Giải Toán 12 Cánh Diều Bài 1 Chương 3 Khoảng Biến Thiên Khoảng Tứ Phân Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Kiến thức

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

1. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = {a_{m + 1}} – {a_1}$.

2. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: $\Delta Q = {Q_3} – {Q_1}$.

3. Nhắc lại

a) Cách tính tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$

– Giả sử nhóm $p$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}$, tức là $c{f_{p – 1}} < \frac{n}{4}$ nhưng $c{f_p} \geqslant \frac{n}{4}$. Ta gọi $s,h,{n_p}$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm $p;c{f_{p – 1}}$ là tần số tích luỹ của nhóm $p – 1$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ được tính theo công thức sau:

${Q_1} = s + \left( {\frac{{\frac{n}{4} – c{f_{p – 1}}}}{{{n_p}}}} \right).h.$

b) Cách tính tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$

– Giả sử nhóm $q$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4}$, tức là $c{f_{q – 1}} < \frac{{3n}}{4}$ nhưng $c{f_q} \geqslant \frac{{3n}}{4}$. Ta gọi $t,l,{n_q}$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm $q$; $c{f_{q – 1}}$ là tần số tích luỹ của nhóm $q – 1$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ được tính theo công thức sau:

${Q_3} = t + \left( {\frac{{\frac{{3n}}{4} – c{f_{q – 1}}}}{{{n_q}}}} \right).l$

Câu 1. Bảng 8 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở một cửa hàng trong một ngày.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 50 .

B. 30 .

C. 6 .

D. 69,8 .

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 50 .

B. 40 .

C. 14,21.

D. 70,87 .

Lời giải

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = {a_6} – {a_1} = 90 – 40 = 50$

Chọn A.

b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu

* Tính ${Q_1}$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15$ mà $9 < 15 < 28$. Suy ra nhóm $3$ là nhóm đầu tiên có tần số lớn hơn hoặc bằng $15$.

Xét nhóm $3$ là nhóm $\left[ {60;\,70} \right)$ có $s = 60;\,h = 10,{n_3} = 19$và nhóm $2$ có $c{f_2} = 9$.

Do đó, ${Q_1} = s + \left( {\frac{{\frac{n}{4} – c{f_{p – 1}}}}{{{n_p}}}} \right).h$$ = 60 + \left( {\frac{{\frac{{60}}{4} – c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).h$$ = 60 + \left( {\frac{{15 – 9}}{{19}}} \right).10 = \frac{{1200}}{{19}}$

* Tính ${Q_3}$.

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.60}}{4} = 45$ mà $28 < 45 < 51$. Suy ra nhóm $4$ là nhóm đầu tiên có tần số lớn hơn hoặc bằng $45$.

Xét nhóm $4$ là nhóm $\left[ {70;\,80} \right)$ có $t = 70;\,l = 10,{n_4} = 23$ và nhóm $4$ có $c{f_3} = 28$.

Do đó, ${Q_3} = t + \left( {\frac{{\frac{{3n}}{4} – c{f_{q – 1}}}}{{{n_q}}}} \right).l$$ = 70 + \left( {\frac{{45 – 28}}{{23}}} \right).10 = \frac{{1780}}{{23}}$

Vậy, ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{1780}}{{23}} – \frac{{1200}}{{19}} = 14,23$

Chọn C

Câu 2. Bảng 9 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của một công ty (đơn vị: triệu đồng).

a) Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Lời giải

Câu 3. Bảng 10 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của cư dân trong một khu phố.

a) Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Lời giải