Đề Ôn Thi HK2 Toán 10 Kết Nối Tri Thức Giải Chi Tiết-Đề 3

Đề ôn thi HK2 Toán 10 kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. TRẮC NGHIỆM (7 điểm)

Câu 1. Phương tiện bạn Hà có thể chọn đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt được thể hiện qua sơ đồ cây sau:

Hỏi bạn Hà có mấy cách chọn đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt.

A. 3 ; B. 6 ; C. 18 ; D. 9 .

Câu 2. Cho tập $A$ có $n$ phần tử ($n \in \mathbb{N},\,n \geqslant 2$), là số nguyên thỏa mãn $1 \leqslant k \leqslant n$. Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử trên là

A. $n.k$; B. $\;n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right) \ldots \left( {n – k + 1} \right);\;$

C. $\frac{n}{k};\;$ D. $\frac{k}{n}$.

Câu 3. Cho 10 điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong 10 điểm đó?

A. 45 ; B. 6; C. 90 ; D. 20 .

Câu 4. Cho biểu thức ${(a + b)^n}$, với $n = 4$ ta có khai triển là

A. ${(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2} \cdot {b^2} + C_4^3a \cdot {b^3} + C_4^4 \cdot {b^4}$;

B. ${(a + b)^4} = C_4^0{a^4} – C_4^1{a^3}{b^1} – C_4^2{a^2} \cdot {b^2} – C_4^3a \cdot {b^3} – C_4^4 \cdot {b^4}$;

C. ${(a + b)^4} = C_4^0{a^4} – C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2} \cdot {b^2} – C_4^3a \cdot {b^3} + C_4^4 \cdot {b^4}$;

D. ${(a + b)^4} = – C_4^0{a^4} – C_4^1{a^3}{b^1} – C_4^2{a^2} \cdot {b^2} – C_4^3a \cdot {b^3} – C_4^4 \cdot {b^4}$.

Câu 5. Hàm số bậc hai $y = {x^2}$ có trục đối xứng là

A. Trục $Oy$; B. Trục $Ox$;

C. Đường thẳng $y = x$; D. Hàm số không có trục đối xứng.

Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} – 3x + 2 < 0$ là

A. $\left( {1;2} \right)$; B. $\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$; C. $\left( { – \infty ;1} \right)$; D. $\left( {2; + \infty } \right)$.

Câu 7. Số nghiệm của phương trình $\sqrt { – {x^2} + 4x} = 2x – 2$ là:

A. 0; B. 1; C. 2; D. 3.

Câu 8. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món chính trong năm món chính, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một loại nước uống trong ba loại nước uống. Số cách chọn thực đơn là

A. 25 ; B. 75 ; C. 100 ; D. 15 .

Câu 9. Cho tập hợp $M = \left\{ {a;b;c} \right\}$. Số hoán vị của ba phần tử của $M$ là

A. 4 ; B. 5 ; C. 6 ; D. 7 .

Câu 10. Giá trị của biểu thức ${(3 + \sqrt 2 )^4} + {(3 – \sqrt 2 )^4}$ bằng

A. 193 ; B. -386 ; C. 772 ; D. 386 .

Câu 11. Gieo một đồng xu ba lần liên tiếp. Xác suất để xuất hiện ít nhất một lần mặt ngửa là

A. $\frac{7}{8}$ B. $\frac{1}{8}$ C. 0,25 ; D. 0,5 .

Câu 12. Một lớp có 15 bạn nam và 17 bạn nữ. Lấy ngẫu nhiên 3 bạn để làm đội kỉ luật. Xác suất để đội kỉ luật có ít nhất một bạn nữ là

A. $\frac{{900}}{{992}}$; B. $\frac{{901}}{{992}}$; C. $\frac{{91}}{{992}}$; D. $\frac{1}{{992}}$.

Câu 13. Cho biến cố $A$ có biến cố đối $\overline A $. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $0 \leqslant P\left( A \right)$ hoặc $P\left( A \right) \geqslant 1$; B. $P\left( A \right) – P\left( {\overline A } \right) = 1$;

C. $0 \leqslant P\left( {\overline A } \right) \leqslant 1$; D. $P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right)$.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $M\left( {9;6} \right)$ và $N\left( { – 1; – 2} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ là

A. $I\left( { – 5; – 4} \right)$; B. $I\left( {8;4} \right)$; C. $I\left( { – 10; – 8} \right)$; D. $I\left( {4;2} \right)$.

Câu 15. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow a $ là được gọi là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 $ và giá của $\overrightarrow a $ song song hoặc trùng với $d$;

B. $\overrightarrow n $ là được gọi là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ nếu $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ và giá của $\overrightarrow a $ vuông góc với $d$;

C. Nếu $\overrightarrow a $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì $k\overrightarrow {a\,} \,(k \ne 0)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$;

D. Cả A, B đều đúng.

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$. Biết ${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$. Xác định vị trí tương đối giữa $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {a} $ và $\overrightarrow b $.

A. $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương; B. $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng hướng;

C. $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ ngược hướng; D. $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ vuông góc.

Câu 17. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( { – 2;4} \right)$ và $B\left( {1;0} \right)$ là

A. $4x + 3y + 4 = 0$; B. $4x + 3y – 4 = 0$; C. $4x – 3y + 4 = 0$; D. $4x – 3y – 4 = 0$.

Câu 18. Cho điểm $M$ có hoành độ nhỏ hơn $-3$ nằm trên $\Delta : x + y – 1 = 0$ và cách $N\left( { – 3;4} \right)$ một khoảng bằng $\sqrt 2 $. Khi đó tọa độ điểm $M$ là

A. $M\left( { – 2;3} \right)$; B. $M\left( { – 4;5} \right)$;

C. Cả A và B đều đúng; $\;$ D. Không tồn tại điểm $M$.

Câu 19. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ biết chúng lần lượt có vectơ pháp tuyến là ${n_1} = \left( {2;3} \right)$ và ${n_2} = \left( {6;9} \right)$.

A. ${d_1}$ và ${d_2}$ tạo với nhau một góc ${30^ \circ }$; B. ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau;

C. ${d_1}$ và ${d_2}$ song song hoặc trùng nhau; D. ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau.

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} $. Nếu hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ song song thì

A. $\overrightarrow {{a_1}} $ cùng phương với $\overrightarrow {{a_2}} $; B. $\overrightarrow {{a_1}} $ không cùng phương với $\overrightarrow {{a_2}} $;

C. $\;\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} = 0$ D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 21. Cho $d$ là đường thẳng có phương trình tham số như sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t + 1} \\
{y = 3t + 2}
\end{array}} \right.$. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d$ ?

A. $A\left( {2;4} \right)$; B. $B\left( {3;5} \right)$; C. $C\left( {10;1} \right)$; D. $D\left( {3; – 10} \right)$.

Câu 22. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:2x + 2\sqrt 3 y + \sqrt 5 = 0$ và ${\Delta _2}:y – \sqrt 6 = 0$ là:

A. ${60^ \circ }$; B. ${125^ \circ }$; C. ${145^ \circ }$; D. ${30^ \circ }$.

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M\left( {a;b} \right)$ di động trên đường thẳng $d:2x + 5y – 10 = 0$. Tìm $a,b$ để khoảng cách ngắn nhất từ điểm $A$ đến điểm $M$, biết điểm $A\left( {3; – 1} \right)$.

A. $a = \frac{{111}}{{29}}$ và $b = \frac{{26}}{{29}}$; B. $a = \frac{{10}}{{29}}$ và $b = \frac{{16}}{{29}}$; C. $a = \frac{{105}}{{29}}$ và $b = \frac{{16}}{{29}}$; D. $a = \frac{{15}}{{29}}$ và $b = \frac{{16}}{{29}}$.

Câu 24. Phương trình ${x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

A. ${a^2} + {b^2} \geqslant c$ B. ${a^2} + {b^2} < c$; C. ${a^2} + {b^2} > c$; D. ${a^2} + {b^2} \leqslant c$.

Câu 25. Cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${(x + 5)^2} + {(y – 2)^2} = 25$. Đường tròn $\left( C \right)$ còn được viết dưới dạng nào trong các dạng dưới đây

A. ${x^2} + {y^2} + 10x + 4y + 4 = 0$; B. ${x^2} + {y^2} + 10x + 4y – 4 = 0$;

C. ${x^2} + {y^2} + 10x – 4y – 4 = 0$; D. ${x^2} + {y^2} + 10x – 4y + 4 = 0$.

Câu 26. Cho đường tròn $\left( C \right):{(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 10$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( {4;4} \right)$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $M\left( {1;5} \right)$; B. $N\left( {0;0} \right)$; C. $P\left( {5;2} \right)$; D. $Q\left( {12;1} \right)$.

Câu 27. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

A. $\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$; B. $\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1$; C. $\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$; D. $\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{49}} = 1$.

Câu 28. Phương trình chính tắc của Parabol $\left( P \right)$ có đường chuẩn $\Delta :3x + 5 = 0$ là

A. ${y^2} = \frac{{20}}{3}x$ B. ${y^2} = \frac{{10}}{3}x$; C. ${y^2} = 20x$; D. ${y^2} = 5x$.

Câu 29. Cho Hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ và đường thẳng $\Delta : x + y = 3$. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của $\left( H \right)$ đến $\Delta $ bằng giá trị nào sau đây?

A. 16 ; B. 8 ; C. 64 ; D. 7 .

Câu 30. Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?

A. $\Omega $; B. $\emptyset $; C. $M$; D. $P\left( A \right)$.

Câu 31. Chọn ngẫu nhiên một số có 2 chữ số nhỏ hơn 40 . Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Số được chọn là số chia hết cho 5 ” là

A. $\left\{ {10;15;20;25;30;35} \right\}$; B. $\left\{ {10;15;20;25;30;35;40} \right\}$;

C. $\left\{ {10;15;20;25;30} \right\}$; D. $\left\{ {15;20;25;30;35;40} \right\}$.

Câu 32. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = x$; B. $y = – \sqrt {x + 1} $; C. $y = – 3{x^2} + 2x$ D. $y = – \frac{1}{2}x$.

Câu 33. Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có ai là

A. $\frac{3}{4}$ B. $\frac{3}{{16}}$; C. $\frac{{13}}{{16}}$; D. $\frac{1}{4}$.

Câu 34. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 2 = 0$. Phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right)$ song song với $\left( d \right):4x – 3y + 3 = 0$ và tiếp xúc với $\left( C \right)$ là

A. $4x – 3y + 3 = 0$; B. $4x – 3y – 17 = 0$; C. $4x – 3y – 5 = 0$; D. $4x – 3y – 9 = 0$.

Câu 35. Phép thử là

A. một thí nghiệm hay một hành động biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử;

B. tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử;

C. một thí nghiệm hay một hành động không biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử;

D. một cách sắp xếp $k$ phần tử nào đó vào $n$ vị trí.

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm)

Cho nhị thức ${\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}$, trong đó số nguyên $n$ thỏa mãn $A_n^3 = 12n$. Tìm số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển.

Bài 2. (1,0 điểm)

Một bàn dài có hai dãy ghế ngồi đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Người ta xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trường $A$ và 4 học sinh trường $B$ vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp, sao cho bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau khác trường với nhau?

Bài 4. (1 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { – 2;3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {6;0} \right)$. Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$.

b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:3x – 4y – 1 = 0$ và điểm $I\left( {1; – 2} \right)$. Gọi $\left( C \right)$ là đường tròn tâm $I$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho tam giác $IAB$ có diện tích bằng 4 . Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

I. TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

ĐÁP ÁN

1. B	2. B	3. A	4. A	5. A	6. A	7. B
8. B	9. C	10. D	11. A	12. B	13. C	14. D
15. D	16. D	17. B	18. B	19. C	20. A	21. B
22. D	23. C	24. C	25. D	26. A	27. C	28. A
29. B	30. A	31. A	32. D	33. B	34. B	35. C

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT

Câu 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dựa vào sơ đồ cây có 6 cách đi từ Lạng Sơn vào Đà Lạt.

Câu 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right)$.

Ta có: $A_n^k = n\left( {n – 1} \right) \ldots \left( {n – k + 1} \right)$.

Câu 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: ${\mathbf{A}}$

Các đoạn thẳng được lập không phân biệt điểm đầu và điểm cuối (ví dụ đoạn thẳng $AB$ và đoạn thẳng $BA$ là giống nhau).

Vậy cứ hai điểm phân biệt sẽ cho ta một đoạn thẳng.

Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong tám điểm nói trên là $C_{10}^2 = 45$ đoạn thẳng.

Câu 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khai triển với $n = 4$ là:

${(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2} \cdot {b^2} + C_4^3a \cdot {b^3} + C_4^4 \cdot {b^4}.$

Câu 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số bậc hai $y = {x^2}$ có trục đối xứng $x = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{0}{{2.1}} = 0$.

Vì vậy trục đối xứng là $Oy$.

Câu 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam thức bậc hai $f\left( x \right):{x^2} – 3x + 2$ có $\Delta = {( – 3)^2} – 4.1.2 = 1 > 0$.

Do đó $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ – \left( { – 3} \right) – \sqrt 1 }}{{2.1}} = 1;{x_2} = \frac{{ – \left( { – 3} \right) + \sqrt 1 }}{{2.1}} = 2$.

Ta lại có $a = 1 > 0$.

Do đó ta có:

• $f\left( x \right)$ âm trên khoảng $\left( {1;2} \right)$;

• $f\left( x \right)$ dương trên hai khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$;

• $f\left( x \right) = 0$ khi $x = 1$ hoặc $x = 2$.

Vì vậy bất phương trình ${x^2} – 3x + 2 < 0$ có tập nghiệm là $\left( {1;2} \right)$.

Câu 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

$ – {x^2} + 4x = {(2x – 2)^2}$

$ \Rightarrow – {x^2} + 4x = 4{x^2} – 8x + 4$

$ \Rightarrow – 5{x^2} + 12x – 4 = 0$

$ \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = \frac{2}{5}$

Với $x = 2$, ta có $\sqrt { – {2^2} + 4.2} = 2.2 – 2$ (đúng)

Với $x = \frac{2}{5}$, ta có $\sqrt { – {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2} + 4 \cdot \frac{2}{5}} = 2 \cdot \frac{2}{5} – 2$

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị $x = 2$ và $x = \frac{2}{5}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = 2$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Câu 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Việc chọn thực đơn gồm ba công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn một món chính, có 5 cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn một loại quả tráng miệng, có 5 cách chọn.

Công đoạn 3: chọn một loại nước uống, có 3 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả 5.5.3 = 75 cách chọn thực đơn.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số hoán vị của ba phần tử của tập $M$ là: ${P_3} = 3! = 6$.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

• ${(3 + \sqrt 2 )^4} = {3^4} + 4 \cdot {3^3} \cdot \sqrt 2 + 6 \cdot {3^2} \cdot {(\sqrt 2 )^2} + 4 \cdot 3 \cdot {(\sqrt 2 )^3} + {(\sqrt 2 )^4}$.

• ${(3 – \sqrt 2 )^4} = {3^4} + 4 \cdot {3^3} \cdot \left( { – \sqrt 2 } \right) + 6 \cdot {3^2} \cdot {( – \sqrt 2 )^2} + 4 \cdot 3 \cdot {( – \sqrt 2 )^3} + {( – \sqrt 2 )^4}$.

Suy ra ${(3 + \sqrt 2 )^4} + {(3 – \sqrt 2 )^4} = 2 \cdot \left[ {{3^4} + 6 \cdot {3^2} \cdot {{(\sqrt 2 )}^2} + {{(\sqrt 2 )}^4}} \right]$

$ = 2 \cdot \left( {81 + 6 \cdot 9 \cdot 2 + 4} \right) = 386$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 11.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi $S$ là kí hiệu khi đồng xu xuất hiện mặt sấp, $N$ là kí hiệu khi đồng xu xuất hiện mặt ngửa. Không gian mẫu là:

$\Omega = \{ SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN\} $ nên $n\left( \Omega \right) = 8$.

Gọi biến cố $A$ : “ít nhất một lần mặt ngửa”. Các kết quả thuận lợi của biến cố $A$ là: $SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN$. Do đó $n\left( A \right) = 7$.

Vậy, $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{7}{8}$

Câu 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tổng số học sinh trong lớp: $15 + 17 = 32$ (học sinh)

Biến cố $A$ : “đội kỉ luật có ít nhất một bạn nữ”

Biến cố đối $\overline A $ : “đội kỉ luật không có bạn nữ nào” tức là chỉ có 3 bạn nam

Ta có:

$n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960$

$n\left( {\overline A } \right) = C_{15}^3 = 455$

$P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{455}}{{4960}} = \frac{{91}}{{992}}$

Vậy $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{{91}}{{992}} = \frac{{901}}{{992}}.\;$

Câu 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho biến cố $A$ có biến cố đối $\overline A $. Ta có: $P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1$ và $0 \leqslant P\left( A \right),P\left( {\overline A } \right) \leqslant 1$.

Do đó $C$ đúng.

Câu 14.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ thỏa mãn:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = \frac{{9 + \left( { – 1} \right)}}{2} = 4} \\
{{y_I} = \frac{{6 + \left( { – 2} \right)}}{2} = 2}
\end{array} \Rightarrow I\left( {4;2} \right)} \right.$

Câu 15.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương án $A,B$ đúng.

Phương án $C$ sai. Sửa lại: Nếu $\overrightarrow a $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì $k\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {a} \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có ${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0 \Rightarrow a \cdot b = 0$.

Do đó $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {a} $ và $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {b} $ vuông góc.

Câu 17.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3; – 4} \right)$

Khi đó đường thẳng $AB$ nhận $\left( {4;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$4\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y – 4 = 0$.

Câu 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $\Delta : x + y – 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1;1} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương $\left( {1; – 1} \right)$. Lấy điểm $\left( {0;1} \right)$ thuộc $\Delta $, khi đó phương trình tham số của $\Delta $ là:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t} \\
{x = 1 – t}
\end{array} \Rightarrow M\left( {t;1 – t} \right)(t < – 3)} \right.$

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { – 3 – t;t + 3} \right) \Rightarrow MN = \sqrt 2 \left| {t + 3} \right|$

Mà $MN = \sqrt 2 $ nên $\sqrt 2 \left| {t + 3} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {t + 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t + 3 = 1} \\
{t + 3 = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 2} \\
{t = – 4}
\end{array}} \right.} \right.$.

Do đó $t = – 4$ thỏa mãn vậy $M\left( { – 4;5} \right)$.

Câu 19.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Ta có:

$cos\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left| {cos\left( {{d_1};{d_2}} \right)} \right|$

$ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 6 + 3 \cdot 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {9^2}} }} = 1$

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng ${0^0}$ hay hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ song song và trùng nhau.

Câu 20.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ song song thì $\overrightarrow {{a_1}} $ cùng phương với $\overrightarrow {{a_2}} $.

Câu 21.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay điểm $A\left( {2;4} \right)$ vào phương trình tham số ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2 = 2t + 1} \\
{4 = 3t + 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{1}{2}} \\
{t = \frac{2}{3}\;(vô\;lí ).\;}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $A\left( {2;4} \right)$ không thuộc đường thẳng $d$.

Tương tự điểm $C\left( {10;1} \right)$ và điểm $D\left( {3; – 10} \right)$ không thuộc đường thẳng $d$.

Thay điểm $B\left( {3;5} \right)$ vào phương trình tham số ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 = 2t + 1} \\
{5 = 3t + 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1} \\
{t = 1}
\end{array} \Leftrightarrow t = 1} \right.} \right.$

Vậy $B\left( {3;5} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.

Câu 22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1} \right)$

$cos\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2\sqrt 3 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2\sqrt 3 )}^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Suy ra $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^ \circ }$.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 23.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kẻ $AH \bot d$ (tại $H$ )

Ta có: $AM \geqslant AH$ (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Do đỏ để $AM$ ngắn nhất thì $M$ trùng $H$.

Đường thẳng $d:2x + 5y – 10 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\left( {2;5} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left( {5; – 2} \right)$.

Khi đó phương trình đường thẳng $AH$ nhận $\left( {5; – 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua $A\left( {3; – 1} \right)$ có phương trình là:

$5\left( {x – 3} \right) – 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x – 2y – 17 = 0$.

Tọa độ của điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5y – 10 = 0} \\
{5x – 2y – 17 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{105}}{{29}}} \\
{y = \frac{{16}}{{29}}}
\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{{105}}{{29}};\frac{{16}}{{29}}} \right)} \right.} \right.$

Câu 24.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình ${x^2} + {y^2} – 2ax – 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} > c$.

Câu 25.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${(x + 5)^2} + {(y – 2)^2} = 25$

$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 10x – 4y + 4 = 0$.

Câu 26.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {IA} \left( {1;3} \right)$

Khi đó phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( {4;4} \right)$ là:

$x – 4 + 3\left( {y – 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y – 16 = 0$

Ta có $M\left( {1;5} \right)$ là điểm thỏa mãn phương trình trên.

Câu 27.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$ với $a = 7,b = 6$ thỏa mãn $a > b > 0$.

Câu 28.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $3x + 5 = 0 \Leftrightarrow x + \frac{5}{3} = 0 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow p = \frac{{10}}{3}$

Vì vậy phương trình chính tắc của Parabol $(P)$ là ${y^2} = \frac{{20}}{3}x$

Câu 29.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của $\left( H \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^2} = 16} \\
{{b^2} = 9}
\end{array}} \right.$

Ta có ${c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 + 9 = 25$.

Suy ra $c = 5$.

Khi đó hai tiêu điểm của $\left( H \right)$ là ${F_1}\left( { – 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)$.

Ta có $\Delta : x + y = 3 \Leftrightarrow x + y – 3 = 0$.

Ta có $d\left( {{F_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| { – 5 + 0 – 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 4\sqrt 2 \;$ và $d\left( {{F_2},\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + 0 – 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 $

Khi đó tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của $\left( H \right)$ đến $\Delta $ là: $4\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 8$.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 30.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biến cố chắc chắn là $\Omega $.

Câu 31.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Số được chọn là số chia hết cho 5 ” là:

$\left\{ {10;15;20;25;30;35} \right\}$.

Câu 32.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Hàm số $y = x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và $a = 1 > 0$ nên hàm số đồng biến trên$\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = – \sqrt {x + 1} $ có tập xác định là $\left[ { – 1; + \infty } \right)$.

+) Hàm số $y = – 3{x^2} + 2x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và $ – \frac{b}{{2a}} = – \frac{2}{{2 \cdot \left( { – 3} \right)}} = \frac{1}{3}$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$.

+) Hàm số $\;y = – \frac{1}{2}x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và $a = – \frac{1}{2} < 0$ nên hàm số nghịch biến trên$\mathbb{R}$.

Câu 33.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu.

Vì chọn mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên ta có ${4^4}$ cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = {4^4}$.

Gọi biến cố $A:$ ” 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có ai”.

Để tìm số phần tử của biến cố $A$, ta chia thành hai giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Chọn 3 hành khách trong số 4 hành khách và chọn 1 toa trong số 4 toa.

Sau đó xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn.

Khi đó ta có $C_4^3 \cdot C_4^1$ cách.

Giai đoạn 2: Chọn 1 toa trong số 3 toa còn lại và xếp 1 hành khách còn lại lên toa đó.

Suy ra có $C_3^1$ cách. Hiển nhiên khi đó 2 toa còn lại sẽ không có hành khách nào.

Theo quy tắc nhân, ta có $n\left( A \right) = C_4^3 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là:

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^3 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1}}{{{4^4}}} = \frac{3}{{16}}$

Ta chọn phương án $B$.

Câu 34.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 2 = 0$

$ \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4$

Khi đó tâm của đường tròn $\left( C \right)$ là $I\left( {1; – 1} \right)$ và $R = 2$.

Vì đường thẳng $\left( \Delta \right)$ song song với $\left( d \right):4x – 3y + 3 = 0$ nên $\left( \Delta \right)$ có dạng $4x – 3y + c = 0\left( {c \ne 3} \right)$

Ta có đường thẳng $\left( \Delta \right)$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ nên:

$d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 1 – 3 \cdot \left( { – 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( – 3)}^2}} }} = \frac{{\left| {c + 7} \right|}}{5} = 2$

$ \Leftrightarrow \left| {c + 7} \right| = 10$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c + 7 = 10} \\
{c + 7 = – 10}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 3} \\
{c = – 17}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy tiếp tuyến là $4x – 3y – 17 = 0$.

Câu 35.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động không biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử.

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm)

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $A_n^3 = 12n\left( {n \geqslant 3} \right)$

$ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n – 3} \right)!}} = 12n$

$ \Leftrightarrow n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right) = 12n$

$ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 10 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 5} \\
{n = – 2}
\end{array}} \right.$

Do đó chỉ có $n = 5$ thỏa mãn điều kiện.

Khi đó ${\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^4} \cdot \left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)$

$ + 10 \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^3} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} + 10 \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^3}$

$ + 5 \cdot \left( {2{x^2}} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}$

$ = 32{x^{10}} + 80{x^5} + 80 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{10}}{{{x^{10}}}} + \frac{1}{{{x^{15}}}}$.

Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $80{x^5}$.

Bài 2. (1,0 điểm)

Hướng dẫn giải

Ta có sơ đồ sau:

Dãy ghế thứnhất	1	2	3	4
Dãy ghế thứhai	5	6	7	8

Ở ghế 1: có 8 cách chọn học sinh ngồi vào ghế

Ở ghế 5 : có 4 cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).

Ở ghế 2: có 6 cách chọn học sinh ngồi vào ghế

Ở ghế 6: có 3 cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).

Ở ghế 3: có 4 cách chọn học sinh ngồi vào ghế

Ở ghế 7: có 2 cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).

Ở ghế 4: có 2 cách chọn học sinh ngồi vào ghế

Ở ghế 8: có 1 cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).

Vậy có: 8.4.6.3.4.2.2.1=9216 cách xếp sao cho bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau khác trường với nhau.

Bài 3. (1 điểm)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow {IA} (8; – 3)$$ \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {73} $

Suy ra bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là $R = \sqrt {73} $.

Khi đó phương trình đường tròn $\left( C \right)$ cần tìm là: ${(x – 8)^2} + {(y + 3)^2} = 73$.

b)

Từ điểm $I$ kẻ $IH$ vuông góc với đường thẳng $d\left( {H \in d} \right)$.

Khi đó $H$ là trung điểm của $AB$.

Khoảng cách từ điểm $I$ đến đường thẳng $d$ là: $d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 1 – 4 \cdot \left( { – 2} \right) – 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2$.

Diện tích tam giác $IAB$ bằng 4 nên độ dài cạnh $AB$ bằng: $2 \cdot 4:2 = 4$.

$ \Rightarrow AH = HB = \frac{1}{2}AB = 2$.

Xét tam giác $AIH$, vuông tại $H$ có: $IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 $.

Khi đó phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1; – 2} \right)$ và bán kính $IA = 2\sqrt 2 $ là:

${(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} = 8$.