Chuyên đề tìm số phức thông qua các số phức luyện thi tốt nghiệp THPT có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 19 của đề tham khảo môn Toán.
TÌM SỐ PHỨC THÔNG QUA CÁC SỐ PHỨC
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề ①: Thực hiện các phép tính về số phức
. Phương pháp:
①. Dạng đại số của số phức $z = a + bi$ $a,b \in \mathbb{R}$
$a$: phần thực số phức $z$; $b$: phần ảo của số phức $z$; $i$: đơn vị ảo (${i^2} = – 1$)
②. Các phép toán cộng, trừ, nhân các số phức: ${z_1} = {a_1} + b{}_1i$; ${z_2} = {a_2} + b{}_2i$ (${a_1},{a_2},{b_1},{b_2} \in \mathbb{R}$)
. Phép cộng 2 số phức: ${z_1}{z_2} = ({a_1}{a_2} – {b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})i$
. Phép trừ của 2 số phức: ${z_1} – {z_2} = ({a_1} – {a_2}) + ({b_1} – {b_2})i$
. Số đối của số phức: $z = a + bi$ ($a,b \in \mathbb{R}$) là số phức $ – z = – a – bi$.
. Phép nhân của số phức:${z_1}{z_2} = ({a_1}{a_2} – {b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})i$
③. Nhận xét:
Với mọi số thực $k$ và mọi số phức $z = a + bi$,
. $k(a + bi) = ka + kbi$; . $0z = 0$
Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho hai số phức ${z_1} = – 2 + i$ và ${z_2} = 1 + i$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, điểm biểu diễn số phức $2{z_1} + {z_2}$ có tọa độ là
Ⓐ. $\left( { – 3;\,2} \right)$. Ⓑ. $\left( {2;\, – 3} \right)$. Ⓒ. $\left( { – 3;\,3} \right)$. Ⓓ. $\left( {3;\, – 3} \right)$. |
|
Lời giải
Chọn C Ta có: $2{z_1} + {z_2} = 2.\left( { – 2 + i} \right) + \left( {1 + i} \right) = – 4\, + \,2i\, + \,1\, + i\, = \, – 3\, + \,3i$ Vậy điểm biểu diễn số phức $2{z_1} + {z_2}$ có tọa độ là $\left( { – 3;\,3} \right)$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: |
Câu 2: Cho hai số phức ${z_1} = 1 + 2i$ và ${z_2} = 3 – 4i$. Số phức $2{z_1} + 3{z_2} – {z_1}{z_2}$ là số phức nào sau đây?
Ⓐ. $10i$. Ⓑ. $ – 10i$. Ⓒ. $11 + 8i$. Ⓓ. $11 – 10i$. |
|
Lời giải
Chọn B Ta có $2{z_1} + 3{z_2} – {z_1}{z_2}$$ = 2\left( {1 + 2i} \right) + 3\left( {3 – 4i} \right) – \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 – 4i} \right)$ $ = 11 – 8i – \left( {11 + 2i} \right) = – 10i$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Nhập vào máy tính |
Câu 3: Trên tập số phức, cho biểu thức $A = \left( {a – bi} \right)\left( {1 – i} \right)$ ($a,{\rm{ }}b$ là số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ⓐ. $A = a + b – \left( {a + b} \right)i.$ Ⓑ. $A = – a + b + \left( {b – a} \right)i.$ Ⓒ. $A = a – b – \left( {a – b} \right)i.$ Ⓓ. $A = a – b – \left( {a + b} \right)i.$ |
|
Lời giải
Chọn D $A = \left( {a – bi} \right)\left( {1 – i} \right) = a – ai – bi + b{i^2}$ $ = \left( {a – b} \right) – \left( {a + b} \right)i$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Công thức |
Vấn đề ②: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức qua phép toán.
. Phương pháp:
①. Số phức $z$là biểu thức có dạng $z = a + bi\quad \left( {a,b \in R,{i^2} = – 1} \right)$. Khi đó:
Phần thực của $z$là $a$, phần ảo của $z$là $b$và $i$ được gọi là đơn vị ảo.
②. Đặc biệt:
Số phức $z = a + 0i$ có phần ảo bằng $0$được coi là số thực và viết là $z = a$
Số phức $z = 0 + bi$ có phần thực bằng $0$được gọi là số ảo (hay số thuần ảo) và viết là $z = bi$
Số $i = 0 + 1i = 1i$.
Số:$0 = 0 + 0i$vừa là số thực vừa là số ảo.
Bài tập minh họa:
Câu 1: Số phức $z = \left( {2 – 3i} \right) – \left( { – 5 + i} \right)$ có phần ảo bằng
Ⓐ. $ – 2i$. Ⓑ. $ – 4i$. Ⓒ. $ – 4$. Ⓓ. $ – 2$. |
|
Lời giải
Chọn C Ta có: $z = \left( {2 – 3i} \right) – \left( { – 5 + i} \right) = \left( {2 + 5} \right) – \left( {3 + 1} \right)i = 7 – 4i$. Nên phần ảo của số phức $z$ là $ – 4$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Từ phép tính ta có phần ảo số phức $z$ là $ – 4$. |
Câu 2: Cho các số phức ${z_1} = 1 – i\sqrt 2 $, ${z_2} = – \sqrt 2 + i\sqrt 3 $. Số phức nào sau có phần ảo lớn hơn.
Ⓐ. ${z_2} – {z_1}$. Ⓑ. ${z_1}$. Ⓒ. ${z_2}.$ Ⓓ. ${z_2} + {z_1}$. |
|
Lời giải
Chọn A Số phức ${z_2} – {z_1} = – 1 – \sqrt 2 + \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)i$, có phần ảo là $\sqrt 3 + \sqrt 2 $. Số phức ${z_1} = 1 – i\sqrt 2 $, có phần ảo là $ – \sqrt 2 $. Số phức ${z_2} = – \sqrt 2 + i\sqrt 3 $, có phần ảo là $\sqrt 3 $. Số phức ${z_2} + {z_1} = 1 – \sqrt 2 + \left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)i$, có phần ảo là $\sqrt 3 – \sqrt 2 $. Vậy số phức ${z_2} – {z_1}$ có phần ảo lớn nhất. |
PP nhanh trắc nghiệm
Nhập máy tính để tính ${z_2} – {z_1}$ Nhập máy tính để tính ${z_2} + {z_1}$ |
Dạng ③: Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình
-Phương pháp:
①. Sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau.
Cho hai số phức ${z_1} = {a_1} + {b_1}i$, ${z_2} = {a_2} + {b_2}i$ $\left( {{a_1},{a_2},{b_2},{b_2} \in R} \right)$. Khi đó:
${z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.$
②. Số phức liên hợp, mo đun của số phức: Cho số phức $z = a + bi$.
.Số phức liên hợp của $z$là $\overline z = \overline {a + bi} = a – bi$($a,b \in \mathbb{R}$) .
.Tổng và tích của $z$ và $\overline z $luôn là một số thực.
$\overline {{z_1} \pm {z_2}} = \overline {{z_1}} \pm \overline {{z_2}} $.
$\overline {{z_1}.{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} $.
. Mô đun của số phức $\left| z \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $.
$\left| z \right| = \sqrt {z.\overline z } $ ; $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|$.
Bài tập minh họa:
Câu 1: Nếu hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x\left( {3 + 2i} \right) + y\left( {1 – 4i} \right) = 1 + 24i$ thì $x – y$ bằng?
Ⓐ. $3$. Ⓑ. $ – 3$. Ⓒ. $ – 7$. Ⓓ. $7$ |
|
Lời giải
Chọn D Ta có: $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x\left( {3 + 2i} \right) + y\left( {1 – 4i} \right) = 1 + 24i\\ \Leftrightarrow 3x + y + \left( {2x – 4y} \right)i = 1 + 24i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 1\\2x – 4y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = – 5\end{array} \right.\end{array}$ Vậy: $x – y = 7$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio |
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 5$ và $|z + 3| = |z + 3 – 10i|$. Tìm số phức $w = z – 4 + 3i.$
Ⓐ. $w = – 3 + 8i.$ Ⓑ. $w = 1 + 3i.$ Ⓒ. $w = – 1 + 7i.$ Ⓓ. $w = – 4 + 8i.$ |
|
Lời giải
Chọn D $z = x + yi,(x,y \in \mathbb{R})$. Theo đề bài ta có: ${x^2} + {y^2} = 25$ và ${(x + 3)^2} + {y^2} = {(x + 3)^2} + {(y – 10)^2}$. Giải hệ phương trình trên ta được $x = 0;y = 5$. Vậy $z = 5i$. Từ đó ta có $w = – 4 + 8i$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Thử lần lượt các đáp án. A$w = – 3 + 8i \Rightarrow z = w + 4 – 3i = 1 + 5i$ nên $|z| = \sqrt {26} $(loại). Tương tự cho đáp án B và C, D $w = – 4 + 8i \Rightarrow z = w + 4 – 3i = 5i$ thỏa mãn $|z| = 5$ và $|z + 3| = |z + 3 – 10i|$. |
Câu 3: Cho số phức $z$ thỏa mãn $3\left( {\overline z – i} \right) – \left( {2 + 3i} \right)z = 7 – 16i$. Môđun của số phức $z$ bằng.
Ⓐ. $5$. Ⓑ. $3$. Ⓒ. $\sqrt 5 $. Ⓓ. $\sqrt 3 $. |
|
Lời giải
Chọn C Gọi $z = x + yi\,\,$với $x,y \in \mathbb{R}.$ Ta có $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3\left( {\overline z – i} \right) – \left( {2 + 3i} \right)z = 7 – 16i\\ \Leftrightarrow 3\left( {x – yi – i} \right) – \left( {2 + 3i} \right)\left( {x + yi} \right) = 7 – 16i\\ \Leftrightarrow 3x – 3yi – 3i – 2x – 2yi – 3xi + 3y = 7 – 16i\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + 3y} \right) – \left( {3x + 5y + 3} \right)i = 7 – 16i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 7\\3x + 5y + 3 = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 7\\3x + 5y = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\end{array}$. Do đó $z = 1 + 2i$. Vậy $\left| z \right| = \sqrt 5 $. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: công thức nhanh $az + b\bar z = c \Rightarrow z = \frac{{c.\bar a – b\bar c}}{{{{\left| a \right|}^2} – {{\left| b \right|}^2}}}$ |
Ⓑ Bài tập rèn luyện
Câu 1: Cho hai số phức $z = 3 + i$ và $w = 2 + 3i$. Số phức $z – w$ bằng
A. $1 + 4i$ B. $1 – 2i$ C. $5 + 4i$ D. $5 – 2i$
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm hiệu của hai số phức
2. HƯỚNG GIẢI:
B1:$z = 3 + i$
B2: $w = 2 + 3i$
B3: Tính tổng phần thực và phần ảo.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Ta có: $z = 3 + i$ và $w = 2 + 3i$. Do đó $z – w = (3 + i) – (2 + 3i) = 1 – 2i$
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1: Cho hai số phức ${z_1} = 2 – 4i$ và ${z_2} = 1 – 3i.$ Phần ảo của số phức ${z_1} + i\overline {{z_2}} $bằng
A.$5$. B.$3i$. C.$ – 5i$. D.$ – 3$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${z_2} = 1 – 3i \Rightarrow \overline {{z_2}} = 1 + 3i \Rightarrow i\overline {{z_2}} = i\left( {1 + 3i} \right) = 3{i^2} + i = – 3 + i$
Suy ra ${z_1} + i\overline {{z_2}} = 2 – 4i + \left( { – 3 + i} \right) = – 1 – 3i$.
Vậy phần ảo của số phức ${z_1} + i\overline {{z_2}} $ là$ – 3$.
Câu 2: Cho hai số phức ${z_1} = 1 – 8i$ và ${z_2} = 5 + 6i.$ Phần ảo của số phức liên hợp $z = {z_2} – i\overline {{z_1}} $bằng
A.$5$. B.$5i$. C.$ – 5$. D.$ – 5i$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${z_1} = 1 – 8i \Rightarrow {\overline z _1} = 1 + 8i \Rightarrow i{\overline z _1} = i\left( {1 + 8i} \right) = 8{i^2} + i = – 8 + i.$
Suy ra $z = {z_2} – i\overline {{z_1}} = 5 + 6i – \left( { – 8 + i} \right) = 13 + 5i \Rightarrow \overline z = 13 – 5i$.
Vậy phần ảo của số phức liên hợp $z = {z_2} – i\overline {{z_1}} $ là$ – 5$.
Câu 3: Cho hai số phức ${z_1} = 2 + 3i$ và ${z_2} = 6i.$ Phần ảo của số phức$z = i{z_1} – \overline {{z_2}} $bằng
A.$ – 4i$. B.$ – 4$. C.$8i$. D.$8$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${z_1} = 2 + 3i \Rightarrow i{z_1} = i\left( {2 + 3i} \right) = 3{i^2} + 2i = – 3 + 2i.$
${z_2} = 6i \Rightarrow {\overline z _2} = – 6i \Rightarrow z = i{z_1} – \overline {{z_2}} = – 3 + 2i – \left( { – 6i} \right) = – 3 + 8i.$
Vậy phần ảo của số phức$z = i{z_1} – \overline {{z_2}} $là$8$.
Câu 4: Cho hai số phức ${z_1} = 1 + 2i$ và ${z_2} = 2 – 3i$. Phần ảo của số phức liên hợp$z = 3{z_1} – 2{z_2}$.
A.$12$. B.$ – 12$. C.$1$. D.$ – 1$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $z = 3{z_1} – 2{z_2} = 3\left( {1 + 2i} \right) – 2\left( {2 – 3i} \right) = \left( {3 + 6i} \right) + \left( { – 4 + 6i} \right) = – 1 + 12i.$
Số phức liên hợp của số phức $z = 3{z_1} – 2{z_2}$là $\overline z = \overline { – 1 + 12i} = – 1 – 12i$.
Vậy phần ảo của số phức liên hợpcủa số phức $z = 3{z_1} – 2{z_2}$là $ – 12$.
Câu 5: Cho hai số phức ${z_1} = 5 – 2i$ và ${z_2} = 3 – 4i$. Số phức liên hợpcủa số phức$w = \overline {{z_1}} + {z_2} + 2{z_1}\overline {{z_2}} $ là
A.$54 + 26i$. B.$54 – 30i$. C.$ – 54 – 26i$. D.$54 – 26i$.
Lời giải
Chọn D
Ta có${z_1} = 5 – 2i \Rightarrow \overline {{z_1}} = 5 + 2i$; ${z_2} = 3 – 4i \Rightarrow {\overline z _{_2}} = 3 + 4i$.
Suy ra: $w = \overline {{z_1}} + {z_2} + 2{z_1}\overline {{z_2}} = 5 + 2i + 3 – 4i + 2\left( {5 – 2i} \right)\left( {3 + 4i} \right) = 8 – 2i + 2\left( {23 + 14i} \right) = 54 + 26i$ Vậy số phức liên hợpcủa số phức$w = \overline {{z_1}} + {z_2} + 2{z_1}\overline {{z_2}} $ là $w = \overline {54 + 26i} = 54 – 26i$.
Câu 6: Cho số phức $z = 5 – 3i$. Phần thực của số phức$w = 1 + \overline z + {\left( {\overline z } \right)^2}$ bằng
A.$22$. B.$ – 22$. C.$33$. D.$ – 33$.
Lời giải
Chọn A
Ta có$z = 5 – 3i \Rightarrow \bar z = 5 + 3i \Rightarrow {\left( {\bar z} \right)^2} = {\left( {5 + 3i} \right)^2} = 25 + 30i + 9{i^2} = 16 + 30i$.
Suy ra$w = 1 + \overline z + {\left( {\overline z } \right)^2} = 1 + 5 + 3i + 16 + 30i = 22 + 33i$.
Vậy phần thực của số phức$w = 1 + \overline z + {\left( {\overline z } \right)^2}$ bằng $22$.
Câu 7: Cho hai số phức ${z_1} = 4 – 3i + {\left( {1 – i} \right)^3}$ và ${z_2} = 7 + i$. Phần thực của số phức $w = 2\overline {\overline {{z_1}} {z_2}} $ bằng
A.$9$. B.$2$. C.$18$. D.$ – 74$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${z_1} = 4 – 3i + \left( {1 – 3i + 3{i^2} – {i^3}} \right) = 4 – 3i + \left( {1 – 3i – 3 + i} \right) = 2 – 5i$.
Suy ra ${\bar z_1}.{z_2} = \left( {2 + 5i} \right)\left( {7 + i} \right) = 9 + 37i \Rightarrow \overline {\overline {{z_1}} .{z_2}} = 9 – 37i.$
Do đó $w = 2\left( {9 – 37i} \right) = 18 – 74i$.
Vậy phần thực của số phức $w = 2\overline {\overline {{z_1}} {z_2}} $ bằng $18$.
Câu 8: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + 2i} \right)z = 5{\left( {1 + i} \right)^2}$. Tổng bình phương phần thực và phần ảo của số phức $w = \bar z + iz$ bằng:
A.$2$. B.$4$. C.$6$. D.$8$.
Lời giải
ChọnD
Ta có $\left( {1 + 2i} \right)z = 5{\left( {1 + i} \right)^2} \Leftrightarrow z = \frac{{5{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{{1 + 2i}} = \frac{{10i}}{{1 + 2i}} = \frac{{10i\left( {1 – 2i} \right)}}{5} = 4 + 2i.$
Suy ra $w = \bar z + iz = \left( {4 – 2i} \right) + i\left( {4 + 2i} \right) = 2 + 2i$.
Vậy số phức $w$ có phần thực bằng $2$, phần ảo bằng $2$. Suy ra ${2^2} + {2^2} = 8$.
Câu 9: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i$. Kí hiệu $a,{\rm{ }}b$ lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $w = z + 1 + i$. Tính $P = {a^2} + {b^2}.$
A.$13$. B.$5$. C.$25$. D.$7$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 7 + 8i – \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}}$.
$ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 4 + 7i \Leftrightarrow z = \frac{{4 + 7i}}{{2 + i}} = \frac{{\left( {4 + 7i} \right)\left( {2 – i} \right)}}{{\left( {2 + i} \right)\left( {2 – i} \right)}} = 3 + 2i$.
Suy ra
Câu 10: Cho số phức $z$ thỏa mãn $z + 2.\bar z = 6 – 3i$. Tìm phần ảo $b$ của số phức $z.$
A.$b = 3$. B.$b = – 3$. C.$b = 3i$. D.$b = 2$.
Lời giải
ChọnA
Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a – bi$.
Theo giả thiết, ta có $a + bi + 2\left( {a – bi} \right) = 6 – 3i \Leftrightarrow 3a – bi = 6 – 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = 6\\ – b = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.$.
Vậy phần ảo $b$ của số phức $z$là $3$.
Mức độ 2
Câu 1: Cho số phức $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $iz = 2\left( {\bar z – 1 – i} \right).$ Tính $S = ab.$
A.$S = – 4$. B.$S = 4$. C.$S = 2.$ D.$S = – 2.$
Lời giải
Chọn A
Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a – bi$.
Ta có $iz = 2\left( {\bar z – 1 – i} \right) \Leftrightarrow i\left( {a + bi} \right) = 2\left( {a – bi – 1 – i} \right) \Leftrightarrow – b + ai = 2a – 2 + \left( { – 2b – 2} \right)i$
Câu 2: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $z.\bar z = 10\left( {z + \bar z} \right)$ và $z$ có phần ảo bằng ba lần phần thực?
A.$0$. B.$1$. C.$2$. D.$3$.
Lời giải
ChọnC
Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a – bi$.
Từ $\left( 1 \right)$
Hơn nữa, số phức $z$ có phần ảo bằng ba lần phần thực nên $b = 3a$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 20a\\b = 3a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.$.
Vậy có $2$ số phức cần tìm là: $z = 2 + 6i$ và $z = 0$.
Câu 3: Cho số phức $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa $\left( {1 + i} \right)z + 2\bar z = 3 + 2i.$ Tính $P = a + b.$
A.$P = \frac{1}{2}$. B.$P = 1$. C.$P = – 1$. D.$P = – \frac{1}{2}$.
Lời giải
ChọnC
Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a – bi$.
Từ
Câu 4: Cho số phức $z$ thỏa mãn $5\bar z + 3 – i = \left( { – 2 + 5i} \right)z$. Tính $P = \left| {3i{{\left( {z – 1} \right)}^2}} \right|$.
A.$P = 144$. B.$P = 3\sqrt 2 $. C.$P = 12$. D.$P = 0$.
Lời giải
ChọnC
Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a – bi$.
Theo giả thiết, ta có $5\bar z + 3 – i = \left( { – 2 + 5i} \right)z \Leftrightarrow 5\left( {a – bi} \right) + 3 – i = \left( { – 2 + 5i} \right)\left( {a + bi} \right)$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5a + 3 – \left( {5b + 1} \right)i = – 2a – 5b + \left( {5a – 2b} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a + 3 = – 2a – 5b\\5b + 1 = 2b – 5a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7a + 5b + 3 = 0\\5a + 3b + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 2\end{array} \right..\end{array}$$ \Rightarrow z = 1 – 2i$.
Do đó$3i{\left( {z – 1} \right)^2} = – 12i$. Vậy $P = \left| {3i{{\left( {z – 1} \right)}^2}} \right| = \left| { – 12i} \right| = 12$.
Câu 5: Cho số phức $z = a + bi$$\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $z + 2 + i – \left| z \right|\left( {1 + i} \right) = 0$ và $\left| z \right| > 1$. Tính $P = a + b$.
A.$P = – 1$. B.$P = – 5$. C.$P = 3$. D.$P = 7$.
Lời giải
Chọn D
Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $.
Ta có: $z + 2 + i – \left| z \right|\left( {1 + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) + \left( {b + 1} \right)i = \left| z \right| + i\left| z \right|$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 = \left| z \right|\\b + 1 = \left| z \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} & \left( 1 \right)\\b + 1 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} & \left( 2 \right)\end{array} \right.$
Từ $\left( 1 \right)$và$\left( 2 \right)$suy ra$a – b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = a + 1$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được
$a + 2 = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 > 1 & \left( {{\rm{do}}\,\left| z \right| > 1} \right)\\{a^2} – 2a – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3$. Suy ra $b = 4$.
Do đó $z = 3 + 4i$ có $\left| z \right| = 5 > 1$ (thỏa điều kiện $\left| z \right| > 1$).
Vậy $P = a + b = 3 + 4 = 7$.
Câu 6: Tìm môđun của số phức $z$ biết $z – 4 = \left( {1 + {\rm{i}}} \right)\left| z \right| – \left( {4 + 3z} \right){\rm{i}}$.
A.$\left| z \right| = \frac{1}{2}$. B.$\left| z \right| = 2$. C.$\left| z \right| = 4$. D.$\left| z \right| = 1$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $z – 4 = \left( {1 + {\rm{i}}} \right)\left| z \right| – \left( {4 + 3z} \right){\rm{i}}$$ \Leftrightarrow z + 3iz = 4 + \left| z \right| + \left| z \right|i – 4i \Leftrightarrow \left( {1 + 3{\rm{i}}} \right)z = \left| z \right| + 4 + \left( {\left| z \right| – 4} \right){\rm{i}}$
Suy ra $\left| {\left( {1 + 3{\rm{i}}} \right)z} \right| = \left| {\left| z \right| + 4 + \left( {\left| z \right| – 4} \right){\rm{i}}} \right|$$ \Leftrightarrow \sqrt {10} \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\left| z \right| + 4} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| – 4} \right)}^2}} $$ \Leftrightarrow 10{\left| z \right|^2} = {\left( {\left| z \right| + 4} \right)^2} + {\left( {\left| z \right| – 4} \right)^2}$$ \Leftrightarrow 8{\left| z \right|^2} = 32$$ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 4$$ \Leftrightarrow \left| z \right| = 2$.
Câu 7: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn điều kiện ${z^2} = {\left| z \right|^2} + \bar z$?
A.$1$. B.$4$. C.$2$. D.$3$.
Lời giải
ChọnD
Đặt $z = a + bi$$\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\overline z = a – bi,\;\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $.
Ta có ${z^2} = {\left| z \right|^2} + \bar z$$ \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + a – bi$$ \Leftrightarrow 2abi – {b^2} = {b^2} + a – bi$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2ab = – b\\ – {b^2} = {b^2} + a\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = – \frac{1}{2}\end{array} \right.\\2{b^2} + a = 0\end{array} \right.$
$b = 0 \Rightarrow a = 0$$ \Rightarrow z = 0$.
$a = – \frac{1}{2} \Rightarrow {b^2} = – \frac{a}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\\b = – \frac{1}{2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = – \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\\z = – \frac{1}{2} – \frac{1}{2}i\end{array} \right.$.
Vậy có $3$ số phức thỏa ycbt.
Câu 8: Số phức $z = a + bi$ ( với $a$, $b$ là số nguyên) thỏa mãn $\left( {1 – 3i} \right)z$ là số thực và $\left| {\overline z – 2 + 5i} \right| = 1$. Khi đó $a + b$ là
A.$9$. B.$8$. C.$6$. D.$7$.
Lời giải
ChọnB
Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$.
Ta có: $\left( {1 – 3i} \right)z$$ = \left( {1 – 3i} \right)\left( {a + bi} \right)$$ = a + 3b + \left( {b – 3a} \right)i$.
Vì $\left( {1 – 3i} \right)z$ là số thực nên $b – 3a = 0$$ \Rightarrow b = 3a$$\left( 1 \right)$.
$\left| {\overline z – 2 + 5i} \right| = 1$$ \Leftrightarrow \left| {a – 2 + \left( {5 – b} \right)i} \right| = 1$$ \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {5 – b} \right)^2} = 1$$\left( 2 \right)$.
Thế $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta có: ${\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {5 – 3a} \right)^2} = 1$$ \Leftrightarrow 10{a^2} – 34a + 28 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2 \Rightarrow b = 6\\a = \frac{7}{5}{\rm{ (}}loa\”i i)\end{array} \right.$.
Vậy $a + b = 2 + 6 = 8$.
Câu 9: Cho số phức $z = a + bi$ ($a$, $b$ là các số thực ) thỏa mãn $z\left| z \right| + 2z + i = 0$. Tính giá trị của biểu thức $T = a + {b^2}$.
A.$T = 4\sqrt 3 – 2$. B.$T = 3 + 2\sqrt 2 $. C.$T = 3 – 2\sqrt 2 $. D.$T = 4 + 2\sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn C
Đặt $z = a + bi$$\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\;\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $.
Ta có $z\left| z \right| + 2z + i = 0 \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right)\left| {a + bi} \right| + 2\left( {a + bi} \right) + i = 0$
$ \Leftrightarrow a\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2a + b\sqrt {{a^2} + {b^2}} i + 2bi + i = 0 \Leftrightarrow a\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2a + b\sqrt {{a^2} + {b^2}} i + 2bi + i = 0$
$ \Leftrightarrow a\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2a + \left( {b\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2b + 1} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2a = 0\\b\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2b + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2} \right) = 0\\b\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2b + 1 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b\sqrt {{b^2}} + 2b + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\\left| b \right| = – \frac{{2b + 1}}{b}\end{array} \right.$.
$\left| b \right| = – \frac{{2b + 1}}{b} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = – \frac{{2b + 1}}{b}\\ – \frac{{2b + 1}}{b} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = – \frac{{2b + 1}}{b}\\ – \frac{1}{2} \le b < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow b = 1 – \sqrt 2 $.
Suy ra $T = a + {b^2} = 3 – 2\sqrt 2 $.
Câu 10: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 $ và ${\left( {z + 2i} \right)^2}$ là số thuần ảo?
A.$1$. B.$2$. C.$3$. D.$4$.
Lời giải
Chọn C
Đặt $z = x + yi$$\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$. Khi đó $\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
${\left( {z + 2i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right]^2} = {x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i$.
Theo giả thiết ta có ${\left( {z + 2i} \right)^2}$ là số thuần ảo nên ${x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + 2\\x = – \left( {y + 2} \right)\end{array} \right.$.
Với $x = y + 2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{y^2} = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 2$$ \Rightarrow {z_1} = 2$.
Với $x = – \left( {y + 2} \right)$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{y^2} – 4y – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 + \sqrt 5 \\y = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_2} = – 3 – \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i\\{z_3} = – 3 + \sqrt 5 + \left( {1 – \sqrt 5 } \right)i\end{array} \right.$.
Vậy có $3$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Mức độ 3
Câu 1. Tính giá trị của biểu thức $A = {\left( {1 + i} \right)^{2020}}$.
A. $A = {2^{1010}}$. B. $A = – {2^{1010}}$. C. $A = {2^{1010}}i$. D. $A = – {2^{1010}}i$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${\left( {1 + i} \right)^2} = 2i$. Suy ra $A = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1010}} = {\left( {2i} \right)^{1010}} = {2^{1010}}.{i^{1010}} = – {2^{1010}}$.
Câu 2. Trong mặt phẳng $Oxy$, gọi $A,B,C$.lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức ${z_1} = – 3i,\,$$\,{z_2} = 2 – 2i,\,$$\,{z_3} = – 5 – i$. Gọi $G$là trọng tâm của tam giác$\;ABC$. Hỏi $G$ là điểm biểu diễn số phức nào trong các số phức sau:
A. $z = – 1 – 2i$. B. $z = 2 – i$. C. $z = – 1 – i$. D. $z = 1 – 2i$.
Lời giải
Chọn A
Vì $A\left( {0;\; – 3} \right),\,B\left( {2;\; – 2} \right),\,C\left( { – 5;\; – 1} \right) \Rightarrow G\left( { – 1;\; – 2} \right)$.
Câu 3. Cho các số phức ${z_1}$, ${z_2}$ thoả mãn $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 $, $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1$. Tính ${z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}$.
A. ${z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} = 0$. B. ${z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} = 1\,\,$.
C. ${z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} = 2$. D. ${z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} = – 1$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1} + {z_2}} } \right) = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} } \right) = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}$
$ \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = {1^2} + {1^2} + {z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}$$ \Leftrightarrow {z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} = 1$.
Câu 4. Kí hiệu ${z_0}$ là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình ${z^2} + 2z + 10 = 0$. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = {i^{2020}}{z_0}$?
A. $M\left( {3;\; – 1} \right)$. B. $M\left( {3;\;1} \right)$. C. $M\left( { – 3;1} \right)$. D. $M\left( { – 3; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}z = – 1 + 3i \hfill \\
z = – 1 – 3i \hfill \\\end{gathered} \right.$
Suy ra, ${z_0} = – 1 + 3i$
${\rm{w}} = {i^{2021}}{z_0} = i( – 1 + 3i) = – 3 – i$. Suy ra : Điểm $M\left( { – 3; – 1} \right)$ biểu diễn số phức ${\rm{w}}$ .
Câu 5. Trong tập các số phức, cho phương trình ${z^2} – 6z + m = 0,m \in R\,\,(1)$. Gọi ${m_0}$ là một giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn ${z_1}\overline {{z_1}} = {z_2}\overline {{z_2}} $. Hỏi trong khoảng $\left( {0;20} \right)$ có bao nhiêu giá trị ${m_0} \in {\rm N}$?
A. $20$ . B. $11$ . C.$12$ . D. $10$.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: $\Delta = 9 – m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 9$ .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${z_{1,\,}}{z_2}$ thỏa mãn ${z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} $ thì (1) phải có nghiệm phức. Suy ra, $\Delta < 0 \Leftrightarrow m > 9$ .
Vậy trong khoảng $\left( {0;20} \right)$ có 10 số ${m_0}$ .
Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn của số phức $z = 1 + 2i$, B là điểm thuộc đường thẳng $y = 2$ sao cho tam giác OAB cân tại O. Tìm số z biểu diễn B.
A. $z = 1 + 2i$. B. $z = – 1 + 2i$.
C. $z = 3 + 2i,\,\,z = – 3 + 2i$. D. $z = – 1 + 2i,\,\,\,z = 1 + 2i$.
Lời giải
Chọn B
Ta có, $A\left( {1;2} \right),\,\,B\left( {x;2} \right),\,\,\,x \ne 1$
Để $\Delta OAB$ cân tại O khi và chỉ khi $OA = OB$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt {{x^2} + {2^2}} \Leftrightarrow {x^2} + 4 = 5 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.$
Do đó $B\left( { – 1;2} \right) \Rightarrow z = – 1 + 2i$
Câu 7. Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left( {z + 2i} \right)\left( {\overline z + 2} \right)$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của $z$ là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là
A. $\left( {1; – 1} \right)$. B. $\left( {1;1} \right)$. C. $\left( { – 1;1} \right)$. D. $\left( { – 1; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$. Điểm biểu diễn cho $z$ là $M\left( {x;y} \right)$.
Ta có: $\left( {z + 2i} \right)\left( {\overline z + 2} \right) = \left( {x + yi + 2i} \right)\left( {x – yi + 2} \right)$
$ = x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 2} \right) + i\left[ {\left( {x – 2} \right)\left( {y + 2} \right) – xy} \right]$là số thuần ảo
$ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2$.
Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của $z$ là một đường tròn có tâm $I\left( { – 1; – 1} \right)$.
Câu 8. Gọi $M,N$lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức $z = 1 + i;z’ = 2 + 3i$. Tìm số phức $\omega $ có điểm biểu diễn là $Q$sao cho $\overrightarrow {MN} + 3\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow 0 .$
A. $\omega = – \frac{1}{3}i.$ B. $\omega = \frac{4}{3} + \frac{5}{3}i.$ C. $\omega = – \frac{2}{3} – \frac{1}{3}i.$ D. $\omega = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}i.$
Lời giải
Chọn D
Vì $M\left( {1;1} \right),N\left( {2;3} \right)$. Gọi $Q\left( {x;y} \right)$
Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {1;2} \right);\overrightarrow {MQ} = \left( {x – 1;y – 1} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {MQ} = \left( {3x – 3;3y – 3} \right)$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 + 3x – 3 = 0\\2 + 3y – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.$
Câu 9. Cho số phức $z = a + bi\,$, $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$thỏa mãn $\left| {\frac{{z – 1}}{{z – i}}} \right| = 1$ và $\left| {\frac{{z – 3i}}{{z + i}}} \right| = 1$. Tính $P = a + b$.
A. $P = 7$. B. $P = – 1$. C. $P = 1$. D. $P = 2$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\left| {\frac{{z – 1}}{{z – i}}} \right| = 1$$ \Leftrightarrow \left| {z – 1} \right| = \left| {z – i} \right|$$ \Leftrightarrow \left| {a – 1 + bi} \right| = \left| {a + \left( {b – 1} \right)i} \right|$$ \Leftrightarrow 2a – 2b = 0$(1).
$\left| {\frac{{z – 3i}}{{z + i}}} \right| = 1$$ \Leftrightarrow \left| {z – 3i} \right| = \left| {z + i} \right|$$ \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b – 3} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b + 1} \right)i} \right|$$ \Leftrightarrow b = 1$ (2).
Từ (1) và (2) ta có $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.$. Vậy $P = 2$.
Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: $\left( {2 – i} \right)\left( {1 + i} \right) + \overline z = 4 – 2i$.Tính môđun của $z$?
A. $\left| z \right| = \sqrt {{1^2} – {3^2}} $. B. $\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} $.
C. $\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + 3{i^2}} $. D. $\left| z \right| = \sqrt {{1^2} – 3{i^2}} $.
Lời giải
Chọn B
$\left( {2 – i} \right)\left( {1 + i} \right) + \overline z = 4 – 2i$$ \Leftrightarrow $$\overline z = \left( {4 – 2i} \right) – \left( {2 – i} \right)\left( {1 + i} \right) = 1 – 3i$
Mức độ 4
Câu 1. Xét các số phức $z$thỏa mãn $\left| z \right| = \sqrt 2 $. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức ${\rm{w}} = \frac{{4 + iz}}{{1 + z}}$là một đường tròn có bán kính bằng
A. $\sqrt {34} .$ B. $26.$ C. $34.$ D. $\sqrt {26} .$
Lời giải
Chọn A
Ta có $w = \frac{{4 + iz}}{{1 + z}} \Rightarrow {\rm{w}}(1 + z) = 4 + iz \Leftrightarrow z\left( {{\rm{w}} – i} \right) = 4 – {\rm{w}}$$ \Rightarrow \sqrt 2 \left| {{\rm{w}} – i} \right| = \left| {4 – {\rm{w}}} \right|$
Đặt ${\rm{w}} = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$
Ta có $\sqrt 2 .\sqrt {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {y^2}} $$ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} – 2y + 1} \right) = {x^2} – 8x + 16 + {y^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 8x – 4y – 14 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 34$
Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức ${\rm{w}}$ là đường tròn có bán kính bằng $\sqrt {34} $
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn $\left| {z + 3} \right| = 5$ và $\left| {z – 2i} \right| = \left| {z – 2 – 2i} \right|$. Tính $\left| z \right|$.
A. $\left| z \right| = 5$. B. $\left| z \right| = \sqrt 5 $. C. $\left| z \right| = 2$. D. $\left| z \right| = \sqrt {10} $.
Lời giải
Chọn D
Đặt $z = a + bi\,,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}\,\,} \right)$.
Ta có:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {(b – 2)^2} = {(a – 2)^2} + {(b – 2)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {(a – 2)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a – 2 = a\\a – 2 = – a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = 1\end{array}$
Thế $a = 1$vào (*) ta được $16 + {b^2} = 25 \Rightarrow {b^2} = 9$$ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + 9} = \sqrt {10} $.
Câu 3. Cho số phức $z$ có phần ảo gấp hai phần thực và$\left| {z + 1} \right| = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$. Khi đó mô đun của $z$ là:
A. $4$. B. $6$. C. $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$. D. $2\sqrt 5 $.
Lời giải
Chọn C
Đặt $z = a + bi\,$ với $a \in \mathbb{Z},\,\,b\, \in \mathbb{R}$. Do $z$ có phần ảo gấp hai phần thực nên $b = 2a$.
$\left| {z + 1} \right| = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {a + 2ai + 1} \right| = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left( {a + {1^2}} \right) + {\left( {2a} \right)^2} = \frac{4}{5}$
$ \Leftrightarrow 5{a^2} + 2a + 1 = \frac{4}{5} \Leftrightarrow a = – \frac{1}{5} \Rightarrow b = – \frac{2}{5}$
Do đó $z = – \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i\, \Rightarrow \left| z \right| = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.
Câu 4. Cho số phức $z$ có phần ảo khác 0 thỏa mãn $\left| {z – \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} $ và $z.\overline z = 25$. Tìm mô đun của số phức $w = 1 + i – z$
A.$\left| w \right| = \sqrt {13} $. B. $\left| w \right| = 5$. C. $\left| w \right| = \sqrt {29} $. D. $\left| w \right| = \sqrt {17} $.
Lời giải
Chọn A
Đặt $z = a + bi\,\,\left( {a \in \mathbb{R},b \ne 0} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {z – \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \\z.\overrightarrow z = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + bi – \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \\\left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right) = 25\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 10\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + b = 10\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3;\,\,b = 4\\a = 5;\,\,b = 0\end{array} \right. \Rightarrow z = 3 + 4i$
$ \Rightarrow w = 1 + i – z = 1 + i – \left( {3 + 4i} \right) = – 2 – 3i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {13} $.
Câu 5. Tìm tất cả các số thực m biết $z = \frac{{i – m}}{{1 – m(m – 2i)}}$và $z.\overline z = \frac{{2 – m}}{2}$ trong đó i là đơn vị ảo.
A. $m = 0;m = 1$. B. $m = – 1$. C. $m = 0;m = – 1$. D. $\forall m$.
Lời giải
Chọn A
Phân tích: Vì z đang còn rất phức tạp, đặc biệt là dưới mẫu do đó chúng ta nghĩ ra việc làm đơn giản nó về dạng chuẩn $z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})$ sau đó tìm được $\overline z $ và thay vào biểu thức $z.\overline z $
Ta có $z = \frac{{i – m}}{{1 – m(m – 2i)}} = \frac{{(1 – m)(1 – {m^2} – 2mi)}}{{{{(1 – {m^2})}^2} + 4{m^2}}} = \frac{{ – m(1 – {m^2}) + 2m + i(1 – {m^2} + 2{m^2})}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}}$
$ = \frac{{m(1 + {m^2}) + i(1 + {m^2})}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \frac{m}{{1 + {m^2}}} + \frac{i}{{1 + {m^2}}}$
$ \Rightarrow \overline z = \frac{m}{{1 + {m^2}}} – \frac{i}{{1 + {m^2}}}$
Như vậy:
$z.\overline z = \frac{{2 – m}}{2} \Rightarrow \frac{{{m^2} + 1}}{{{{({m^2} + 1)}^2}}} = – \frac{1}{2}(m – 2)$$ \Leftrightarrow \frac{1}{{{m^2} + 1}} = – \frac{1}{2}(m – 2)$
$ \Leftrightarrow {m^3} – 2{m^2} + m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = 1}\end{array}} \right.$.
Câu 6. Cho số phức $z$ thỏa điều kiện $\left| {{z^2} + 4} \right| = \left| {z\left( {z + 2i} \right)} \right|$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {\bar z + i} \right|$ bằng
A. $2$. B. $0$. C. $1$. D. $3$.
Lời giải
Chọn B.
Giã sử $z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)$.
$\left| {{z^2} + 4} \right| = \left| {z\left( {z + 2i} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {{z^2} – {{\left( {2i} \right)}^2}} \right| = \left| {z\left( {z + 2i} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {z – 2i} \right)\left( {z + 2i} \right)} \right| = \left| {z\left( {z + 2i} \right)} \right|$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 2i = 0\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\left| {z – 2i} \right| = \left| z \right|\,\,\,(2)\end{array} \right.$
(1) $ \Leftrightarrow z = – 2i$. Suy ra $\left| {z + i} \right| = \left| { – 2i + i} \right| = \left| { – i} \right| = 1$.
(2)$ \Leftrightarrow \left| {x + yi – 2i} \right| = \left| {x + yi} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 4y + 4 = {x^2} + {y^2}$$ \Leftrightarrow y = 1$. Suy ra $\left| {\bar z + i} \right| = \left| {x – yi + i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{\left( {1 – y} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2}} \ge 0$,$\forall x \in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| {z + i} \right|$ bằng $0$.
Câu 7. Cho số phức $z$ thỏa mãn hệ thức $\left| {2z + i} \right| = \left| {2\overline z – 3i + 1} \right|$. Tìm các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ để $MA$ ngắn nhất, với $A\left( {1;\frac{3}{4}} \right)$.
A. $M\left( { – 1;\frac{{ – 5}}{4}} \right)$ B. $M\left( {0;\frac{{ – 9}}{8}} \right)$ C. $M\left( {\frac{{ – 9}}{4};0} \right)$ D. $M\left( {\frac{1}{{20}}; – \frac{{23}}{{20}}} \right).$
Lời giải
Chọn D
Gọi $z = x + yi$
Ta có: $\left| {2z + i} \right| = \left| {2\overline z – 3i + 1} \right| \Leftrightarrow 4x + 8y + 9 = 0\,(d)$ , đường thẳng đi qua A vuông góc với d có pt: $8x – 4y – 5 = 0$ .
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{gathered}4x + 8y + 9 = 0 \hfill \\
8x – 4y – 5 = 0 \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{{20}}; – \frac{{23}}{{20}}} \right)$
Câu 8. Phần ảo của số phức $w = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + … + {\left( {1 + i} \right)^{2020}}$ bằng:
A. $1 – {2^{1010}}$. B. $ – {2^{1010}}$
C. ${2^{1010}}$ D.$1$.
Lời giải
Chọn A
Số phức ${\rm{w}}$là tổng của 2021 số hạng một cấp số nhân với ${u_1} = 1;q = 1 + i$.
${S_{2020}} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^{2021}}} \right)}}{{1 – q}} = \frac{{1.\left[ {1 – {{\left( {1 + i} \right)}^{2021}}} \right]}}{{1 – \left( {1 + i} \right)}} = \frac{{1 – \left( {1 + i} \right){{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]}^{1010}}}}{{ – i}} = \frac{{ – 1}}{i} + \frac{{1 + i}}{i}{\left( {2i} \right)^{1010}}$
$ = i + \left( {1 – i} \right){.2^{1010}}.{i^{4.252 + 2}} = i + \left( {1 – i} \right){.2^{1010}}( – i) = i – \left( {1 + i} \right){.2^{1010}} = – {2^{1010}} + \left( {1 – {2^{1010}}} \right)i$
Câu 9. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 2} \right| + \left| {z – 2} \right| = 8$. Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm $M$ biểu diễn cho số phức $z$ thỏa mãn:
A. $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1$. B. $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{12}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.
C. $\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 64$. D. $\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 8$
Lời giải
Chọn A
Gọi $M\left( {x;y} \right)$, ${F_1}( – 2;0)$, ${F_2}(2;0)$.
Ta có $\left| {z + 2} \right| + \left| {z – 2} \right| = 8 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 2)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {y^2}} = 8$ $ \Leftrightarrow M{F_1} + M{F_2} = 8$.
Do đó điểm $M\left( {x;y} \right)$ nằm trên elip $\left( E \right)$ có $2a = 8 \Leftrightarrow a = 4,$ ta có ${F_1}{F_2} = 2c \Leftrightarrow 4 = 2c \Leftrightarrow c = 2.$ Ta có ${b^2} = {a^2} – {c^2} = 16 – 4 = 12.$ Vậy tập hợp các điểm M là elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1.$.
Câu 10 Cho các số phức ${z_1}$, ${z_2}$, ${z_3}$ thỏa mãn 2 điều kiện $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2017$ và ${z_1} + {z_2} + {z_3} \ne 0.$ Tính $P = \left| {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right|.$
A. $P = 2017.$ B. $P = 1008,5.$ C. $P = {2017^2}.$ D. $P = 6051.$
Lời giải
Chọn A
$\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2017 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1}{{\bar z}_1} = {2017^2}\\{z_2}{{\bar z}_2} = {2017^2}\\{z_3}{{\bar z}_3} = {2017^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\bar z}_1} = \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_1}}}\\{{\bar z}_2} = \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_2}}}\\{{\bar z}_3} = \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_3}}}\end{array} \right..$
Ta có ${P^2} = {\left| {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right|^2} = \left( {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right)\left( {\frac{{{{\bar z}_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_2}{{\bar z}_3} + {{\bar z}_3}{{\bar z}_1}}}{{{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2} + {{\bar z}_3}}}} \right)$
$ = \left( {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right)\left( {\frac{{\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_1}}}.\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_2}}} + \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_2}}}.\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_3}}} + \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_3}}}.\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_1}}}}}{{\frac{{{{2017}^2}}}{{{z_1}}} + \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_2}}} + \frac{{{{2017}^2}}}{{{z_3}}}}}} \right) = {2017^2}.$
$ \Rightarrow P = 2017.$