Câu 1. Cho điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow {OM} = 3\vec i + 4\vec j + 2\vec k$. Toạ độ của điểm $M$ là:
A. $\left( {2;3;4} \right)$.
B. $\left( {3;4;2} \right)$.
C. $\left( {4;2;3} \right)$.
D. $\left( {3;2;4} \right)$.
Lời giải
Câu 2. Cho hai điểm $M\left( {1; – 2;3} \right)$ và $N\left( {3;4; – 5} \right)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow {NM} $ là:
A. $\left( { – 2;6;8} \right)$.
B. $\left( {2;6; – 8} \right)$.
C. $\left( { – 2;6; – 8} \right)$.
D. $\left( { – 2; – 6;8} \right)$.
Lời giải
Câu 3. Cho hai vectơ $\vec u = \left( {3; – 4;5} \right),\vec v = \left( {5;7; – 1} \right)$. Toạ độ của vectơ $\vec u + \vec v$ là:
A. $\left( {8;3;4} \right)$.
B. $\left( { – 2; – 11;6} \right)$.
C. $\left( {2;11; – 6} \right)$.
D. $\left( { – 8; – 3; – 4} \right)$.
Lời giải
Câu 4. Cho hai vectơ $\vec u = \left( {1; – 2;3} \right),\vec v = \left( {5;4; – 1} \right)$. Toạ độ của vectơ $\vec u – \vec v$ là:
A. $\left( {4;6;4} \right)$.
B. $\left( { – 4; – 6;4} \right)$.
C. $\left( {4;6; – 4} \right)$.
D. $\left( { – 4; – 6; – 4} \right)$.
Lời giải
Câu 5. Cho vectơ $\vec u = \left( {1; – 1;3} \right)$. Toạ độ của vectơ $ – 3\vec u$ là:
A. $\left( {3; – 3;9} \right)$.
B. $\left( {3; – 3; – 9} \right)$.
C. $\left( { – 3;3; – 9} \right)$.
D. $\left( {3;3;9} \right)$.
Lời giải
Câu 6. Độ dài của vectơ $\vec u = \left( {2; – 2;1} \right)$ là:
A. 9.
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Câu 7. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec u = \left( {1; – 2;3} \right)$ và $\vec v = \left( {3;4; – 5} \right)$ là:
A. $\sqrt {14} \cdot \sqrt {50} $.
B. $ – \sqrt {14} \cdot \sqrt {50} $.
C. 20 .
D. -20 .
Lời giải
Câu 8. Khoảng cách giữa hai điểm $I\left( {1;4; – 7} \right)$ và $K\left( {6;4;5} \right)$ là:
A. 169.
B. 13 .
C. 26 .
D. 6,5 .
Lời giải
Câu 9. Cho hai điểm $M\left( {1; – 2;3} \right)$ và $N\left( {3;4; – 5} \right)$. Trung điểm của đoạn thẳng $MN$ có tọa độ là:
A. $\left( { – 2;1;1} \right)$.
B. $\left( {2;1;1} \right)$.
C. $\left( { – 2;1; – 1} \right)$.
D. $\left( {2;1; – 1} \right)$.
Lời giải
Câu 10. Cho tam giác $MNP$ có $M\left( {0;2;1} \right),N\left( { – 1; – 2;3} \right)$ và $P\left( {1;3;2} \right)$. Trọng tâm của tam giác $MNP$ có toạ độ là:
A. $\left( {0;1;2} \right)$.
B. $\left( {0;3;6} \right)$.
C. $\left( {0; – 3; – 6} \right)$.
D. $\left( {0; – 1; – 2} \right)$.
Lời giải
Câu 11. Cho hai vectơ $\vec u = \left( {1; – 2;3} \right)$ và $\vec v = \left( {3;4; – 5} \right)$. Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ $\vec w$ khác $\vec 0$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$.
Lời giải
Câu 12. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AA’$ và $CC’$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {AD’} $.
Lời giải
Câu 13. Xét hệ toạ độ $Oxyz$ gắn với hình lập phương $ABCD.A’B’C’$ ‘D’ như Hình 39 , đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh hình lập phương. Biết $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right)$, $A’\left( {0;0;1} \right)$.
a) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$.
b) Xác định toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $A’BD$.
c) Xác định toạ độ các vectơ $\overrightarrow {OG} $ và $\overrightarrow {OC’} $. Chứng minh rằng ba điểm $O,G,C’$ thẳng hàng và $OG = \frac{1}{3}OC’$.
Hình 39
Lời giải
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A\left( {2;0; – 3} \right),B\left( {0; – 4;5} \right)$ và $C\left( { – 1;2;0} \right)$.
a) Chứng minh rằng ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Tính chu vi của tam giác $ABC$.
e) Tính $cos\widehat {BAC}$.
Lời giải
Câu 15. Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt $E\left( {0;0;6} \right)$ và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là
$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{{A_1}\left( {0;1;0} \right),} \\
{}&{{A_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; – \frac{1}{2};0} \right),} \\
{}&{{A_3}\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2}; – \frac{1}{2};0} \right)}
\end{array}$
(Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $300\;N$. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $.
Hình 40
Lời giải
