Giải Toán 12 Cánh Diều Bài 3 Chương 2 Biểu Thức Tọa Độ Của Các Phép Toán Vectơ

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2;3; – 2} \right)$ và $\vec b = \left( {3;1; – 1} \right)$. Toạ độ của vectơ $\vec a – \vec b$ là:

A. $\left( {1; – 2;1} \right)$.

B. $\left( {5;4; – 3} \right)$.

C. $\left( { – 1;2; – 1} \right)$.

D. $\left( { – 1;2; – 3} \right)$.

Lời giải

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {0;1;1} \right)$ và $\vec b = \left( { – 1;1;0} \right)$. Góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ bằng:

A. ${60^ \circ }$.

B. ${120^ \circ }$.

C. ${150^ \circ }$.

D. ${30^ \circ }$.

Lời giải

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( { – 1;2;3} \right),\vec b = \left( {3;1; – 2} \right)$, $\vec c = \left( {4;2; – 3} \right)$.

a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec u = 2\vec a + \vec b – 3\vec c$.

b) Tìm toạ độ của vectơ $\vec v$ sao cho $\vec v + 2\vec b = \vec a + \vec c$.

Lời giải

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2; – 2;1} \right),\vec b = \left( {2;1;3} \right)$. Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec c$ khác $\vec 0$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.

Lời giải

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {3;2; – 1} \right),\vec b = \left( { – 2;1;2} \right)$. Tính côsin của góc $\left( {\vec a,\vec b} \right)$.

Lời giải

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A\left( { – 2;3;0} \right),B\left( {4;0;5} \right),C\left( {0;2; – 3} \right)$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác $ABC$.

c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

d) Tính $cos\widehat {BAC}$.

Lời giải

Câu 7. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$, biết $A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right),D\left( {1; – 1;1} \right),C’\left( {4;5; – 5} \right)$. Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ khác $\vec 0$ vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {B’D’} $;

b) $\overrightarrow {AC’} $ và $\overrightarrow {BD} $.

Lời giải

Câu 8. Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ dều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L$. Trọng lượng của chiếc đèn là $24\;N$ và bán kính của chiếc đèn là 18 in ( 1 inch $ = 2,54\;cm)$. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $ trên mỗi sợi dây. Khi đó, $F = F\left( L \right)$ là một hàm số với biến số là $L$.

a) Xác định công thức tính hàm số $F = F\left( L \right)$.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $F = F\left( L \right)$.

Hình 38

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $10\;N$.

Lời giải