Chuyên đề tìm mô đun của số phức theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 34 của đề tham khảo môn Toán.
DẠNG TOÁN TÌM MÔ ĐUN SỐ PHỨC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức bất kì $z = \left( {a;b} \right)$ được biểu diễn duy nhất dạng $z = a + bi$, $a;b \in \mathbb{R}$, trong đó ${i^2} = – 1$
Biểu diễn $a + bi$ gọi là dạng đại số của số phức $z = \left( {a;b} \right)$. Do đó:$\mathbb{C} = \left\{ {\left. {a + bi} \right|a \in \mathbb{R},b \in \mathbb{R},{i^2} = – 1} \right\}$.
$a = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)$: phần thực của $z$, $b = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right)$: phần ảo của $z$. Đơn vị ảo là $i$.
Số phức bất kì $z = \left( {a;b} \right)$ được biểu diễn duy nhất dạng $z = a + bi$, $a;b \in \mathbb{R}$, trong đó ${i^2} = – 1$
Lũy thừa đơn vị ảo $i$:
${i^0} = 1$, ${i^1} = i$, ${i^2} = – 1$, ${i^3} = {i^2}.i = – i$…, bằng quy nạp ta được:
Lưu ý :${i^{4n}} = 1$, ${i^{4n + 1}} = i$, ${i^{4n + 2}} = – 1$, ${i^{4n + 3}} = – i$, $\forall n \in {\mathbb{N}^ * }$Do đó: ${i^n} \in \left\{ { – 1;1; – i;i} \right\},\forall n \in \mathbb{N}$
Số phức liên hợp:
Cho $z = a + bi$, số phức $\overline z = a – bi$ gọi là số phức liên hợp của $z$
$z = \overline z \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}$.
Số phức liên hợp: Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp là $\overline z = a + bi$ .
Mô đun số phức: $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Biểu diễn hình học của số phức: Điểm biểu diễn số phức $z = a + bi$ trên mặt phẳng tọa độ là $M\left( {a;b} \right)$ .
Gọi $M\left( z \right),{\rm{ }}{M_1}\left( {\overline z } \right),{\rm{ }}{M_2}\left( { – z} \right)$. Khi đó: ${M_1}$ đối xứng với $M$ qua $Ox$; ${M_2}$ đối xứng với $M$ qua $O$.
Gọi $\overrightarrow u ,{\rm{ }}\overrightarrow v $ lần lượt là biểu diễn của hai số phức ${z_1},{\rm{ }}{z_2}$. Khi đó: $\overrightarrow u \pm \overrightarrow v $ là biểu diễn của ${z_1} \pm {z_2}$.
Cho: $A$ là điểm biểu diễn của ${z_1}$ và $B$ là điểm biểu diễn của ${z_2}$
Khi đó: $\overrightarrow {AB} $ là biểu diễn của ${z_2} – {z_1}$ và $AB = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|$.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Cho số phức $z = 3 + 4i$. Môđun của số phức $\left( {1 + i} \right)z$ bằng
A. $50$. B. $10$. C. $\sqrt {10} $. D. $5\sqrt 2 $.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm môđun của số phức.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính giá trị của biểu thức số phức
B2: Tính môđun của số phức
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
$\left( {1 + i} \right)z = \left( {1 + i} \right)\left( {3 + 4i} \right)$$ = – 1 + 7i$
$\left| { – 1 + 7i} \right| = \sqrt {1 + {7^2}} = 50$
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Cho hai số phức $z = 2 + i$ và $w = 3 – 2i$. Tính modul của số phức $z.w$.
A. $65$. B. $\sqrt {65} $. C. $\sqrt 5 $. D. $\sqrt {63} $.
Lời giải
Chọn B
$z.w = \left( {2 + i} \right)\left( {3 – 2i} \right) = 8 – i$
$\left| {z.w} \right| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} $
Câu 2. Cho hai số phức $z = 5i$. Tính modul của số phức $\left( {1 + i} \right).z$.
A. $\sqrt 2 $. B. $5$. C. $5\sqrt 2 $. D. $4$.
Lời giải
Chọn C
$\left( {1 + i} \right).z = \left( {1 + i} \right).5i = – 5 + 5i$
$\left| {\left( {1 + i} \right).5i} \right| = \left| { – 5 + 5i} \right| = \sqrt {{{\left( { – 5} \right)}^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 $
Mức độ 2
Câu 1. Cho hai điểm $M\left( {2; – 1} \right)$ và $N\left( {3;1} \right)$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${z_1}$ và ${z_2}$. Tìm phần thực $a$của số phức $w = {z_1}.{z_2}$.
A. $a = 7$. B. $a = – 1$. C. $a = – 7$. D. $a = 2$.
Lời giải
Chọn A
${z_1} = 2 – i$, ${z_2} = 3 + i$
$w = {z_1}.{z_2} = \left( {2 – i} \right)\left( {3 + i} \right) = 7 – i$
Phần thực của $w$ là $a = 7$
Câu 2. Cho số phức $z = 3 + 4i$. Số phức $w = z + \bar z.i$ là
A. $w = 2 + 4i$. B. $w = 10 + 4i$. C. $w = – 1 + 7i$. D. $w = 7 + 7i$.
Lời giải:
Chọn D
$w = 3 + 4i + \left( {3 – 4i} \right).i = 7 + 7i$
Câu 3. Cho hai số phức ${z_1} = 3 – 2i$, ${z_2} = x + 1 + yi$ với $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$. Tìm cặp $z + 1 – 3i = x + 1 + \left( {y – 3} \right)i$ để $\left| {z + 1 – 3i} \right| \le 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 3} \right)}^2}} \le 4 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} \le 16$.
A. $\left( {x;y} \right) = \left( {5;4} \right)$. B. $\left( {x;y} \right) = \left( {4;5} \right)$. C. $\left( {x;y} \right) = \left( {5; – 4} \right)$. D. $\left( {x;y} \right) = \left( { – 4;5} \right)$.
Lời giải
Chọn A
$2{\bar z_1} = 2\left( {3 + 2i} \right) = 6 + 4i$
${z_2} = 2{\bar z_1} \Leftrightarrow x + 1 + yi = 6 + 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 6\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\end{array} \right.$.
Câu 5. Biết số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + 1} \right)z – 3 = 4i$ có phần thực được viết dưới dạng $\frac{a}{b}$, với $a,b$là những số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân thức tối giản. Tính $T = a + b$.
A. $T = 9$. B. $T = 1$. C. $T = 3$. D. $T = – 9$.
Lời giải
Chọn A
$\left( {1 + 1} \right)z – 3 = 4i \Leftrightarrow z = \frac{{3 + 4i}}{{1 + i}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2}i$
Suy ra phần thực của số phức $z$ là $\frac{a}{b} = \frac{7}{2} \Rightarrow a = 7,b = 2 \Rightarrow T = a + b = 9$.
Vậy đáp án là A.
Câu 6. Cho số phức $z = a + bi,a,b \in \mathbb{R}$. Tìm điều kiện của $a,b$ để số phức $w = \left( {2 – 3i} \right)\bar z$ là số thuần ảo.
A. $b \ne 0$. B. $\left\{ \begin{array}{l}2a = 3b\\b \ne 0\end{array} \right.$. C. $2a = 3b$. D. $\left\{ \begin{array}{l}3a = 2b\\b \ne 0\end{array} \right.$.
Lời giải
Chọn B
$w = \left( {2 – 3i} \right)\bar z = \left( {2 – 3i} \right)\left( {a – bi} \right) = \left( {2a – 3b} \right) + \left( { – 3a – 2b} \right)i$
Để số phức $w = \left( {2 – 3i} \right)\bar z$ là số thuần ảo thì $\left\{ \begin{array}{l}2a – 3b = 0\\ – 3a – 2b \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3b\\b \ne 0\end{array} \right.$
Vậy đáp án là B
Câu 7. Cho số phức $z = 2 – 3i$. Tìm phần ảo của số phức nghịch đảo của số phức $z$.
A. $\frac{2}{{13}}$. B. $ – 3$. C. $\frac{3}{{13}}$. D. $2$.
Lời giải
Chọn C
số phức nghịch đảo của số phức $z$là $\frac{1}{z} = \frac{1}{{2 – 3i}} = \frac{2}{{13}} + \frac{3}{{13}}i$.
phần ảo của số phức nghịch đảo của số phức $z$là $\frac{3}{{13}}$.
Vậy đáp án là C
Câu 8. Tính môdul của số phức $z$ thỏa mãn $\left( {2 + i} \right)\left( {1 – 3i} \right) + \bar z = 5 – i$
A. $\left| z \right| = – 2$. B. $\left| z \right| = 2$. C. $\left| z \right| = – 4$. D. $\left| z \right| = 4$.
Lời giải
Chọn D
$\left( {2 + i} \right)\left( {1 – 3i} \right) + \bar z = 5 – i \Leftrightarrow \bar z = 5 – i – \left( {2 + i} \right)\left( {1 – 3i} \right) = 4i$
$\left| z \right| = \left| {\bar z} \right| = 4$
Vậy đáp án là D
Câu 9. Cho hai số phức $z$thỏa mãn $\left( {2 + i} \right)z + 4i = \left( {3 – i} \right)z + 5$. Tìm $\bar z$.
A. $\bar z = – \frac{{13}}{5} + \frac{6}{5}i$. B. $\bar z = \frac{{13}}{5} – \frac{6}{5}i$. C. $\bar z = – \frac{{13}}{5} – \frac{6}{5}i$. D. $\bar z = \frac{{13}}{5} + \frac{6}{5}i$.
Lời giải
Chọn A
$\left( {2 + i} \right)z + 4i = \left( {3 – i} \right)z + 5 \Leftrightarrow \left( { – 1 + 2i} \right)z = 5 – 4i \Leftrightarrow z = \frac{{5 – 4i}}{{ – 1 + 2i}} = – \frac{{13}}{5} – \frac{6}{5}i$
Suy ra $\bar z = – \frac{{13}}{5} + \frac{6}{5}i$
Vậy đáp án là A.
Mức độ 3
Câu 1. Cho hai số phức ${z_1}$, ${z_2}$ thay đổi, luôn thỏa mãn $\left| {{z_1} – 1 – 2i} \right| = 1$ và $\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${P_{\min }}$ của biểu thức $P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|$.
A. ${P_{\min }} = 2$. B. ${P_{\min }} = 1$. C. ${P_{\min }} = 5$. D. ${P_{\min }} = 3$.
Lời giải:
Chọn A
Gọi $A$, $B$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức ${z_1}$, ${z_2}$. Khi đó $P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = AB$.
Ta có $A$ thuộc đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1\,;\,2} \right)$, bán kính ${R_1} = 1$ và $B$ thuộc đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( {5\,;\, – 1} \right)$, bán kính ${R_2} = 2$.
${I_1}{I_2} = \sqrt {{4^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = 5 > {R_1} + {R_2} = 3$ nên hai đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ ở ngoài nhau.
Vậy ${P_{\min }} = {I_1}{I_2} – {R_1} – {R_2}$$ = 5 – 1 – 2 = 2$.
Câu 2. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 $. Tìm giá trị lớn nhất của $T = \left| {z + 4 – i} \right| + \left| {z – 2 + i} \right|$.
A. $2\sqrt {26} $. B. $2\sqrt {46} $. C. $2\sqrt {13} $. D. $2\sqrt {23} $.
Lời giải
Chọn C
Giả sử $z = x + yi$ có điểm biểu diễn là $M\left( {x\,;\,y} \right)$.
Ta có $\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow $ ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3$.
Suy ra tập hợp các điểm $M$ là đường tròn có tâm $I\left( { – 1\,;\,0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 3 $.
Gọi $A\left( { – 4\,;\,1} \right)$, $B\left( {2\,;\, – 1} \right)$. Khi đó ta thấy $I$ là trung điểm của đoạn $AB$.
Xét tam giác $MAB$ có có $M{I^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} – \frac{{A{B^2}}}{4} \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}$.
Do đó $T = \left| {z + 4 – i} \right| + \left| {z – 2 + i} \right| = MA + MB$.
Suy ra ${T^2} = {\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 2\left( {2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}} \right)$
$ \Leftrightarrow $ ${T^2} \le 2\left( {2{R^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}} \right) = 52$ $ \Leftrightarrow $ $T \le 2\sqrt {13} $.
Vậy giá trị lớn nhất của $T$ bằng $2\sqrt {13} $ khi $\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\M \in \left( I \right)\end{array} \right.$.
Câu 3. Cho hai số phức ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau $\left| {z – 1} \right| = \sqrt {34} $, $\left| {z + 1 + mi} \right| = \left| {z + m + 2i} \right|$ và sao cho $\left| {{z_1} – {z_2}} \right|$ là lớn nhất. Khi đó giá trị $\left| {{z_1} + {z_2}} \right|$ bằng
A. $\sqrt 2 $. B. $10$. C. $2$. D. $\sqrt {130} $.
Lời giải
Chọn C
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${z_1},{z_2}$
Gọi $z = x + iy,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có $\left| {z – 1} \right| = \sqrt {34} \Rightarrow M,N$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;0} \right)$, bán kính $R = \sqrt {34} $
Mà $\left| {z + 1 + mi} \right| = \left| {z + m + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi + 1 + mi} \right| = \left| {x + yi + m + 2i} \right|$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + m} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + m} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} $
$ \Leftrightarrow 2\left( {m – 1} \right)x + 2\left( {m – 2} \right)y – 3 = 0$
Suy ra $M,N$ thuộc đường thẳng $d:2\left( {m – 1} \right)x + 2\left( {m – 2} \right)y – 3 = 0$
Do đó $M,N$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( C \right)$
Ta có $\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = MN$ nên $\left| {{z_1} – {z_2}} \right|$ lớn nhất khi và chỉ khi $MN$ lớn nhất
$ \Leftrightarrow MN$ đường kính của $\left( C \right)$. Khi đó $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2OI = 2$
Mức độ 4
Câu 1. Cho hai số phức ${z_1}\,,\,{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1} – 2 – i} \right| = 2\sqrt 2 $ và $\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = \left| {\overline {{z_2}} – 7 + i} \right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|$.
A. $\frac{{11\sqrt 2 }}{2}$. B. $\frac{{3\sqrt 2 }}{2}$. C. $2\sqrt 2 $. D. $\frac{{7\sqrt 2 }}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Giả sử số phức ${z_1} = a + bi$$(a,b \in \mathbb{R};\,{i^2} = – 1)$.
$\left| {{z_1} – 2 – i} \right| = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 8$.
Gọi điểm ${M_1}$ biểu diễn số phức ${z_1}$. Suy ra ${M_1}$ thuộc đường tròn tâm $I\left( {2;\,1} \right)$, bán kính $R = 2\sqrt 2 $.
Giả sử số phức ${z_2} = x + yi$$(x,y \in \mathbb{R};\,{i^2} = – 1)$.
$\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = \left| {\overline {{z_2}} – 7 + i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x – 7} \right)^2} + {\left( {1 – y} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow – 10x + 25 + 2y + 1 = – 14x + 49 – 2y + 1 \Leftrightarrow 4x + 4y – 24 = 0 \Leftrightarrow x + y – 6 = 0$.
Điểm ${M_2}\left( {x\,;\,y} \right)$ biểu diễn số phức ${z_2}$. Suy ra ${M_2}$ thuộc đường thẳng ${\Delta _1}:\,x + y – 6 = 0$.
Điểm ${M_3}\left( { – y\,;\,\,x} \right)$ biểu diễn số phức $i{z_2}$. Ta thấy ${M_3}$ là ảnh của điểm ${M_2}$ qua phép quay tâm $O$, góc quay ${90^0}$. Suy ra ${M_3}$ thuộc đường thẳng ${\Delta _2}:\,x – y + 6 = 0$.
Khi đó: $\left| {{z_1} – i{z_2}} \right| = {M_1}{M_3}$. Do đó $\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|$nhỏ nhất $ \Leftrightarrow {M_1}{M_3}$ nhỏ nhất. Suy ra: $\min \left\{ {\left| {{z_1} – i{z_2}} \right|} \right\} = d\left( {I;\,{\Delta _2}} \right) – R = \frac{{\left| {2 – 1 + 6} \right|}}{{\sqrt 2 }} – 2\sqrt 2 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 2. Gọi $z = a + bi$ $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ là số phức thỏa mãn điều kiện $\left| {z – 1 – 2i} \right| + \left| {z + 2 – 3i} \right| = \sqrt {10} $ và có mô đun nhỏ nhất. Tính $S = 7a + b?$
A. $7$. B. $0$. C. $5$. D. $ – 12$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $M\left( {a;b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z = a + bi$
$A\left( {1;2} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $\left( {1 + 2i} \right)$
$B\left( { – 2;3} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $\left( { – 2 + 3i} \right)$, $AB = \sqrt {10} $
$\left| {z – 1 – 2i} \right| + \left| {z + 2 – 3i} \right| = \sqrt {10} $ trở thành $MA + MB = AB$
$ \Leftrightarrow M,A,B$ thẳng hàng và $M$ ở giữa $A$ và $B$
Gọi $H$ là điểm chiếu của $O$ lên $AB$, phương trình $\left( {AB} \right):x + 3y – 7 = 0$, $\left( {OH} \right):3x – y = 0$
Tọa độ điểm $H\left( {\frac{7}{{10}};\frac{{21}}{{10}}} \right)$, Có $\overrightarrow {AH} = \left( { – \frac{3}{{10}};\frac{1}{{10}}} \right)$, $\overrightarrow {BH} = \left( {\frac{{27}}{{10}}; – \frac{9}{{10}}} \right)$ và $\overrightarrow {BH} = – 9\overrightarrow {AH} $
Nên $H$ thuộc đoạn $AB$
$\left| z \right|$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow OM$ nhỏ nhât, mà$M$thuộc đoạn $AB$.
$ \Leftrightarrow M \equiv H\left( {\frac{7}{{10}};\frac{{21}}{{10}}} \right)$
Lúc đó $S = 7a + b = \frac{{49}}{{10}} + \frac{{21}}{{10}} = 7$.
Câu 3. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = 4.$ Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của $P = \left| {z – 2 – 2i} \right|.$ Đặt $A = M + m.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $A \in \left( {\sqrt {34} ;6} \right)$. B. $A \in \left( {6;\sqrt {42} } \right)$. C. $A \in \left( {2\sqrt 7 ;\sqrt {33} } \right)$. D. $A \in \left[ {4;3\sqrt 3 } \right)$.
Lời giải
Chọn A
Đặt $z = x + iy$và gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của $z = x + iy$
ta có: $\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| + \left| y \right| = 2$
Gọi $A\left( {2;2} \right)$ và $P = MA$
* Theo hình vẽ, $\min P = d\left( {A,\Delta } \right),\,$ với $\Delta 😡 + y = 2$
và $\min P = \frac{{\left| {2 + 2 – 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 $
$\max P = AE = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 ,\,$ với $E\left( {0; – 2} \right)$
Vậy $M + m = \sqrt 2 + 2\sqrt 5 \simeq 5,88$
Câu 4. Trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left| { – 2 – 3i + \overline z } \right| = \left| {z – i} \right|$, gọi $\frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$ và $\frac{3}{5} – \frac{6}{5}i$ lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức $\frac{6}{5} + \frac{3}{5}i$ bằng
A. $\frac{6}{5} – \frac{3}{5}i$. B. $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$. C. $\left| { – 2 – 3i + a – bi} \right| = \left| {a + bi – i} \right|$. D. $ \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b – 1} \right)^2}$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $ \Leftrightarrow 4a – 8b – 12 = 0$
$ \Leftrightarrow a = 2b + 3$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 3} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {5{b^2} + 12b + 9} $ là hai đường tròn $\left| z \right|\min \Leftrightarrow b = – \frac{6}{5} \Rightarrow a = \frac{3}{5}$ có tâm và bán kính lần lượt là $z = \frac{3}{5} – \frac{6}{5}i$ và ${I_2}\left( {0\,;\, – 1} \right);{R_2} = \sqrt 2 $
Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn ${z_1}$ và ${z_2}$ có môđun nhỏ nhất và lớn nhất nên $OM$ dài nhất và $ON$ ngắn nhất.
$OM$dài nhất$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}OM = O{I_1} + {R_1}\\OM = O{I_2} + {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {0\,;\,\,1 + \sqrt 2 } \right)\\M\left( {0\,;\,\, – 1 – \sqrt 2 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = 3 + 2\sqrt 2 $.
$ON$ngắn nhất$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ON = {R_1} – O{I_1}\\ON = {R_2} – O{I_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( {0\,;\,\, – \sqrt 2 + 1} \right)\\N\left( {0\,;\,\,\sqrt 2 – 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 – 1 \Rightarrow {\left| {{z_2}} \right|^2} = 3 – 2\sqrt 2 $.
Vậy ${\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 6.$
Câu 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để có đúng 4 số phức$z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right|$và $\left| z \right| = m$?
A. $\left\{ {2;2\sqrt 2 } \right\}$. B. $\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$. C. $\left\{ 2 \right\}$. D. $\left( {2;2\sqrt 2 } \right)$.
Lời giải
Chọn A
Đặt $z = x + yi\,\left( {x,\,y \in R} \right)$
$\left\{ \begin{array}{l}\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right|\\\left| z \right| = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4{x^2}} + \sqrt {4{y^2}} = {x^2} + {y^2}\\\sqrt {{x^2} + {y^2}} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} – 2\left| x \right| – 2\left| y \right| = 0\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} – {m^2} = 0\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,$
Điều kiện $\left( 1 \right)$cho ta bốn đường tròn:
+ $\left( {{C_1}} \right)$có tâm ${I_1}\left( {1\,;\,1} \right)$ và bán kính ${R_1} = \sqrt 2 $.
+ $\left( {{C_2}} \right)$có tâm ${I_2}\left( { – 1\,;\,1} \right)$ và bán kính ${R_2} = \sqrt 2 $.
+ $\left( {{C_3}} \right)$có tâm ${I_3}\left( {1\,;\, – 1} \right)$ và bán kính ${R_3} = \sqrt 2 $.
+ $\left( {{C_4}} \right)$có tâm ${I_4}\left( { – 1\,;\, – 1} \right)$ và bán kính ${R_4} = \sqrt 2 $.
Điều kiện $\left( 2 \right)$ là đường tròn $\left( C \right)$tâm O và bán kính $R = \left| m \right|$.
Dựa vào đồ thị, ta thấy điều kiện để có đúng 4 số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn $\left( C \right)$ tiếp xúc với 4 đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$, $\left( {{C_2}} \right)$, $\left( {{C_3}} \right)$, $\left( {{C_4}} \right)$ tại $D,\,A,\,B,\,C$ hoặc đi qua các giao điểm $E,\,F,\,G,\,H$ của bốn đường tròn đó.
Suy ra $m = 2\sqrt 2 $hoặc $m = 2$.
Câu 6. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z + 2 – i} \right| – \left| {z – 2 – 3i} \right| = 2\sqrt 5 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$.
A. ${\left| z \right|_{\min }} = \sqrt 5 $. B. ${\left| z \right|_{\min }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}$. C. ${\left| z \right|_{\min }} = \sqrt {13} $. D. ${\left| z \right|_{\min }} = 2\sqrt 5 $.
Lời giải
Chọn C
Gọi $M\left( {a;\,b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$.
Gọi $A\left( { – 2;\,1} \right)$, $B\left( {2;\,3} \right)$ là điểm biểu diễn hai số phức ${z_1} = – 2 + i,\,\,{z_2} = 2 + 3i$.
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,2} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt 5 $.
Theo giả thiết ta có $MA – MB = 2\sqrt 5 = AB$ nên suy ra $M$nằm trên đường thẳng $AB$ và nằm ngoài khoảng $AB$ về phía $B$.
Ta có phương trình đường thẳng $AB:\,x – 2y + 4 = 0$.
Vì $M\left( {a;\,b} \right) \in AB \Rightarrow a – 2b + 4 = 0 \Rightarrow a = 2b – 4$.
Vì $M$ nằm ngoài đoạn $AB$ về phía $B$nên $a = 2b – 4 \ge 2 \Rightarrow b \ge 3$
Ta có $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b – 4} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {5{{\left( {b – \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} \ge \sqrt {5{{\left( {3 – \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} = \sqrt {13} $.
Câu 7. Gọi $n$ là số các số phức $z$ đồng thời thỏa mãn $\left| {iz + 1 + 2i} \right| = 3$ và biểu thức $T = 2\left| {z + 5 + 2i} \right| + 3\left| {z – 3i} \right|$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của $T$. Tính tích $Mn$.
A. $Mn = 2\sqrt {13} $. B. $Mn = 6\sqrt {13} $. C. $Mn = 5\sqrt {21} $. D. $Mn = 10\sqrt {21} $.
Lời giải
Chọn D
Gọi $z = x + yi,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {x,y} \right)$.
+) Ta có: $\left| {iz + 1 + 2i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {i\left( {z + 2 – i} \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {z + 2 – i} \right| = 3$$ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 9$ $\left( 1 \right)$.
Suy ra tập điểm biểu diễn số phức $z$là đường tròn tâm $I\left( { – 2;1} \right)$, bán kính $R = 3$.
+) Khi đó $2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 $ với $A\left( { – 5; – 2} \right),\,\,\,B\left( {0;3} \right)$.
+) Lại có $T = 2MA + 3MB = \frac{2}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 MA + \frac{3}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 MB$
$ \Rightarrow {T^2} = {\left( {\frac{2}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 MA + \frac{3}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 MB} \right)^2} \le \left( {2 + 3} \right).\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)$
$ = 5.\left( {5M{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) = 5\left( {5.{R^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) = 525$.
Suy ra $M = \sqrt {525} = 5\sqrt {21} $. Dấu xảy ra khi và chỉ khi $MA = MB$$ \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y – 3} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow x + y = – 2 \Leftrightarrow y = – x – 2$ $\left( 2 \right)$.
Thế $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $2{x^2} + 10x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ – 5 + \sqrt {17} }}{2}\\{x_2} = \frac{{ – 5 – \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.$.
Vậy có 2 số phức thỏa mãn. Suy ra $n = 2.$ Vậy $Mn = 10\sqrt {21} $.
