Đề Kiểm Tra HK2 Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo Cấu Trúc Mới Giải Chi Tiết-Đề 5

Đề kiểm tra HK2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 5 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {x – 2} \left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 0$ là:

A. $S = \emptyset $. B. $S = \left\{ 1 \right\}$. C. $S = \left\{ 2 \right\}$. D. $S = \left\{ {1;2} \right\}$.

Câu 2. Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ.

A. 4 B. 7 C. 9 D. 8

Câu 3. Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách chọn những màu cần dùng là:

A. ${5^3}$ B. $\frac{{5!}}{{2!}}$ C. 8 D. $\frac{{5!}}{{3!2!}}$

Câu 4. Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, hai đội bất kỳ sẽ thi đấu với nhau hai trận, một trận ở sân nhà và một trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 45 . B. 90 . C. 100 . D. 180 .

Câu 5. Tìm hệ số của ${x^2}{y^2}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${(x + 2y)^4}$.

A. 32 . B. 8 . C. 24 . D. 16 .

Câu 6. Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển: $f\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}$, với $x > 0$, biết tổng ba hệ số đầu của $x$ trong khai triển bằng 33.

A. 34 . B. 8 . C. 6 . D. 12 .

Câu 7. Đường thẳng đi qua $A\left( { – 1;2} \right)$, nhận $\vec n = \left( {2; – 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

A. $x – 2y – 4 = 0$. B. $x + y + 4 = 0$. C. $ – x + 2y – 4 = 0$. D. $x – 2y + 5 = 0$.

Câu 8. Với những giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $\Delta :4x + 3y + m = 0$ tiếp xúc với đường tròn (C) : ${x^2} + {y^2} – 9 = 0$.

A. $m = 3$. B. $m = – 3$. C. $m = 3$ và $m = – 3$. D. $m = 15$ và $m = – 15$.

Câu 9. Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ có hai đỉnh thuộc trục $Ox$ là:

A. ${F_1}\left( { – 4;0} \right),{F_2}\left( {4;0} \right)$. B. ${F_1}\left( { – 9;0} \right),{F_2}\left( {9;0} \right)$. C. ${F_1}\left( { – 7;0} \right),{F_2}\left( {7;0} \right)$. D. ${F_1}\left( { – 3;0} \right),{F_2}\left( {3;0} \right)$.

Câu 10. Tiêu cự của hypebol $\frac{{{x^2}}}{5} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ bằng

A. 6 . B. 3 . C. $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$. D. $\frac{4}{5}$.

Câu 11. Xét phép thử tung con xúc xắc 6 mặt hai lần. Số kết quả thuận lợi của biến cố $C$ : “Số chấm xuất hiện ở lần một lớn hơn số chấm xuất hiện ở lần hai”?

A. $n\left( C \right) = 16$. B. $n\left( C \right) = 17$. C. $n\left( C \right) = 18$. D. $n\left( C \right) = 15$.

Câu 12. Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:

A. $\frac{{31}}{{32}}$. B. $\frac{{21}}{{32}}$. C. $\frac{{11}}{{32}}$. D. $\frac{1}{{32}}$.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Cho phương trình $4{x^2} + \sqrt {2x + 3} = 8x + 1$. Khi đó:

a) Điều kiện: $x \geqslant \frac{3}{2}$

b) Phương trình tương đương với phương trình ${\left( {2x – \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x + 3} – \frac{1}{2}} \right)^2}$

c) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt

d) Phương trình có một nghiệm dương lớn hơn $\frac{3}{2}$

Câu 2. Có 5 bông hồng, 4 bông trắng (mỗi bông đều khác nhau về hình dáng). Một người cần chọn một bó bông từ số bông này

a) Số cách chọn 4 bông từy ý là 126 cách

b) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách

c) Số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: 30 cách

d) Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: 120 (cách).

Câu 3. Cho elip $\left( E \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$, đi qua hai điểm $M\left( {5;\sqrt 2 } \right)$ và $N\left( {0;2} \right)$. Khi đó:

a) Điểm $B\left( {0; – 2} \right)$ thuộc elip $\left( E \right)$

b) ${a^2} = 50$

c) $b = 4$

d) Điểm $I\left( {1;0} \right)$ nằm bên trong elip $\left( E \right)$

Câu 4. Gieo một con súc sắc. Khi đó:

a) $n\left( \Omega \right) = 6$

b) Xác suất để thu được mặt có số chấm chia hết cho 2 là $\frac{1}{2}$

c) Xác suất để thu được mặt có số chấm nhỏ hơn 4 là $\frac{1}{2}$

d) Xác suất để thu được mặt có số chấm lớn hơn 4 là $\frac{1}{2}$

Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Tìm tập nghiệm phương trình sau: $\sqrt {{x^2} – 4x – 1} – \left| {2x + 1} \right| = 1$

Câu 2. Tìm $m$ để hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: ${\Delta _1}: x – my + 1 = 0;{\Delta _2}:2x + 3y + m = 0$.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M$ chuyển động trên đường elip $\left( E \right)$ :

$\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $OM$.

Câu 4. Từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Câu 5. Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$. Hỏi tập $A$ có bao nhiêu tập hợp con?

Câu 6. Có hai hộp thẻ. Hộp I gồm 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5 . Hộp II gồm 10 thẻ được được đánh số từ 1 đến 10 . Từ mỗi hộp, rút ra ngẫu nhiên một thẻ. Tính xác suất để tấm thẻ rút ra từ hộp $I$ được đánh số nhỏ hơn tấm thẻ rút ra từ hộp II.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thi sinh chỉ chọn một phuơng án đúng nhất.

1C	2A	3B	4B	5C	6B
7D	8D	9B	10A	11D	12A

Câu 1. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {x – 2} \left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 0$ là:

A. $S = \emptyset $.

B. $S = \left\{ 1 \right\}$.

C. $S = \left\{ 2 \right\}$.

D. $S = \left\{ {1;2} \right\}$.

Chọn C

Lời giải

Ta có: $\sqrt {x – 2} \left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \wedge \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 2} \\
{{x^2} – 3x + 2 = 0}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow x = 2 \wedge x > 2 \wedge \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = 1}
\end{array} \Leftrightarrow x = 2} \right.$.

Câu 2. Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ.

A. 4

B. 7

C. 9

D. 8

Lời giải

Chọn A

Có 4 cách chọn 1 bông hồng màu đỏ. Với mỗi cách chọn bông hồng màu đỏ, có 1 cách chọn 6 bông còn lại. Vậy có tất cả $4.1 = 4$ cách chọn bông thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 3. Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách chọn những màu cần dùng là:

A. ${5^3}$

B. $\frac{{5!}}{{2!}}$

C. 8

D. $\frac{{5!}}{{3!2!}}$

Chọn B

Lời giải

Chọn ra 3 màu từ 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.

Vậy số các cách chọn những màu cần dùng là: $A_5^3 = \frac{{5!}}{{\left( {5 – 3} \right)!}} = \frac{{5!}}{{2!}}$

Câu 4. Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, hai đội bất kỳ sẽ thi đấu với nhau hai trận, một trận ở sân nhà và một trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:

A. 45 .

B. 90 .

C. 100 .

D. 180 .

Chon B

Lời giải

Số trận đấu diễn ra nếu chỉ tính một lượt là $C_{10}^2$.

Theo quy định mỗi cặp đấu đều có các trận lượt đi, lượt về nên số trận thực tế là $2 \cdot C_{10}^2 = 90$ (trận).

Câu 5. Tìm hệ số của ${x^2}{y^2}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${(x + 2y)^4}$.

A. 32 .

B. 8 .

C. 24 .

D. 16 .

Chọn C

Lời giải

Số hạng chứa ${x^2}{y^2}$ trong khai triển trên ứng với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4 – k = 2} \\
{k = 2}
\end{array} \Leftrightarrow k = 2} \right.$. Vậy hệ số của ${x^2}{y^2}$ trong khai triển của ${(x + 2y)^4}$ là $C_4^2 \cdot {2^2} = 24$.

Câu 6. Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển: $f\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}$, với $x > 0$, biết tổng ba hệ số đầu của $x$ trong khai triển bằng 33.

A. 34 .

B. 8 .

C. 6 .

D. 12 .

Chọn B

Lời giải

$C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 = 33 \Rightarrow n = 4$; Số hạng tổng quát của khai triển $f\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^4}$ là: ${T_{k + 1}} = C_4^k{\left( {{x^3}} \right)^{4 – k}}{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k} = {2^k}C_4^k{x^{12 – 5k}}$.

Số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển ứng với số mũ của $x$ là: $12 – 5k = 7 \Leftrightarrow k = 1$.

Vậy hệ số của ${x^2}$ trong khai triển là: ${2^2}C_4^2 = 24$.

Câu 7. Đường thẳng đi qua $A\left( { – 1;2} \right)$, nhận $\vec n = \left( {2; – 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

A. $x – 2y – 4 = 0$.

B. $x + y + 4 = 0$.

C. $ – x + 2y – 4 = 0$.

D. $x – 2y + 5 = 0$.

Chọn D

Lời giải

Phương trình tổng quát đường thẳng là: $2\left( {x + 1} \right) – 4\left( {y – 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 2x – 4y + 10 = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 5 = 0$.

Câu 8. Với những giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $\Delta :4x + 3y + m = 0$ tiếp xúc với đường tròn (C) : ${x^2} + {y^2} – 9 = 0$.

A. $m = 3$.

B. $m = – 3$.

C. $m = 3$ và $m = – 3$.

D. $m = 15$ và $m = – 15$.

Chọn D

Lời giải

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( {0;0} \right)$, bán kính $R = 3$.

$d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{5}$.

$\Delta $ tiếp xúc với $\left( C \right) \Leftrightarrow d\left( {O,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{5} = 3 \Leftrightarrow \left| m \right| = 15 \Leftrightarrow m = \pm 15$.

Câu 9. Elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ có hai đỉnh thuộc trục $Ox$ là:

A. ${F_1}\left( { – 4;0} \right),{F_2}\left( {4;0} \right)$.

B. ${F_1}\left( { – 9;0} \right),{F_2}\left( {9;0} \right)$.

C. ${F_1}\left( { – 7;0} \right),{F_2}\left( {7;0} \right)$.

D. ${F_1}\left( { – 3;0} \right),{F_2}\left( {3;0} \right)$.

Lời giải

Hai đỉnh thuộc trục $Ox$ nên tung độ $y = 0$. Suy ra $x = 4$ hoặc $x = – 4$.

Vậy hai đỉnh của $\left( E \right)$ thuộc trục $Ox$ là ${A_1}\left( { – 4;0} \right),{A_2}\left( {4;0} \right)$. Chọn B

Câu 10. Tiêu cự của hypebol $\frac{{{x^2}}}{5} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ bằng

A. 6 .

B. 3 .

C. $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

D. $\frac{4}{5}$.

Lời giải

Chọn A $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{5} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1;{a^2} = 5,{b^2} = 4 \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 9 \Rightarrow c = 3 \Rightarrow 2c = 6$

Câu 11. Xét phép thử tung con xúc xắc 6 mặt hai lần. Số kết quả thuận lợi của biến cố $C$ : “Số chấm xuất hiện ở lần một lớn hơn số chấm xuất hiện ở lần hai”?

A. $n\left( C \right) = 16$.

B. $n\left( C \right) = 17$.

C. $n\left( C \right) = 18$.

D. $n\left( C \right) = 15$.

Chọn D

Lời giải

$C = \left\{ {\left( {2,1} \right);\left( {3,1} \right);\left( {3,2} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,2} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,1} \right);\left( {5,2} \right);\left( {5,3} \right);\left( {5,4} \right)} \right.,$$\left. {\left( {6,1} \right);\left( {6,2} \right);\left( {6,3} \right);\left( {6,4} \right);\left( {6,5} \right)} \right\}$.

Vậy $n\left( C \right) = 15$.

Câu 12. Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:

A. $\frac{{31}}{{32}}$.

B. $\frac{{21}}{{32}}$.

C. $\frac{{11}}{{32}}$.

D. $\frac{1}{{32}}$.

Chọn A

Lời giải

$n\left( \Omega \right) = {2^5} = 32$.

A: “Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

$\overline A $ : Tất cả đều là mặt ngửa

$n\left( {\overline A } \right) = 1 \Rightarrow n\left( A \right) = n\left( \Omega \right) – n\left( {\overline A } \right) = 31$ $ \Rightarrow p\left( A \right) = \frac{{31}}{{32}}$.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở môi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Cho phương trình $4{x^2} + \sqrt {2x + 3} = 8x + 1$. Khi đó:

a) Điều kiện: $x \geqslant \frac{3}{2}$

b) Phương trình tương đương với phương trình ${\left( {2x – \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x + 3} – \frac{1}{2}} \right)^2}$

c) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt

d) Phương trình có một nghiệm dương lớn hơn $\frac{3}{2}$

Lời giải

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Điều kiện: $2x + 3 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant – \frac{3}{2}$.

$pt\; \Leftrightarrow 4{x^2} – 6x + \frac{9}{4} = {(\sqrt {2x + 3} )^2} – 2\sqrt {2x + 3} + \frac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow {\left( {2x – \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x + 3} – \frac{1}{2}} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – \frac{3}{2} = \sqrt {2x + 3} – \frac{1}{2}} \\
{2x – \frac{3}{2} = \frac{1}{2} – \sqrt {2x + 3} }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {2x + 3} = 2x – 1} \\
{\sqrt {2x + 3} = 1 – 2x}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{5 – \sqrt {21} }}{4}} \\
{x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}}
\end{array}} \right.} \right.$

Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là $x = \frac{{5 – \sqrt {21} }}{4}$ hoặc $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}$.

Câu 2. Có 5 bông hồng, 4 bông trắng (mỗi bông đều khác nhau về hình dáng). Một người cần chọn một bó bông từ số bông này

a) Số cách chọn 4 bông từy ý là 126 cách

b) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách

c) Số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: 30 cách

d) Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: 120 (cách).

Lời giải:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Số cách chọn 4 bông từ 9 bông: $C_9^4 = 126$ (cách).

b) Số cách chọn 2 bông hồng từ 5 bông hồng: $C_5^2$ (cách).

Số cách chọn 2 bông trắng từ 4 bông trắng: $C_4^2$ (cách).

Số cách chọn một bó bông thỏa mãn đề bài: $C_5^2 \cdot C_4^2 = 60$ (cách).

c) 3 bông hồng, 1 bông trắng: có $C_5^3 \cdot C_4^1 = 40$ (cách).

d) Cách giải 1: Làm trực tiếp.

Trường hợp 1: 3 bông hồng, 1 bông trắng: có $C_5^3 \cdot C_4^1 = 40$ (cách).

Trường hợp 2: 2 bông hồng, 2 bông trắng: có $C_5^2 \cdot C_4^2 = 60$ (cách).

Trường hợp 3 : 1 bông hồng, 3 bông trắng: có $C_5^1 \cdot C_4^3 = 20$ (cách).

Theo quy tắc cộng ta có tất cả $40 + 60 + 20 = 120$ (cách chọn).

Cách giải 2: Phương pháp loại trừ.

Số cách chọn 4 bông từ 9 bông (tùy ý): $C_9^4 = 126$ (cách).

Số cách chọn 4 bông chỉ một màu (hồng hoặc trắng): $C_5^4 + C_4^4 = 6$ (cách).

Vậy số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: 126-6=120 (cách).

Câu 3. Cho elip $\left( E \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$, đi qua hai điểm $M\left( {5;\sqrt 2 } \right)$ và $N\left( {0;2} \right)$. Khi đó:

a) Điểm $B\left( {0; – 2} \right)$ thuộc elip $\left( E \right)$

b) ${a^2} = 50$

c) $b = 4$

d) Điểm $I\left( {1;0} \right)$ nằm bên trong elip $\left( E \right)$

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) $Sai$

d) Đúng

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M \in \left( E \right)} \\
{N \in \left( E \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{5^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{(\sqrt 2 )}^2}}}{{{b^2}}} = 1} \\
{\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1}
\end{array}} \right.} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^2} = 50} \\
{{b^2} = 4}
\end{array}} \right.$.

Vậy elip $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{50}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Câu 4. Gieo một con súc sắc. Khi đó:

a) $n\left( \Omega \right) = 6$

b) Xác suất để thu được mặt có số chấm chia hết cho 2 là $\frac{1}{2}$

c) Xác suất để thu được mặt có số chấm nhỏ hơn 4 là $\frac{1}{2}$

d) Xác suất để thu được mặt có số chấm lớn hơn 4 là $\frac{1}{2}$

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có $\Omega = \left\{ {1;2;3;5;6} \right\} \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6$.

b) Gọi $A$ là biến cố: “Số chấm thu được chia hết cho 2 “.

Ta có: $A = \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 3$. Suy ra: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

c) Gọi $B$ là biến cố: “Số chấm thu được nhỏ hơn 4 “.

Ta có: $B = \left\{ {1;2;3} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 3$. Suy ra: $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

d) Gọi $C$ là biến cố: “Số chấm thu được lớn hơn 4 “.

Ta có: $C = \left\{ {5;6} \right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 2$. Suy ra: $P\left( B \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Tìm tập nghiệm phương trình sau: $\sqrt {{x^2} – 4x – 1} – \left| {2x + 1} \right| = 1$

Trả lời: $S = \left\{ {\frac{{ – 6 + \sqrt {21} }}{3}; – 1} \right\}$

Lời giải

Trường hợp 1: Với $2x + 1 \geqslant 0$ hay $x \geqslant – \frac{1}{2}$, phương trình đã cho trở thành:

$\sqrt {{x^2} – 4x – 1} – \left( {2x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 4x – 1} = 2x + 2\left( 1 \right)$

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

${x^2} – 4x – 1 = 4{x^2} + 8x + 4 \Rightarrow 3{x^2} + 12x + 5 = 0$

$ \Rightarrow x = \frac{{ – 6 + \sqrt {21} }}{3}$ hoặc $x = \frac{{ – 6 – \sqrt {21} }}{3}$.

Mà $x \geqslant – \frac{1}{2}$ nên ta nhận $x = \frac{{ – 6 + \sqrt {21} }}{3}$.

Thay $x = \frac{{ – 6 + \sqrt {21} }}{3}$ vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Trường hợp 2: Với $2x + 1 < 0$ hay $x < – \frac{1}{2}$, phương trình đã cho trở thành

$\sqrt {{x^2} – 4x – 1} + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 4x – 1} = – 2x$. (2)

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

${x^2} – 4x – 1 = 4{x^2} \Rightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ – 1}}{3}$ hoặc $x = – 1$.

Mà $x < – \frac{1}{2}$ nên ta nhận $x = – 1$.

Thay $x = – 1$ vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {\frac{{ – 6 + \sqrt {21} }}{3}; – 1} \right\}$.

Câu 2. Tìm $m$ để hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: ${\Delta _1}:x – my + 1 = 0;{\Delta _2}:2x + 3y + m = 0$.

Trả lời: $m = \frac{2}{3}$

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _1}:x – my + 1 = 0$ và đường thẳng ${\Delta _2}:2x + 3y + m = 0$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; – m} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;3} \right)$. Để đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ vuông góc với nhau thì $\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot 2 – m \cdot 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$.

Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $M$ chuyển động trên đường elip $\left( E \right)$ : $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $OM$.

Trả lời: giá trị nhỏ nhất bằng 4 và đạt giá trị lớn nhất bằng 5 .

Lời giải

Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đường elip. Ta có: $\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{{16}} = 1$.

Vì $x_0^2 \geqslant 0,y_0^2 \geqslant 0$ nên $\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{{25}} \leqslant \frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{{16}} \leqslant \frac{{x_0^2}}{{16}} + \frac{{y_0^2}}{{16}}$ $ \Rightarrow \frac{{x_0^2 + y_0^2}}{{25}} \leqslant 1 \leqslant \frac{{x_0^2 + y_0^2}}{{16}}$

$ \Rightarrow 16 \leqslant x_0^2 + y_0^2 \leqslant 25 \Rightarrow 4 \leqslant \sqrt {x_0^2 + y_0^2} \leqslant 5 \Rightarrow 4 \leqslant OM \leqslant 5$

$M$ thuộc $\left( E \right)$ và $OM = 4$ khi $M$ có tọa độ $\left( {0; – 4} \right)$ hoặc $\left( {0;4} \right)$.

$M$ thuộc $\left( E \right)$ và $OM = 5$ khi $M$ có tọa độ $\left( { – 5;0} \right)$ hoặc $\left( {5;0} \right)$.

Vậy $OM$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 và đạt giá trị lớn nhất bằng 5 .

Câu 4. Từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Trả lời: 180

Lời giải

Số cách chọn ra chữ số hàng trăm là 6 cách. Với chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, mỗi cách chọn ra 2 số chính là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử. Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được là: $6 \cdot A_6^2 = 180$ (cách).

Câu 5. Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$. Hỏi tập $A$ có bao nhiêu tập hợp con?

Trả lời: ${2^6}$

Số tập con không có phần tử nào của $A$ là $C_6^0$.

Lời giải

Số tập có có 1 phần tử, 2 phần tử, 3 phần tử, 4 phần tử, 5 phần tử, 6 phần tử của $A$ lần lượt là $C_6^1,C_6^2,C_6^3,C_6^4,C_6^5,C_6^6$.

Vậy tổng số tập con của $A$ là $C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = T$.

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

${(1 + x)^6} = C_6^0 + C_6^1x + C_6^2{x^2} + C_6^3{x^3} + C_6^4{x^4} + C_6^5{x^5} + C_6^6{x^6}$.

Thay $x = 1$, ta được: ${(1 + 1)^6} = C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6$ hay $T = {2^6}$.

Vậy số tập con của tập $A$ là ${2^6}$.

Câu 6. Có hai hộp thẻ. Hộp I gồm 5 thẻ được đánh số từ 1 đến 5 . Hộp II gồm 10 thẻ được được đánh số từ 1 đến 10 . Từ mỗi hộp, rút ra ngẫu nhiên một thẻ. Tính xác suất để tấm thẻ rút ra từ hộp $I$ được đánh số nhỏ hơn tấm thẻ rút ra từ hộp II.

Trả lời: $\frac{7}{{10}}$

Không gian mẫu được mô tả như sau:

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố “Tấm thẻ rút ra từ hộp $I$ được đánh số nhỏ hơn tấm thẻ rút ra từ hộp II”

Ta có: $n\left( \Omega \right) = 5 \cdot 10 = 50,n\left( A \right) = 35$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{35}}{{50}} = \frac{7}{{10}}$.