Phương Pháp Biểu Diễn Miền Nghiệm Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Giải Chi Tiết

Phương pháp biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by \leqslant c$.

• Vẽ đường thẳng $d:ax + by = c$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

• Lấy một điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ không thuộc $d$.

• Tính $a{x_0} + b{y_0}$ và so sánh với $c$.

• Nếu $a{x_0} + b{y_0} < c$ thì nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa ${M_0}$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu $a{x_0} + b{y_0} > c$ thì nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa ${M_0}$ là miền nghiệm của bất phương trình.

Nhận xét:

• Nếu $c \ne 0$, ta thường chọn ${M_0}$ chính là gốc tọa độ.

• Nếu $c = 0$, ta thường chọn ${M_0}$ có toạ độ $\left( {1;0} \right)$ hoặc $\left( {0;1} \right)$.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình $ax + by < c$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by \leqslant c$ bỏ đi đường thẳng $ax + by = c$ và biểu diễn đường thằng bằng nét đứt.

Bài 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $x – 2y < 2024$;

b) ${3^2}x – 2y \leqslant 0$;

c) $x – 2023{y^2} \geqslant 2024$.

Lời giải

a) $x – 2y > 2024$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

b) ${3^2}x – 2y \leqslant 0 \Leftrightarrow 9x – 2y \leqslant 0$. là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

c) $x – 2023{y^2} \geqslant 2024$ không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa ${y^2}$.

Bài 2. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $2x – 5y + 10 > 0$.

a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng $Oxy$.

b) $\left( {1;3} \right)$ có phải là nghiệm của bất phương trình trên không?

c) Chỉ ra 2 cặp số (x; y) thỏa mãn bất phương trình trên.

Lời giải

a) Vẽ đường thẳng $2x – 5y + 10 = 0$.

Cho $x = 0$, khi đó $2.0 – 5y + 10 = 0$, suy ra $y = 2$.

Cho $y = 0$, khi đó $2x – 5.0 + 10 = 0$, suy ra $x = – 5$.

Do đó, đường thẳng $2x – 5y + 10 = 0$ đi qua hai điểm $\left( {0;2} \right)$ và $\left( { – 5;0} \right)$.

Lấy điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc đường thẳng $2x – 5y + 10 = 0$.

Ta có: $2.0 – 5.0 + 10 = 10 > 0$, do đó tọa độ điểm $O$ thỏa mãn bất phương trình $2x – 5y + 10 > 0$.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình $2x – 5y + 10 > 0$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $2x – 5y$ $ + 10 = 0$, chứa gốc $O$ và không kể đường thẳng $2x – 5y + 10 = 0$ (miền không bị gạch trong hình dưới đây).

b) Thay $x = 1,y = 3$ vào biểu thức $2x – 5y + 10$, ta được:

$2.1 – 5.3 + 10 = – 3 < 0$

Do đó, cặp số $\left( {1;3} \right)$ không thỏa mãn bất phương trình $2x – 5y + 10 > 0$.

Vậy $\left( {1;3} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

c) Ta chọn cặp số (x; y) tùy ý sao cho $2x – 5y + 10 > 0$.

Chẳng hạn các cặp số $\left( {1;2} \right)$ và $\left( {3;3} \right)$ thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Do $2.1 – 5.2 + 10 = 2 > 0$ và $2.3 – 5.3 + 10 = 1 > 0$.

Bài 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

a) $2x + y \leqslant 3$.

b) $\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x – \left( {1 – \sqrt 3 } \right)y \geqslant 2$.

c) $ – 3x + y + 2 \leqslant 0$.

d) $3x + 2y \geqslant 300$.

e) $7x + 20y < 0$

Lời giải

a) $2x + y \leqslant 3$.

Vẽ đường thẳng $\Delta :2x + y = 3$.

Lấy gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$, ta thấy $O \notin \Delta $ và có $2.0 + 0 < 3$ nên nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ chứa gốc tọa độ $O$ là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình).

b) $\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x – \left( {1 – \sqrt 3 } \right)y \geqslant 2$.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng $\left( d \right):\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x – \left( {1 – \sqrt 3 } \right)y = 2$.

Ta thấy $\left( {0;0} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $\left( d \right)$ không chứa điểm $\left( {0;0} \right)$.

c) $ – 3x + y + 2 \leqslant 0$. Trước hết, ta vẽ đường thẳng $\left( d \right): – 3x + y + 2 = 0$.

Ta thấy $\left( {0;0} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $\left( d \right)$ không chứa điểm $\left( {0;0} \right)$.

d) $3x + 2y \geqslant 300$.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $3x + 2y \geqslant 300$

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:3x + 2y – 300 = 0$.

Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ $O\left( {0;0} \right)$ và tính $3.0 + 2.0 \geqslant 300$ (vô lí).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc toạ độ và kể đường thẳng $d$.

e) $7x + 20y < 0$

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $7x + 20y < 0$

Bước 1: Vẽ đường thẳng $7x + 20y = 0$.

Bước 2: Ta lấy điểm ${M_0}\left( {1;1} \right)$ và tính $7.1 + 20.1 < 0$ (vô lí).

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa điểm $M$, không kể đường thẳng $d$.

Bài 4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

a) $x + 3 + 2\left( {2y + 5} \right) < 2\left( {1 – x} \right)$.

b) $2x + 2y – 8 < x – y$.

c) $2\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 2} \right) > 2$.

Lời giải

a) $x + 3 + 2\left( {2y + 5} \right) < 2\left( {1 – x} \right)$.

Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành $3x + 4y + 11 < 0$.

Ta vẽ đường thẳng $\left( d \right):3x + 4y + 11 = 0$.

Ta thấy $\left( {0;0} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ $\left( d \right))$ không chứa điểm $\left( {0;0} \right)$.

b) $2x + 2y – 8 < x – y$.

$ \Leftrightarrow 3x – x + 2y + y < 8$

$ \Leftrightarrow 2x + 3y < 8$.

Vẽ đường thẳng $2x + 3y = 8$.

Cho $x = 0$, khi đó $2.0 + 3y = 8$, suy ra $y = \frac{8}{3}$.

Cho $y = 0$, khi đó $2x + 3.0 = 8$, suy ra $x = 4$.

Do đó, đường thẳng $2x + 3y = 8$ đi qua hai điểm $\left( {0;\frac{8}{3}} \right)$ và $\left( {4;0} \right)$.

Lấy điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc đường thẳng $2x + 3y = 8$.

Ta có: $2.0 + 3.0 = 0 < 8$, do đó tọa độ điểm $O$ thỏa mãn bất phương trình $2x + 3y < 8$. Vậy miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y < 8$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $2x + 3y = 8$, chứa gốc $O$ và không kể đường thẳng $2x + 3y = 8$ (miền không bị gạch trong hình dưới đây).

c) $2\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 2} \right) > 2$.

$ \Leftrightarrow 2x – 2 + 3y – 6 > 2$

$ \Leftrightarrow 2x + 3y > 10$.

Vẽ đường thẳng $2x + 3y = 10$.

Cho $x = 0$, khi đó $2.0 + 3y = 10$, suy ra $y = \frac{{10}}{3}$.

Cho $y = 0$, khi đó $2x + 3.0 = 10$, suy ra $x = 5$.

Do đó, đường thẳng $2x + 3y = 10$ đi qua hai điểm $\left( {0;\frac{{10}}{3}} \right)$ và $\left( {5;0} \right)$.

Lấy điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc đường thẳng $2x + 3y = 10$.

Ta có: $2.0 + 3.0 = 0 < 10$, do đó tọa độ điểm $O$ không thỏa mãn bất phương trình $2x + 3y > 10$.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y > 10$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $2x + 3y = $ 10, không chứa gốc $O$ và không kể đường thẳng $2x + 3y = 10$ (miền không bị gạch trong hình dưới đây).