Giải Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo Bài Tập Cuối Chương 5

I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng.

Câu 1. Cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z – 1 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ ?

A. ${\vec n_1} = \left( {1;3; – 1} \right)$.

B. ${\vec n_2} = \left( {2;3; – 1} \right)$.

C. ${\vec n_3} = \left( {1;2; – 1} \right)$.

D. ${\vec n_4} = \left( {1;2;3} \right)$.

Lời giải

Câu 2. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ ?

A. $y = 0$.

B. $x = 0$.

C. $y – z = 0$.

D. $z = 0$.

Lời giải

Câu 3. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {1;2; – 3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {1; – 2;3} \right)$ ?

A. $x – 2y + 3z – 12 = 0$.

B. $x – 2y – 3z + 6 = 0$.

C. $x – 2y + 3z + 12 = 0$.

D. $x – 2y – 3z – 6 = 0$.

Lời giải

Câu 4. Cho mặt phẳng $\left( P \right):3x + 4y + 2z + 4 = 0$ và điểm $A\left( {1; – 2;3} \right)$. Khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ bằng

A. $\frac{5}{{\sqrt {29} }}$.

B. $\frac{5}{{29}}$.

C. $\frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

D. $\frac{5}{9}$.

Lời giải

Câu 5. Cho ba mă̆t phẳng $\left( \alpha \right):x + y + 2z + 1 = 0$, $\left( \beta \right):x + y – z + 2 = 0$ và $\left( \gamma \right):x – y + 5 = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$.

B. $\left( \gamma \right) \bot \left( \beta \right)$.

C. $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)$.

D. $\left( \alpha \right) \bot \left( \gamma \right)$.

Lời giải

Câu 6. Cho đường thẳng $d:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?

A. ${\vec u_1} = \left( {2;1; – 3} \right)$.

B. ${\vec u_2} = \left( { – 2; – 1;3} \right)$.

C. ${\vec u_3} = \left( { – 1;2;1} \right)$.

D. ${\vec u_4} = \left( { – 1;2; – 1} \right)$.

Lời giải

Câu 7. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = 3t} \\
{z = – 2 + t}
\end{array}} \right.$ ?

A. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 2}}{1}$.

B. $\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}$.

C. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}$.

D. $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}$.

Lời giải

Câu 8. Cho đường thẳng $d$ : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 2t} \\
{y = – t} \\
{z = – 2 – t.}
\end{array}} \right.$

Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với $d$ ?

A. ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3t’} \\
{y = 1 + t’} \\
{z = 5t’.}
\end{array}} \right.$

B. ${d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = 2 + t’} \\
{z = 1 + t’.}
\end{array}} \right.$

C. ${d_3}:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 5}}$.

D. ${d_4}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{2}$.

Lời giải

Câu 9. Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x – y – z – 3 = 0$ và $\left( Q \right):x – z – 2 = 0$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng

A. ${30^ \circ }$.

B. ${45^ \circ }$.

C. ${60^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Lời giải

Câu 10. Cho mặt cầu $\left( S \right)$ :

${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 1)^2} = 9$. Toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $\left( S \right)$ là

A. $I\left( { – 1;2;1} \right)$ và $R = 3$.

B. $I\left( {1; – 2; – 1} \right)$ và $R = 3$.

C. $I\left( { – 1;2;1} \right)$ và $R = 9$.

D. $I\left( {1; – 2; – 1} \right)$ và $R = 9$.

Lời giải

Câu 11. Mặt cầu tâm $I\left( { – 3;0;4} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { – 3;0;0} \right)$ có phương trình là

A. ${(x – 3)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = 4$.

B. ${(x – 3)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = 16$.

C. ${(x + 3)^2} + {y^2} + {(z – 4)^2} = 16$.

D. ${(x + 3)^2} + {y^2} + {(z – 4)^2} = 4$.

Lời giải

II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 12. Cho bốn điểm $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;1;0} \right)$, $C\left( {0;0;1} \right),D\left( { – 2;1; – 1} \right)$.

a) Chứng minh $A,B,C,D$ là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

Lời giải

Câu 13. Cho bốn điểm $A\left( { – 2;6;3} \right),B\left( {1;0;6} \right)$, $C\left( {0;2; – 1} \right),D\left( {1;4;0} \right)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

Suy ra $ABCD$ là một tứ diện.

b) Tính chiều cao $AH$ của tứ diện $ABCD$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $AB$ và song song với $CD$.

Lời giải

Câu 14. Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm $M\left( {3;4;24} \right)$ (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình $z – 4 = 0$.

Hình 1

Lời giải

Câu 15. Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x – y – 6 = 0$ và $\left( Q \right)$. Biết rằng điểm $H\left( {2; – 1; – 2} \right)$ là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ $O\left( {0;0;0} \right)$ xuống mặt phẳng $\left( Q \right)$. Tính góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Lời giải

Câu 16. Phần mềm của máy tiện kĩ thuật số CNC (Computer Numerical Control) đang biểu diễn một chi tiết máy như Hình 2.

a) Tìm tọa độ các điểm $A,B,C,D$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

c) Viết phương trình tham số của đường thẳng $AC$.

d) Cho biết đầu mũi tiện đang đặt tại điểm $M\left( {0;60;40} \right)$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Hình 2

Lời giải

Câu 17. Cho hình hộp chữ nhật $OABC \cdot O’A’B’C’$, với $O$ là gốc toạ độ, $A\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;6;0} \right)$, $O’\left( {0;0;4} \right)$. Viết phương trình:

a) mặt phẳng $\left( {O’AC} \right)$;

b) đường thẳng $CO’$;

c) mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp

Lời giải

Câu 18. Cho ba điểm $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right)$ và $C\left( {0;0;3} \right)$. Chứng minh rằng nếu điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thoả mãn $M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}$ thì $M$ thuộc một mặt cầu $\left( S \right)$. Tìm tâm và bán kính của $\left( S \right)$.

Lời giải