Giải Bài Tập Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo Bài 1 Chương 1 Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Của Hàm Số

0
2467

Câu 1. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.

a)

Hình 11a

b)

Hình 11b

Lời giải

Phương pháp:

+ Nếu đồ thị hàm số “đi lên” từ trái sang phải trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)

+ Nếu đồ thị hàm số “đi xuống” từ trái sang phải trên khoảng (a;b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)

a) + Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { 0;2} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; 0} \right)$ và $\left( {2;4} \right)$.

b) + Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;-1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {-1;1} \right)$.

Câu 2. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
a) $y = 4{x^3} + 3{x^2} – 36x + 6$;
b) $y = \frac{{{x^2} – 2x – 7}}{{x – 4}}$.

Lời giải

a) $y = 4{x^3} + 3{x^2} – 36x + 6$;

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

$y’ = 12{x^2} + 6x – 36$

$y’ = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} + 6x – 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \frac{3}{2} \hfill \\
x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Bảng biến thiên

Vậy,

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 2;\frac{3}{2}} \right)$.

+ Hàm số đạt cực đại tại $x = – 2;\,{y_{CĐ}} = 58$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{3}{2};\,{y_{CT}} = – \frac{{111}}{4}$.

b) $y = \frac{{{x^2} – 2x – 7}}{{x – 4}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}$

Lời giải

$y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} – 2x – 7} \right)}^\prime }(x – 4) – \left( {{x^2} – 2x – 7} \right)(x – 4)’}}{{{{\left( {x – 4} \right)}^2}}}$

$ = \frac{{(2x – 2)(x – 4) – \left( {{x^2} – 2x – 7} \right).1}}{{{{\left( {x – 4} \right)}^2}}}$

$ = \frac{{2{x^2} – 8x – 2x + 8 – {x^2} + 2x + 7}}{{{{\left( {x – 4} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 8x + 15}}{{{{\left( {x – 4} \right)}^2}}}$

$y’ = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2} – 8x + 15}}{{{{\left( {x – 4} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {x^2} – 8x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 5 \hfill \\
x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Bảng biến thiên

Vậy,

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;3} \right)$ và $\left( {5; + \infty } \right)$.

+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( {3;4} \right)$ và $\left( {4;5} \right)$.

+ Hàm số đạt cực đại tại $x = 3;\,{y_{CĐ}} = 4$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 5;\,{y_{CT}} = 8$.

Câu 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y = 2{x^3} + 3{x^2} – 36x + 1$;
b) $y = \frac{{{x^2} – 8x + 10}}{{x – 2}}$
c) $y = \sqrt { – {x^2} + 4} $.

Lời giải

a) $y = 2{x^3} + 3{x^2} – 36x + 1$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

$y’ = 6{x^2} + 6x – 36$

$y’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x – 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Bảng biến thiên

Vậy,

+ Hàm số đạt cực đại tại $x = – 3;\,{y_{CĐ}} = 82$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2;\,{y_{CT}} = – 43$.

b) $y = \frac{{{x^2} – 8x + 10}}{{x – 2}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

$y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} – 8x + 10} \right)}^\prime }\left( {x – 2} \right) – \left( {{x^2} – 8x + 10} \right){{\left( {x – 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$

$ = \frac{{\left( {2x – 8} \right)\left( {x – 2} \right) – \left( {{x^2} – 8x + 10} \right).1}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$

$ = \frac{{2{x^2} – 4x – 8x + 16 – {x^2} + 8x – 10}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$

$ = \frac{{{x^2} – 4x + 6}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$

$y’ = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2} – 4x + 6}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = 0$$ \Rightarrow {x^2} – 4x + 6 = 0$ (phương trình vô nghiệm)

Bảng biến thiên

Vậy, hàm số không có cực trị.

c) $y = \sqrt { – {x^2} + 4} $.

Tập xác định: $D = \left[ { – 2;2} \right]$

$y’ = \frac{{ – x}}{{\sqrt { – {x^2} + 4} }}$

$y’ = 0 \Rightarrow x = 0\,(nhận)$

Bảng biến thiên

Vậy,

+ Hàm số đạt cực đại tại $x = 0;\,{y_{CĐ}} = 2$.

Câu 4. Chứng minh rằng hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Lời giải

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

$y’ = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 3)}^2}}} < 0,\,\forall x \ne 3$

Vậy, hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;3} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Câu 5. Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức $f\left( x \right) = 0,01{x^3} – 0,04{x^2} + 0,25x + 0,44$ (tỉ USD) với $x$ là số năm tính từ 2010 đến $2017\left( {0 \leqslant x \leqslant 7} \right)$.

(Theo: https://infographics.vn/interactive-xuat-khau-rau-quadu-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam-2023/116220.vna)

a) Tính đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$.

b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

Lời giải

a) $f\left( x \right) = 0,01{x^3} – 0,04{x^2} + 0,25x + 0,44$

$f’\left( x \right) = 0,03{x^2} – 0,08x + 0,25$.

b) Ta có: $f’\left( x \right) = 0,03{x^2} – 0,08x + 0,25 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ (Do $\Delta = – \frac{{59}}{{2500}} < 0$ và $a = 0,03 > 0$)

$ \Rightarrow f'(x) > 0,\,\forall x \in \left[ {0;7} \right]$

$ \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $\left[ {0;7} \right]$

Do đó, kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

Câu 6. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm $t$ được xác định bởi hàm số $x\left( t \right) = {t^3} – 6{t^2} + 9t$ với $t \geqslant 0$. Khi đó $x’\left( t \right)$ là vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $v\left( t \right)$; $v’\left( t \right)$ là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $a\left( t \right)$.

a) Tìm các hàm $v\left( t \right)$ và $a\left( t \right)$.

b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

a) Tìm các hàm $v\left( t \right)$ và $a\left( t \right)$.

$v\left( t \right) = x'(t) = 3{t^2} – 12t + 9$

$a\left( t \right) = v'(t) = 6t – 12$

b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

$v\left( t \right) = 3{t^2} – 12t + 9$

$v'(t) = 6t – 12$

$v'(t) = 0 \Leftrightarrow 6t – 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Bảng biến thiên trên $ [0; + \infty )$

Vậy, trong khoảng thời gian$t > 2$ vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian $0 \leqslant t < 2$ vận tốc của chất điểm giảm.

Câu 7. Đạo hàm $f’\left( x \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$.

Phương pháp

+ Nếu trên $(a;b)$ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía trên trục hoành thì $f'(x) > 0$ nên hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$.

+ Nếu trên $(a;b)$ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía dưới trục hoành thì $f'(x) < 0$ nên hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(a;b)$.

+ Nếu đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại điểm ${x_0}$ thì $f'({x_0}) = 0$.

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ ta có bảng xét dấu $f'(x)$ :

Vậy,

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – 1;2} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$.

+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {2;4} \right)$.

+ Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x = – 1;\,x = 4$.

ĐÁNH GIÁ TỔNG QUAN
Giải Bài Tập Toán 12 CTST Bài 1 Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Của Hàm Số
Bài trướcĐề Ôn Thi Học Sinh Giỏi Tiếng Anh 9 Cấp Tỉnh Có File Nghe Và Đáp Án-Đề 2
Bài tiếp theoGiải Bài Tập Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo Bài 2 Chương 1 Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
giai-bai-tap-toan-12-chan-troi-sang-tao-bai-1-tinh-don-dieu-va-cuc-tri-cua-ham-soGiải bài tập toán 12 Chân trời sáng tạo bài 1 Tính đơn điệu và cực trị của hàm số rất hay giúp các bạn rèn luyện kỹ năng giải toán một cách lôgic và hệ thống.
Nhận thông báo qua email
Thông báo cho
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments