Đề Thi HK2 Toán 10 Chân Trời Sáng Tạo Theo Form Mới Giải Chi Tiết-Đề 4

Đề thi HK2 Toán 10 Chân trời sáng tạo theo form mới giải chi tiết-Đề 4 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} – 2x + 3 > 0$ là:

A. $\emptyset $. B. $\mathbb{R}$. C. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$. D. $\left( { – 1;3} \right)$.

Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần?

A. 5 . B. 15 . C. 55 . D. 10 .

Câu 3. Từ bảy chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?

A. 7 !. B. ${7^4}$. C. 7.6.5.4 D. 7 !. 6 !. 5 !. 4 !.

Câu 4. Từ các chữ số $0,1,2,7,8,9$ tạo được bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau?

A. 120 . B. 216 . C. 312 . D. 360 .

Câu 5. Khai triển của nhị thức ${\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^5}$ là:

A. ${x^5} + 5{x^3} + 10x + \frac{{10}}{x} + \frac{5}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^5}}}$. B. ${x^5} – 5{x^3} + 10x – \frac{{10}}{x} + \frac{5}{{{x^3}}} – \frac{1}{{{x^5}}}$.

C. $5{x^5} – 10{x^3} + 10x – \frac{{10}}{x} + \frac{5}{{{x^3}}} – \frac{1}{{{x^5}}}$. D. $5{x^5} + 10{x^3} + 10x + \frac{{10}}{x} + \frac{5}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^5}}}$

Câu 6. Tìm hệ số của ${x^2}$ trong khai triển: $f\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}$, với $x > 0$, biết tổng ba hệ số đầu của $x$ trong khai triển bằng 33 .

A. 34 . B. 24 . C. 6 . D. 12 .

Câu 7. Cho đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {1;2} \right),B\left( {4;6} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $Oy$ sao cho diện tích tam giác $MAB$ bằng 1 .

A. $\left( {1;0} \right)$. B. $\left( {0;1} \right)$. C. $\left( {0;0} \right)$ và $\left( {0;\frac{4}{3}} \right)$. D. $\left( {0;2} \right)$.

Câu 8. Đường tròn ${x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 23 = 0$ cắt đường thẳng $x – y + 2 = 0$ theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 10 . B. 6 . C. 5 . D. $2\sqrt {17} $.

Câu 9. Viết phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $A\left( {5; – 2} \right)$

A. $y = {x^2} – 3x – 12$. B. $y = {x^2} – 27$. C. ${y^2} = 5x – 21$. D. ${y^2} = \frac{{4x}}{5}$.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $D\left( {6;0} \right)$ và $M$ chuyển động trên đường elip $\left( E \right)$ : $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Khi đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $DM$ lần lượt là:

A. 1 và 11 . B. 1 và 10 . C. 2 và 11 . D. 4 và 10 .

Câu 11. Từ các chữ số $1,2,3,4$ người ta lập được các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, tạo nên tập $S$. Lấy ngẫu nhiên hai chữ số từ tập $S$, số phần tử của không gian mẫu là:

A. 24 . B. 276 . C. 250 . D. 252 .

Câu 12. Gieo một đồng tiên liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố $A$ :”ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”?

A. $P\left( A \right) = \frac{1}{2}$. B. $P\left( A \right) = \frac{3}{8}$. C. $P\left( A \right) = \frac{7}{8}$. D. $P\left( A \right) = \frac{1}{4}$.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho phương trình $\sqrt {x\left( {x – 1} \right)} + \sqrt {x\left( {x + 2} \right)} = 2\sqrt {{x^2}} $. Khi đó:

a) $x = 0$ là nghiệm của phương trình

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

c) Tổng các nghiệm của phương trình bằng 9

d) Nghiệm lớn nhất của phương trình nhỏ hơn 2

Câu 2. Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối $A,10$ học sinh khối $B$ và 5 học sinh khối $C$, cần chọn ra 15 học sinh, khi đó:

a) Số cách chọn để học sinh mỗi khối là bằng nhau là 252252

b) Số cách chọn để có 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ hoặc khối $A$ : có $C_5^2C_{15}^{13}$ cách.

c) Số cách chọn để có 2 học sinh khối $C,10$ học sinh khối $B$ và 3 học sinh khối $A$ có $C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3$ cách.

d) Số cách chọn để có ít nhất 5 học sinh khối $A$ và có đúng 2 học sinh khối $C$ là 51861950

Câu 3. Cho hypebol $\left( H \right)$ có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a,b > 0)$, đi qua điểm $A\left( {\sqrt 3 ;0} \right)$ và có một tiêu điểm ${F_1}\left( { – 2;0} \right)$. Khi đó:

a) Tiêu cự bằng 2

b) $a = \sqrt 3 $

c) ${b^2} = 2$

d) Điểm $B\left( {0;1} \right)$ thuộc hypebol $\left( H \right)$

Câu 4. Ném 3 đồng xu đồng chất (giả thiết các đồng xu hoàn toàn giống nhau gồm 2 mặt: sấp và ngửa). Khi đó:

a) $n\left( \Omega \right) = 8$

b) Xác suất để thu được 3 mặt giống nhau bằng $\frac{1}{4}$

c) Xác suất để thu được ít nhất một mặt ngửa bằng $\frac{1}{8}$

d) Xác suất để không thu được một mặt ngửa nào bằng $\frac{7}{8}$

Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Tìm tập nghiệm phương trình sau: $\sqrt {2{x^2} – \left| x \right| + 3} = – x + 5$.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( { – 2;5} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục hoành sao cho đường thẳng $\Delta :3x + 2y – 3 = 0$ cách đều hai điểm $A,M$.

Câu 3. Viết phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right)$ biết $\left( P \right)$ có phương trình đường chuẩn $\Delta $ song song và cách đường thẳng $d:x = 2$ một khoảng bằng 5 .

Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 mà mỗi số có ba chữ số khác nhau?

Câu 5. Tính tổng các hệ số trong khai triển ${(1 – 2x)^5}$.

Câu 6. Một lớp học có 26 bạn nam và 20 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để bạn được chọn là nam.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.

1B	2D	3C	4C	5B	6B
7C	8D	9D	10A	11B	12C

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} – 2x + 3 > 0$ là:

A. $\emptyset $.

B. $\mathbb{R}$.

C. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

D. $\left( { – 1;3} \right)$.

Chọn B

Lời giải

Ta có: ${x^2} – 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần?

A. 5 .

B. 15 .

C. 55 .

D. 10 .

Chọn D

Lời giải

Xét thứ tự cho sã̃n của mười chữ số: $\left\{ {9,8,7,6,5,4,3,2,1,0} \right\}$.

Với mỗi lần bỏ đi một chữ số từ tập trên và ghép chín chữ số còn lại thành một số tự nhiên (giữ nguyên thứ tự cho sẵn) thì ta được một số tự nhiên thỏa mãn đề bài. Vậy có 10 số tự nhiên thỏa mãn.

Câu 3. Từ bảy chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?

A. 7 !.

B. ${7^4}$.

C. 7.6.5.4

D. 7 !. $6!.5!.4$ !.

Chọn C

Lời giải

Số các số tự nhiên thỏa mãn là $A_7^4 = \frac{{7!}}{{3!}} = 7 \cdot 6.5$.4 .

Câu 4. Từ các chữ số $0,1,2,7,8,9$ tạo được bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau?

A. 120 .

B. 216 .

C. 312 .

D. 360 .

Chọn C

Lời giải

Gọi $\overline {abcde} $ là số cần lập.

Nếu $e = 0$, chọn 4 trong 5 số còn lại xếp vào vị trí $a,b,c,d$ : có $A_5^4$ cách.

Nếu $e \ne 0$ thì $e \in \left\{ {2;8} \right\}$.

Chọn $e$ : có 2 cách.

Chọn $a\left( {a \ne 0,a \ne e} \right)$ : có 4 cách.

Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào các vị trí $b,c,d$ : có $A_4^3$ cách.

Vậy có tất cả: $A_5^4 + 2 \cdot 4 \cdot A_4^3 = 312$ số tự nhiên thỏa mãn.

Câu 5. Khai triển của nhị thức ${\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^5}$ là:

A. ${x^5} + 5{x^3} + 10x + \frac{{10}}{x} + \frac{5}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^5}}}$.

B. ${x^5} – 5{x^3} + 10x – \frac{{10}}{x} + \frac{5}{{{x^3}}} – \frac{1}{{{x^5}}}$.

C. $5{x^5} – 10{x^3} + 10x – \frac{{10}}{x} + \frac{5}{{{x^3}}} – \frac{1}{{{x^5}}}$.

D. $5{x^5} + 10{x^3} + 10x + \frac{{10}}{x} + \frac{5}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^5}}}$

Chọn B

Lời giải

${\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^5} = C_5^0 \cdot {x^5} + C_5^1 \cdot {x^4} \cdot {\left( {\frac{{ – 1}}{x}} \right)^1} + C_5^2{x^3}{\left( {\frac{{ – 1}}{x}} \right)^2} + C_5^3{x^2}{\left( {\frac{{ – 1}}{x}} \right)^3} + C_5^4{x^1}{\left( {\frac{{ – 1}}{x}} \right)^4} + C_5^5{\left( {\frac{{ – 1}}{x}} \right)^5}$

$ = {x^5} – 5{x^3} + 10x – \frac{{10}}{x} + \frac{5}{{{x^3}}} – \frac{1}{{{x^5}}}.$

Câu 6. Tìm hệ số của ${x^2}$ trong khai triển: $f\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}$, với $x > 0$, biết tổng ba hệ số đầu của $x$ trong khai triển bằng 33.

A. 34 .

B. 24 .

C. 6 .

D. 12 .

Chọn B

Lời giải

Ta có: $C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 = 33 \Rightarrow n = 4$; Số hạng tổng quát của khai triển $f\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^4}$ là ${T_{k + 1}} = C_4^k{\left( {{x^3}} \right)^{4 – k}}{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k} = {2^k}C_4^k{x^{12 – 5k}}$.

Số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển ứng với số mũ của $x$ là: $12 – 5k = 2 \Leftrightarrow k = 2$.

Vậy hệ số của ${x^7}$ trong khai triển là: $2C_4^1 = 8$.

Câu 7. Cho đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {1;2} \right),B\left( {4;6} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $Oy$ sao cho diện tích tam giác $MAB$ bằng 1 .

A. $\left( {1;0} \right)$.

B. $\left( {0;1} \right)$.

C. $\left( {0;0} \right)$ và $\left( {0;\frac{4}{3}} \right)$.

D. $\left( {0;2} \right)$.

Chọn C

Lời giải

Gọi $M\left( {0;m} \right) \in Oy$ (với $m \in \mathbb{R}$ ). Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right)$, suy ra $AB$ có một vectơ pháp tuyến ${\vec n_{AB}} = \left( {4; – 3} \right)$; phương trình $AB:4x – 3y + 2 = 0;AB = 5$.

Theo đề: ${S_{\vartriangle MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M,AB} \right) \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left| { – 3m + 2} \right|}}{5} \cdot 5 = 1$

$ \Rightarrow \left| { – 3m + 2} \right| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3m + 2 = 2} \\
{ – 3m + 2 = – 2}
\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0} \\
{m = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài: $\left( {0;0} \right),\left( {0;\frac{4}{3}} \right)$.

Câu 8. Đường tròn ${x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 23 = 0$ cắt đường thẳng $x – y + 2 = 0$ theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 10 .

B. 6 .

C. 5 .

D. $2\sqrt {17} $.

Chọn D

Lời giải

Đường tròn có tâm $I\left( {1; – 1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2} + 23} = 5$.

Ta có $d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 – \left( { – 1} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2}} }} = 2\sqrt 2 $. Độ dài dây cung: $2\sqrt {{5^2} – {{(2\sqrt 2 )}^2}} = 2\sqrt {17} $.

Câu 9. Viết phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $A\left( {5; – 2} \right)$

A. $y = {x^2} – 3x – 12$.

B. $y = {x^2} – 27$.

C. ${y^2} = 5x – 21$.

D. ${y^2} = \frac{{4x}}{5}$.

Chọn D

Lời giải

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{y^2} = 2px(p > 0)$

Vì $A\left( {5; – 2} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 4 = 2p.5 \Rightarrow p = \frac{2}{5}$.

Vậy phương trình chính tắc $\left( P \right):{y^2} = \frac{4}{5}x$.

Câu 10. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $D\left( {6;0} \right)$ và $M$ chuyển động trên đường elip $\left( E \right)$ : $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Khi đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $DM$ lần lượt là:

A. 1 và 11 .

B. 1 và 10 .

C. 2 và 11 .

D. 4 và 10 .

Chọn A

Lời giải

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{DO – OM \leqslant DM \leqslant DO + OM} \\
{OM \leqslant 5,DO = 6}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow 6 – 5 \leqslant DM \leqslant 6 + 5 \Rightarrow 1 \leqslant DM \leqslant 11$

$DM = 1$ khi $M$ có tọa độ $\left( {5;0} \right),DM = 11$ khi $M$ có toạ độ $\left( { – 5;0} \right)$.

Vậy $DM$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 và đạt giá trị lớn nhất bằng 11 .

Câu 11. Từ các chữ số $1,2,3,4$ người ta lập được các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, tạo nên tập $S$. Lấy ngẫu nhiên hai chữ số từ tập $S$, số phần tử của không gian mẫu là:

A. 24 .

B. 276.

C. 250 .

D. 252 .

Chọn B

Lời giải

Số tự nhiên gồm ba chữ số có dạng $\overline {abc} $.

Số cách chọn $a,b,c$ theo thứ tự là $4,3,2$ nên có $4.3.2 = 24$ số thỏa mãn.

Láy ngẫu nhiên 2 số từ 24 số, ta có số phần tử không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 276$.

Câu 12. Gieo một đồng tiên liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố $A$ :”ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”?

A. $P\left( A \right) = \frac{1}{2}$.

B. $P\left( A \right) = \frac{3}{8}$.

C. $P\left( A \right) = \frac{7}{8}$.

D. $P\left( A \right) = \frac{1}{4}$.

Chọn C

Lời giải

Ta có: $\overline A $ : “Không có lần nào xuất hiện mặt sấp” hay cả 3 lần đều mặt ngửa. Theo quy tắc nhân xác suất: $P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8},$$P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thi sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mối ý $a$ ), b), c), d) ở môi câu, thi sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Cho phương trình $\sqrt {x\left( {x – 1} \right)} + \sqrt {x\left( {x + 2} \right)} = 2\sqrt {{x^2}} $. Khi đó:

a) $x = 0$ là nghiệm của phương trình

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

c) Tổng các nghiệm của phương trình bằng 9

d) Nghiệm lớn nhất của phương trình nhỏ hơn 2

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng c) Sai

d) Đúng

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left( {x – 1} \right) \geqslant 0} \\
{x\left( {x + 2} \right) \geqslant 0} \\
{x \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant 0 \vee x \geqslant 1} \\
{x \leqslant – 2 \vee x \geqslant 0} \\
{x \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x \geqslant 1}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Với $x = 0$ thì phương trình trở thành $0 = 0 \Rightarrow x = 0$ là một nghiệm của pt.

Với $x \geqslant 1$ thì pt $ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {x + 2} } \right) = 2\sqrt {{x^2}} $$ \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} + \sqrt {x + 2} = 2\sqrt x $

$ \Leftrightarrow x – 1 + x + 2 + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)} = 4x$$ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)} = x – \frac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant \frac{1}{2}} \\
{{x^2} + x – 2 = {x^2} – x + \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant \frac{1}{2}} \\
{x = \frac{9}{8}}
\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{9}{8}\left( N \right)} \right.$.

Suy ra nghiệm của phương trình là $x = 0 \vee x = \frac{9}{8}$.

Câu 2. Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối $A,10$ học sinh khối $B$ và 5 học sinh khối $C$, cần chọn ra 15 học sinh, khi đó:

a) Số cách chọn để học sinh mỗi khối là bằng nhau là 252252

b) Số cách chọn để có 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ hoặc khối $A$ : có $C_5^2C_{15}^{13}$ cách.

c) Số cách chọn để có 2 học sinh khối $C,10$ học $sinh$ khối $B$ và 3 học sinh khối $A$ có $C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3$ cách.

d) Số cách chọn để có ít nhất 5 học sinh khối $A$ và có đúng 2 học sinh khối $C$ là 51861950

Lời giải:

a) $Sai$

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối $\left( {A,B,C} \right)$ lần lượt là: $C_{15}^5,C_{10}^5,C_5^5$.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là $C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 756756$ (cách).

d) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như lời giải sau:

Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ hoặc khối $A$ : có $C_5^2C_{25}^{13}$ cách.

Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ và khối $A$ không thỏa mãn yêu cầu.

Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối $C,10$ học sinh khối $B$ và 3 học sinh khối $A$ có $C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3$ cách.

Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối $C,9$ học sinh khối $B$ và 4 học sinh khối $A$ có $C_5^2C_{10}^9C_{15}^4$ cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là $C_5^2C_{25}^{13} – C_{10}^{10}C_{15}^3 – C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950$ (cách).

Câu 3. Cho hypebol $\left( H \right)$ có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a,b > 0)$, đi qua điểm $A\left( {\sqrt 3 ;0} \right)$ và có một tiêu điểm ${F_1}\left( { – 2;0} \right)$. Khi đó:

a) Tiêu cự bằng 2

b) $a = \sqrt 3 $

c) ${b^2} = 2$

d) Điểm $B\left( {0;1} \right)$ thuộc hypebol $\left( H \right)$

Lời giải

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Có $A \in \left( H \right) \Leftrightarrow \frac{{{{(\sqrt 3 )}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 3$.

Hypebol $\left( H \right)$ có tiêu điểm ${F_1}\left( { – 2;0} \right) \Rightarrow c = 2$ mà $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Rightarrow 2 = \sqrt {3 + {b^2}} \Rightarrow {b^2} = 1$.

Vậy hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{3} – {y^2} = 1$.

Câu 4. Ném 3 đồng xu đồng chất (giả thiết các đồng xu hoàn toàn giống nhau gồm 2 mặt: sấp và ngửa). Khi đó:

a) $n\left( \Omega \right) = 8$

b) Xác suất để thu được 3 mặt giống nhau bằng $\frac{1}{4}$

c) Xác suất để thu được ít nhất một mặt ngửa bằng $\frac{1}{8}$

d) Xác suất để không thu được một mặt ngửa nào bằng $\frac{7}{8}$

Lời giải:

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Ta có: $\Omega = \left\{ {SSS,SSN,SNS,SNN,NNN,NNS,NSS,NSN} \right\} \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 8$.

b) Gọi $A$ là biến cố: “Thu được 3 mặt giống nhau”.

Ta có: $A = \left\{ {SSS,NNN} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 2$.

Xác suất của $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

c) Gọi $C$ là biến cố : “Thu được ít nhất một mặt ngửa”.

Ta xét biến cố đối của $C$ là $\overline C $ “Không thu được một mặt ngửa nào”. Suy ra $n\left( {\overline C } \right) = 1$.

Do vậy $P\left( C \right) = 1 – P\left( {\overline C } \right) = 1 – \frac{{n\left( {\overline C } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Tìm tập nghiệm phương trình sau: $\sqrt {2{x^2} – \left| x \right| + 3} = – x + 5$.

Trả lời: $S = \left\{ {2;\frac{{ – 11 – \sqrt {209} }}{2}} \right\}$

Lời giải

Trường hợp 1: Với $x \geqslant 0$, phương trình đã cho trở thành

$\sqrt {2{x^2} – x + 3} = – x + 5$. (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

$2{x^2} – x + 3 = {x^2} – 10x + 25 \Rightarrow {x^2} + 9x – 22 = 0 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = – 11$.

Mà $x \geqslant 0$ nên ta nhận $x = 2$.

Thay $x = 2$ vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Trường hợp 2: Với $x < 0$, phương trình trở thành

$\sqrt {2{x^2} + x + 3} = – x + 5.\left( 2 \right)$

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

$2{x^2} + x + 3 = {x^2} – 10x + 25 \Rightarrow {x^2} + 11x – 22 = 0$

$ \Rightarrow x = \frac{{ – 11 + \sqrt {209} }}{2}$ hoặc $x = \frac{{ – 11 – \sqrt {209} }}{2}$.

Mà $x < 0$ nên ta nhận $x = \frac{{ – 11 – \sqrt {209} }}{2}$.

Thay $x = \frac{{ – 11 – \sqrt {209} }}{2}$ vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {2;\frac{{ – 11 – \sqrt {209} }}{2}} \right\}$.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( { – 2;5} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục hoành sao cho đường thẳng $\Delta :3x + 2y – 3 = 0$ cách đều hai điểm $A,M$.

Trả lời: $M\left( {\frac{4}{3};0} \right)$ hoặc $M\left( {\frac{2}{3};0} \right)$.

Lời giải

Gọi $M\left( {a;0} \right)$ là điểm thuộc trục hoành. Khoảng cách từ $A,M$ đến đường thẳng $\Delta :3x + 2y – 3 = 0$ lần lượt là $\frac{1}{{\sqrt {13} }},\frac{{\left| {3a – 3} \right|}}{{\sqrt {13} }}$. Vì đường thẳng $\Delta :3x + 2y – 3 = 0$

cách đều hai điểm $A,M$ nên $\frac{1}{{\sqrt {13} }} = \frac{{\left| {3a – 3} \right|}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \left| {3a – 3} \right| = 1 \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}$ hoặc $a = \frac{2}{3}$.

Vậy $M\left( {\frac{4}{3};0} \right)$ hoặc $M\left( {\frac{2}{3};0} \right)$.

Câu 3. Viết phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right)$ biết $\left( P \right)$ có phương trình đường chuẩn $\Delta $ song song và cách đường thẳng $d:x = 2$ một khoảng bằng 5 .

Trả lời: ${y^2} = 12x$

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc $\left( P \right):{y^2} = 2px(p > 0)$.

Phương trình đường chuẩn có dạng $\Delta : x = – \frac{p}{2}$.

Theo giả thiết: $d\left( {d,\Delta } \right) = 5 \Leftrightarrow \left| {\frac{{ – p}}{2} – 2} \right| = 5$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – \frac{p}{2} – 2 = 5} \\
{ – \frac{p}{2} – 2 = – 5}
\end{array} \Rightarrow p = 6 > 0} \right.$.

Vậy phương trình chính tắc $\left( P \right)$ là: ${y^2} = 12x$.

Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 mà mỗi số có ba chữ số khác nhau?

Trả lời: 320

Gọi số có ba chữ số cần tìm là $\overline {abc} \left( {a \ne 0} \right)$.

Lời giải

Vì số cần tìm chia hết cho 2 nên số cách chọn chữ số c là 5 cách.

Số cách chọn chữ số a là $C_8^1$ (cách).

Số cách chọn chữ số b là $C_8^1$ (cách).

Vậy số các số chia hết cho 2 mà mỗi số có ba chữ số khác nhau là: $5 \cdot C_8^1 \cdot C_8^1 = 5 \cdot 8 \cdot 8 = 320$ (số)

Câu 5. Tính tổng các hệ số trong khai triển ${(1 – 2x)^5}$.

Trả lò̀: -1

Đặt ${(1 – 2x)^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_5}{x^5}$.

Lòi giải

Cho $x = 1$ ta có tổng các hệ số ${a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_5} = {(1 – 2)^5} = – 1$.

Câu 6. Một lớp học có 26 bạn nam và 20 bạn nữ. Chọn ngâuu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để bạn được chọn là nam.

Trả lời: $\frac{{13}}{{23}}$

Ta có $n\left( \Omega \right) = 26 + 20 = 46$.

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố bạn được chọn là nam. Vì lớp học có 26 bạn nam nên có 26 cách chọn một bạn nam. Do đó, ta có $n\left( A \right) = 26$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{26}}{{46}} = \frac{{13}}{{23}}$.