Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x + {e^x}$. Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ sao cho $F\left( 0 \right) = 2023$ là:
A. ${x^2} + {e^x} + 2023$.
B. ${x^2} + {e^x} + C$.
C. ${x^2} + {e^x} + 2022$.
D. ${x^2} + {e^x}$.
Lời giải
Câu 2. Biết $F\left( x \right) = {x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f(x)} \right]dx} $ bằng:
A. $\frac{{23}}{4}$.
B. 7 .
C. 9 .
D. $\frac{{15}}{4}$.
Lời giải
Câu 3. Biết $\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + 2x} \right]dx} = 2$. Khi đó, $\int\limits_0^1 {f(x)dx} $ bằng:
A. 1 .
B. 4 .
C. 2.
D. 0 .
Lời giải
Câu 4. Tìm:
a) $\smallint 2x\left( {{x^3} – x + 2} \right)dx$;
b) $\smallint \left( {2x + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx$;
c) $\smallint \left( {3 + 2ta{n^2}x} \right)dx$;
d) $\smallint \left( {1 – 3co{t^2}x} \right)dx$;
e) $\smallint \left( {sinx + {2^{ – x + 1}}} \right)dx$
g) $\smallint \left( {{{2.6}^{2x}} – {e^{ – x + 1}}} \right)dx$..
Lời giải
Câu 5.
a) Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + {e^{ – x}}$. Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ sao cho $F\left( 0 \right) = 2023$.
b) Cho hàm số $g\left( x \right) = \frac{1}{x}(x > 0)$. Tìm nguyên hàm $G\left( x \right)$ của hàm số $g\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ sao cho $G\left( 1 \right) = 2023$.
Lời giải
Câu 6. Tính:
a) $\int_{ – 1}^1 {{{(x + 2)}^3}} \;dx$
b) $\int_1^2 {\frac{2}{{{x^2}}}} \;dx$;
c) $\int_1^4 {{x^2}} \sqrt x \;dx$
d) $\int_{ – 1}^0 {{2^{3x + 2}}} \;dx$
e) $\int_0^2 {{2^x}} \cdot {3^{x + 1}}\;dx$
g) $\int_0^1 {\frac{{{7^x}}}{{{{11}^x}}}} \;dx$.
Lời giải
Câu 7. Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm $t$ là $h\left( t \right)$, trong đó $t$ tính bằng phút, $h\left( t \right)$ tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số
$v\left( t \right) = – 0,12{t^2} + 1,2t,$
với $t$ tính bằng phút, $v\left( t \right)$ tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát $\left( {t = 0} \right)$, khinh khí cầu ở độ cao $520\;m$ và 5 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao $530\;m$ (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
a) Viết công thức xác định hàm số $h\left( t \right)\left( {0 \leqslant t \leqslant 29} \right)$.
b) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là bao nhiêu?
c) Khi nào khinh khí cầu sẽ trở lại độ cao khi xuất phát?
Lời giải
Câu 8. Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 100 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng tại thời điểm $t$ cho bởi hàm số
$m\left( t \right) = 500 + 50\sqrt t – 10t$
trong đó $t$ tính theo ngày $\left( {0 \leqslant t \leqslant 100} \right),m\left( t \right)$ tính theo người (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
a) Khi nào có 360 công nhân được sử dụng?
b) Khi nào số công nhân được sử dụng lớn nhất?
c) Gọi $M\left( t \right)$ là số ngày công được tính đến hết ngày thứ $t$ (kể từ khi khởi công công trình). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng $M’\left( t \right) = m\left( t \right)$. Tổng cộng cần bao nhiêu ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó?
Lời giải
Câu 9. Trong bài này, ta xét một tình huống giả định có một học sinh sau kì nghỉ đã mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường học biệt lập với 1000 học sinh. Sau khi có sự tiếp xúc giữa các học sinh, virus cúm lây lan trong khuôn viên trường. Giả thiết hệ thống chống dịch chưa được khởi động và virus cúm được lây lan tự nhiên. Gọi $P\left( t \right)$ là số học sinh bị nhiễm virus cúm ở ngày thứ $t$ tính từ ngày học sinh mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường. Biết rằng tốc độ lây lan của virus cúm tỉ lệ thuận với số học sinh không bị nhiễm virus cúm theo hệ số tỉ lệ là hằng số $k \ne 0$. Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 4 ngày là 55 học sinh. Xác định số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày.
Lời giải
Câu 10. Một chiếc xe ô tô chạy thử nghiệm trên một đường thẳng bắt đầu từ trạng thái đứng yên. Tốc độ của chiếc xe ô tô đó (tính bằng mét/giây) lần lượt ở giây thứ 10 , thứ 20 , thứ 30 , thứ 40 , thứ 50 và thứ 60 được ghi lại trong Bảng 1 .
| Thời gian (giây) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| Tốc độ (mét/giây) | 0 | 5 | 21 | 40 | 62 | 78 | 83 |
Bảng 1
a) Hãy xây dựng hàm số bậc ba $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)$ để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1 , tức là ở hệ trục toạ độ $Oxy$, đồ thị của hàm số đó trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$ “gần” với các điểm $O\left( {0;0} \right),B\left( {10;5} \right),C\left( {20;21} \right),D\left( {30;40} \right),E\left( {40;62} \right)$, G(50;78), K(60; 83) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
b) Hãy tính (gần đúng) quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ 60 của quá trình thử nghiệm.
Lời giải
Câu 11. Giả sử $A,B$ lần lượt là diện tích các hình được tô màu ở Hình 37.
a) Tính các diện tích $A,B$.
b) Biết $B = 3A$. Biểu diễn $b$ theo $a$.
Hình 37
Lời giải
Câu 12. Hình 38 minh hoạ mặt cắt đứng của một bức tường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng ra vào có dạng hình parabol với các kích thước được cho như trong hình đó. Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của bức tường đó. Chi phí để sơn bức tường là 15000 đồng/1 m². Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó sẽ là bao nhiêu?
Hình 38
Lời giải
Câu 13. Cho khối tròn xoay như Hình 39.
a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường nào để khi quay quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay như Hình 39?
b) Tính thể tích khối tròn xoay đó.
Lời giải
