Giải Toán 12 Kết Nối Tri Thức Bài 9 Khoảng Biến Thiên Và Khoảng Tứ Phân Vị

Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài 9 Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.

Phương pháp
1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Trong đó các tần số ${m_1} > 0,\,{m_k} > 0$ và $n = {m_1} + {m_2} + … + {m_k}$ là cỡ mẫu.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = {a_{k + 1}} – {a_1}$.

2. Tứ phân vị thứ $r$ là

${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{r \cdot n}}{4} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$,

trong đó $\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$ với $r = 1,2,3$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}$.

Câu 3.1. Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021 – 2022 cho kết quả như sau:
a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là $\left[ {40;50} \right)$.

b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?

Lời giải

a) Các nhóm gồm [40; 50), [50; 60), [60; 70), [70; 80), [80; 90), [90; 100), [100; 110). Số giá trị của mẫu thuộc mỗi nhóm tương ứng là 2, 5, 7, 5, 0, 0, 1.

Mẫu số liệu ghép nhóm:

b)

* Với mẫu số liệu gốc: $R = {x_{20}} – {x_1} = 101 – 42 = 59$.
$\;{\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}$

${Q_1} = \frac{{55 + 57}}{2} = 56$

${Q_3} = \frac{{73 + 75}}{2} = 74$

Vậy, ${\Delta _Q} = 74 – 56 = 18$

* Với mẫu số liệu ghép nhóm:

• $R\; = {a_6} – {a_1} = 110 – 40 = 70$
• ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}$
  $\underbrace {{x_1}\,{x_2}}_I\underbrace {{x_3}…{x_7}}_{II}\underbrace {{x_8}…{x_{14}}}_{III}\underbrace {{x_{15}}…{x_{19}}}_{IV}\underbrace {{x_{20}}}_V$
  + Xác định ${Q_1}$.

Tứ phân vị thứ nhất là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2} \in \left[ {50;60} \right)$ $ \Rightarrow p = 2$

${Q_1} = {a_2} + \frac{{\frac{{1 \cdot 20}}{4} – \left( {{m_1}} \right)}}{{{m_2}}} \cdot \left( {{a_3} – {a_2}} \right) = 50 +\frac{{5 – 2}}{5}.(60 – 50) = 56$

+ Xác định ${Q_3}$.
Tứ phân vị thứ ba là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2} \in \left[ {70;80} \right)$ $ \Rightarrow p = 4$

${Q_3} = {a_4} + \frac{{\frac{{3 \cdot 20}}{4} – \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)}}{{{m_4}}} \cdot \left( {{a_5} – {a_4}} \right)$

${Q_3} = 70 + \frac{{\frac{{3 \cdot 20}}{4} – \left( {2 + 5 + 7} \right)}}{5} \cdot \left( {80 – 70} \right)= 72$

Vậy, ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 72 – 56 = 16$

Các khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc (59 và 18) là các giá trị chính xác. Các khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (70 và 16) là các giá trị xấp xỉ.

Câu 3.2. Thu nhập theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của người lao động ở hai nhà máy như sau:

Thu nhập	[5;8)	[8;11)	[11;14)	[14;17)	[17;20)
Số người của nhà máy A	20	35	45	35	20
Số người của nhà máy B	17	23	30	23	17

Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy trên. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn.

Lời giải

a) Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy

* Mức thu nhập trung bình của công nhân nhà máy A là:

${\bar x_A} = \frac{{20.6,5 + 35.9,5 + 45.12,5 + 35.15,5 + 20.18,5}}{{155}} = 12,5$ (triệu đồng).

* Tương tự ta tính được mức thu nhập trung bình của công nhân nhà máy B là:

${\bar y_B} = \frac{{6,5.17 + 9,5.23 + 12,5.30 + 15,5.23 + 18,5.17}}{{110}} = 12,5$ (triệu đồng).

b) Tính khoảng tứ phân vị

* Tính khoảng tứ phân vị của thu nhập người lao động ở nhà máy A:

Cỡ mẫu $n = 155$.

Ta có: ${x_1},…,{x_{20}} \in \left[ {5;8} \right)$; ${x_{21}},…,{x_{55}} \in \left[ {8;11} \right)$;${x_{56}},…,{x_{100}} \in \left[ {11;14} \right)$;${x_{101}},…,{x_{135}} \in \left[ {14;17} \right)$;${x_{136}},…,{x_{155}} \in \left[ {17;20} \right)$.

– Tính ${Q_1}$.

Ta có: ${Q_1} = {x_{39}} \in \left[ {8;11} \right)$$ \Rightarrow p = 2$

Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{r \cdot n}}{4} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$ .

Ta có:

${Q_1} = {a_2} + \frac{{\frac{{1 \cdot 155}}{4} – \left( {{m_1}} \right)}}{{{m_2}}} \cdot \left( {{a_3} – {a_2}} \right)$$ = 8 + \frac{{\frac{{155}}{4} – 20}}{{35}}.(11 – 8) = \frac{{269}}{{28}} \approx 9,61$

– Tính ${Q_3}$.

Ta có: ${Q_3} = {x_{117}} \in \left[ {14;17} \right)$$ \Rightarrow p = 4$

Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{r \cdot n}}{4} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$ .

Ta có: ${Q_3} = {a_4} + \frac{{\frac{{3 \cdot n}}{4} – \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)}}{{{m_4}}} \cdot \left( {{a_5} – {a_4}} \right)$

$ = 14 + \frac{{\frac{{3.155}}{4} – \left( {20 + 35 + 45} \right)}}{{35}}.(17 – 14) = \frac{{431}}{{26}} \approx 15,39$

Vậy, $\;\,{\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{431}}{{26}} – \frac{{269}}{{28}} = \frac{{81}}{{14}} \approx 5,79$.

* Tương tự ta tính được khoảng tứ phân vị của thu nhập người lao động ở nhà máy B:

${Q_1} \approx 9,37;\;{Q_3} \approx 15,63;\;{\Delta _Q} \approx 6,23.\;$

Dựa vào tứ phân vị thì có thể khẳng định thu nhập của người lao động ở nhà máy B phân tán hơn.

Câu 3.3. Bảng sau đây cho biết chiều cao của các học sinh lớp 12A và 12B.

Chiều cao (cm)	[145;150)	[150;155)	[155;160)	[160;165)	[165;170)	[170;175)
Số học sinh của lớp 12A	1	0	15	12	10	5
Số học sinh của lớp 12B	0	0	17	10	9	6

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 12A, 12B.

b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị? Vì sao?

Lời giải

* Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 12A.

+ Khoảng biến thiên $R = {a_7} – {a_1} = 175 – 145 = 30$

+ Tìm khoảng tứ phân vị

Cỡ mẫu $n = 43$.

Ta có: ${x_1} \in \left[ {145;150} \right)$; ${x_2},…,{x_{16}} \in \left[ {155;160} \right)$;${x_{17}},…,{x_{28}} \in \left[ {160;165} \right)$;${x_{29}},…,{x_{38}} \in \left[ {165;170} \right)$;${x_{39}},…,{x_{43}} \in \left[ {170;175} \right)$.

– Tính ${Q_1}$.

Ta có: ${Q_1} = {x_{11}} \in \left[ {155;160} \right)$$ \Rightarrow p = 3$

Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{r \cdot n}}{4} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$ .

Ta có:

${Q_1} = {a_3} + \frac{{\frac{{1 \cdot n}}{4} – \left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{{{m_3}}} \cdot \left( {{a_4} – {a_3}} \right)$$ = 155 + \frac{{\frac{{1 \cdot 43}}{4} – \left( {1 + 0} \right)}}{{15}} \cdot \left( {160 – 155} \right) = \frac{{633}}{4} = 158,25$

– Tính ${Q_3}$.

Ta có: ${Q_3} = {x_{33}} \in \left[ {165;170} \right)$$ \Rightarrow p = 5$

Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{r \cdot n}}{4} – \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$ .

Ta có:

${Q_3} = {a_5} + \frac{{\frac{{3 \cdot n}}{4} – \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4}} \right)}}{{{m_5}}} \cdot \left( {{a_6} – {a_5}} \right)$$ = 165 + \frac{{\frac{{3 \cdot 43}}{4} – \left( {1 + 0 + 15 + 12} \right)}}{{10}} \cdot \left( {170 – 165} \right) = \frac{{1337}}{8} = 167,125$

Vậy, ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 167,125 – 158,25 = 8,875.$

* Tương tự ta tìm được khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 12A.

$R = 175 – 155 = 20,\;$ ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} \approx 167,5 – 158,09 \approx 9,41.$

b) Ta nên dùng khoảng tứ phân vị vì khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn, quá bé.