêu?
A. $0$. B. $2$. C. $3$. D. $1$.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {\mkern 1mu} y = + \infty $ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 0$ là tiệm cận đứng.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {\mkern 1mu} y = 0$ nên đồ thị nhận đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.
Câu 47: Đường cong $y = \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 9}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $3$. B. $2$. C. $4$. D. $1$.
Lời giải
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng: $x = \pm 3$.
Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang: $y = 0$.
Câu 48: Cho hàm số $y = \frac{3}{{x – 2}}$.Số tiệm cận của đồ thị hàm số bằng:
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Câu 49: Đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 4}}$ có mấy đường tiệm cận.
A. $3$. B. $4$. C. $1$. D. $2$.
Lời giải
Ta có $y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} – 4}} = \frac{x}{{x – 2}}$. Có TCN $y = 1$, TCĐ $x = 2$.
Câu 50: Số tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{2 – x}}$ là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 51: Đồ thị hàm số nào sau đây có $3$ đường tiệm cận?
A. $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 9}}$. B. $y = \frac{{x + 2}}{{x – 1}}$. C. $y = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 3x + 6}}$. D. $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }}$.
Lời giải
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 9}} = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 9}} = + \infty $ nên $x = 3$, $x = – 3$là tiện cận đứng
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}.\frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{9}{{{x^2}}}}} = 0$ nên $y = 0$ là tiệm cận ngang.
Vậy hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 9}}$ có ba tiệm cận.
Câu 52: Số tiệm cận của đồ thị của hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ là
A. $2$. B. $1$. C. $3$. D. $0$.
Lời giải
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{1}{x}}} = 2$;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{1}{x}}}$$ = 2$ nên đường thẳng $y = 2$ là đường tiệm cận ngang.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = + \infty $ nên đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng.
Câu 53: Đồ thị hàm số $y = \frac{{11}}{{x – 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $1$. B. $0$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{11}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{11}}{{x – 3}} = 0$. Vậy đường $y = 0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{11}}{{x – 3}} = – \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{11}}{{x – 3}} = + \infty $. Vậy đường $x = 3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Suy ra đồ thị hàm số $y = \frac{{11}}{{x – 3}}$ có hai đường tiệm cận.
Câu 54: Cho hàm số $y = \frac{{2022}}{{x – 2}}$ có đồ thị $\left( H \right)$. Số đường tiệm cận của $\left( H \right)$ là
A. $2$ B. $0$. C. $3$. D. $1$.
$D = \left( { – \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0$$ \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của $\left( H \right)$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = – \infty $;$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty $$ \Rightarrow x = 2$ là tiệm cận đứng của $\left( H \right)$.
Vậy $\left( H \right)$ có hai đường tiệm cận.
Câu 55: Cho hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 2}}$. Hỏi tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là bao nhiêu?
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Câu 56: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số: $y = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} – 4}}$ là:
A. $1$. B. $4$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Đồ thị hàm số $y = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} – 4}}$có hai tiệm cận đứng là $x = \pm 2$ và một tiệm cận ngang $y = 0$.
Do đó số tiệm cận của đồ thị hàm số là $3$.
Câu 57: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang?
A. $y = \sqrt {{x^2} – 1} $. B. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. C. $y = \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – x – 2}}$. D. $y = x – \sqrt {{x^2} + 1} $.
Lời giải
$\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, + \,\infty } \sqrt {{x^2} – 1} $ $ = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, + \,\infty } x\sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, – \,\infty } \sqrt {{x^2} – 1} $ $ = \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, – \,\infty } \left( { – x\sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty $.
Vậy đồ thị hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 1} $ không có tiệm cận ngang.
