Giải Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo Bài Tập Cuối Chương 4

I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng.

Câu 1. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = {x^4}$ ?
A. $ – \frac{{{x^5}}}{5}$.
B. $4{x^3}$.
C. $\frac{{{x^5}}}{5} + 1$.
D. $ – 4{x^3} – 1$.

Lời giải

Câu 2. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ ?
A. $\frac{1}{{{x^3}}}$.
B. $ – \frac{1}{x}$.
C. $\frac{1}{x}$.
D. $ – \frac{1}{{{x^3}}}$.

Lời giải

Câu 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\smallint \left( {cosx – 2sinx} \right)dx = sinx + 2cosx + C$.
B. $\smallint \left( {cosx – 2sinx} \right)dx = – sinx + 2cosx + C$.
C. $\smallint \left( {cosx – 2sinx} \right)dx = sinx – 2cosx + C$.
D. $\smallint \left( {cosx – 2sinx} \right)dx = – sinx – 2cosx + C$.

Lời giải

Câu 4. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\smallint {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2}\;dx = \frac{{{x^3}}}{3} – 2x – \frac{1}{x} + C$.
B. $\smallint {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2}\;dx = \frac{{{x^3}}}{3} – 2x + \frac{1}{x} + C$.
C. $\smallint {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2}\;dx = \frac{1}{3}{\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^3} + C$.
D. $\smallint {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2}\;dx = \frac{1}{3}{\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C$.

Lời giải

Câu 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\smallint {3^{2x}}\;dx = \frac{{{9^x}}}{{ln9}} + C$.
B. $\smallint {3^{2x}}\;dx = {9^x} \cdot ln9 + C$.
C. $\smallint {3^{2x}}\;dx = {\left( {\frac{{{3^x}}}{{ln3}}} \right)^2} + C$.
D. $\smallint {3^{2x}}\;dx = {3^x} \cdot ln3 + C$.

Lời giải

Câu 6. Giá trị của $\int_{ – 2}^1 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)} dx$ bằng
A. 16 .
B. -16 .
C. 52 .
D. 0 .

Lời giải

Câu 7. Biết rằng $\int_0^2 f (x)dx = – 4$ .

Giá trị của $\int_0^2 {\left[ {3x – 2f(x)} \right]} dx$ bằng
A. -2 .
B. 12 .
C. 14 .
D. 22 .

Lời giải

Câu 8. Giá trị của $\int_{0}^{2}[3 x-2 f(x)] \mathrm{d} x$ bằng
A. $\frac{2}{3}$.
B. 1 .
C. $\frac{1}{3}$.
D. 2 .

Lời giải

Câu 9. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^3},y = x$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$ bằng
A. 2 .
B. $\frac{5}{2}$.
C. $\frac{9}{4}$.
D. $\frac{1}{4}$.

Lời giải

Câu 10. Tốc độ chuyển động $v\left( {\;m/s} \right)$ của một ca nô trong khoảng thời gian 40 giây được thể hiện như Hình 1. Quãng đường đi được của ca nô trong khoảng thời gian này là
A. $400\;m$.
B. $350\;m$.
C. $310\;m$.
D. $200\;m$.

Hình 1

Lời giải

Câu 11. Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {x + 1} $, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x = 2$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành bằng
A. $6\pi $.
B. $2\pi $.
C. $3\pi $.
D. $4\pi $.

Lời giải

Câu 12. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Đồ thị của đạo hàm $f’\left( x \right)$ là đường cong trong Hình 2. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng $A$ và $B$ lần lượt là ${S_A} = 2$ và ${S_B} = 3$. Nếu $f\left( 0 \right) = 4$ thì giá trị của $f\left( 5 \right)$ bằng
A. 3 .
B. 5 .
C. 9 .
D. -1 .

Hình 2

Lời giải

II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 13. Tìm:

а) $\smallint \left[ {4{{(2 – 3x)}^2} – 3cosx} \right]dx$;
b) $\smallint \left( {3{x^3} – \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx$;
c) $\smallint \left( {\frac{2}{{si{n^2}x}} – \frac{1}{{3co{s^2}x}}} \right)dx$;
d) $\smallint \left( {{3^{2x – 2}} + 4cosx} \right)dx$;
e) $\smallint \left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)dx$
g) $\smallint {\left( {sin\frac{x}{2} – cos\frac{x}{2}} \right)^2}\;dx$.

Lời giải

Câu 14. Tính đạo hàm của $F\left( x \right) = ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$.

Từ đó suy ra nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

Lời giải

Câu 15. Cho $f\left( x \right) = {x^2}lnx$ và $g\left( x \right) = xlnx$. Tính $f’\left( x \right)$ và $\smallint g\left( x \right)dx$.

Lời giải

Câu 16. Tính các tích phân sau:
a) $\int_{0}^{1}\left(4 x^{3}+x\right) d x$

b) $\int_{1}^{2} \frac{x-2}{x^{2}} d x$;

c) $\int_{0}^{4} 2^{2 x} \mathrm{~d} x$

d) $\int_{1}^{2}\left(e^{x-1}+2^{x+1}\right) \mathrm{d} x$.

Lời giải

Câu 17. Tính các tích phân sau:
a) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin ^{2} x} d x$

b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan x) \cos x d x$.

Lời giải

Câu 18. Một vật chuyển động với tốc độ $v\left( t \right) = 3t + 4\left( {\;m/s} \right)$, với thời gian $t$ tính theo giây, $t \in \left[ {0;5} \right]$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5$.

Lời giải

Câu 19. Một chất điểm đang chuyển động với tốc độ ${v_0} = 1\;m/s$ thì tăng tốc với gia tốc không đổi $a = 3\;m/{s^2}$. Hỏi tốc độ của chất điểm là bao nhiêu sau 10 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc?

Lời giải

Câu 20. Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức $P’\left( t \right) = 20.{(1,106)^t}\;$với $0 \leqslant t \leqslant 7,$

trong đó $t$ là thời gian tính theo năm và $t = 0$ ứng với đầu năm 2015, $P\left( t \right)$ là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2015 là 1008 nghìn người.

a) Tính dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 (làm tròn đến nghìn người).

b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2020.

Lời giải

Câu 21. Sau khi được thả rơi tự do từ độ cao $100\;m$, một vật rơi xuống với tốc độ $v\left( t \right) = 10t\left( {\;m/s} \right)$, trong đó $t$ là thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.

a) Tính quãng đường $s\left( t \right)$ vật di chuyển được sau thời gian $t$ giây (trong khoảng thời gian vật đang rơi).

b) Sau bao nhiêu giây thì vật chạm đất? Tính tốc độ rơi trung bình của vật.

Lời giải

Câu 22. Cho ${S_1},{S_2}$ là diện tích các hình phẳng được mô tả trong Hình 3. Tính $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$.

Hình 3

Lời giải

Câu 23. Nếu cắt chậu nước có hình dạng như Hình 4 bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x\left( {\;cm} \right)\left( {0 \leqslant x \leqslant 16} \right)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left( {10 + \sqrt x } \right)\left( {cm} \right)$. Tính dung tích của chậu. Sửa lại như sửa Hình 11

Hình 4

Lời giải

Câu 24. Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như Hình 5. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng $x\left( {\;m} \right)\left( {0 \leqslant x \leqslant 3} \right)$ thì được hình vuông có cạnh $\sqrt {9 – {x^2}} \left( {\;m} \right)$. Tính thể tích của lều.

Hình 5

Lời giải

Câu 25. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, vẽ nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $r = 2$ nằm phía trên trục $Ox$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = – 1,x = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$.

Hình 6

Lời giải