- 10 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Toán 2024 Có Lời Giải Chi Tiết
- Đề KSCL Thi Tốt Nghiệp Toán 2024 THPT Đội Cấn Lần 2 Có Đáp Án
- Đề Thi Thử Tốt Nghiệp 2024 Môn Toán Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1 Có Đáp Án
- Đề Minh Họa Thi Tốt Nghiệp THPT Môn Toán 2024 Bộ GD&ĐT Có Đáp Án
- Giải Chi Tiết Đề Tham Khảo Môn Toán Tốt Nghiệp THPT 2024 Bộ GD&ĐT
- Đề Thi Thử Tốt Nghiệp 2024 Môn Toán Phát Triển Từ Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 1
- Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2024 Môn Toán Bám Sát Đề Minh Họa Có Đáp Án-Đề 2
- Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp Năm 2024 Môn Toán Bám Sát Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 3
- 10 Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Môn Toán 2024 Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết
- Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2024 Môn Toán Bám Sát Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 4
- Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Môn Toán 2024 Bám Sát Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 5
- Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp Môn Toán 2024 Bám Sát Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 6
- Đề Toán Luyện Thi Tốt Nghiệp 2024 Phát Triển Từ Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 7
- Đề Toán Ôn Thi Tốt Nghiệp 2024 Phát Triển Từ Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 8
- Đề Toán Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2024 Phát Triển Từ Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 9
- Đề Toán Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT 2024 Bám Sát Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 10
- Đề Toán Luyện Thi TN THPT 2024 Bám Sát Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 11
- Đề Toán Ôn Thi TN THPT 2024 Bám Sát Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 12
- Đề Ôn Thi Toán Tốt Nghiệp 2024 Bám Sát Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 13
- Đề Ôn Thi Toán Tốt Nghiệp THPT 2024 Bám Sát Đề Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 14
- Đề Ôn Thi Môn Toán Tốt Nghiệp THPT 2024 Bám Sát Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 15
- Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Môn Toán Năm 2024 THPT Mai Anh Tuấn Lần 2 Có Đáp Án
- Đề Ôn Thi Toán Tốt Nghiệp 2024 Bám Sát Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 16
- Đề Ôn Thi Toán Tốt Nghiệp THPT Năm 2024 Bám Sát Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 17
- Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Môn Toán Năm 2024 Bám Sát Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 18
- Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Môn Toán 2024 Bám Sát Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 19
- Đề Luyện Thi TN THPT Môn Toán 2024 Bám Sát Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 20
- Đề Ôn Thi TN THPT Môn Toán 2024 Bám Sát Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 21
- Đề Thi Thử TN Môn Toán 2024 THPT Chuyên Thái Bình Giải Chi Tiết
- Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Môn Toán 2024 Sở GD Quảng Bình Giải Chi Tiết
- Đề Thi Thử Tốt Nghiệp 2024 Môn Toán Sở GD Phú Thọ Lần 2 Giải Chi Tiết
- Đề Thi Thử Tốt Nghiệp 2024 Môn Toán Sở GD Hòa Bình Lần 2 Giải Chi Tiết
- Đề Thi Thử Tốt Nghiệp 2024 Môn Toán Sở GD Ninh Bình Lần 3 Giải Chi Tiết
- Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp Môn Toán Năm 2024 Bám Sát Minh Họa Giải Chi Tiết-Đề 22
- Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Môn Toán 2024 THPT Chuyên Lê Khiết Giải Chi Tiết
- Đề Thi Tốt Nghiệp THPT Môn Toán 2024 Có Đáp Án Mã Đề 111
- Giải Chi Tiết Đề Thi Tốt Nghiệp Môn Toán 2024 Có Đáp Án Mã Đề 101
Giải chi tiết đề tham khảo môn Toán tốt nghiệp THPT 2024 của Bộ GD&ĐT được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 7 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THAM KHẢO (Đề thi có 05 trang) |
KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề |
Họ, tên thí sinh: ……………………………………………………………
Số báo danh: ……………………………………………………………….
Câu 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 3. B. -2 . C. 2 . D. -1 .
Lời giải
Chọn B
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = 5 – 6{x^2}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\mathop \smallint \nolimits f\left( x \right)dx = 5 – 2{x^3} + C$. B. $\mathop \smallint \nolimits f\left( x \right)dx = 5x – 2{x^3} + C$.
C. $\mathop \smallint \nolimits f\left( x \right)dx = 5x – 6{x^3} + C$. D. $\mathop \smallint \nolimits f\left( x \right)dx = 5 – 3{x^3} + C$.
Lời giải
Chọn B
Câu 3: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} – 7} \right) = 2$ là
A. $\left\{ { – 4;4} \right\}$. B. $\left\{ 4 \right\}$. C. $\left\{ 2 \right\}$. D. $\left\{ {16} \right\}$.
Lời giải
$lo{g_3}\left( {{x^2} – 7} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 7 = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 4 \hfill \\
x = – 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Chọn A
Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;1; – 2} \right)$ và $B\left( {3; – 1;2} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ là
A. $\left( {2; – 2;4} \right)$. B. $\left( {2;0;0} \right)$. C. $\left( {1; – 1;2} \right)$. D. $\left( { – 2;2; – 4} \right)$.
Lời giải
$\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}} \right) = \left( {2; – 2;4} \right)$
Chọn A
Câu 5: Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
A. $y = 0$. B. $y = 2$.
C. $y = – 1$. D. $y = 1$.
Lời giải
Chọn D
Câu 6: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
A. $y = – 2{x^4} + 4{x^2} + 1$. B. $y = {x^3} – 4{x^2} – 2$.
C. $y = {x^4} – 2{x^2} + 3$. D. $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$.
Lời giải
+ Bảng biến thiên có dạng của đồ thị hàm số trùng phương.
+ Trên $\left( {1; + \infty } \right)$ hàm số đồng biến nên $a > 0$.
Chọn C
Câu 7: Tập xác định của hàm số $y = {(x + 1)^{\sqrt 2 }}$ là
A. $\mathbb{R}$. B. $\left( {0; + \infty } \right)$. C. $\left( { – 1; + \infty } \right)$. D. $\mathbb{R} \setminus \left\{ { – 1} \right\}$.
Lời giải
$\alpha = \sqrt 2 $ không nguyên nên hàm số xác định khi $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > – 1$
Chọn C
Câu 8: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 3}}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?
A. $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;0; – 2} \right)$. B. $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; – 3} \right)$. C. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;1;3} \right)$. D. $\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;0;2} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Câu 9: Điểm $M$ trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. $2 + i$. B. $ – 1 + 2i$. C. $2 – i$. D. $ – 1 – 2i$.
Lời giải
Chọn B
Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 2;1} \right)$ và bán kính $R = 5$. Phương trình của $\left( S \right)$ là
A. ${(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 1)^2} = 25$. B. ${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = 25$.
C. ${(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 1)^2} = 5$. D. ${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = 5$.
Lời giải
Chọn A
Câu 11: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $lo{g_2}{a^{\frac{1}{3}}}$ bằng
A. $\frac{3}{2}lo{g_2}a$. B. $3lo{g_2}a$. C. $\frac{1}{3}lo{g_2}a$. D. $\frac{2}{3}lo{g_2}a$.
Lời giải
Chọn C
Câu 12: Cho hàm số bậc bốn $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( { – 2;2} \right)$. B. $\left( { – \infty ;2} \right)$.
C. $\left( { – 2;0} \right)$. D. $\left( {0;2} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Câu 13: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $5{a^2}$ và chiều cao bằng $6a$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $15{a^3}$. B. $5{a^3}$. C. $10{a^3}$. D. $30{a^3}$.
Lời giải
$v = \beta .h = 5{a^2}.6a = 30{a^3}$
Chọn D
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} < 5$ là
A. $\left( { – \infty ;lo{g_2}5} \right]$. B. $\left( { – \infty ;lo{g_2}5} \right)$. C. $\left( { – \infty ;lo{g_5}2} \right]$. D. $\left( { – \infty ;lo{g_5}2} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Câu 15: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$?
A. $y = lnx$. B. $y = lo{g_3}x$. C. $y = logx$. D. $y = lo{g_{\frac{1}{3}}}x$.
Lời giải
Do cơ số $a = \frac{1}{3} < 1$ nên hàm số $y = lo{g_{\frac{1}{3}}}x$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$
Chọn D
Câu 16: Trong không gian $Oxyz$,vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$?
A. $\vec n = \left( {1;1;0} \right)$. B. $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$. C. $\vec \imath = \left( {1;0;0} \right)$. D. $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Câu 17: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1 . B. 4 . C. 3. D. 2 .
Lời giải
Chọn D
Câu 18: Nếu $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 3} $ và $\int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx = 5} $ thì $\int\limits_1^2 {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)dx} $ bằng
A. 2 . B. -2 . C. 8. D. $\frac{3}{5}$.
Lời giải
Chọn B
Câu 19: Nếu $\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right)dx = 3} $ thì $\int\limits_2^{ – 1} {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. 3 . B. -3 . C. 1. D. -1 .
Lời giải
Chọn B
Câu 20: Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $7{a^2}$ và chiều cao bằng $9a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. $9{a^3}$. B. $21{a^3}$. C. $84{a^3}$. D. $63{a^3}$.
Lời giải
Chọn B
Câu 21: Cho hai số phức ${z_1} = 1 – 3i$ và ${z_2} = – 4 + i$. Số phức ${z_1} + {z_2}$ bằng
A. $ – 3 – 3i$. B. $3 – 4i$. C. $3 – 2i$. D. $ – 3 – 2i$.
Lời giải
Chọn D
Câu 22: Cho hình nón có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ và độ dài đường sinh $l$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $l = \sqrt {h + r} $. B. $l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} $. C. $l = hr$. D. $l = {h^2} + {r^2}$.
Lời giải
Chọn B
Câu 23: Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao cho mỗi chiếc ghế có đúng một học sinh ngồi?
A. 600 . B. 120. C. 3125 . D. 25 .
Lời giải
Số cách xếp là $5! = 120$
Chọn B
Câu 24: Hàm số $F\left( x \right) = {e^{2x}}$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A. ${f_4}\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}}$. B. ${f_1}\left( x \right) = {e^{2x}}$. C. ${f_2}\left( x \right) = {e^{{x^2}}}$. D. ${f_3}\left( x \right) = 2{e^{2x}}$.
Lời giải
Chọn D
Câu 25: Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 3 .
Lời giải
Chọn C
Câu 26: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $r$ và diện tích xung quanh bằng $S$. Chiều cao của hình trụ đã cho bằng
A. $\frac{S}{{2\pi r}}$. B. $\frac{S}{{\pi r}}$. C. $\frac{{2S}}{{\pi r}}$. D. $\frac{S}{{2r}}$.
Lời giải
Chọn A
Câu 27: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_2} = 7$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. $\frac{7}{3}$. B. $\frac{3}{7}$. C. -4 . D. 4 .
Lời giải
Công sai $d = {u_2} – {u_1} = 7 – 3 = 4$
Chọn D
Câu 28: Số phức $z = 4 – 5i$ có phần ảo bằng
A. -5 . B. -4 . C. $ – 5i$. D. 4 .
Lời giải
Chọn A
Câu 29: Cho số phức $z = 3 – i$, phần thực của số phức $\left( {1 – i} \right)\bar z$ bằng
A. 4 . B. 2 . C. -4 . D. -2 .
Lời giải
$\left( {1 – i} \right)\bar z = \left( {1 – i} \right)\left( {3 + i} \right) = 3 + i – 3i – {i^2} = 4 – 2i$
Chọn A
Câu 30: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng $CD$ và $AB’$ bằng
A. ${90^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${45^ \circ }$.
Lời giải
Ta có: $DC’//AB’$ nên $\left( {\widehat {CD;AB’}} \right) = \left( {\widehat {CD;DC’}} \right) = \widehat {CDC’} = {45^0}$
Chọn D
Câu 31: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $SA = \frac{{\sqrt 3 a}}{3}$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ bằng
A. $\frac{a}{2}$. B. $a$. C. $\frac{{\sqrt 3 a}}{3}$. D. $\frac{{\sqrt {14} a}}{7}$.
Lời giải
Kẻ $AH \bot SD$ tại $H$
Ta có: $d(A;(SCD) = AH$
$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{3}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}}$
$ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \frac{a}{2}$
Chọn A
Câu 32: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right),\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( {0;3} \right)$. B. $\left( {3; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ;2} \right)$. D. $\left( {1;3} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Câu 33: Từ một hộp chứa 12 viên bi gồm 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Xác suất để trong bốn viên bi được lấy có ít nhất một viên bi đỏ bằng
A. $\frac{{13}}{{55}}$. B. $\frac{{41}}{{55}}$. C. $\frac{{14}}{{55}}$. D. $\frac{{42}}{{55}}$.
Lời giải
Chọn B
$n(\Omega ) = C_{12}^4$
Gọi $A$ là biến cố “có ít nhất một viên bi đỏ”.
Suy ra $\overline A $ là biến cố “không có viên bi đỏ”.
$n\left( {\overline A } \right) = C_9^4 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{C_9^4}}{{C_{12}^4}} = \frac{{14}}{{55}}$
$ \Rightarrow P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{{14}}{{55}} = \frac{{41}}{{55}}$
Câu 34: Nếu $\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right)dx = 4} $ thì $\int\limits_{ – 1}^2 {\left( {3 – f\left( x \right)} \right)dx} $ bằng
A. 7 . B. 13. C. 5 . D. -1 .
Lời giải
Chọn C
Câu 35: Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = – {x^4} + 6{x^2} – 4$ bằng
A. $ – \sqrt 3 $. B. -4 . C. 5 . D. $\sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn C
Câu 36: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $lo{g_2}\left( {32{a^4}} \right)$ bằng
A. $5 – 4lo{g_2}a$. B. $5 + 4a$. C. $5 – 4a$. D. $5 + 4lo{g_2}a$.
Lời giải
Chọn D
Câu 37: Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I\left( {4;0;0} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {0; – 3;0} \right)$ có phương trình là
A. ${(x – 4)^2} + {y^2} + {z^2} = 5$. B. ${(x + 4)^2} + {y^2} + {z^2} = 5$.
C. ${(x + 4)^2} + {y^2} + {z^2} = 25$. D. ${(x – 4)^2} + {y^2} + {z^2} = 25$.
Lời giải
Chọn D
Câu 38: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( { – 1;0;1} \right),B\left( {1;0;2} \right)$ và $C\left( {3;2;3} \right)$. Đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ có phương trình là
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – t} \\
{y = 2} \\
{z = 1 + t}
\end{array}} \right.$ B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 4t} \\
{y = 2t} \\
{z = 1 + 5t}
\end{array}} \right.$. C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 2t} \\
{y = 2t} \\
{z = 1 + t}
\end{array}} \right.$. D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4 + 2t} \\
{y = 2 + 2t} \\
{z = 5 + t}
\end{array}} \right.$
Lời giải
Chọn C
Câu 39: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $log_a^2\left( {{a^2}b} \right).lo{g_a}\frac{b}{a} + 4 = 0$. Giá trị của $lo{g_b}a$ bằng
A. -3 . B. 3 . C. $\frac{1}{3}$. D. $ – \frac{1}{3}$.
Lời giải
$log_a^2\left( {{a^2}b} \right) \cdot lo{g_a}\frac{b}{a} + 4 = 0 $
$\Leftrightarrow {\left( {lo{g_a}\left( {{a^2}b} \right)} \right)^2} \cdot \left( {lo{g_a}b – 1} \right) + 4 = 0 $
$\Leftrightarrow {\left( {2 + lo{g_a}b} \right)^2}\left( {lo{g_a}b – 1} \right) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {4 + 4lo{g_a}b + log_a^2b} \right)\left( {lo{g_a}b – 1} \right) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow log_a^3b + 3log_a^2b = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_a}b = 0} \\
{lo{g_a}b = – 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{lo{g_b}a}} = – 3}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow lo{g_b}a = – \frac{1}{3}$
Chọn D
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ {1;20} \right]$ sao cho ứng với mỗi $m$, hàm số $y = \frac{{ – {x^2} + 3x – m – 1}}{{3x – m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {2;3} \right)$ ?
A. 17. B. 14 . C. 15. D. 13.
Lời giải
Điều kiện: $x \ne \frac{m}{3}$.
Ta có $y’ = \frac{{ – 3{x^2} + 2mx + 3}}{{{{(3x – m)}^2}}}$.
Hàm số $y = \frac{{ – {x^2} + 3x – m – 1}}{{3x – m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {2;3} \right)$
$ \Leftrightarrow \frac{{ – 3{x^2} + 2mx + 3}}{{{{(3x – m)}^2}}} \geqslant 0;\forall x \in \left( {2;3} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3{x^2} + 2mx + 3 \geqslant 0;\forall x \in \left( {2;3} \right)\,\,\,(1)} \\
{\frac{m}{3} \notin \left( {2;3} \right)\,\,\,(2)}
\end{array}} \right.$
Ta có:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2m \geqslant 3x – \frac{3}{x} = g\left( x \right),\forall x \in \left( {2;3} \right)$.
Mà $g’\left( x \right) = 3 + \frac{3}{{{x^2}}} > 0,\forall x \in \left( {2;3} \right) \Rightarrow g\left( x \right)$ luôn đồng biến frên $\left( {2;3} \right)$.
Do đó $2m \geqslant 3x – \frac{3}{x} = g\left( x \right),\forall x \in \left( {2;3} \right) \Leftrightarrow 2m \geqslant g\left( 3 \right) \Leftrightarrow 2m \geqslant 8 \Leftrightarrow m \geqslant 4$.
$\left( 2 \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\frac{m}{3} \geqslant 3 \hfill \\
\frac{m}{3} \leqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m \geqslant 9 \hfill \\
m \leqslant 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Kết hợp hai điều kiện ta được $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \geqslant 9} \\
{4 \leqslant m \leqslant 6}
\end{array}} \right.$.
Vi $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {4;5;6;9;10; \ldots ;20} \right\}$.
Vậy có 15 số nguyên $m$ thỏa mãn.
Câu 41: Xét $f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c(a,b,c \in \mathbb{R},a > 0)$ sao cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là $A,B$ và $C\left( {1; – \frac{3}{5}} \right)$. Gọi $y = g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm $A,B$ và $C$. Khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 1$ có diện tích bằng $\frac{2}{5}$, tích phân $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. 1 . B. -1 . C. $ – \frac{{17}}{{15}}$. D. $\frac{{17}}{{15}}$.
Lời giải
Phương trình đi qua 3 điểm $A,B,C$ là : $y = g(x) = \frac{1}{2}b{x^2} + c$.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(1) = \frac{{ – 3}}{5}} \\
{{f^\prime }(1) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + b + c = \frac{{ – 3}}{5}(1)} \\
{4a + 2b = 0}
\end{array}} \right.} \right.$
Theo đề ta có: $\int_0^1 {(g(} x) – f(x))dx = \frac{2}{5}$
$ \Leftrightarrow \int_0^1 {\left( { – a{x^4} – \frac{b}{2}{x^2}} \right)} dx = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{{ – a}}{5} – \frac{b}{6} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow 6a + 5b = – 12(3)$
Từ (1) và (3) ta có: $a = 3,b = – 6,c = \frac{{12}}{5}$.
Vậy $\int_0^1 f (x)dx = 1$
Câu 42: Xét các số phức $z,w\left( {w \ne 2} \right)$ thỏa mãn $\left| z \right| = 1$ và $\frac{{w + 2}}{{w – 2}}$ là số thuần ảo. Khi $\left| {z – w} \right| = \sqrt 3 $, giá trị của $\left| {2z + w} \right|$ bằng
A. $\frac{{9\sqrt 7 }}{2}$. B. $\frac{{3\sqrt 7 }}{2}$. C. $\frac{{2\sqrt 3 }}{3}$. D. $2\sqrt 3 $.
Lời giải
Gọi $A$ là điểm biểu diễn của $z$. Theo đề ta có $\left| z \right| = 1$. Khi đó $A$ thuộc đường tròn tâm $O;R = 1$.
Gọi $B$ là điểm biểu diển của w. Theo đề ta có $\frac{{w + 2}}{{w – 2}}$ là số thuần ảo
$w = a + bi$. Khi đó $\frac{{w + 2}}{{w – 2}} = \frac{{a + 2 + bi}}{{{a^2} – 2 + bi}} = \frac{{\left( {a + 2 + bi} \right)\left( {a – 2 – bi} \right)}}{{{{(a – 2)}^2} + {b^2}}}$ là sổ thuẩn ảo nên
$\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right) + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + y = 4.0$
Khi đó $B$ thuộc đường tròn tàm $O;R = 2$.
Gọi $C$ là điểm biểu diễn của $2z$. Khi đó $C$ thuộc đường tròn tâm $O;R = 2$.
Theo đề ta có: $\left| {z – w} \right| = \sqrt 3 \Rightarrow BA = \sqrt 3 ,OB = 2;OC = 2OA = 2$
Trong tam giác OBA vuông tại A ta có: $cosO = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{1}{2}$
Khi đó $\left| {2z + w} \right| = OD = \sqrt {O{B^2} + O{C^2} + 2OB \cdot OC \cdot cosO} = 2\sqrt 3 $.
Câu 43: Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $A’A = A’B = A’C = a$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BCC’B’} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${30^ \circ }$, thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}$. B. $\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}$. C. $\frac{{3{a^3}}}{8}$. D. $\frac{{{a^3}}}{8}$.
Lời giải
Đặt $AH = x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC = 2x} \\
{A’H = \sqrt {{a^2} – {x^2}} }
\end{array}} \right.$.
Ta có $\left( {BCC’B’} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${30^ \circ }$.
Suy ra $tan{30^ \circ } = \frac{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 3\left( {{a^2} – {x^2}} \right)$
$ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}$. Suy ra $A’H = \frac{a}{2}$.
$V = A’H \cdot {S_{ABC}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}}}{8}$
Câu 44: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1; – 2;2} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$. Biết $B,C,D$ là ba điểm phân biệt trên $\left( S \right)$ sao cho các tiếp diện của $\left( S \right)$ tại mỗi điểm đó đều đi qua $A$. Hỏi mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $M\left( {1;1;1} \right)$. B. $P\left( { – 3;1;1} \right)$. C. $N\left( { – 1;1;1} \right)$. D. $Q\left( {1;1; – 1} \right)$.
Lời giải
Biết $B,C,D$ là ba điểm phân biệt trên $\left( S \right)$ sao cho các tiếp diện của $\left( S \right)$ tại mỗi điểm đó đều đi qua $A$. Gọi $\left( {S’} \right)$ là mặt cầu đường kính $AO$.
$\left( {S’} \right):{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 2)^2} = 9$
Khi đó 3 điểm $B,C,B$ đều nằm trên mặt cầu $\left( {S’} \right)$.
Vậy Mặt phẳng đi qua 3 điểm, $B,C,D$ thỏa mãn
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z – 2)}^2} = 2} \\
{{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow (BCD): – x + 2y – 2z + 1 = 0$ (*)
Thay tọa độ điểm $M\left( {1;1;1} \right)$ vào (*) ta thấy thỏa mãn.
Câu 45: Để chế tạo một chi tiết máy, từ một khối thép hình trụ có bán kính $10\;cm$ và chiều cao $30\;cm$, người ta khoét bỏ một rãnh xung quanh rộng $1\;cm$ và sâu $1\;cm$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích của chi tiết máy đó, làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.
A. $9110,619\;c{m^3}$. B. $9170,309\;c{m^3}$. C. $9365,088\;c{m^3}$. D. $8997,521\;c{m^3}$.
Lời giải
Thể tích của cái rãnh bỏ bị khoét bỏ đi là:
$\pi \cdot {10^2} \cdot 1 – \pi \cdot {9^2} \cdot 1 = 19\pi c{m^3}$.
Câu 46: Xét các số thực không âm $x$, $y$ thỏa mãn $ylo{g_3}\left( {3x + y + 9} \right) = \left( {{x^2} + 3x + y} \right)lo{g_3}\left( {x + 3} \right)$. Khi biểu thức $y – 5x$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức $x – 2y$ bằng
A. -1 . B. 2 . C. -7 . D. -31 .
Lời giải
$ylo{g_3}\left( {3x + y + 9} \right) = \left( {{x^2} + 3x + y} \right)lo{g_3}\left( {x + 3} \right)$
$ \Leftrightarrow ylo{g_3}\left( {3x + y + 9} \right) – ylo{g_3}\left( {x + 3} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)lo{g_9}\left( {x + 3} \right)$
$ \Leftrightarrow y\left( {lo{g_3}\left( {3x + y + 9} \right) – lo{g_3}\left( {x + 3} \right)} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)log\left( {x + 3} \right)$
$ \Leftrightarrow y\left( {lo{g_3}\left( {\frac{{3x + y + 9}}{{x + 3}}} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)lo{g_3}\left( {x + 3} \right)} \right.$
$ \Leftrightarrow y\left( {lo{g_3}\left( {\frac{{3\left( {x + 3} \right) + y}}{{x + 3}}} \right)} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)lo{g_3}\left( {x + 3} \right)$
$y\left( {lo{g_3}\left( {3 + \frac{y}{{x + 3}}} \right)} \right) = x\left( {x + 3} \right)lo{g_3}\left( {x + 3} \right)$
$ \Leftrightarrow \frac{y}{{x + 3}}lo{g_3}\left( {1 + \frac{y}{{x + 3}}} \right) = xlog\left( {x + 3} \right)$
Suy ra: $\frac{y}{{x + 3}} = x \Leftrightarrow y = {x^2} + 3x$
Ta có $P = y – 5x = {x^2} – 2x$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = 1$ Suy ra $y = 4$
Vậy $x – 2y = 1 – 2.4 = – 7$.
Chọn C
Câu 47: Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $\left| {z – w} \right| = 2\left| z \right| = 2$ và số phức $\bar z.w$ có phần thực bằng 1 . Giá trị lớn nhất của $P = \left| {z + w – 1 + 2i} \right|$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( {4;5} \right)$. B. $\left( {3;4} \right)$. C. $\left( {5;6} \right)$. D. $\left( {6;7} \right)$.
Lời giải
Đặt $\bar z \cdot w = 1 + bi$, suy ra $z \cdot \bar w = \overline {\bar z \cdot w} = \overline {1 + bi} = 1 – bi$ nên $\bar z \cdot w + z \cdot \bar w = 2$.
Ta có:
$|z – w| = 2$
$ \Rightarrow 4 = |z – w{|^2} = (z – w)(\overline {z – w} )$
$ = (z – w)(\bar z – \bar w) = z \cdot \bar z + w \cdot \bar w – (z \cdot \bar w + \bar z \cdot w)$
$ = |z{|^2} + |w{|^2} – (z \cdot \bar w + \bar z \cdot w)$
$ = 1 + |w{|^2} – 2 = |w{|^2} – 1 \Rightarrow |w| = \sqrt 5 $
$|z + w{|^2} = (z + w) \cdot (\overline {z + w} ) = (z + w) \cdot (\bar z + \bar w)$
$ = |z{|^2} + |w{|^2} + (z \cdot \bar w + \bar z \cdot w) = 1 + 5 + 2 = 8 \Rightarrow |z + w| = 2\sqrt 2 $
Khi đó: $P = \left| {z + w – 1 + 2i\left| = \right|\left( {z + w} \right) + \left( { – 1 + 2i} \right)\left| \leqslant \right|z + w\left| + \right| – 1 + 2i} \right| = 2\sqrt 2 + \sqrt 5 $.
Câu 48: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $\left( R \right)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục $AB$. Miền $\left( R \right)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD$ của hình vuông $ABCD$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $1\;cm$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AD$. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
A. $20,3\;c{m^3}$. B. $10,5\;c{m^3}$. C. $12,6\;c{m^3}$. D. $8,4\;c{m^3}$.
Lời giải
Chọn $AB$ chứa trong trục $Ox$ và $A \equiv O(0;0)$
Khi đó $E(0;1)$ và $F(2;1)$ với $E, F$ lần lượt là trung điểm của $AD, BC$.
Khi đó đường tròn tâm $E$ chứa cung tròn $AD$ là ${x^2} + {(y – 1)^2} = 1$ và đường tròn tâm $F$ chứa cung tròn $BC$ là $\left( {x – 2} \right)$
Suy ra phương trình cung trền của dương trôn fân $E$ là $y = \sqrt {1 – {x^2}} + 1$ và phương trình cung dưới của của đường tròn tâm $F$ là $y = – \sqrt {1 – {{(x – 2)}^2}} + 1$.
Khi đó, thể tích vật thể trang trí là
$V = \pi \int_0^1 {{{\left( {\sqrt {1 – {x^2}} + 1} \right)}^2}} \;dx + \pi \int_1^2 {{{\left( { – \sqrt {1 – {{(x – 2)}^2}} + 1} \right)}^2}} \;dx \approx 10,5\;c{m^3}$.
Câu 49: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {x^2} – 3x – 4,\forall x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, hàm số $g\left( x \right) = f\left( { – {x^3} + 3{x^2} + m} \right)$ có đúng hai điểm cực trị thuộc khoảng $\left( {1;4} \right)$ ?
A. 9 . B. 7. C. 8 . D. 10 .
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4} \\
{x = – 1.}
\end{array}} \right.$
Mặt khác $g’\left( x \right) = \left( { – 3{x^2} + 6x} \right)f’\left( { – {x^3} + 3{x^2} + m} \right)$
suy ra $g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 2 \in \left( {1;4} \right)} \\
{f’\left( { – {x^3} + 3{x^2} + m} \right) = 0}
\end{array}} \right.$.
Lại có $f’\left( { – {x^3} + 3{x^2} + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – {x^3} + 3{x^2} + m = 4} \\
{ – {x^3} + 3{x^2} + m = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = {x^3} – 3{x^2} + 4} \\
{m = {x^3} – 3{x^2} – 1}
\end{array}} \right.} \right.$
Vẽ đồ thị hai hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 4$ và $y = {x^3} – 3{x^2} – 1$ lên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Yêu cầu bài toán tương đương $x’\left( { – {x^3} + 3{x^2} + m} \right) = 0$ có đúng một nghiệm đơn khác 2 trong khoảng $\left( {1;4} \right)$
suy ra $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3 \leqslant m \leqslant 0} \\
{15 \leqslant m < 20}
\end{array}} \right.$. Vậy có tất cà 9 giá tri
Câu 50: Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón $\left( \mathcal{N} \right)$ có đỉnh $A\left( {2;3;0} \right)$, độ dài đường sinh bằng 5 và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng $\left( P \right):2x + y + 2z – 1 = 0$. Gọi $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt xung quanh của $\left( \mathcal{N} \right)$ với mặt phẳng $\left( Q \right):x – 4y + z + 4 = 0$ và $M$ là một điểm di động trên $\left( C \right)$. Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AM$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( {\frac{3}{2};2} \right)$. B. $\left( {0;1} \right)$. C. $\left( {1;\frac{3}{2}} \right)$. D. $\left( {2;3} \right)$.
Lời giải
Gọi $l,h,r$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình nón.
Theo đề bài ta có $l = 5$ và $h = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 2$. Suy ra $r = \sqrt {{l^2} – {h^2}} = \sqrt {21} $.
Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overline {{n_p}} = \left( {2;1;2} \right)} \\
{\overline {{n_Q}} = \left( {1; – 4;1} \right)}
\end{array} \Rightarrow \overline {{n_P}} ,\overline {{n_Q}} = 0 \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)} \right.$.
Khi đó giao tuyến $\left( C \right)$ là một parabol có đỉnh $H$ (như hình vẽ).
Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( Q \right)$.
Và $d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = AE = \sqrt 2 \left( { = IK} \right)$ do $IA//\left( Q \right)$. Ta có: $AM = \sqrt {A{E^2} + E{M^2}} = \sqrt {2 + E{M^2}} $
Đồng thời $EM \geqslant EH$. Do đó $AM$ minin $ \Leftrightarrow AM = AH$ hay $M \equiv H$
Vì $IA//HK \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{IK}}{{IB}}($ Thales $) \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {21} }} \cdot 5 = \frac{{5\sqrt {42} }}{{21}} \approx 1,54 \in \left( {\frac{3}{2};2} \right)$
Vậy giá trị nhỏ nhất độ dài đoạn thẳng $AM$ thuộc khoảng $\left( {\frac{3}{2};2} \right)$.
Cách khác
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AH = d(A;(P)) = 2} \\
{AK = d(A;(Q)) = \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$.
Từ giả thiết, ta có $AB = AC = 5;BH = \sqrt {A{B^2} – A{H^2}} = \sqrt {21} $.
Mặt khác, ${\overrightarrow n _{_P}} = (21;2),{\overrightarrow n _{_Q}} = (1; – 4;1) \Rightarrow {\overrightarrow n _{_P}} \cdot {\overrightarrow n _{_Q}} = 0 \Rightarrow (P) \bot (Q)$ nên $AM$ đạt GTNN khi và chi khi $AM = AI \Leftrightarrow I \equiv M$.
Ta có: $\sin \alpha = \frac{{AK}}{{AI}} = \frac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow AI = \frac{{AK \cdot AB}}{{BH}} = \frac{{\sqrt 2 \cdot 5}}{{\sqrt {21} }} \approx 1,54 \in \left( {\frac{3}{2};2} \right)$.