Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 30 của đề tham khảo môn Toán.
DẠNG TOÁN SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa 1.
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $y = f\left( x \right)$ là một hàm số xác định trên K. Ta nói:
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu
$\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu
$\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.
2. Nhận xét.
a. Nhận xét 1.
Nếu hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số $f\left( x \right) + g\left( x \right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu $f\left( x \right) – g\left( x \right)$.
b. Nhận xét 2.
Nếu hàm số$f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số $f\left( x \right).g\left( x \right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ không là các hàm số dương trên K.
c. Nhận xét 3.
Cho hàm số $u = u\left( x \right)$, xác định với $x \in \left( {a;b} \right)$ và $u\left( x \right) \in \left( {c;d} \right)$. Hàm số $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ cũng xác định với $x \in \left( {a;b} \right)$. Ta có nhận xét sau:
Giả sử hàm số $u = u\left( x \right)$ đồng biến với $x \in \left( {a;b} \right)$. Khi đó, hàm số $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ đồng biến với $x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f\left( u \right)$ đồng biến với $u \in \left( {c;d} \right)$.
3. Định lí 1.
Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì $f’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K$.
b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì $f’\left( x \right) \le 0,\forall x \in K$.
4. Định lí 2.
Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a) Nếu $f’\left( x \right) > 0,\forall x \in K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên K.
b) Nếu $f’\left( x \right) < 0,\forall x \in K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên K.
c) Nếu $f’\left( x \right) = 0,\forall x \in K$ thì hàm số $f$ không đổi trên K.
Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:
Nếu hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$ thì hàm số $f$ đồng biến trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.
Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:
5. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2)
Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:
a) Nếu $f’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K$ và $f’\left( x \right) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số $f$ đồng biến trên K.
b) Nếu $f’\left( x \right) \le 0,\forall x \in K$ và $f’\left( x \right) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số $f$ đồng biến trên K.
| Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên $K$ Nếu $f’\left( x \right) \ge 0$ với mọi $x \in K$ và $f’\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x \in K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên $K$. Nếu $f’\left( x \right) \le 0$ với mọi $x \in K$ và $f’\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x \in K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên $K$. Chú ý: *) Riêng hàm số: $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau: +) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì $y’ > 0,\forall x \in D$ +) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì $y’ > 0,\forall x \in D$ +) Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}y’ > 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\\x \ne – \frac{d}{c}\end{array} \right.$ +) Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}y’ < 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\\x \ne – \frac{d}{c}\end{array} \right.$ Giả sử $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow f’\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c.$ |
|
| Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow f’\left( x \right) \ge 0;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta \le 0}\end{array}{\rm{ }}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c > 0\end{array} \right.\end{array} \right..$ |
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow f’\left( x \right) \le 0;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{\Delta \le 0}\end{array}{\rm{ }}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c < 0\end{array} \right.\end{array} \right..$ |
| Trường hợp 2 thì hệ số $c$ khác $0$ vì khi $a = b = c = 0$thì$f\left( x \right) = d$
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu) |
|
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng
BÀI TẬP MẪU
Câu 30. (Minh họa 2021) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}.$ B. $y = {x^2} + 2x.$ C. $y = {x^3} – {x^2} + x.$ D. $y = {x^4} – 3{x^2} + 2.$
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Tìm sự đồng biến, nghịch biến của hàm số cho trước
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm tập xác định
B2: Tìm $y’$ và tìm ${x_i}$ để $y’ = 0$ và $y’$ không xác định
B3: Lập bảng biến thiên
B4: Két luận
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ trước hết phải có tập xác định $D = \mathbb{R},$ loại câu A, xét các câu khác. Chỉ có $({x^3} – {x^2} + x)’ = 3{x^2} – 2x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $y = {x^3} – {x^2} + x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Cho hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x + 1}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1; + \infty } \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: $\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ { – 1} \right\}$.
Ta có $y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0$, $\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ { – 1} \right\}$.
Câu 2. Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x$; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
Lập bảng biến thiên rồi suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
Câu 3. Hỏi hàm số $y = 2{x^4} + 1$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $\left( { – \infty ;0} \right).$ B. $\left( { – \infty ;1} \right)$. C. $\left( {0; + \infty } \right)$. D. $\left( {1; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C
$y = 2{x^4} + 1$. Tập xác định:$D = \mathbb{R}$
Ta có: $y’ = 8{x^3}$; $y’ = 0 \Leftrightarrow 8{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$suy ra $y\left( 0 \right) = 1$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {\mkern 1mu} y = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} y = + \infty $
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Câu 4. Cho hàm số $y = {x^3} – 2{x^2} + x + 1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};1} \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right)$. D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};1} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $y’ = 3{x^2} – 4x + 1 \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};1} \right)$.
Câu 5. Cho hàm số $y = {x^4} – 2{x^2}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\, – 2} \right)$. B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;\,1} \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;\,1} \right)$. D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\, – 2} \right)$.
Lời giải
Chọn A
TXĐ: $D = \mathbb{R}.$
$y’ = 4{x^3} – 4x;\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = – 1\end{array} \right.$
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – 1;\,0} \right)$, $\left( {1;\, + \infty } \right)$; hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;\, – 1} \right)$, $\left( {0;\,1} \right)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\, – 2} \right)$.
Cách 2: Dùng chức năng mode 7 trên máy tính kiểm tra từng đáp án.
Câu 6. Cho hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + x + 2019$
A. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( { – \infty ;1} \right)$.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( { – \infty ;1} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$.
D. Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { – \infty ;1} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $y’ = {x^2} – 2x + 1 = {\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0,\forall x$ và $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (tại hữu hạn điểm)
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Câu 7. Hàm số $y = \frac{{5 – 2x}}{{x + 3}}$ nghịch biến trên
A. $R\backslash \left\{ { – 3} \right\}$. B. $\mathbb{R}$. C. $\left( { – \infty ; – 3} \right)$. D. $\left( {3; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C
Hàm số $y = \frac{{5 – 2x}}{{x + 3}}$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3} \right\}$.
$y’ = \frac{{ – 11}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} < 0,$với $x \in D$.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 3} \right)$và $\left( { – 3; + \infty } \right)$.
Câu 8. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y = {x^3} – 3x + 2$. B. $y = {x^4} + 2{x^2} + 2$.
C. $y = – {x^3} + 2{x^2} – 4x + 1$. D. $y = – {x^3} – 2{x^2} + 5x – 2$.
Lời giải
Chọn C
Xét A: là hàm số bậc 3 có hệ số $a = 1 > 0$ không thể luôn NB trên $\mathbb{R}$ nên loại A.
Xét B: là hàm số trùng phương luôn có cực trị nên loại B.
Xét C: $y = – {x^3} + 2{x^2} – 4x + 1 \Rightarrow y’ = – 3{x^2} + 4x – 4 = – 2{x^2} – {(x – 2)^2} < 0,\forall x \in \mathbb{R}$
Do đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Câu 9. Hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 2$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( {0\,;\,2} \right)$. B. $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$. C. $\left( {1\,;\,4} \right)$. D. $\left( {4\,;\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 6x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu của $y’$ như sau:
Nhìn vào bảng xét dấu của $y’$ ta thấy hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 2$ đồng biến trên khoảng $\left( {0\,;\,2} \right)$.
Vậy hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 2$ đồng biến trên khoảng $\left( {0\,;\,2} \right)$.
Câu 10. Hàm số $y = {x^4} – 4{x^3}$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( { – \infty \,;\, + \infty } \right)$. B. $\left( {3\,;\, + \infty } \right)$. C. $\left( { – 1\,;\, + \infty } \right)$. D. $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Ta có $y’ = 4{x^3} – 12{x^2}$
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 12{x^2} = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {\sqrt 3 \,;\, + \infty } \right)$ nên cũng đồng biến trên khoảng $\left( {3\,;\, + \infty } \right)$.
Mức độ 2
Câu 1. Hàm số $y = \frac{2}{{{x^2} + 1}}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $( – \infty ; + \infty )$. B. $(0; + \infty )$. C. $( – \infty ;0)$. D. $( – 1;1)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $y’ = \frac{{ – 4x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow x > 0$
Câu 2. Cho hàm số $y = \sqrt {2{x^2} + 1} $. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$. B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\,0} \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;\,1} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $D = \mathbb{R}$, $y’ = \frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }}$; $y’ > 0 \Leftrightarrow x > 0$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\,0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$.
Câu 3. Cho hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 1} $. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng$\left( { – \infty ;0} \right)$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$. D. Hàm số đồng biến trên $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A
Hàm số có tập xác định$D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$ nên loại B, C, D.
Câu 4. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f’\left( x \right) = {\left( {1 – x} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\left( {3 – x} \right)$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( { – \infty ;\,1} \right)$. B. $\left( { – \infty ;\, – 1} \right)$. C. $\left( {1;\,3} \right)$. D. $\left( {3;\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {1 – x} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\left( {3 – x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\,\,\,}\\{x = – 1}\\{x = 3\,\,\,}\end{array}} \right.$.
Bảng xét dấu:
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;\,3} \right)$.
Câu 5. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$?
A. $y = – {x^3} + 3{x^2}$. B. $y = \frac{{\sqrt {4 – {x^2}} }}{x}$. C. $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$. D. $y = \frac{x}{{\ln x}}$.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2}$ có $y’ = – 3{x^2} + 6x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Xét dấu $y’$ ta có hàm số đồng biến trên $\left( {0;2} \right)$.
Câu 6. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {x^2} – 2x$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số $y = – 2f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( { – 2;0} \right)$. B. $\left( {0;2} \right)$. C. $\left( {2; + \infty } \right)$. D. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $y’ = – 2f’\left( x \right) = – 2{x^2} + 4x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;2} \right)$.
Suy ra: Hàm số $y = – 2f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.
Câu 7. Hàm số $y = \sqrt {2018x – {x^2}} $ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. $\left( {1010;2018} \right)$. B. $\left( {2018; + \infty } \right)$. C. $\left( {0;1009} \right)$. D. $\left( {1;2018} \right)$.
Lời giải
Chọn A
TXĐ: $D = \left[ {0;2018} \right]$ $$
$y’ = {\left( {\sqrt {2018x – {x^2}} } \right)^\prime } = \frac{{2018 – 2x}}{{2\sqrt {2018x – {x^2}} }} = \frac{{1009 – x}}{{\sqrt {2018x – {x^2}} }};\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1009$
$y’ < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1009;2018} \right)$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1009;2018} \right)$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1010;2018} \right)$.
Câu 8. Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $y’ = {x^2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;0} \right)$ và đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
C. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
D. Hàm số đồng biến trên $\left( { – \infty ;0} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C
$y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Câu 9. Cho hàm $y = \sqrt {{x^2} – 6x + 5} $. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {5; + \infty } \right).$ B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right).$
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right).$ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;3} \right).$
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: $D = \left( { – \infty ;1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)$.
Ta có $y’ = \frac{{x – 3}}{{\sqrt {{x^2} – 6x + 5} }} > 0$, $\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {5; + \infty } \right).$
Câu 10. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = x{\left( {x – 2} \right)^3}$, với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( {1;\,\,3} \right)$. B. $\left( { – 1;\,\,0} \right)$. C. $\left( {0;\,\,1} \right)$. D. $\left( { – 2;\,\,0} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $f’\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
Đồng thời $f’\left( x \right) < 0$$ \Leftrightarrow x \in \left( {0;2} \right)$ nên ta chọn đáp án theo đề bài là $\left( {0;\,\,1} \right)$.
Mức độ 3
Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $5$. B. $4$. C. $3$. D. $2$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $f'(x) = {x^2} + 2mx + 4$.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f'(x) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$ (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm).
Ta có $f'(x) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta ‘ \le 0$
$ \Leftrightarrow \Delta ‘ = {m^2} – 4 \le 0$
$ \Leftrightarrow – 2 \le m \le 2$.
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { – 2;\, – 1;\,0;\,1;\,2} \right\}$, vậy có $5$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Câu 2. Cho hàm số $y = – {x^3} – m{x^2} + \left( {4m + 9} \right)x + 5$, với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$
A. $5$. B. $4$. C. $6$. D. $7$.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
+) TXĐ: $D = \mathbb{R}$
+) $y’ = – 3{x^2} – 2mx + 4m + 9$.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$ khi $y’ \le 0,\,\forall x \in \left( { – \infty ; + \infty } \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 3 < 0\\\Delta ‘ = {m^2} + 3\left( {4m + 9} \right) \le 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow m \in \left[ { – 9; – 3} \right]$ $ \Rightarrow $ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Câu 3. Cho hàm số $y = – \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {3m + 2} \right)x + 1$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
A. $\left[ \begin{array}{l}m \ge – 1\\m \le – 2\end{array} \right.$. B. $ – 2 \le m \le – 1$. C. $ – 2 < m < – 1$. D. $\left[ \begin{array}{l}m > – 1\\m < – 2\end{array} \right.$.
Lời giải
Chọn B
TXĐ: $D = \mathbb{R}$, $y’ = – {x^2} + 2mx + 3m + 2$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y’ \le 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1 < 0\\\Delta ‘ = {m^2} + 3m + 2 \le 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – 2 \le m \le – 1$.
Câu 4. Tìm $m$ để hàm số $y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left( {2m – 1} \right) + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. Không có giá trị $m$ thỏa mãn. B. $m \ne 1$.
C. $m = 1$. D. Luôn thỏa mãn với mọi $m$.
Lời giải
Chọn C
$y’ = 3{x^2} – 6mx + 3\left( {2m – 1} \right)$
Ta có: $\Delta ‘ = {\left( { – 3m} \right)^2} – 3.3.\left( {2m – 1} \right)$. Để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $\Delta ‘ \le 0$
$ \Leftrightarrow 9{m^2} – 18m + 9 < 0 \Leftrightarrow 9\left( {{m^2} – 2m + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow 9{\left( {m – 1} \right)^2} \le 0$$ \Leftrightarrow m = 1$.
Câu 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x – m$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
A. $\left[ { – 2;2} \right]$. B. $\left( { – \infty ;2} \right)$. C. $\left( { – \infty ; – 2} \right]$. D. $\left[ {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $y’ = {x^2} + 2mx + 4$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $y’ \ge 0,\forall x \in \left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
$ \Leftrightarrow \Delta ‘ = {m^2} – 4 \le 0 \Leftrightarrow – 2 \le m \le 2$.
Câu 6. Cho hàm số $y = \frac{{mx – 2m – 3}}{{x – m}}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của $S$.
A. Vô số B. $3$ C. $5$ D. $4$
Lời giải
Chọn B
$y’ = \frac{{ – {m^2} + 2m + 3}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}}$ hàm số đồng biến trên khoảng xác định khi $y’ < 0 \Leftrightarrow – {m^2} + 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow $$ – 1 < m < 3$ nên có 3 giá trị của m nguyên
Câu 7. Cho hàm số $y = \frac{{mx + 4m}}{{x + m}}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của $S$.
A. $4$ B. Vô số C. $3$ D. $5$
Lời giải
Chọn C
$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – m} \right\}$; $y’ = \frac{{{m^2} – 4m}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi $y’ < 0,\forall x \in D$$ \Leftrightarrow {m^2} – 4m < 0$$ \Leftrightarrow 0 < m < 4$.
Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên có $3$ giá trị thỏa mãn.
Câu 8. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{{x + 4}}{{x + m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty \,;\, – 7} \right)$ là
A. $\left[ {4\,;\,7} \right)$. B. $\left( {4\,;\,7} \right]$. C. $\left( {4\,;\,7} \right)$. D. $\left( {4\,;\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – m} \right\}$.
Ta có: $y’ = \frac{{m – 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}$.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty \,;\, – 7} \right)$ $ \Leftrightarrow y’ > 0$, $\forall x \in \left( { – \infty \,;\, – 7} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m – 4 > 0\\ – m \notin \left( { – \infty \,;\, – 7} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\ – m \ge – 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\m \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < m \le 7$.
Câu 9. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$để hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + \left( {2 – m} \right)x$đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$là
A. $\left( { – \infty ; – 1} \right]$. B. $\left( { – \infty ;2} \right)$. C. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$. D. $\left( { – \infty ;2} \right]$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x + 2 – m$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $y’ \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$
$ \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 2 – m \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$$m \le 3{x^2} – 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} f\left( x \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} – 6x + 2,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$.
$f’\left( x \right) = 6x – 6$; $f’\left( x \right) = 0 \Rightarrow 6x – 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy $m \le 2$. Vậy $m \in \left( { – \infty ;2} \right]$.
Câu 10. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + \left( {1 – m} \right)x$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ là
A. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$. B. $\left( { – \infty ;1} \right)$. C. $\left( { – \infty ; – 2} \right]$. D. $\left( { – \infty ;1} \right]$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x + 1 – m$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$$ \Leftrightarrow y’ \ge 0$, $\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$
$ \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 1 – m \ge 0$, $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2P + P} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2P} \right)}^2} + {{\left( {P – 4} \right)}^2}} }} \le 1 \Leftrightarrow 3\left| P \right| \le \sqrt {5{P^2} – 8P + 16} $
$ \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 1 \ge m$, $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2P + P} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2P} \right)}^2} + {{\left( {P – 4} \right)}^2}} }} \le 1 \Leftrightarrow 3\left| P \right| \le \sqrt {5{P^2} – 8P + 16} $$ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right) = 3{x^2} – 6x + 1$ với $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2P + P} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2P} \right)}^2} + {{\left( {P – 4} \right)}^2}} }} \le 1 \Leftrightarrow 3\left| P \right| \le \sqrt {5{P^2} – 8P + 16} $.
$g’\left( x \right) = 6x – 6$; $g’\left( x \right) > 0$, $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2P + P} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2P} \right)}^2} + {{\left( {P – 4} \right)}^2}} }} \le 1 \Leftrightarrow 3\left| P \right| \le \sqrt {5{P^2} – 8P + 16} $.
Bảng biến thiên $g\left( x \right)$:
Vậy $m \le 1$.
Mức độ 4
Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} + mx – \frac{1}{{5{x^5}}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$
A. $0$ B. $4$ C. $\;5$ D. $3$
Lời giải
Chọn B
$y’ = 3{x^2} + m + \frac{1}{{{x^6}}}$
Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $y’ = 3{x^2} + m + \frac{1}{{{x^6}}} \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$
$ \Leftrightarrow – 3{x^2} – \frac{1}{{{x^6}}} \le m,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$. Xét hàm số $g(x) = – 3{x^2} – \frac{1}{{{x^6}}} \le m$, $x \in \left( {0; + \infty } \right)$
$g'(x) = – 6x + \frac{6}{{{x^7}}} = \frac{{ – 6({x^8} – 1)}}{{{x^7}}}$, $g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1{\rm{(loai)}}\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta có $m \ge – 4$, suy ra các giá trị nguyên âm của tham số $m$ là $ – 4; – 3; – 2; – 1$
Câu 2. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{5}{m^2}{x^5} – \frac{1}{3}m{x^3} + 10{x^2} – \left( {{m^2} – m – 20} \right)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng
A. $\frac{5}{2}$. B. $ – 2$. C. $\frac{1}{2}$. D. $\frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $f’\left( x \right) = {m^2}{x^4} – m{x^2} + 20x – \left( {{m^2} – m – 20} \right) = {m^2}\left( {{x^4} – 1} \right) – m\left( {{x^2} – 1} \right) + 20\left( {x + 1} \right)$
$ = {m^2}\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – m\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 20\left( {x + 1} \right)$
$ = \left( {x + 1} \right)\left[ {{m^2}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – m\left( {x – 1} \right) + 20} \right]$
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\{m^2}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – m\left( {x – 1} \right) + 20 = 0\left( * \right)\end{array} \right.$
Ta có $f’\left( x \right) = 0$ có một nghiệm đơn là $x = – 1$, do đó nếu $\left( * \right)$ không nhận $x = – 1$ là nghiệm thì $f’\left( x \right)$ đổi dấu qua $x = – 1$. Do đó để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $f’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ hay $\left( * \right)$ nhận $x = – 1$ làm nghiệm (bậc lẻ).
Suy ra ${m^2}\left( { – 1 – 1} \right)\left( {1 + 1} \right) – m\left( { – 1 – 1} \right) + 20 = 0 \Leftrightarrow – 4{m^2} + 2m + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\m = – 2\end{array} \right.$.
Thử lại:
+ Với $m = \frac{5}{2}$ ta có $f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left[ {\frac{{25}}{4}\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – \frac{5}{2}\left( {x – 1} \right) + 20} \right] = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $ \Rightarrow $không thỏa mãn.
+ Với $m = – 2$ ta có $f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left[ {4\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + 2\left( {x – 1} \right) + 20} \right] = 0$ có 1 nghiệm kép $ \Rightarrow $ thỏa mãn.
Tổng các giá trị của $m$ là $ – 2$.
Câu 3. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x + 1 + \frac{m}{{x – 2}}$đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó là
A. $\left[ {0;\,1} \right)$. B. $\left( { – \infty ;\,0} \right]$. C. $\left[ {0;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$. D. $\left( { – \infty ;\,0} \right)$.
Lời giải
Chọn B
• Tập xác định:$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi:
$y’ \ge 0,\,\forall x \in D$ $ \Leftrightarrow 1 – \frac{m}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} \ge 0,\,\forall x \in D$
$ \Leftrightarrow m \le {\left( {x – 2} \right)^2},\,\forall x \in D \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right) = {\left( {x – 2} \right)^2}$ta có:
$f’\left( x \right) = 2x – 4 \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Bảng biến thiên:
Vậy, để hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó thì $m \le 0$.
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số $y = \frac{{{\rm{cos}}\,x – 3}}{{{\rm{cos }}x – m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$
A. $\left[ \begin{array}{l}0 \le m < 3\\m \le – 1\end{array} \right.$. B. $\left[ \begin{array}{l}0 < m < 3\\m < – 1\end{array} \right.$. C. $m \le 3$. D. $m < 3$.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện: ${\rm{cos }}x \ne m$. Ta có: $y’ = \frac{{( – m + 3)}}{{{{\left( {{\rm{cos }}x – m} \right)}^2}}}.( – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x) = \frac{{(m – 3)}}{{{{\left( {{\rm{cos }}x – m} \right)}^2}}}.\sin x$
Vì $x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x > 0$, ${\left( {{\rm{cos }}x – m} \right)^2} > 0,\,\,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right):{\rm{cos }}x \ne m$.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$$ \Leftrightarrow y’ < 0\,\,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m – 3 < 0\\{\rm{cos }}x \ne m{\rm{ }}\,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m – 3 < 0\\m \notin \left( { – 1;0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\\left[ \begin{array}{l}m \le – 1\\m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le m < 3\\m \le – 1\end{array} \right.$.
Chú ý : Tập giá trị của hàm số $y = \cos x,\,\,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$là $\left( { – 1;0} \right)$.
Câu 5. Cho hàm số $y = \frac{{(4 – m)\sqrt {6 – x} + 3}}{{\sqrt {6 – x} + m}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng $\left( { – 10;10} \right)$ sao cho hàm số đồng biến trên $\left( { – 8;5} \right)$?
A. $14$. B. $13$. C. $12$. D. $15$.
Lời giải
Chọn A
Đặt $t = – \sqrt {6 – x} $ vì $x \in \left( { – 8;5} \right)$ $ \Rightarrow t \in \left( { – \sqrt {14} ; – 1} \right)$ và $t = – \sqrt {6 – x} $ đồng biến trên $\left( { – 8;5} \right)$.
Hàm số trở thành $y = \frac{{ – (4 – m)t + 3}}{{ – t + m}}$ tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$ $ \Rightarrow y’ = \frac{{{m^2} – 4m + 3}}{{{{( – t + m)}^2}}}$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng$\left( { – \sqrt {14} ; – 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 4m + 3 > 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le – \sqrt {14} \\m \ge – 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le – \sqrt {14} \\ – 1 \le m < 1\\m > 3\end{array} \right.$.
$ \Rightarrow m = \left\{ { – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 1,0,4,5,6,7,8,9} \right\}$ có 14 giá trị.
Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{4}{x^4} + mx – \frac{3}{{2x}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$.
A. $2$. B. $1$. C. $3$. D. $0$.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định : $D = \mathbb{R}.$
$y’ = {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}}$.
Ta có: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $y’ \ge 0$ với $\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)$
$ \Leftrightarrow {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge 0,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)$ $ \Leftrightarrow {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge – m,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)$
$ \Leftrightarrow – m \le \,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} \,f\left( x \right)$,với $f\left( x \right) = {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}\left( 1 \right)$.
Cách 1:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $f\left( x \right) = {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}} = \frac{{{x^3}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{2} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{1}{{{2^5}}}}} = \frac{5}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = 1$. Do đó $\,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} \,f\left( x \right) = \frac{5}{2}\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $ – m \le \frac{5}{2}\, \Leftrightarrow m \ge – \frac{5}{2}$. Do $m$ nguyên âm nên $m = – 1$ hoặc $m = – 2$.
Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.
Cách 2:
Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}\,,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)$.
Ta có $f’\left( x \right) = 3{x^2} – \frac{3}{{{x^3}}}\,,\,f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $ – m \le \frac{5}{2}\, \Leftrightarrow m \ge – \frac{5}{2}$. Do $m$ nguyên âm nên $m = – 1$ hoặc $m = – 2$.
Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện bài ra.
Câu 7. Cho hàm số $y = \frac{{\ln x – 4}}{{\ln x – 2m}}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1;{\rm{e}}} \right)$. Tìm số phần tử của $S$.
A. $3$ B. $2$ C. $1$ D. $4$
Lời giải
Chọn C
$y = f\left( x \right) = \frac{{\ln x – 4}}{{\ln x – 2m}}$
Đặt $t = \ln x$, điều kiện $t \in \left( {0;1} \right)$
$g\left( t \right) = \frac{{t – 4}}{{t – 2m}}$; $g’\left( t \right) = \frac{{ – 2m + 4}}{{{{\left( {t – 2m} \right)}^2}}}$
Để hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {1;e} \right)$ thì hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( {0;1} \right)$ $ \Leftrightarrow g’\left( t \right) > 0,\;t \in \left( {0;1} \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 2m + 4}}{{{{\left( {t – 2m} \right)}^2}}} > 0,t \in \left( {0;1} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2m + 4 > 0\\2m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2} \le m < 2\\m \le 0\end{array} \right.$
$S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương $ \Rightarrow S = \left\{ 1 \right\}$.
Vậy số phần tử của tập $S$ là $1$.
Câu 8. Tìm $m$ để hàm số$y = \frac{{\cos x – 2}}{{\cos x – m}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)$
A. $\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le – 2\end{array} \right.$ B. $m > 2$ C. $\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\1 \le m < 2\end{array} \right.$ D. $ – 1 < m < 1$
Lời giải
Chọn C
Ta có$y’ = \frac{{2 – m}}{{{{\left( {\cos x – m} \right)}^2}}}.\left( { – \sin x} \right)\,,\forall x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)$. Ta có $\,\sin x > 0\,,\forall x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)$
Do đó: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{array}{l}2 – m > 0\\\cos x – m \ne 0,\,\forall x \in \left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \notin \left( {0;\,1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\1 \le m < 2\end{array} \right.$.
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số
$y = \frac{3}{4}{x^4} – \frac{9}{2}{x^2} + \left( {2m + 15} \right)x – 3m + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$?
A. $2.$ B. $3.$ C. $5.$ D. $4.$
Lời giải
Chọn D
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow y’ = 3{x^3} – 9x + 2m + 15 \ge 0\,,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$ và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc $\left( {0; + \infty } \right)$$ \Leftrightarrow 3{x^3} – 9x + 15 \ge – 2m\,,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow – 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)$.
Xét hàm số: $g(x) = 3{x^3} – 9x + 15$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Ta có: $g'(x) = 9{x^2} – 9$
$g’\left( x \right) = 0$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = – 1\,\,(l)}\end{array}} \right.$.
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta có: $ – 2m \le 9 \Leftrightarrow m \ge – \frac{9}{2}$
Vậy $m \in {\rm{\{ }} – 4;\, – 3;\, – 2;\, – 1\} $.
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = {2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}$ đồng biến trên $\left( {1;2} \right)$.
A. $m > – 8$. B. $m \ge – 1$. C. $m \le – 8$. D. $m < – 1$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $y’ = \left( {3{x^2} – 2x + m} \right){.2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}.\ln 2$
Hàm số đồng biến trên $\left( {1;2} \right)$$ \Leftrightarrow y’ \ge 0$, $\forall x \in \left( {1;2} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {3{x^2} – 2x + m} \right){.2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}.\ln 2 \ge 0$, $\forall x \in \left( {1;2} \right)$
$ \Leftrightarrow 3{x^2} – 2x + m \ge 0$, $\forall x \in \left( {1;2} \right)$
$ \Leftrightarrow m \ge – 3{x^2} + 2x$, $\forall x \in \left( {1;2} \right)$
$ \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left( {1;2} \right)} \left( { – 3{x^2} + 2x} \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right) = – 3{x^2} + 2x$, với $x \in \left( {1;2} \right)$.
Ta có: $f’\left( x \right) = – 6x + 2$.
Cho $f’\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow – 6x + 2 = 0$$ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$.
Bảng biến thiên:
Vậy $m \ge – 1$ thỏa yêu cầu bài toán.
