25 Câu Trắc Nghiệm Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Theo Dạng Giải Chi Tiết

25 câu trắc nghiệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: XÉT ĐIỂM $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ CÓ THUỘC MIỀM NGHIỆM CỦA HỆ HAY KHÔNG?

Câu 1: Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + y – 2 \leqslant 0} \\
{2x – 3y + 2 > 0}
\end{array}} \right.$ là

A. $\left( {0;0} \right)$.

B. $\left( {1;1} \right)$.

C. $\left( { – 1;1} \right)$.

D. $\left( { – 1; – 1} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta thay cặp số $\left( { – 1;1} \right)$ vào hệ ta thấy không thỏa mãn.

Câu 2: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 3y – 1 > 0} \\
{5x – y + 4 < 0}
\end{array}} \right.$ ?

A. $\left( { – 1;4} \right)$.

B. $\left( { – 2;4} \right)$.

C. $\left( {0;0} \right)$.

D. $\left( { – 3;4} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Nhận xét: chỉ có điểm $\left( {0;0} \right)$ không thỏa mãn hệ.

Câu 3: Cho hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y > 0} \\
{2x + 5y < 0}
\end{array}} \right.$ có tập nghiệm là $S$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $\left( {1;1} \right) \in S$.

B. $\left( { – 1; – 1} \right) \in S$.

C. $\left( {1; – \frac{1}{2}} \right) \in S$.

D. $\left( { – \frac{1}{2};\frac{2}{5}} \right) \in S$.

Lời giải

Chọn C

Thế đáp án, chỉ có $x = 1;y = – \frac{1}{2}$ thỏa mãn hệ bất phương trình

Câu 4: Cho hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{x + \sqrt 3 y + 1 \leqslant 0}
\end{array}} \right.$ có tập nghiệm là $S$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $\left( {1; – 1} \right) \in S$.

B. $\left( {1; – \sqrt 3 } \right) \in S$.

C. $\left( { – 1;\sqrt 5 } \right) \notin S$.

D. $\left( { – 4;\sqrt 3 } \right) \in S$.

Lời giải

Chọn B.

Ta thấy $\left( {1; – \sqrt 3 } \right) \in S$ vì : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 > 0} \\
{1 + \sqrt 3 \cdot \left( { – \sqrt 3 } \right) + 1 \leqslant 0}
\end{array}} \right.$

Câu 5: Điểm $O\left( {0;0} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3y – 6 > 0} \\
{2x + y + 4 > 0}
\end{array}} \right.$.

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3y – 6 > 0} \\
{2x + y + 4 < 0}
\end{array}} \right.$.

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3y – 6 < 0} \\
{2x + y + 4 > 0}
\end{array}} \right.$.

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3y – 6 < 0} \\
{2x + y + 4 < 0}
\end{array}} \right.$.

Lời giải

Chọn C

Thay $x = 0;y = 0$ vào từng đáp án ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3y – 6 > 0} \\
{2x + y + 4 > 0}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 6 > 0} \\
{4 > 0}
\end{array}} \right.} \right.$ (Loại A)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3y – 6 > 0} \\
{2x + y + 4 < 0}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 6 > 0} \\
{4 < 0}
\end{array}} \right.} \right.$(Loại B)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3y – 6 < 0} \\ {2x + y + 4 > 0}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 6 < 0} \\ {4 > 0}
\end{array}} \right.} \right.$ (Thỏa mãn)

Câu 6: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 5y – 1 > 0} \\
{2x + y + 5 > 0} \\
{x + y + 1 < 0}
\end{array}} \right.$ ?

A. $\left( {0;0} \right)$.

B. $\left( {1;0} \right)$.

C. $\left( {0; – 2} \right)$.

D. $\left( {0;2} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Nhận xét: chỉ có điểm $\left( {0; – 2} \right)$ thỏa mãn hệ.

DẠNG 2: TÌM MIỀN NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 7: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y > 0} \\
{3x + 2y < 6}
\end{array}} \right.$.

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y > 0} \\
{3x + 2y < – 6}
\end{array}} \right.$.

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{3x + 2y < 6}
\end{array}} \right.$.

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{3x + 2y > – 6}
\end{array}} \right.$.

Lời giải

Chọn A

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):y = 0$ và đường thẳng $\left( {{d_2}} \right):3x + 2y = 6$.

Miền nghiệm gồm phần $y$ nhận giá trị dương.

Lại có $\left( {0;0} \right)$ thỏa mãn bất phương trình $3x + 2y < 6$.

Câu 8: Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – y \geqslant 0} \\
{2x – y \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – y > 0} \\
{2x – y > 1}
\end{array}} \right.$.

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – y < 0} \\
{2x – y > 1}
\end{array}} \right.$.

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – y < 0} \\
{2x – y < 1}
\end{array}} \right.$.

Lời giải

Chọn B

Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A.

Chọn điểm $M\left( {1;0} \right)$ thử vào các hệ bất phương trình.

Xét đáp án $B$, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – 0 > 0} \\
{2.1 – 0 > 1}
\end{array}} \right.$ : Đúng và miền nghiệm không chứa biên. Chọn ${\mathbf{B}}$.

Câu 9: Miền tam giác $ABC$ kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ bất phương trình dưới đây?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y \geqslant 0} \\
{5x – 4y \geqslant 10} \\
{5x + 4y \leqslant 10}
\end{array}} \right.$

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{5x – 4y \leqslant 10} \\
{4x + 5y \leqslant 10}
\end{array}} \right.$

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{4x – 5y \leqslant 10} \\
{5x + 4y \leqslant 10}
\end{array}} \right.$

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{5x – 4y \leqslant 10} \\
{4x + 5y \leqslant 10}
\end{array}} \right.$.

Lời giải

Chọn D

Cạnh $AC$ có phương trình $x = 0$ và cạnh $AC$ nằm trong miền nghiệm nên $x \geqslant 0$ là một bất phương trình của hệ.

Cạnh $AB$ qua hai điểm $\left( {\frac{5}{2};0} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$ nên có phương trình: $\frac{x}{{\frac{5}{2}}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 4x + 5y = 10$.

Vậy hệ bất phương trình cần tìm là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{5x – 4y \leqslant 10.} \\
{4x + 5y \leqslant 10}
\end{array}} \right.$

Câu 10: Miền tam giác $ABC$ kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y \geqslant 0} \\
{5x – 4y \geqslant 10} \\
{5x + 4y \leqslant 10}
\end{array}} \right.$

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{4x – 5y \leqslant 10} \\
{5x + 4y \leqslant 10}
\end{array}} \right.$

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{5x – 4y \leqslant 10.} \\
{4x + 5y \leqslant 10}
\end{array}} \right.$.

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{5x – 4y \leqslant 10} \\
{4x + 5y \leqslant 10}
\end{array}} \right.$

Lời giải

Chọn C

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị gồm các đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):x = 0$

$\left( {{d_2}} \right):4x + 5y = 10$

$\left( {{d_3}} \right):5x – 4y = 10$

Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị $X$ dương (kể cả bờ $\left( {{d_1}} \right)$ ).

Lại có $\left( {0;0} \right)$ là nghiệm của cả hai bất phương trình $4x + 5y \leqslant 10$ và $5x – 4y \leqslant 10$.

Câu 11: Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y – 1 > 0} \\
{y \geqslant 2} \\
{ – x + 2y > 3}
\end{array}} \right.$ là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

A.

 

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C

Chọn điểm $M\left( {0;4} \right)$ thử vào các bất phương trình của hệ thấy thỏa mãn.

DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $T\left( {x,y} \right) = ax + $ by với $\left( {x;y} \right)$ nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm $S$ là đa giác.

Bước 2: Tính giá trị của $F$ tương ứng với $\left( {x;y} \right)$ là tọa độ của các đỉnh của đa giác.

Bước 3: Kết luận:

• Giá trị lớn nhất của $F$ là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.

• Giá trị nhỏ nhất của $F$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.

Câu 12: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = y – x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y – 2x \leqslant 2} \\
{2y – x \geqslant 4} \\
{x + y \leqslant 5}
\end{array}} \right.$

A. $minF = 1$ khi $x = 2,y = 3$.

B. $minF = 2$ khi $x = 0,y = 2$.

C. $minF = 3$ khi $x = 1,y = 4$.

D. $minF = 0$ khi $x = 0,y = 0$.

Lời giải

Chọn A

Miền nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y – 2x \leqslant 2} \\
{2y – x \geqslant 4} \\
{x + y \leqslant 5}
\end{array}} \right.$ là miền trong của tam giác $ABC$ kể cả biên

Ta thấy $F = y – x$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C$.

Tại $A\left( {0;2} \right)$ thì $F = 2$.

Tại $B\left( {1;4} \right)$ thì $F = 3$ Tại $A\left( {2;3} \right)$ thì $F = 1$.

Vậy $minF = 1$ khi $x = 2,y = 3$.

Câu 13: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left( {x;y} \right) = x – 2y$, với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 \leqslant y \leqslant 5} \\
{x \geqslant 0} \\
{x + y – 2 \geqslant 0} \\
{x – y – 2 \leqslant 0}
\end{array}} \right.$ là

A. -12 .

B. -10 .

C. -8 .

D. -6 .

Lời giải

Chọn B

Vẽ các đường thẳng ${d_1}:y = 5$;

${d_2}:x + y – 2 = 0;{d_3}:x – y – 2 = 0$;

$Ox:y = 0;\;Oy:x = 0$.

Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại $A\left( {0;5} \right)$

Vì điểm ${M_0}\left( {2;1} \right)$ có tọa độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ ${d_1},{d_2},{d_3},Ox,Oy$ không chứa điểm ${M_0}$. Miền không bị tô đậm là đa giác $ABCD$ kể cả các cạnh (hình bên) là miền nghiệm của hệ pt đã cho.

Kí hiệu $F\left( A \right) = F\left( {{x_A};{y_A}} \right) = {x_A} – 2{y_A}$, ta có $F\left( A \right) = – 10,F\left( B \right) = – 4,F\left( C \right) = 2;F\left( D \right) = – 3, – 10 < – 4 < – 3 < 2$.

Giá trị lớn nhất cần tìm là -10 .

Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của biết thức $F = y – x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + y \leqslant 2} \\
{x – y \leqslant 2} \\
{5x + y \geqslant – 4}
\end{array}} \right.$ là

A. $minF = – 3$ khi $x = 1,y = – 2$.

B. $minF = 0$ khi $x = 0,y = 0$.

C. $minF = – 2$ khi $x = \frac{4}{3},y = – \frac{2}{3}$.

D. $minF = 8$ khi $x = – 2,y = 6$.

Lời giải

Chọn C

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + y \leqslant 2} \\
{x – y \leqslant 2} \\
{5x + y \geqslant – 4}
\end{array}} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Giá trị nhỏ nhất của biết thức $F = y – x$ chỉ đạt được tại các điểm

$A\left( { – 2;6} \right),C\left( {\frac{4}{3}; – \frac{2}{3}} \right),B\left( {\frac{{ – 1}}{3};\frac{{ – 7}}{3}} \right)$.

Ta có: $F\left( A \right) = 8;F\left( B \right) = – 2;F\left( C \right) = – 2$.

Vậy $minF = – 2$ khi $x = \frac{4}{3},y = – \frac{2}{3}$.

DẠNG 4: BÀI TOÁN THỰC TẾ

Câu 15: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất $1,6\;kg$ thịt bò và $1,1\;kg$ thịt lợn. Giá tiền một $kg$ thịt bò là 160 nghìn đồng, một $kg$ thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi $x,y$ lần lượt là số $kg$ thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm $x,y$ để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?

A. $x = 0,3$ và $y = 1,1$.

B. $x = 0,3$ và $y = 0,7$.

C. $x = 0,6$ và $y = 0,7$.

D. $x = 1,6$ và $y = 0,2$.

Lời giải

Chọn A

Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là $160.x + 110.y$ với $x,y$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 \leqslant x \leqslant 1,6} \\
{0 \leqslant y \leqslant 1,1}
\end{array}} \right.$.

Số đơn vị protein gia đình có là $0,8 \cdot x + 0,6 \cdot y \geqslant 0,9 \Leftrightarrow 8x + 6y \geqslant 9\left( {{d_1}} \right)$.

Số đơn vị lipit gia đình có là $0,2 \cdot x + 0,4 \cdot y \geqslant 0,4 \Leftrightarrow x + 2y \geqslant 2\left( {{d_2}} \right)$.

Bài toán trở thành: Tìm $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 \leqslant x \leqslant 1,6} \\
{0 \leqslant y \leqslant 1,1} \\
{8x + 6y \geqslant 9} \\
{x + 2y \geqslant 2}
\end{array}} \right.$ sao cho $T = 160.x + 110.y$ nhỏ nhất.

Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm $A\left( {1,6;1,1} \right);B\left( {1,6;0,2} \right);C\left( {0,6;0,7} \right);D\left( {0,3;1,1} \right)$.

Nhận xét: $T\left( A \right) = 377$ nghìn, $T\left( B \right) = 278$ nghìn, $T\left( C \right) = 173$ nghìn, $T\left( D \right) = 169$ nghìn.

Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì $x = 0,6$ và $y = 0,7$.

Câu 16: Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe $A$ và $B$. Trong đó xe loại $A$ có 10 chiếc, xe loại $B$ có 9 chiếc. Một chiếc xe loại $A$ cho thuê với giá 4 triệu, loại $B$ giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe $A$ chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng. Xe $B$ chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.

A. 4 xe $A$ và 5 xe $B$.

B. 5 xe $A$ và 6 xe $B$.

C. 5 xe $A$ và 4 xe $B$.

D. 6 xe $A$ và 4 xe $B$.

Lời giải

Chọn D

Gọi $x$ là số xe loại $A\left( {0 \leqslant x \leqslant 10;x \in \mathbb{N}} \right),y$ là số xe loại $B\left( {0 \leqslant y \leqslant 9;y \in \mathbb{N}} \right)$. Khi đó tổng chi phí thuê xe là $T = 4x + 3y$.

Xe $A$ chở tối đa 20 người, xe $B$ chở tối đa 10 người nên tổng số người 2 xe chở tối đa được là $20x + 10y$.

Xe $A$ chở được 0,6 tấn hàng, xe $B$ chở được 1,5 tấn hàng nên tổng lượng hàng 2 xe chở được là $0,6x + 1,5y$.

Theo giả thiết, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 \leqslant x \leqslant 10} \\
{0 \leqslant y \leqslant 9} \\
{20x + 10y \geqslant 140} \\
{0,6x + 1,5y \geqslant 9}
\end{array}\left( * \right)} \right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left( * \right)$ là tứ giác $ABCD$ kể cả miền trong của tứ giác.

Biểu thức $T = 4x + 3y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác $ABCD$.

Tại các đỉnh $A\left( {10;2} \right);B\left( {10;9} \right);C\left( {\frac{5}{2};9} \right);D\left( {5;4} \right)$, ta thấy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5} \\
{y = 4}
\end{array}} \right.$.

Khi đó ${T_{min}} = 32$.

Câu 17: Gia đình Bác An cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất $1,6\;kg$ thịt bò và $1,1\;kg$ thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, $y$ lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính ${x^2} + {y^2}$

A. ${x^2} + {y^2} = 1,3$.

B. ${x^2} + {y^2} = 2,6$.

C. ${x^2} + {y^2} = 1,09$.

D. ${x^2} + {y^2} = 0,58$.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: $0 \leqslant x \leqslant 1,6;0 \leqslant y \leqslant 1,1$

Khi đó số protein có được là $800x + 600y$ và số lipit có được là $200x + 400y$

Vì gia đình Bác An cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: $800x + 600y \geqslant 900$ và $200x + 400y \geqslant 400$

$ \Leftrightarrow 8x + 6y \geqslant 9$ và $x + 2y \geqslant 2$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 \leqslant x \leqslant 1,6} \\
{0 \leqslant y \leqslant 1,1} \\
{8x + 6y \geqslant 9} \\
{x + 2y \geqslant 2}
\end{array}} \right.$

Miền nghiệm của hệ trên là miền nghiệm

của tứ giác $ABCD$

Chi phí để mua $x$ kg thịt bò và $y$ kg thịt

lợn là $T = 160x + 110y$

Biết $T$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác $ABCD$

Tại A: $T = 160.0,6 + 110.0,7 = 173$

Tại B: $T = 160.1,6 + 110.0,2 = 278$

Tại C: $T = 160.1,6 + 110.1,1 = 377$

Tại D: $T = 160.0,3 + 110.1,1 = 169$

Vậy T đạt GTNN khi $x = 0,3;y = 1,1 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 0,{3^2} + 1,{1^2} = 1,3$.

Câu 18: Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ $A$ và giỏ $B$, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ $A$ nhiều hơn số trứng trong giỏ B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả trứng lành là $\frac{{55}}{{84}}$. Tìm số trứng lành trong giỏ A.

A. 6 .

B. 14 .

C. 11 .

D. 10 .

Lời giải

Chọn C

Gọi $a$ là số trứng lành, $b$ là số trứng hỏng trong giỏ A.

Gọi $x$ là số trứng lành, $y$ là số trứng hỏng trong giỏ B.

Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, xác suất để lấy được hai quả trứng lành: $\frac{a}{{a + b}} \cdot \frac{x}{{x + y}} = \frac{{55}}{{84}}$.

Do đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {a.x} \right)\;55\;} \\
{\left( {a + b} \right)\left( {x + y} \right):84} \\
{a + b + x + y = 20} \\
{\left( {a + b} \right)\left( {x + y} \right) \leqslant {{\left( {\frac{{a + b + x + y}}{2}} \right)}^2} = 100}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + b = 14} \\
{x + y = 6} \\
{\left( {a.x} \right) \vdots 55}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 11} \\
{x = 5}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Suy ra: Giỏ A có 11 quả trứng lành.

Câu 19: Trường THPT Lý Tự Trọng tổ chức một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại $I$ được 80 điểm thưởng, mỗi lít nước ngọt loại II được 60 điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội trong cuộc thi là bao nhiêu?

A. 540 .

B. 600 .

C. 640 .

D. 720 .

Lời giải

Chọn C

Gọi số lít nước ngọt loại I là x và số lít nước ngọt loại II là y. Khi đó ta có hệ điều kiện về vật liệu ban

đầu mà mỗi đội được cung cấp: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10x + 30y \leqslant 210} \\
{4x + y \leqslant 24} \\
{x + y \leqslant 9} \\
{x,y \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 3y \leqslant 210} \\
{4x + y \leqslant 24} \\
{x + y \leqslant 9} \\
{x,y \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.$

Điểm thưởng đạt được: $P = 80x + 60y$

Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ${\mathbf{P}}$ trong miền ${\mathbf{D}}$ được cho bởi hệ điều kiện Biến đổi biểu thức $P = 80x + 60y \Leftrightarrow 80x + 60y – P = 0$ đây là họ đường thẳng ${\mathbf{\Delta }}$ trong hệ tọa độ ${\mathbf{Oxy}}$ Miền D được xác định trong hình vẽ bên dưới:

Giá trị lớn nhất của ${\mathbf{P}}$ ứng với đường thẳng ${\mathbf{\Delta }}$ đi qua điểm $A\left( {5;4} \right)$, suy ra:

$80.5 + 60.4 – P = 0 \to P = 640 = {P_{max}}$.

Câu 20: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Phú và Yên. Xưởng sản xuất loại sản phẩm $I$ và $II$. Mỗi sản phẩm $I$ bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm $II$ bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm $I$ thì Phú phải làm việc trong 3 giờ, Yên phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II thì Phú phải làm việc trong 2 giờ, Yên phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Phú không thể làm việc quá 180 giờ và Yên không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.

A. 32 triệu đồng.

B. 35 triệu đồng.

C. 14 triệu đồng.

D. 30 triệu đồng.

Lời giải

Chọn A

Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và loại $II$ được sản xuất ra. Điều kiện $x,y$ nguyên dương.

Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + 2y \leqslant 180} \\
{x + 6y \leqslant 220} \\
{x > 0} \\
{y > 0}
\end{array}} \right.$

Miền nghiệm của hệ trên là

Tiền lãi trong một tháng của xưởng là $T = 0,5x + 0,4y$.

Ta thấy $T$ đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C$. Vì $C$ có tọa độ không nguyên nên loại. Tại $A\left( {60;0} \right)$ thì $T = 30$ triệu đồng. Tại $B\left( {40;30} \right)$ thì $T = 32$ triệu đồng.

Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.

Câu 21: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích $800\;{m^2}$. Nếu trồng đậu trên diện tích $100\;{m^2}$ thì cần 20 công làm và thu được 3000000 đồng. Nếu trồng cà thì trên diện tích $100\;{m^2}$ cần 30 công làm và thu được 4000000 đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công làm không quá 180 công. Hãy chọn phương án đúng nhất trong các phương án sau:

A. Trồng $600\;{m^2}$ đậu; $200\;{m^2}$ cà.

B. Trồng $500\;{m^2}$ đậu; $300\;{m^2}$ cà.

C. Trồng $400\;{m^2}$ đậu; $200\;{m^2}$ cà.

D. Trồng $200\;{m^2}$ đậu; $600\;{m^2}$ cà.

Lời giải

Chọn A

Gọi $x$ là số $x00\;{m^2}$ đất trồng đậu, $y$ là số $y00\;{m^2}$ đất trồng cà. Điều kiện $x \geqslant 0,y \geqslant 0$.

Số tiền thu được là $T = 3x + 4y$ triệu đồng.

Theo bài ra ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y \leqslant 8} \\
{20x + 30y \leqslant 180} \\
{x \geqslant 0} \\
{y \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y \leqslant 8} \\
{2x + 3y \leqslant 18} \\
{x \geqslant 0} \\
{y \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.$

Đồ thị:

Dựa đồ thị ta có tọa độ các đỉnh $A\left( {0;6} \right),B\left( {6;2} \right),C\left( {8;0} \right),O\left( {0;0} \right)$.

$T\left( {0;6} \right) = 3.0 + 4.6 = 24$

$T\left( {6;2} \right) = 3.6 + 4.2 = 26$

$T\left( {8;0} \right) = 3.8 + 4.0 = 24$

$T\left( {0;0} \right) = 0$

Suy ra, $T$ lớn nhất tại $B\left( {6;2} \right)$

Vậy: Cần trồng $600\;{m^2}$ đậu; $200\;{m^2}$ cà.