Đề Thi Giữa HK 1 Toán 11 Kết Nối Tri Thức Giải Chi Tiết-Đề 3

Bởi

12-10-2023

3396

Bộ Đề Kiểm Tra Giữa Học Kỳ 1 Môn Toán 11 Có Đáp Án Và Lời Giải

Đề thi giữa HK 1 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:

Câu 1. Cho góc lượng giác $\left( {OA,OM} \right)$ có số đo là ${50^ \circ }$. Hỏi số đo của góc lượng giác nào trong bốn đáp án $A,B,C,D$ bên dưới cũng có tia đầu là $OA$ và tia cuối là $OM$ ?
A. ${\alpha _1} = {140^ \circ }$.
B. ${\alpha _2} = {410^ \circ }$.
C. ${\alpha _3} = {320^ \circ }$.
D. ${\alpha _4} = {230^ \circ }$.

Câu 2. Đổi số đo của góc $\alpha = \frac{\pi }{3}$ sang độ.
A. $\alpha = {90^ \circ }$.
B. $\alpha = {30^ \circ }$.
C. $\alpha = {60^ \circ }$.
D. $\alpha = {45^ \circ }$.

Câu 3. Chọn khẳng định đúng.
A. $sin\left( {x + y} \right) = sinxcosy + cosxsiny$.
B. $cos\left( {x – y} \right) = cosxcosy – sinxsiny$.
C. $cos\left( {x + y} \right) = cosxcosy + sinxsiny$.
D. $sin\left( {x – y} \right) = sinxcosy + cosxsiny$.

Câu 4. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. $2si{n^2}a = 1 – cos2a$.
B. $cos2a = 2cosa – 1$.
C. $sin2a = 2sinacosa$.
D. $cos2a = co{s^2}a – si{n^2}a$.

Câu 5. Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. Hàm số $y = sinx$ tuần hoàn với chu kì $2\pi $.
B. Hàm số $y = cosx$ tuần hoàn với chu kì $2\pi $.
C. Hàm số $y = tanx$ tuần hoàn với chu kì $2\pi $.
D. Hàm số $y = cotx$ tuần hoàn với chu kì $\pi $.

Câu 6. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A,B,C,D$.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = sin\frac{x}{2}$.
B. $y = cos\frac{x}{2}$.
C. $y = – cos\frac{x}{4}$.
D. $y = sin\left( { – \frac{x}{2}} \right)$.

Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. $y = sinx$.
B. $y = cosx$.
C. $y = tanx$.
D. $y = cotx$.

Câu 8. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. chúng có cùng số nghiệm.
B. chúng có cùng tập nghiệm.
C. chúng cùng có nghiệm.
D. chúng cùng có duy nhất một nghiệm.

Câu 9. Nghiệm của phương trình: $1 + tanx = 0$.
A. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B. $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 10. Phương trình $sinx = \frac{1}{2}$ có nghiệm thỏa mãn $\frac{{ – \pi }}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi }{2}$ là
A. $x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = \frac{\pi }{6}$.
C. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\;.\;$
D. $x = \frac{\pi }{3}$.

Câu 11. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}$ ( $a$ là hằng số), ${u_{n + 1}}$ là số hạng nào sau đây?
A. ${u_{n + 1}} = \frac{{a \cdot {{(n + 1)}^2}}}{{n + 2}}$.
B. ${u_{n + 1}} = \frac{{a \cdot {{(n + 1)}^2}}}{{n + 1}}$.
C. ${u_{n + 1}} = \frac{{a \cdot {n^2} + 1}}{{n + 1}}$.
D. ${u_{n + 1}} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 2}}$.

Câu 12. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{n}{{{3^n} – 1}}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là
A. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{27}}$.
B. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}$.
C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{25}}$.
D. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{28}}$.

Câu 13. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số $ – \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}; \ldots .$. là một cấp số cộng: $\left\{ {d = \frac{1}{2}} \right.$.

B. Dãy số $\frac{1}{2};\frac{1}{{{2^2}}};\frac{1}{{{2^3}}}; \ldots ..1$ là một cấp số cộng: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = \frac{1}{2}} \\
{d = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$

C. Dãy số : $ – 2; – 2; – 2; – 2; \ldots $ là cấp số cộng $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 2} \\
{d = 0}
\end{array}} \right.$.

D. Dãy số: 0,$1;0,01;0,001;0,0001; \cdots $ không phải là một cấp số cộng.

Câu 14. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 5$ và $d = 3$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${u_{15}} = 34$.
B. ${u_{15}} = 45$.
C. ${u_{13}} = 31$.
D. ${u_{10}} = 35$.

Câu 15. Cho dãy số: $ – 1;1; – 1;1; – 1; \ldots $ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.
B. Số hạng tổng quát ${u_n} = {1^n} = 1$.
C. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = – 1,q = – 1$.
D. Số hạng tổng quát ${u_n} = {( – 1)^{2n}}$.

Câu 16. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_2} = – 6$. Công bội $q$ của cấp số nhân đó là
A. 2 .
B. -2 .
C. -9 .
D. 9 .

Câu 17. Điều tra về chiều cao của 100 học sinh lớp 11 trường THPT X, ta được kết quả:

Chiều cao (cm)	[150;152)	[152;154)	[154;156)	[156;158)	[158;160)	[160;162)	[162;168)
Số học sinh	5	10	45	20	16	3	1

Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
A. 7 .
B. 6 .
C. 5 .
D. 8 .

Câu 18. Cho mẫu số liệu ghép nhóm trong đó có một nhóm là [200;235) . Độ dài của nhóm này là
A. 200.
B. 235 .
C. 5 .
D. 35 .

Câu 19. Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại di động trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian sử dụng điện thoại

(giờ)

[1;2)

[2;3)

[3;4)

[4;5)

Số học sinh

Mẫu số liệu này có số mốt là
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .

Câu 20. Cho mẫu số liệu ghép nhóm có cỡ mẫu $n$ như sau:

Nhóm	$\left[ {{a_1};{a_2}} \right)$	$ \ldots $	$\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)$	$ \ldots $	$\left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right)$
Tần só́	${m_1}$	$ \ldots $	${m_i}$	$ \ldots $	${m_k}$

Giả sử nhóm chứa trung vị là nhóm thứ $p:\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right),{m_p}$ là tần số nhóm $p$. Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

B. ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

C. ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{2} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

D. ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} – {m_p}}}{{{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$.

Câu 21. Cho góc $\alpha $ thỏa $cot\alpha = \frac{3}{4}$ và ${0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $cos\alpha = – \frac{4}{5}$.
B. $cos\alpha = \frac{4}{5}$.
C. $sin\alpha = \frac{4}{5}$.
D. $sin\alpha = – \frac{4}{5}$.

Câu 22. Biến đổi biểu thức $A = 4sinx \cdot sin2x \cdot sin3x$ thành tổng.
A. $A = – sin4x + cos2x – sin6x$.
B. $A = sin4x – cos2x – sin6x$.
C. $A = sin4x – sin2x + sin6x$.
D. $A = sin4x + sin2x – sin6x$.

Câu 23. Cho $\alpha ,\beta $ là hai góc nhọn thỏa mãn $tan = \frac{1}{7},tan\beta = \frac{3}{4}$. Góc $\alpha + \beta $ có giá trị bằng
A. $\frac{\pi }{6}$
B. $\frac{\pi }{4}$
C. $\frac{\pi }{3}$.
D. $\frac{\pi }{2}$.

Câu 24. Tìm tập giá trị $T$ của hàm số $y = 5 – 3sinx$.
A. $T = \left[ { – 1;1} \right]$.
B. $T = \left[ { – 3;3} \right]$.
C. $T = \left[ {2;8} \right]$.
D. $T = \left[ {5;8} \right]$.

Câu 25. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{{cosx}}{{sin\left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)}}$
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\pi + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Câu 26. Phương trình $m \cdot cosx – 1 = 0$ có nghiệm khi $m$ thỏa mãn điều kiện
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \leqslant – 1} \\
{m \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.
B. $m \geqslant – 1$
C. $m \geqslant 1$.
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \geqslant – 1} \\
{m \leqslant 1}
\end{array}} \right.$.

Câu 27. Phương trình $3cotx – \sqrt 3 = 0$ có nghiệm là
A. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$
D. Vô nghiệm.

Câu 28. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là dãy số bị chặn?
A. $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = {3^n}$.
B. $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_n} = sin\left( {n\frac{\pi }{2}} \right)$.
C. $\left( {{b_n}} \right):2,4,6,8,10$.
D. $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{1}{{n + 1}}$.

Câu 29. Dãy số $1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{8},\,\frac{1}{{16}}…$ là dãy số có công thức tổng quát nào dưới đây?
A. ${a_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$
B. ${b_n} = \frac{1}{{{2^{n – 1}}}}$.
C. ${c_n} = – \frac{1}{2}n + \frac{3}{2}$.
D. ${d_n} = \frac{1}{8}{n^2} – \frac{7}{8}n + \frac{7}{4}$.

Câu 30. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có: ${u_1} = – 3;d = \frac{1}{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right)$.
B. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}n – 1$.
C. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}\left( {n – 1} \right)$.
D. ${u_n} = n\left( { – 3 + \frac{1}{4}\left( {n – 1} \right)} \right)$.

Câu 31. Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?
A. 1635 .
B. 1792 .
C. 2055 .
D. 3125 .

Câu 32. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 3$ yà $q = 2$. Tống $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng -1533 . Tìm $n$.
A. $n = 9$.
B. $n = 10$.
C. $n = 11$.
D. $n = 12$.

Câu 33. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có các số hạng khác không, tìm ${u_1}$ biết: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15} \\
{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}
\end{array}} \right.$.
A. ${u_1} = 1,{u_1} = 2$.
B. ${u_1} = 1,{u_1} = 8$.
C. ${u_1} = 1,{u_1} = 5$.
D. ${u_1} = 1,{u_1} = 9$.

Câu 34. Tìm hiểu thời gian chạy cự li $1000\;m$ (đơn vị: giây) của các bạn học sinh trong một lớp thu được kết quả sau:

Thời gian	[125;127)	[127;129)	[129;131)	[131;133)	[133;135)
Số bạn	3	7	15	10	5

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A. ${M_o} = 131,02$.
B. ${M_o} = 130,23$.
C. ${M_o} = 129,02$.
D. ${M_o} = 132,04$.

Câu 35. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về khối lượng (đơn vị: gram) của 30 củ khoai từ như sau:

Khối lượng	[70;80)	[80;90)	[90;100)	[100;110)	[110;120)
Tần số	3	6	12	6	3

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A. ${Q_1} = 85,5$.
B. ${Q_1} = 87,5$.
C. ${Q_1} = 86,5$.
D. ${Q_1} = 86,75$.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1. (1 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $si{n^2}x + 5sinxcosx + 6co{s^2}x = 6$.

b) $cos3x – sin2x – cosx = 0$.

Bài 2. (1 điểm) Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức $h\left( t \right) = 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right)$ với $h$ tính bằng độ $C$ và $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ $C$ và vào lúc mấy giờ?

Bài 3. (1 điểm) Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị ${m_1},{m_2},{m_3}$ của tham số $m$ để phương trình ${x^3} – 9{x^2} + 23x + {m^3} – 4{m^2} + m – 9 = 0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức $P = m_1^3 + m_2^3 + m_3^3$.

—–HẾT—–

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:

Bảng đáp án trắc nghiệm

1. B	2. C	3. A	4. B	5. C	6. D	7. B
8. B	9. B	10. B	11. A	12. B	13. B	14. C
15. C	16. D	17. A	18. D	19. B	20. A	21. C
22. D	23. B	24. C	25. C	26. A	27. B	28. A
29. B	30. C	31. C	32. A	33. B	34. B	35. B

Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Đáp án đúng là: $B$

Theo SGK, góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối sai khác nhau một bội nguyên của ${360^ \circ }$.

Mà ${410^ \circ } – {50^ \circ } = {360^ \circ }$.

Câu 2. Đổi số đo của góc $\alpha = \frac{\pi }{3}$ sang độ.
A. $\alpha = {90^ \circ }$.
B. $\alpha = {30^ \circ }$.
C. $\alpha = {60^ \circ }$.
D. $\alpha = {45^ \circ }$.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Ta có: $\alpha = \frac{\pi }{3} = {\left( {\frac{\pi }{3} \cdot \frac{{180}}{\pi }} \right)^ \circ } = {60^ \circ }$.

Đáp án đúng là: $A$

Chọn ${\mathbf{A}}$ vì đúng theo công thức cộng.

Câu 4. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. $2si{n^2}a = 1 – cos2a$.
B. $cos2a = 2cosa – 1$.
C. $sin2a = 2sinacosa$.
D. $cos2a = co{s^2}a – si{n^2}a$.

Đáp án đúng là: $B$

Có $cos2a = co{s^2}a – si{n^2}a = 2co{s^2}a – 1 = 1 – 2si{n^2}a$ nên đáp án ${\mathbf{B}}$ sai.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Hàm số $y = tanx$ tuần hoàn với chu kì $\pi $.

Câu 6. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = sin\frac{x}{2}$.
B. $y = cos\frac{x}{2}$.
C. $y = – cos\frac{x}{4}$.
D. $y = sin\left( { – \frac{x}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy:

Tại $x = 0$ thì $y = 0$. Do đó loại $B$ và $C$.

Tại $x = \pi $ thì $y = – 1$. Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có $D$ thỏa mãn.

Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. $y = sinx$.
B. $y = cosx$.
C. $y = tanx$.
D. $y = cotx$.

Đáp án đúng là: $B$

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

• Hàm số $y = sinx$ là hàm số lẻ.

• Hàm số $y = cosx$ là hàm số chẵn.

• Hàm số $y = tanx$ là hàm số lẻ.

• Hàm số $y = cotx$ là hàm số lẻ.

Vậy $B$ là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: $B$

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Đáp án đúng là: $B$

$1 + tanx = 0 \Leftrightarrow tanx = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

$sinx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow sinx = sin\frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \pi – \frac{\pi }{6} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$.

Vì $ – \frac{\pi }{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi }{2}$ nên $x = \frac{\pi }{6}$.

Đáp án đúng là: $A$

Ta có ${u_{n + 1}} = \frac{{a \cdot {{(n + 1)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a{{(n + 1)}^2}}}{{n + 2}}$.

Câu 12. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_n} = \frac{n}{{{3^n} – 1}}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là
A. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{27}}$.
B. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}$.
C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{25}}$.
D. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{28}}$.

Đáp án đúng là: $B$

Thay lần lượt $n = 1;n = 2;n = 3$ vào công thức số hạng tổng quát ta được đáp án $B$.

Câu 13. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số $ – \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}; \ldots \ldots $ là một cấp số cộng: $d = \frac{1}{2}$.

C. Dãy số : $ – 2; – 2; – 2; – 2; \cdots $ là cấp số cộng $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 2} \\
{d = 0}
\end{array}} \right.$.

D. Dãy số: 0,$1;0,01;0,001;0,0001; \cdots $ không phải là một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: $B$

Dãy số $\frac{1}{2};\frac{1}{{{2^2}}};\frac{1}{{{2^3}}}; \ldots \ldots $ không phải cấp số cộng do $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = \frac{1}{2}} \\
{d = \frac{1}{2}}
\end{array} \Rightarrow {u_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1} \right.$

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 5} \\
{d = 3}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow {u_{13}} = {u_1} + \left( {13 – 1} \right)d = – 5 + 3.\left( {13 – 1} \right) = 31$

Câu 15. Cho dãy số: $ – 1;1; – 1;1; – 1; \ldots $ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.
B. Số hạng tổng quát ${u_n} = {1^n} = 1$.
C. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = – 1,q = – 1$.
D. Số hạng tổng quát ${u_n} = {( – 1)^{2n}}$.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Ta có $1 = – 1.\left( { – 1} \right); – 1 = 1.\left( { – 1} \right)$.

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;q = – 1$.

Câu 16. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_2} = – 6$. Công bội $q$ của cấp số nhân đó là
A. 2 .
B. -2 .
C. -9 .
D. 9 .

Đáp án đúng là: $D$

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nên $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ – 6}}{3} = – 2$

Câu 17. Điều tra về chiều cao của 100 học sinh lớp 11 trường THPT X, ta được kết quả:

Chiều cao (cm)	[150;152)	[152;154)	[154;156)	[156;158)	[158;160)	[160;162)	[162;168)
Số học sinh	5	10	45	20	16	3	1

Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
A. 7.
B. 6 .
C. 5 .
D. 8 .

Đáp án đúng là: $A$

Mẫu số liệu trên có 7 nhóm.

Câu 18. Cho mẫu số liệu ghép nhóm trong đó có một nhóm là [200;235) . Độ dài của nhóm này là
A. 200 .
B. 235 .
C. 5 .
D. 35 .

Đáp án đúng là: D

Độ dài của nhóm $\left[ {200;235} \right)$ là $235 – 200 = 35$.

Câu 19. Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại di động trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian sử dụng điện thoại

(giờ)

[1;2)

[2;3)

[3;4)

[4;5)

Số học sinh

Mẫu số liệu này có số mốt là
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .

Đáp án đúng là: $B$

Mẫu số liệu đã cho có một nhóm có số học sinh là lớn nhất nên mẫu số liệu này có 1 mốt.

Câu 20. Cho mẫu số liệu ghép nhóm có cỡ mẫu $n$ như sau:

Nhóm	$\left[ {{a_1};{a_2}} \right)$	$ \ldots $	$\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)$	$ \ldots $	$\left[ {{a_k};{a_{k + 1}}} \right)$
Tần số	${m_1}$	$ \ldots $	${m_i}$	$ \ldots $	${m_k}$

Giả sử nhóm chứa trung vị là nhóm thứ $p:\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right),{m_p}$ là tần số nhóm $p$. Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

B. ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

C. ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{2} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$.

D. ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} – {m_p}}}{{{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$.

Đáp án đúng là: $A$

Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

Đáp án đúng là: $C$

Ta có

$\frac{1}{{si{n^2}\alpha }} = 1 + co{t^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}$

${0^ \circ } < \alpha < {90^0} \Rightarrow sin\alpha > 0$

$ \Rightarrow sin\alpha = \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} = \frac{4}{5}.$

Đáp án đúng là: $D$

Áp dụng quy tắc từ tích sang tổng, ta được:

$A = 4sinx \cdot sin2x \cdot sin3x$

$ = 4 \cdot \left[ { – \frac{1}{2}\left( {cos\left( {x + 2x} \right) – cos\left( {x – 2x} \right)} \right)} \right]sin3x$

$ = 2\left( {cosx – cos3x} \right)sin3x$

$ = 2sin3xcosx – 2sin3xcos3x$

$ = 2 \cdot \frac{1}{2}\left( {sin\left( {3x + x} \right) + sin\left( {3x – x} \right)} \right) – sin6x$

$ = sin4x + sin2x – sin6x$.

Câu 23. Cho $\alpha ,\beta $ là hai góc nhọn thỏa mãn $tan\alpha = \frac{1}{7},tan\beta = \frac{3}{4}$. Góc $\alpha + \beta $ có giá trị bằng
A. $\frac{\pi }{6}$.
B. $\frac{\pi }{4}$.
C. $\frac{\pi }{3}$.
D. $\frac{\pi }{2}$.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có:

$tan\left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{tan\alpha + tan\beta }}{{1 – tan\alpha tan\beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 – \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}}} = 1 \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}\;} \right)$

Mà $\alpha ,\beta $ là hai góc nhọn $ \Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{4}$.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Ta có $ – 1 \leqslant sinx \leqslant 1 \Leftrightarrow 1 \geqslant – sinx \geqslant – 1 \Leftrightarrow 3 \geqslant – 3sinx \geqslant – 3$

$ \Leftrightarrow 8 \geqslant 5 – 3sinx \geqslant 2 \Leftrightarrow 2 \leqslant y \leqslant 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right]$.

Câu 25. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{{cosx}}{{sin\left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)}}$

A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\pi + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: $C$

Hàm số đã cho xác định $sin\left( {x – \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x – \frac{\pi }{2} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $

Vậy tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: $A$

Dễ thấy với $m = 0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Với $m \ne 0$, ta có: $m \cdot cosx – 1 = 0 \Leftrightarrow cosx = \frac{1}{m}$ (1).

Phương trình đã cho có nghiệm $ \Leftrightarrow $ phương trình $\;(1)$ có nghiệm

$ \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{m}} \right| \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\left| m \right|}} \leqslant 1 \Leftrightarrow \left| m \right| \geqslant 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \geqslant 1} \\
{m \leqslant – 1}
\end{array}\;} \right.$(thỏa mãn điều kiện $m \ne 0$)

Câu 27. Phương trình $3cotx – \sqrt 3 = 0$ có nghiệm là

A. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$
D. Vô nghiệm.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có $3cotx – \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow cotx = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow cotx = cot\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 28. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là dãy số bị chặn?
A. $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = {3^n}$.
B. $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = sin\left( {n\frac{\pi }{2}} \right)$.
C. $\left( {{b_n}} \right):2,4,6,8,10$.
D. $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{1}{{n + 1}}$.

Đáp án đúng là: A

+ Ta có: $0 \leqslant {v_n} \leqslant \frac{1}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

+ Ta có: $ – 1 \leqslant {u_n} \leqslant 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

+ Ta có: $2 \leqslant {b_n} \leqslant 10,\forall n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$. Suy ra dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

+ Lấy số tự nhiên $N$ bất kỳ, tồn tại $n = N + 1$ sao cho ${a_n} = {a_{N + 1}} = {3^{N + 1}} \geqslant N$. Suy ra dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ không là dãy số bị chặn trên.

Câu 29. Xét dãy số : $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{{16}} \ldots $. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.
A. ${a_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$.
B. $\;{b_n} = \frac{1}{{{2^{n – 1}}}}$.
C. ${c_n} = – \frac{1}{2}n + \frac{3}{2}$.
D. ${d_n} = \frac{1}{8}{n^2} – \frac{7}{8}n + \frac{7}{4}$.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có: ${a_1} = \frac{1}{2}$. Loại A.

${c_3} = 0$. Loại $C$.

${d_4} = \frac{1}{4}$. Loại D.

Đáp án đúng là: $C$

Sử dụng công thức SHTQ ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\;\left( {\forall n \geqslant 2} \right)$.

Ta có: ${u_n} = – 3 + \left( {n – 1} \right)\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: $C$

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai $d = 3$ và ${u_1} = 25$.

Tổng số ghế là ${S_{30}} = {u_1} + {u_2} + … + {u_{30}} = 30{u_1} + \frac{{30.29}}{2}d = 2055$.

Đáp án đúng là: $A$

Ta có $ – 1533 = {S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}} = – 3 \cdot \frac{{1 – {2^n}}}{{1 – 2}} = – 3\left( {{2^n} – 1} \right)$

$ \Rightarrow {2^n} = 512 = {2^9} \Leftrightarrow n = 9$.

Câu 33. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có các số hạng khác không, tìm ${u_1}$ biết: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15} \\
{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}
\end{array}} \right.$
A. ${u_1} = 1,{u_1} = 2$.
B. ${u_1} = 1,{u_1} = 8$.
C. ${u_1} = 1,{u_1} = 5$.
D. ${u_1} = 1,{u_1} = 9$.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3}} \right) = 15} \\
{u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}} = 15} \\
{u_1^2\frac{{{q^8} – 1}}{{{q^2} – 1}} = 85}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}}} \right)^2} \cdot \left( {\frac{{{q^2} – 1}}{{{q^8} – 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}}$

$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{q^4} – 1} \right)\left( {q + 1} \right)}}{{\left( {q – 1} \right)\left( {{q^4} + 1} \right)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{q = 2} \\
{q = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$

Từ đó ta tìm được ${u_1} = 1,{u_1} = 8$.

Câu 34. Tìm hiểu thời gian chạy cự li $1000\;m$ (đơn vị: giây) của các bạn học sinh trong một lớp thu được kết quả sau:

Thời gian	[125;127)	[127;129)	[129;131)	[131;133)	[133;135)
Số bạn	3	7	15	10	5

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A. ${M_o} = 131,02$.
B. ${M_o} = 130,23$.
C. ${M_o} = 129,02$.
D. ${M_o} = 132,04$.

Đáp án đúng là: $B$

Tần số lớn nhất của mẫu số liệu trên là 15 nên nhóm chứa mốt là [129;131).

Ta có:

$j = 3,{a_3} = 129,{m_3} = 15,{m_2} = 7,{m_4} = 10,h = 2$.

Do đó:

${M_o} = 129 + \frac{{15 – 7}}{{\left( {15 – 7} \right) + \left( {15 – 10} \right)}} \cdot 2 \approx 130,23$

Câu 35. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về khối lượng (đơn vị: gram) của 30 củ khoai từ như sau:

Khối lượng	[70;80)	[80;90)	[90;100)	[100;110)	[110;120)
Tần số	3	6	12	6	3

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A. ${Q_1} = 85,5$.
B. ${Q_1} = 87,5$.
C. ${Q_1} = 86,5$.
D. ${Q_1} = 86,75$.

Đáp án đúng là: $B$

Cỡ mẫu: $n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là ${x_8}$. Do ${x_8}$ thuộc nhóm $\left[ {80;90} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$.

Do đó: $p = 2,{a_2} = 80,{m_2} = 6,{m_1} = 3,{a_3} – {a_2} = 10$. Ta có:

${Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} – 3}}{6} \cdot 10 = 87,5$

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1. (1 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $si{n^2}x + 5sinxcosx + 6co{s^2}x = 6$.

b) $cos3x – sin2x – cosx = 0$.

Lời giải:

a) $si{n^2}x + 5sinxcosx + 6co{s^2}x = 6$

TH1: $cosx = 0 \Leftrightarrow si{n^2}x = 1$, khi đó phương trình trở thành $1 = 6$ (vô nghiệm).

TH2: $cosx \ne 0$. Chia cả 2 vế của phương trình cho $co{s^2}x$, ta được:

$ta{n^2}x + 5tanx + 6 = 6\left( {1 + ta{n^2}x} \right) \Leftrightarrow 5ta{n^2}x – 5tanx = 0$

$ \Leftrightarrow 5tanx\left( {tanx – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{tanx = 0} \\
{tanx = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi } \\
{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) $cos3x – sin2x – cosx = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {cos3x – cosx} \right) – sin2x = 0$

$ \Leftrightarrow – 2sin2xsinx – sin2x = 0$

$ \Leftrightarrow – sin2x\left( {2sinx + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sin2x = 0} \\
{sinx = – \frac{1}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = k\pi } \\
{x = \frac{{ – \pi }}{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{k\pi }}{2}} \\
{x = \frac{{ – \pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{ – \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.

Lời giải

Vì $ – 1 \leqslant sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) \leqslant 1$ nên $29 + 3 \cdot \left( { – 1} \right) \leqslant 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) \leqslant 29 + 3.1$

$ \Leftrightarrow 26 \leqslant 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) \leqslant 32$

$ \Leftrightarrow 26 \leqslant h\left( t \right) \leqslant 32$

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là ${26^ \circ }C$ khi:

$29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) = 26$

$ \Leftrightarrow sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) = – 1$

$ \Leftrightarrow sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) = sin\left( { – \frac{\pi }{2}} \right)$

$ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) = – \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow t = 3 + 24k,k \in \mathbb{Z}$

Vì vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiều độ thấp nhất của thành phố là ${26^ \circ }C$.

Lời giải:

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: $ – \frac{b}{{3a}} = – \frac{{ – 9}}{3} = 3$ là nghiệm của phương trình.

Suy ra ${3^3} – {9.3^2} + 23.3 + {m^3} – 4{m^2} + m – 9 = 0$

$ \Leftrightarrow {m^3} – 4{m^2} + m + 6 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – 1} \\
{m = 2} \\
{m = 3}
\end{array}} \right.$

Với $m = – 1,m = 2,m = 3$ thì ${m^3} – 4{m^2} + m + 6 = 0$ nên ${m^3} – 4{m^2} + m – 9 = – 15$.

Do vậy, với $m = – 1,m = 2,m = 3$ ta có phương trình

${x^3} – 9{x^2} + 23x – 15 = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5.\;$

Ba số $1,3,5$ lập thành cấp số cộng.

Vậy $m = – 1,m = 2,m = 3$ là các giá trị cần tìm.

Do đó ${( – 1)^3} + {2^3} + {3^3} = 34$.

XEM NHIỀU

TÀI LIỆU HOT

BÀI VIẾT TIÊU BIỂU

BÀI VIẾT PHỔ BIẾN

MỤC XEM NHIỀU