Đề Ôn Thi HK2 Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo Giải Chi Tiết-Đề 1

Đề ôn thi HK2 Toán 10 Chân trời sáng tạo giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

Câu 1. Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

A. $f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2}}} – x + 1$ B. $f\left( x \right) = {x^2} – x + \frac{3}{2}$ C. $f\left( x \right) = x – 1$; D. $f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 1$.

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} – 3x + 2 < 0$ là

A. $\left( {1;2} \right)$; B. $\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$; C. $\left( { – \infty ;1} \right)$; D. $\left( {2; + \infty } \right)$.

Câu 3. Giá trị của $m$ để $ – {x^2} + mx – 4 \leqslant 0$ với mọi $x$ là

A. $m \in \left[ { – 4;4} \right]$; B. $m = – 4$ hoặc $m = 4$; C. $m < – 4$; D. $m > 4$.

Câu 4. Số nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^2} + 5} = x + 2$ là

A. 0 ; B. 1 ; C. 2 ; D. 3 .

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {1;1} \right)$ và $B\left( {4; – 5} \right)$. Tọa độ vectơ $AB$ là

A. $\left( {3; – 6} \right)$; B. $\left( {5; – 4} \right)$; C. $\left( { – 3;6} \right)$; D. $\left( {4; – 5} \right)$.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, có $\overrightarrow u = 7i$. Tung độ của vectơ $\overrightarrow u $ là

A. 7 ; B. 1 ; C. 0 ; D. $\left( {7;0} \right)$.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {5; – 1} \right),B\left( { – 11;2} \right)$ và $C\left( {3;9} \right)$. Trọng tâm tam giác $ABC$ là

A. $\left( {9;10} \right);\;$ B. $\left( {3;\frac{{10}}{3}} \right);\;$ C. $\left( {\frac{9}{2};5} \right);\;$ D. $\left( { – 1;\frac{{10}}{3}} \right)$.

Câu 8. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $M\left( {\frac{1}{2};0} \right)$ và $N\left( {8;9} \right)$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng

A. $\left( {\frac{{15}}{2};9} \right);\;$ B. $\frac{{3\sqrt {61} }}{2};\;$ C. $\frac{{\sqrt {66} }}{2};\;$ D. $\frac{{549}}{4}$.

Câu 9. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $x + 2y – 3 = 0$ là

A. $\overrightarrow n \left( {1; – 3} \right)$; B. $\;\overrightarrow n \left( {2; – 3} \right)$; C. $\overrightarrow n \left( { – 2;1} \right)$; D. $\;\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$.

Câu 10. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {2; – 1} \right)$ và $B\left( {2;5} \right)$ là

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t} \\
{y = – 6t}
\end{array};} \right.$ B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t} \\
{y = 5 + 6t}
\end{array}} \right.$ C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{y = 2 + 6t}
\end{array}} \right.$ D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = – 1 + 6t}
\end{array}} \right.$.

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M\left( {4;2} \right)$ và cách điểm $A\left( {1;0} \right)$ khoảng cách $\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$. Biết rằng phương trình đường thẳng $d$ có dạng $x + by + c = 0$ với $b,c$ là hai số nguyên. Tính $b + c$.

A. $4$; B. $5$; C. $ – 1$; D. $ – 5$.

Câu 12. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng. ${d_1}:\left( {m – 3} \right)x + 2y + {m^2} – 1 = 0$ và ${d_2}: – x + my + {m^2} – 2m + 1 = 0$ cắt nhau?

A. $m \ne 1$; B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 1} \\
{m \ne 2}
\end{array};} \right.$ C. $m \ne 2$; D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 1} \\
{m \ne 2}
\end{array}} \right.$.

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 2x – 4y + 3 = 0$. Phương trình tiếp tuyến $d$ của đường tròn $\left( C \right)$ (biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $\Delta : 3x + 4y + 1 = 0$ ) là

A. $3x + 4y + 5\sqrt 2 – 11 = 0,3x + 4y – 5\sqrt 2 + 11 = 0$; B. $3x + 4y + 5\sqrt 2 – 11 = 0,3x + 4y – 5\sqrt 2 – 11 = 0$;

C. $3x + 4y + 5\sqrt 2 – 11 = 0,3x + 4y + 5\sqrt 2 + 11 = 0$; D. $3x + 4y – 5\sqrt 2 + 11 = 0,3x + 4y – 5\sqrt 2 – 11 = 0$.

Câu 14. Hypebol có tỉ số $\frac{c}{a} = \sqrt 5 $ và đi qua điểm $M\left( {1;0} \right)$ có phương trình chính tắc là

A. $\frac{{{y^2}}}{1} – \frac{{{x^2}}}{4} = 1$; B. $\frac{{{x^2}}}{1} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1$; C. $\frac{{{x^2}}}{4} – \frac{{{y^2}}}{1} = 1$; D. $\frac{{{y^2}}}{1} + \frac{{{x^2}}}{4} = 1$.

Câu 15. Cho tam giác $ABC$ đều có $A\left( {0;2\sqrt 3 } \right),B\left( { – 2;0} \right),C\left( {2;0} \right)$. Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là

A. ${x^2} + {\left( {y – \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}$

B. ${\left( {x – \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {y^2} = \frac{{16}}{3}$; C.  ${x^2} + {\left( {y – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{{44}}{9}$; D.${x^2} + {y^2} = \frac{{16}}{3}$.

Câu 16. Trong mặt phẳng $Oxy$, phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. ${x^2} + 2{y^2} – 4x – 8y + 1 = 0$; B. ${x^2} + {y^2} – 4x + 6y – 12 = 0$;

C. ${x^2} + {y^2} – 2x – 8y + 20 = 0$; D. $4{x^2} + {y^2} – 10x – 6y – 2 = 0$.

Câu 17. Cho Hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tiêu cự của Hypebol là

A. $2c = 6$; B. $2c = 4$; C. $2c = 41$; D. $2c = 2\sqrt {41} $.

Câu 18. Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y – 12 = 0$ có tâm là

A. $I\left( { – 2; – 3} \right)$; B. $I\left( {2;3} \right)$; C. $I\left( {4;6} \right)$; D. $I\left( { – 4; – 6} \right)$.

Câu 19. Cho Elip $\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36$. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A. $\left( E \right)$ có tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$; B. $\left( E \right)$ có trục lớn bằng 6 ;

C. $\left( E \right)$ có trục nhỏ bằng 4 ; D. $\left( E \right)$ có tiêu cự $\sqrt 5 $.

Câu 20. Trong một tuần vào dịp nghỉ hè, bạn An dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn An có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?

A. 3991680 ; B. 479001600 ; C. 35831808 ; D. 5040 .

Câu 21. Từ các chữ số $3;4;6;7;8;9$ có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100 ?

A. 36 ; B. 62 ; C. 55 ; D. 42 .

Câu 22. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món chính trong năm món chính, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một loại nước uống trong ba loại nước uống. Số cách chọn thực đơn là

A. 25 ; B. 75 ; C. 700 ; D. 15 .

Câu 23. Một phòng học nhỏ có kê 12 bộ bàn ghế đơn. Có 10 bạn học sinh tham gia lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn học sinh đó?

A. 66 ; B. 10 !; C. $A_{12}^{10}$; D. 120 .

Câu 24. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc?

A. 46656 ; B. 4320 ; C. 720 ; D. 360 .

Câu 25. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là?

A. 275 ; B. 462 ; C. 455 ; D. 425 .

Câu 26. Giá trị của biểu thức ${(3 + \sqrt 2 )^4} + {(3 – \sqrt 2 )^4}$ bằng:

A. 193 ; B. -386 ; C. 772 ; D. 386 .

Câu 27. Khai triển của nhị thức ${(3x + 4)^5}$ là

A. ${x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024$;

B. $243{x^5} + 405{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024$;

C. $243{x^5} – 1620{x^4} + 4320{x^3} – 5760{x^2} + 3840x – 1024$;

D. $243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024$.

Câu 28. Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}$ với $x \ne 0$.

A. 216 ; B. 284 ; C. 278 ; D. 254 .

Câu 29. Biến cố không thể được kí hiệu là

A. $\Omega $; B. $\emptyset $; C. $\overline A $; D. $P\left( A \right)$.

Câu 30. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì $n\left( \Omega \right)$ bằng

A. 4 ; B. 6 ; C. 8 ; D. 16 .

Câu 31. Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ là

A. $\frac{{70}}{{143}}$; B. $\frac{{73}}{{143}}$; C. $\frac{{56}}{{143}}$; D. $\frac{{87}}{{143}}$.

Câu 32. Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có ai là

A. $\frac{3}{4}$; B. $\frac{3}{{16}}$; C. $\frac{{13}}{{16}}$; D. $\frac{1}{4}$.

Câu 33. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ là

A. $\frac{1}{{15}}$; B. $\frac{7}{{15}}$; C. $\frac{8}{{15}}$; D. $\frac{1}{5}$.

Câu 34. Gieo một con xúc xắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là

A. 0,2 ; B. 0,3 ; C. 0,4 ; D. 0,5 .

Câu 35. Biết hệ số của ${x^2}$ trong khai triển của ${(n – 3x)^4}$ là 108 . Giá trị $n$ không âm bằng

A. $\sqrt 2 $; B. $ – \sqrt 2 $; C. 1 ; D. -1 .

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)

Câu 1. (1,0 điểm)

a) Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi vận động viên còn lại. Cho biết có 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là 84 . Hỏi số ván tất cả các vận động viên đã chơi?

b) Tìm hệ số của ${x^6}$ trong khai triển ${\left( {1 – {x^2}} \right)^5}$.

Câu 2. (1,0 điểm) Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là $\frac{{12}}{{29}}$. Tính số học sinh nữ của lớp.

Câu 3. (1,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng $Oxy$, viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( { – 1;3} \right)$ và $B\left( {3;1} \right)$.

b) Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai đường thẳng ${d_1}:x = 3$ và ${d_2}:x – y + 3 = 0$. Một đường tròn tiếp xúc với ${d_1}$ tại $A$ và cắt ${d_2}$ tại hai điểm $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Tìm tọa độ điểm $A$, biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng 4 và điểm $A$ có tung độ nhỏ hơn 3 .

ĐÁP ÁN VÀ GIẢI CHI TIẾT

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

BẢNG ĐÁP ÁN

1. B	2. A	3. A	4. C	5. A	6. C	7. D
8. B	9. D	10. D	11. C	12. B	13. B	14. B
15. A	16. B	17. D	18. A	19. D	20. A	21. D
22. B	23. C	24. C	25. C	26. D	27. D	28. A
29. B	30. C	31. C	32. B	33. B	34. D	35. A

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT

Câu 1.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – x + \frac{3}{2}$ là hàm số bậc hai.

Câu 2.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Tam thức bậc hai $f\left( x \right):{x^2} – 3x + 2$ có $\Delta = {( – 3)^2} – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 > 0$.

Do đó $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ – \left( { – 3} \right) – \sqrt 1 }}{{2.1}} = 1;{x_2} = \frac{{ – \left( { – 3} \right) + \sqrt 1 }}{{2.1}} = 2$.

Ta lại có $a = 1 > 0$.

Do đó ta có:

• $f\left( x \right)$ âm trên khoảng $\left( {1;2} \right)$;

• $f\left( x \right)$ dương trên hai khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$;

• $f\left( x \right) = 0$ khi $x = 1$ hoặc $x = 2$.

Vì vậy bất phương trình ${x^2} – 3x + 2 < 0$ có tập nghiệm là $\left( {1;2} \right)$.

Câu 3.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Để hàm số bậc hai $ – {x^2} + mx – 4$ thì

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 1 < 0} \\
{\Delta = {m^2} – 4.\left( { – 1} \right) \cdot \left( { – 4} \right) \leqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left| m \right| \leqslant 4 \Leftrightarrow – 4 \leqslant m \leqslant 4} \right.$

Vậy với $m \in \left[ { – 4;4} \right]$ thì $ – {x^2} + mx – 4 \leqslant 0$ với mọi $x$.

Câu 4.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$2{x^2} + 5 = {x^2} + 4x + 4$

Sau khi thu gọn ta được ${x^2} – 4x + 1 = 0$

Từ đó ta tìm được $x = 2 + \sqrt 3 $ hoặc $x = 2 – \sqrt 3 $

Thay lần lượt hai giá trị của $x$ vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 5.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4 – 1; – 5 – 1} \right) = \left( {3; – 6} \right)$.

Câu 6.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow u = 7\overrightarrow i = 7.\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j $ nên $\overrightarrow u (7;0)$. Do đó tung độ của vectơ $\overrightarrow u $ là 0 .

Câu 7.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_G} = \frac{{5 + \left( { – 11} \right) + 3}}{3} = – 1} \\
{{y_G} = \frac{{\left( { – 1} \right) + 2 + 9}}{3} = \frac{{10}}{3}}
\end{array} \Rightarrow G\left( { – 1;\frac{{10}}{3}} \right)} \right.$

Câu 8.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\frac{{MN}}{{MN}} = \left( {\frac{{15}}{2};9} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{2}} \right)}^2} + {9^2}} = \frac{{3\sqrt {29} }}{2}$

Câu 9.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình đường thẳng $x + 2y – 3 = 0$ nhận $\;\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Câu 10.

Lời giải

Đáp án đúng là : D

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)$ do đó có phương trình tham số là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = – 1 + 6t}
\end{array}} \right.$.

Câu 11.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $M\left( {4;2} \right) \in d \Leftrightarrow 4 + 2b + c = 0 \Rightarrow c = – 4 – 2b$.

$d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {1 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow 10{(1 + c)^2} = 9\left( {1 + {b^2}} \right)$

Thay $c = – 4 – 2b$ vào phương trình (1) ta có:

$\begin{array}{*{20}{c}}
{31{b^2} + 120b + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = – 3} \\
{b = – \frac{{27}}{{31}}}
\end{array}} \right.\,\,\left( 1 \right)}
\end{array}$

Vì $b$ là số nguyên nên $b = – 3,c = 2 \Rightarrow b + c = – 1$.

Câu 12.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{d_1}:\left( {m – 3} \right)x + 2y + {m^2} – 1 = 0} \\
{{d_2}: – x + my + {m^2} – 2m + 1 = 0}
\end{array}} \right.$

Trường hợp 1 : $m = 0$ ta có ${d_1}: – 3x + 2y – 1 = 0;{d_2}: – x + 1 = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( { – 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { – 1;0} \right)$ không cùng phương nên ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau.

Vậy với $m = 0$ thoả mãn

Trường hợp $2:m \ne 0$ thì ${d_1}$ và ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _1}\left( {m – 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { – 1;m} \right)$ để ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau thì

$\frac{{m – 3}}{{ – 1}} \ne \frac{2}{m} \Leftrightarrow {m^2} – 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 1} \\
{m \ne 2}
\end{array}} \right.$

Câu 13.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

$\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 2x – 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 2$.

Do đó đường tròn có tâm $I = \left( {1;2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 2 $.

Do $d$ song song với đường thẳng $\Delta $ nên $d$ có phương trình là $3x + 4y + k = 0,\left( {k \ne 1} \right)$. Ta có:

$d\left( {I;d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{11 + k = 5\sqrt 2 } \\
{11 + k = – 5\sqrt 2 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 5\sqrt 2 – 11} \\
{k = – 5\sqrt 2 – 11.}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $3x + 4y + 5\sqrt 2 – 11 = 0,3x + 4y – 5\sqrt 2 – 11 = 0$.

Câu 14.

Lời giải

Đáp án đúng là : B

Gọi phương trình chính tắc của Hypebol cần tìm là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a,b > 0)$

Ta có điểm $M\left( {1;0} \right)$ thuộc Hypebol nên thay $x = 1$ và $y = 0$ vào phương trình trên ta được:

$\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = 1$ (vì $a > 0$ ).

Mặt khác ta có $\frac{c}{a} = \sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 \cdot a = \sqrt 5 $.

Do đó $b = \sqrt {{c^2} – {a^2}} = \sqrt {5 – 1} = 2$.

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Câu 15.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác $ABC$ đều nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_G} = \frac{{0 – 2 + 2}}{3} = 0} \\
{{y_G} = \frac{{2\sqrt 3 + 0 + 0}}{3} = \frac{{ – 2\sqrt 3 }}{3}}
\end{array} \Rightarrow G\left( {0;\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)} \right.$.

$ \Rightarrow GC\left( {2; – \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) \Rightarrow GC = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow R = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Khi đó phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là:

${x^2} + {\left( {y – \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}$.

Câu 16.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ phải bằng nhau nên loại được đáp án $A$ và $D$.

Xét đáp án C: ${x^2} + {y^2} – 2x – 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {(y – 4)^2} + 3 = 0$ vô lý.

Xét đáp án $B:{x^2} + {y^2} – 4x + 6y – 12 = 0 \Leftrightarrow {(x – 2)^2} + {(y + 3)^2} = 25$ là phương trình đường tròn tâm $I\left( {2; – 3} \right)$, bán kính $R = 5$.

Câu 17.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ có $a = 5;b = 4$

$ \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{5^2} + {4^2}} = \sqrt {41} $

Vậy tiêu cự $2c = 2\sqrt {41} $.

Câu 18.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình đường tròn là:

$\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y – 12 = 0 \Leftrightarrow {(x + 2)^2} + {(y + 3)^2} = 25$.

Vậy tâm đường tròn là: $I\left( { – 2; – 3} \right)$.

Câu 19.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

(E): $4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$

Suy ra: $a = 3,b = 2,c = \sqrt 5 $

Do đó tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ nên đáp án A đúng

Độ dài trục lớp $2a = 6$ nên đáp án $B$ đúng

Độ dài trục nhỏ $2b = 4$ nên đáp án $C$ đúng.

Tiêu cự của $\left( E \right)$ là $2c = 2\sqrt 5 $ đáp án $D$ sai.

Câu 20.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có mỗi tuần có 7 ngày, mỗi ngày bạn An đi thăm một người bạn (thăm một bạn không quá một lần).

• Có 12 cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ nhất.

• Có 11 cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ hai.

• Có 10 cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ ba.

• Có 9 cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ tư.

• Có 8 cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ năm.

• Có 7 cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ sáu.

• Có 6 cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ bảy.

Theo quy tắc nhân, ta có số cách lập kế hoạch của bạn An là:

12.11.10.9.8.7.6 = 3991680

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 21.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập $A = \left\{ {3;4;6;7;8;9} \right\}$. Từ tập $A$ có thể lập được 6 số có một chữ số.

Gọi số có hai chữ số có dạng $\overline {ab} $ với $\left( {a,b} \right) \in A$.

Trong đó:

$a$ có 6 cách chọn (vì $a$ có thể chọn một trong các số $3;4;6;7;8;9$ );

$b$ có 6 cách chọn (vì $b$ có thể chọn một trong các số $3;4;6;7;8;9$ ).

Như vậy, ta có $6.6 = 36$ số có hai chữ số.

Vậy, từ $A$ có thể lập được $36 + 6 = 42$ số tự nhiên bé hơn 100

Câu 22.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Việc chọn thực đơn gồm ba công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn một món chính, có 5 cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn một loại quả tráng miệng, có 5 cách chọn.

Công đoạn 3: chọn một loại nước uống, có 3 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả $5.5.3 = 75$ cách chọn thực đơn.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 23.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Để xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh vào 12 chỗ là chỉnh hợp chập 10 của 12 và bằng $A_{12}^{10}$.

Câu 24.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Xếp 6 học sinh thành một hàng dọc là hoán vị của 6 và bằng $6! = 720$ cách.

Câu 25.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Chọn 5 học sinh bất kỳ từ tổ 11 học sinh có số cách chọn là: $C_{11}^5$.

Số cách chọn 5 học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là: $C_5^5 + C_6^5$.

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là $C_{11}^5 – \left( {C_5^5 + C_6^5} \right) = 455$

Câu 26.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${(3 + \sqrt 2 )^4} = {3^4} + {4.3^3} \cdot \sqrt 2 + 6 \cdot {3^2} \cdot {(\sqrt 2 )^2} + 4 \cdot 3 \cdot {(\sqrt 2 )^3} + {(\sqrt 2 )^4}$

$ = 81 + 108\sqrt 2 + 108 + 24\sqrt 2 + 4$

$ = 193 + 132\sqrt 2 $.

Tương tự ta có: ${(3 – \sqrt 2 )^4} = 193 – 132\sqrt 2 $.

Khi đó: ${(3 + \sqrt 2 )^4} + {(3 – \sqrt 2 )^4} = 193 + 132\sqrt 2 + 193 – 132\sqrt 2 = 386$.

Câu 27.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

${(3x + 4)^5} = C_5^0{(3x)^5} + C_5^1{(3x)^4} \cdot 4 + C_5^2{(3x)^3} \cdot {4^2} + C_5^3{(3x)^2} \cdot {4^3} + C_5^4{(3x)^1} \cdot {4^4} + C_5^5 \cdot {4^5}$

$ = 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024$.

Câu 28.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta xét khai triển ${\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}$ ( với $x \ne 0$ ) có số hạng tổng quát là

${\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4} = C_4^0 \cdot {\left( {\frac{3}{x}} \right)^4} + C_4^1 \cdot {\left( {\frac{3}{x}} \right)^3} \cdot \left( {2x} \right) + C_4^2 \cdot {\left( {\frac{3}{x}} \right)^2} \cdot {(2x)^2} + C_4^3 \cdot \left( {\frac{3}{x}} \right) \cdot {(2x)^3} + C_4^4 \cdot {(2x)^4}$

$ = \frac{{81}}{{{x^4}}} + \frac{{216}}{{{x^2}}} + 216 + 96{x^2} + 16{x^4}$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là 216 .

Câu 29.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Biến cố không thể được kí hiệu là $\emptyset $.

Câu 30.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi lần gieo đồng tiền có hai trường hợp có thể xảy ra là sấp hoặc ngửa.

Vậy $n\left( \Omega \right) = 2.2.2 = 8$.

Câu 31.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi lần gieo đồng tiền có hai trường hợp có thể xảy ra là sấp hoặc ngửa.

Vậy $n\left( \Omega \right) = 2.2.2 = 8$.

Câu 32.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu.

Vì chọn mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên ta có ${4^4}$ cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = {4^4}$.

Gọi biến cố $A$ : “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có ai”.

Để tìm số phần tử của biến cố $A$, ta chia thành hai giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Chọn 3 hành khách trong số 4 hành khách và chọn 1 toa trong số 4 toa. Sau đó xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn.

Khi đó ta có $C_4^3 \cdot C_4^1$ cách.

Giai đoạn 2: Chọn 1 toa trong số 3 toa còn lại và xếp 1 hành khách còn lại lên toa đó.

Suy ra có $C_3^1$ cách. Hiển nhiên khi đó 2 toa còn lại sẽ không có hành khách nào.

Theo quy tắc nhân, ta có $n\left( A \right) = C_4^3 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là:

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^3 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1}}{{{4^4}}} = \frac{3}{{16}}$

Câu 33.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45$.

Gọi $A$ là biến cố: ” 2 người được chọn có đúng một người nữ”.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = C_3^1 \cdot C_7^1 = 21$.

Vậy

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}$

Câu 34.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 6$.

Biến cố xuất hiện mặt chẵn: $A = \left\{ {2;4;6} \right\}$.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = 3$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$

Câu 35.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${(n – 3x)^4} = C_4^0 \cdot {n^4} – C_4^1 \cdot {n^3} \cdot \left( {3x} \right) + C_4^2 \cdot {n^2} \cdot {(3x)^2} + C_4^3 \cdot n \cdot {(3x)^3} + C_4^4 \cdot {(3x)^4}$

$ = {n^4} – 12{n^3}x + 54{n^2}{x^2} + 108n{x^3} + 81{x^4}$

Vì hệ số của ${x^2}$ là 108 nên ta có:

$54{n^2} = 108 \Leftrightarrow {n^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = \sqrt 2 } \\
{n = – \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$

Vì $n$ không âm nên $n = \sqrt 2 $.

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)

Câu 1. (1,0 điểm)

Lời giải

a) Gọi số vận động viên nam là $n$ (vận động viên) ($n \in {\mathbb{N}^*}$).

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2 \cdot C_n^2 = n\left( {n – 1} \right)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $C_2^1 \cdot C_n^2 \cdot 2 = 4n$.

Khi đó ta có $n\left( {n – 1} \right) – 4n = 84 \Rightarrow n = 12$ (loại $n = – 7$ ).

Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là $2 \cdot C_{14}^2 = 182$.

b) Ta có khai triển của ${\left( {1 – {x^2}} \right)^5}$ là:

${\left( {1 – {x^2}} \right)^5} = C_5^0{1^5} – C_5^1 \cdot {1^4} \cdot {x^2} + C_5^2 \cdot {1^3} \cdot {\left( {{x^2}} \right)^2} – C_5^3 \cdot {1^2} \cdot {\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4 \cdot 1 \cdot {\left( {{x^2}} \right)^4} – C_5^5 \cdot {\left( {{x^2}} \right)^5}$

$ = 1 – 5{x^2} + 10{x^4} – 10{x^6} + 5{x^8} – {x^{10}}$.

Vậy hệ số của ${x^6}$ trong khai triển là -10 .

Câu 2. (1,0 điểm)

Lời giải

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \leqslant 28} \right)$.

Suy ra số học sinh nam là $30 – n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì 3 học sinh từ 30 học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố “Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”.

• Chọn 2 nam trong $30 – n$ nam, có $C_{30 – n}^2$ cách.

• Chọn 1 nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left( A \right) = C_{30 – n}^2 \cdot C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố $A$ là

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{30 – n}^2 \cdot C_n^1}}{{C_{30}^3}}$

Theo giả thiết, ta có

$P\left( A \right) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{C_{30 – n}^2 \cdot C_n^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{12}}{{29}}$

$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {30 – n} \right)\left( {29 – n} \right)\left( {28 – n} \right)!.n}}{{2!.\left( {28 – n} \right)!}} = 1680$

$ \Leftrightarrow \left( {30 – n} \right)\left( {29 – n} \right) \cdot n = 3360$$ \Leftrightarrow {n^3} – 59{n^2} + 870n – 3360 = 0\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \approx 38,82} \\
{n = 14} \\
{n \approx 6,18}
\end{array}} \right.$

Vì $n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n = 14$

Vậy số học sinh nữ của lớp là 14 học sinh.

Câu 3. (1,0 điểm)

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4; – 2} \right) = 2\left( {2; – 1} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Khi đó phương trình đường thẳng $AB$ nhận $\left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $1\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y – 5 = 0$.

b) Ta có: $A \in {d_1}$ nên $A\left( {3;a} \right),(a < 3)$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ mà $ABC$ nội tiếp đường tròn nên $AC$ là đường kính.

Đường thẳng ${d_1}:x = 3$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1;0} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left( {0;1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:x – y + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1; – 1} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left( {1;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $AC$ nhận $\left( {0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $y = a$.

Phương trình đường thẳng $AB$ nhận $\left( {1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $\left( {x – 3} \right) + \left( {y – a} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = a + 3$.

Điểm $C$ là giao của đường thẳng $AC$ và ${d_2}$ nên ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = a} \\
{x – y + 3 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = a – 3} \\
{y = a}
\end{array} \Rightarrow C\left( {a – 3;a} \right)} \right.} \right.$

Điểm $B$ là giao của đường thẳng $AB$ và ${d_2}$ nên ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y – a – 3 = 0} \\
{x – y + 3 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{a}{2}} \\
{y = \frac{a}{2} + 3}
\end{array} \Rightarrow B\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2} + 3} \right)} \right.} \right.$

Khi đó $\overrightarrow {AB} \left( {\frac{a}{2} – 3; – \frac{a}{2} + 3} \right) \Rightarrow AB = \left| {\frac{a}{2} – 3} \right|$.

$\overrightarrow {BC} \left( {\frac{a}{2} – 3;\frac{a}{2} – 3} \right) \Rightarrow BC = \left| {\frac{a}{2} – 3} \right|$.

Diện tích tam giác $ABC$ bằng

$\frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{1}{2}{\left( {\frac{a}{2} – 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{a}{2} – 3 = 2\sqrt 2 } \\
{\frac{a}{2} – 3 = – 2\sqrt 2 }
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)} \\
{a = 2\left( {3 – 2\sqrt 2 } \right)}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow a = 2\left( {3 – 2\sqrt 2 } \right)$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy tọa độ điểm $A\left( {3;2\left( {3 – 2\sqrt 2 } \right)} \right)$.