Các Dạng Bài Toán Thực Tế Về Cấp Số Cộng Lớp 11 Có Lời Giải

Các dạng bài toán thực tế về cấp số cộng lớp 11 có lời giải được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$. Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

2. Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với công sai $d$ được cho bởi hệ thức truy hồi: ${u_n} = {u_{n – 1}} + d,\left( {n \geqslant 2} \right)$.

3. Nếu cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định theo công thức: ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$.

4. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với công sai $d$. Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_n}$. Khi đó

${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right] = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}$.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ $n$ tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức:

${x_n} = 75 + 5\left( {n – 1} \right).$

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?

b) Dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?

Lời giải

a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là:

${x_3} = 75 + 5\left( {3 – 1} \right) = 85\left( {\;cm} \right)$

b) Ta có: ${x_{n + 1}} = 75 + 5\left( {n + 1 – 1} \right) = 75 + 5n$

Xét hiệu ${x_{n + 1}} – {x_n} = 75 + 5n – \left[ {75 + 5\left( {n – 1} \right)} \right] = 5$

Do đó $\left( {{x_n}} \right)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu ${x_1} = 75$ và công sai $d = 5$

Câu 2: Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương nhu sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được

tăng 1,8 triệu.

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Lời giải

+) Theo phương án 1: Gọi (un) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm.

Dãy số ${u_n}$ lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 120$ và công sai $d = 18$.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: ${u_n} = 120 + \left( {n – 1} \right) \cdot 18$.

+) Theo phương án 2: Gọi $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý.

Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu ${v_1} = 24$ và công sai $d = 1,8$

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là ${v_n} = 24 + \left( {n – 1} \right)1,8$.

a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có:

+) Theo phương án 1: ${\;_3} = 120 + \left( {3 – 1} \right).18 = 156$ (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:

${S_3} = \frac{{3 \cdot \left( {120 + 156} \right)}}{2} = 414$ (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: ${u_{12}} = 24 + \left( {12 – 1} \right) \cdot 1,8 = 43,8$.

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:

${S_{12}} = \frac{{12 \cdot \left( {24 + 43,8} \right)}}{2} = 406,8\;\;$(triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1.

b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có:

+) Theo phương án 1: ${u_{10}} = 120 + \left( {10 – 1} \right) \cdot 18 = 282$ (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là: ${S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left( {120 + 282} \right)}}{2} = 2010$ (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: ${u_{40}} = 24 + \left( {40 – 1} \right) \cdot 1,8 = 94,2$ (triệu đồng).

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là: ${S_{12}} = \frac{{40 \cdot \left( {24 + 94,2} \right)}}{2} = 2364$ (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2.

Câu 3: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là $45\;cm,43\;cm$, $41\;cm, \ldots ,31\;cm$

a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Lời giải

a) Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45 , công sai là ${u_n} = 45 – 2\left( {n – 1} \right) = 47 – 2n$

Khi ${u_n} = 31 \Leftrightarrow n = 8$

Vậy cái thang có 8 bậc.

b) ${S_8} = \frac{{8 \cdot \left( {45 + 31} \right)}}{2} = 304$.

Vậy chiều dài thanh gỗ là $304\;cm$.

Câu 4: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: $16;48;80;112;144; \ldots $ (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).

a) Tỉnh công sai của cấp số cộng trên.

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.

Lời giải

a) Công sai của cấp số cộng trên là: $d = 32$.

b) ${S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left[ {2.16 + \left( {10 – 1} \right) \cdot 32} \right]}}{2} = 1600$.

Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1600 feet.

Câu 5: Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là $A$ và $B$ cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội $A$ hay $B$ thì chiều cao cây tăng thêm $5\;cm$. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao $100\;cm$. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene $AABB$ có chiều cao bao nhiêu?

Lời giải

Cây với kiểu gene AABB có chiều cao là: $100 + 5.4 = 120\left( {\;cm} \right)$

Câu 6: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mối năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.

Lời giải

Giá của chiếc xe sau n năm là: ${u_n} = 680 – 55\left( {n – 1} \right)$

Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: ${u_5} = 680 – 55\left( {5 – 1} \right) = 460$ (triệu đồng)

Câu 7: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

Lời giải

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 15$ và công sai $d = 3$. Gọi $n$ là số các số hạng đầu cua cấp số cộng cần lấy tổng, ta có:

$870 = {S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2 \times 15 + \left( {n – 1} \right) \times 3} \right] = \frac{n}{2}\left( {27 + 3n} \right)$

Do đó $27n + 3{n^2} – 1740 = 0$, suy ra $n = 20,n = – 29$ (loại)

Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế

Câu 8: Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.

Lời giải

Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có ${u_1} = 1200$, công sai $d = 30$

Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: ${u_n} = 1200 + 30\left( {n – 1} \right)$

Dân số của năm 2030 tức $n = 11{u_{11}} = 1200 + 30\left( {11 – 1} \right) = 1500$ (nghìn người)

Câu 9: Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao $950\;m$ so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là $1,5\;m$. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển?

Lời giải

Kí hiệu ${u_n}$ là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ $n$.

Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với ${u_1} = 950$ và $d = 1,5$.

Ta có: ${u_{12}} = {u_1} + 11\;d = 950 + 11.1,5 = 966,5$

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao $966,5\;m$ so với mực nước biển.

Câu 10: Bác Tư vào làm cho một công ty với hợp đồng về tiền lương mỗi năm như sau:

Năm thứ nhất: 240 triệu;

Từ năm thứ hai trở đi: Mỗi năm tăng thêm 12 triệu.

Tính số tiền lương một năm của bác Tư vào năm thứ 11 .

Lời giải

Gọi ${u_n}$ là số tiền lương của bác Tư nhận được vào năm thứ $n$.

Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ tạo thành cấp số cộng với ${u_1} = 240$ và $d = 12$.

Ta có ${u_{11}} = {u_1} + 10\;d = 240 + 10.12 = 360$

Vậy vào năm thứ 11 , số tiền lương một năm của bác Tư là 360 triệu đồng.

Câu 11: Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng thứ nhất có 20 ghế, số ghế ở các hàng sau đều hơn số ghế ngay trước đó một ghế. Cho biết rạp hát đã bán hết vé với giá mỗi vé là 60 nghìn đồng. Tính tổng số tiền vé thu được của rạp hát.

Lời giải

Gọi ${u_n}$ là số ghế ở hàng thứ $n$.

Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ tạo thành cấp số cộng với ${u_1} = 20$ và $d = 1$.

Tổng số ghế có trong rạp hát là: ${S_{20}} = \frac{{20 \cdot \left[ {2 \cdot 20 + \left( {20 – 1} \right) \cdot 1} \right]}}{2} = 590$ (ghế)

Tổng số tiền vé thu được là: $590.60000 = 35400000$ (đồng).

Câu 12: Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu đồng.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu đồng.

Nếu là người được tuyền dụng vào doanh nghiệp trên, em nên chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Lời giải

Ở phương án trả lương thứ nhất, số tiền lương mỗi năm người lao động nhận được lập thành cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 120$, công sai $d = 18$.

Ở phương án trả lương thứ hai, số tiền lương mỗi quý người lao động nhận được lập thành cấp số cộng $\left( {{v_n}} \right)$ có số hạng đầu ${v_1} = 24$, công sai $d’ = 1,8$.

a) Nếu kí hợp đồng lao động 3 năm thì:

Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong 3 năm ở phương án 1 là tổng 3 số hạng đầu của cấp số cộng và bằng:

${S_3} = \frac{{\left( {2{u_1} + 2d} \right) \cdot 3}}{2} = 3{u_1} + 3d = 3 \cdot 120 + 3.18 = 414$ ( triệu đồng )

Do 1 năm có 4 quý nên tổng số tiền lương người lao động nhận được trong 3 năm ở phương án 2 là tổng 12 số hạng đầu của cấp số cộng và bằng:

$S_{12}’ = \frac{{\left( {2{v_1} + 11d’} \right) \cdot 12}}{2} = 12{v_1} + 66d’ = 12 \cdot 24 + 66 \cdot 1,8 = 406,8\;$(triệu đồng)

Vậy nếu kí hợp đồng lao động 3 năm thì em nên chọn phương án 1 .

b) Nếu kí hợp đồng lao động 10 năm thì:

Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong 10 năm ở phương án 1 bằng:

${S_{10}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 9d} \right) \cdot 10}}{2} = 10{u_1} + 45d = 10 \cdot 120 + 45 \cdot 18 = 2010\;\;$(triệu đồng)

Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong 10 năm ở phương án 2 bằng:

$S_{40}’ = \frac{{\left( {2{v_1} + 39d’} \right) \cdot 40}}{2} = 40{v_1} + 780d’ = 40.24 + 780.1,8 = 2364\;$(triệu đồng)

Vậy nếu kí hợp đồng lao động 10 năm thì em nên chọn phương án 2.

Câu 13: Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?

Lời giải

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông,; ; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

$S = \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 12} \right) + 1 \cdot 11 = \frac{{\left( {1 + 12} \right) \cdot 12}}{2} + 11 = 89$

( tiếng chuông)

Câu 14: Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc,., lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp.

Hình 2

Lời giải

Tổng số khúc gỗ được xếp là: $15 + 16 + \ldots + 21 = \frac{{\left( {21 + 15} \right) \cdot 7}}{2} = 126$.

Câu 15: Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn 75% giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian 5 năm kể từ khi mua.

Lời giải

Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là

${T_1} = 50 \cdot 75\% = 37,5$ ( triệu đồng )

Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là

${T_2} = {T_1} \cdot 75\% = 28,125$ ( triệu đồng )

Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là

${T_3} = {T_2} \cdot 75\% = 21,0938$ ( triệu đồng )

Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là

${T_4} = {T_3} \cdot 75\% = 15,8203$ ( triệu đồng )

Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là

${T_5} = {T_4} \cdot 75\% = 11,8652$ ( triệu đồng )

Chú ý: Tổng quát, giá trị của máy photocopy sau $n$ năm sử dụng là ${T_n} = {T_1} \cdot {(0,75)^{n – 1}}\;$ ( triệu đồng )

Câu 16: Nếu tỉ lệ lạm phát là $3,5\% $ mỗi năm và giá trung bình của một căn hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là 2,5 tỉ đồng thì giá trung bình của một căn họ chung cư mới sau $n$ năm nữa được cho bởi công thức ${A_n} = 2,5 \cdot {(1,035)^n}$ ( tỉ đồng)

Lời giải

Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là

${A_5} = 2,5 \cdot {(1,035)^5} = 2,9692\;$( tỉ đồng)

Tìm giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm nữa.

Câu 17: Bác An gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 3 tháng, với lãi suất 3% một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau $n$ quý (mỗi quý là 3 tháng) sẽ là

${A_n} = 200{\left( {1 + \frac{{0,03}}{4}} \right)^n},n = 0,1,2, \ldots $

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.

b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.

Lời giải

a) Ba số hạng đầu của dãy số là ${A_1} = 201,5;{A_2} = 203,0113;{A_3} = 204,5338$.

b) Chú ý rằng 2 năm bằng 8 quý, tức là $n = 8$.

Do đó, sau 2 năm só tiền bác An nhận được là ${A_8} = 212,3198$ triệu đồng.

Câu 18: Vi khuẩn $E$. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn $E$. Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể tử khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn $E$. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn $E$. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thẻ. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể?

Lời giải

Giả sử ban đầu có 1 vi khuấn $E$. Coli.

Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là $1 \cdot 2 = 2$.

Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là $2 \cdot 2 = {2^2}$.

Sau 20 phút lần ba, số vi khuẫn là ${2^2} \cdot 2 = {2^3}$.

Sau 20 phút lần bốn, số vi khuần là ${2^3} \cdot 2 = {2^4}$.

Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng $3 \cdot 12$ lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

${2^{3 \cdot 12}} = {2^{36}} \approx 6,87 \cdot {10^{10}}($ con $)$

Sau 48 giờ (bằng $3 \cdot 48 = 144$ lần 20 phút) thì số vi khuẩn là:

${2^{144}} \approx 2,23 \cdot {10^{43}}($ con $)$.

Câu 19: Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với $1,0 \times {10^9}$ vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt $4,0 \times {10^8}$ vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên $25\% $.

a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.

b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.

Lời giải

a) Gọi ${u_0} = 1,0 \cdot {10^9}$ là số vi khuẩn tại thời điểm ban đầu và ${u_n}$ là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc thứ $n$.

Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt $4,0 \cdot {10^8}$ vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên $25\% $ nên ta có

${u_{n + 1}} = \left( {{u_n} – 4,0 \cdot {{10}^8}} \right) + 25\% \cdot {u_n} = 1,25{u_n} – 4,0 \cdot {10^8}$

b) Ta tính ${u_5}$ như sau:

${u_1} = 1,0 \cdot {10^9}$;

${u_2} = 1,25{u_1} – 4,0 \cdot {10^8} = 8,5 \cdot {10^8}$;

${u_3} = 1,25{u_2} – 4,0 \cdot {10^8} = 6,625 \cdot {10^8}$;

${u_4} = 1,25{u_3} – 4,0 \cdot {10^8} = 4,28125 \cdot {10^8}$;

${u_5} = 1,25{u_4} – 4,0 \cdot {10^8} = 1,3515625 \cdot {10^8}$.

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là 135156250 con.

Câu 20: Một hội trường lớn có 35 ghế ở hàng đầu tiên, 37 ghế ở hàng thứ hai, 39 ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật như vậy. Có tất cả 27 hàng ghế. Hỏi hội trường đó có bao nhiêu ghế?

Lời giải

Gọi ${u_n}$ là số ghế ở hàng thứ $n$.

Vì hội trường lớn có 35 ghế ở hàng đầu tiên, 37 ghế ở hàng thứ hai, 39 ghế ở hàng thứ ba,. nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ lập thành cấp số cộng có ${u_1} = 35$ và công sai $d = 2$.

Suy ra tổng số ghế của hội trường với 27 hàng ghế là

${S_{27}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 26d} \right) \cdot 27}}{2} = 1647\;$(ghế)

Câu 21: Phải lấy tổng của bao nhiếu số hạng đầu của một cấp số cộng có số hạng đầu là 78 và công sai là -4 để được tổng là 702 ?

Lời giải

Áp dụng công thức tính tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số cộng ta có

$702 = {S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 78 + \left( {n – 1} \right)\left( { – 4} \right)} \right]$.

Suy ra $n = 13$, tức là ta cần lấy 13 số hạng đầu.

Câu 22: Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng $2,4\;m$ ở đáy và rộng $1,2\;m$ ở đỉnh (hình vể bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước $10\;cm \times 10\;cm$ phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường đó?

Lời giải

Đổi $2,4\;m = 240\;cm;1,2\;m = 120\;cm$

Số viên gạch ở hàng đầu tiên (ứng với đáy lớn) là ${u_1} = 240:10 = 24$.

Số viên gạch ở hàng trên cùng (ứng với đáy nhỏ) là: ${u_n} = 120:10 = 12$.

Vì mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó nên ta thu được cấp số cộng có công sai $d = – 1$.

Như vậy ${u_n} = 12 = {u_1} + \left( {n – 1} \right)\left( { – 1} \right) \Rightarrow n = 13$.

Vậy số viên gạch hình vuông cần thiết để ốp hết bức tường đó là

${S_{13}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{13}}} \right)13}}{2} = 234\;\;$ (viên gạch)

Câu 23: Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cẩn ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó.

a) Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng?

b) Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?

Lời giải

Công thức của cấp số cộng biểu thị số viên gạch cho mỗi bậc cầu thang như sau:

${u_1} = 100,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( { – 2} \right),\left( {n \geqslant 2} \right)$.

a) Ta tính ${u_{30}} = {u_1} + \left( {30 – 1} \right)\left( { – 2} \right) = 42$.

b) Ta tính ${S_{30}} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{30}} = \frac{{30}}{2}\left[ {2 \cdot 100 + \left( {30 – 1} \right)\left( { – 2} \right)} \right] = 2130$.

Như vậy, ta cần 2130 viên gạch để xây cầu thang.

Câu 24: Có bao nhiêu hàng ghế trong một góc khán đài của một sân vận động, biết mỗi hàng ghế sau có thêm 4 chỗ ngồi so với hàng ghế ngay trước nó?

Lời giải

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng với ${S_n} = 2040,{u_1} = 10,d = 4$ để tìm $n$, ta được

$2040 = {S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 10 + \left( {n – 1} \right)4} \right]$

Suy ra $n = 30$, tức là góc khán đài đó có 30 hàng ghế.

Câu 25: Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?

Lời giải

Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng với

${S_n} = 319200,{u_1} = 35000,d = 1400$, ta có

$319200 = {S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 35000 + \left( {n – 1} \right) \cdot 1400} \right].$

Suy ra $n = 8$.

Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la.

Câu 26: Giả sử một quần thể động vật ở thời điểm ban đầu có 110000 cá thề, quần thể này có tỉ lệ sinh là $12\% $ năm, xuất cư là $2\% $ /năm, tử vong là $8\% $ / năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau hai năm.

Lời giải

Số cá thể của quần thể qua các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là:

$q = 1 + 0,12 – 0,02 – 0,08 = 1,02$

Số cá thể sau hai năm là: $110000.1,{02^2} = 114444$ (cá thể)

Câu 27: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Lời giải

Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông.

Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

$1 + 2 + 3 + \ldots + 11 + 121 + 2 + 3 + \ldots + 11 + 12$

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 1$, công sai $d = 1$.

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 giờ đến 12 giờ trưa là:

${S_{12}} = \frac{{12 \cdot \left( {1 + 12} \right)}}{2} = 78$

Câu 28: Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó.

a) Tìm công thức truy hồi cho số phút ${T_n}$ mà bác ấy bơi vào ngày thứ $n$ của chương trình.

b) Tìm sáu số hạng đầu của dã̃y số ${T_n}$.

c) Tìm công thức tổng quát của dãy số $\left( {{T_n}} \right)$.

d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?

e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.

Lời giải

Gọi ${T_n}$ là số phút mà bác Hưng bơi vào ngày thứ $n$ của chương trình,

a) Do bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó nên ta có hệ thức truy hồi sau ${T_1} = 10,{T_{n + 1}} = {T_n} + 2\forall n \geqslant 1$.

b) Sáu số hạng đầu của dãy số là

${T_1} = 10;{T_2} = 12;{T_3} = 14;{T_4} = 16;{T_5} = 18;{T_6} = 20.\;$

c) Theo định nghĩa dãy số ${T_n}$ là cấp số cộng có ${T_1} = 10$ và công sai $d = 2$.

Suy ra, công thức tổng quát của dãy số là

${T_n} = {T_1} + \left( {n – 1} \right)d = 8 + 2n\forall n \geqslant 1.\;$

d) Ta có ${T_n} \geqslant 60 \Leftrightarrow 8 + 2n \geqslant 60 \Leftrightarrow n \geqslant 26$.

Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.

e) Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là

${S_{30}} = \frac{{\left[ {2{T_1} + \left( {30 – 1} \right)d} \right]30}}{2} = 1170\;$(phút).

Câu 29: Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng 1,4,9,16,25,36,49,64,81,… Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.

a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ $n$ của cấp số cộng này.

b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

$1,8,27,64,125,216,343,512,729, \ldots $

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phẩn b) và tìm số hạng thứ $n$ của nó.

Lời giải

a) Công thức số hạng thứ $n$ của dãy các số chính phương đã cho là ${n^2}\forall n \geqslant 1$. Tám số hạng đầu của cấp số cộng được mô tả là 3;5;7;9;11;13;15;17 . Theo giả thiết chúng ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp là ${u_n} = {(n + 1)^2} – {n^2} = 2n + 1\forall n \geqslant 1$.

Ta chứng minh được $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d = 2$.

b) Xét dãy các số lập phương, với ba số hạng liên tiếp ta lấy số đầu cộng với số thứ ba trừ đi 2 lần số thứ hai ta thu được một cấp số cộng.

c) Bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong câu b là 12; 18; 24; 30;36; 42; 48.

Công thức tổng quát là ${u_n} = {n^3} + {(n + 2)^3} – 2{(n + 1)^3} = 6n + 6\forall n \geqslant 1$.

Câu 30: Bác Hưng để 10 triệu đồng trong tài khoản ngân hàng. Vào cuối mỗi năm, ngân hàng trả lãi $3\% $ vào tài khoản của bác ấy, nhưng sau đó sẽ tính phí duy trì tài khoản hằng năm là 120 nghìn đồng.

a) Gọi ${A_0}$ là số tiền bác Hưng đã gửi. Viết công thức tính lần lượt ${A_1},{A_2},{A_3}$. Từ đó dự đoán hệ thức truy hồi cho số dư ${A_n}$ (tính theo đơn vị đồng) trong tài khoản của bác Hưng vào cuối năm thứ $n$.

b) Tìm số dư trong tài khoản của bác Hưng sau 4 năm.

Lời giải

a) Vào cuối năm thứ nhất, số tiền trong tài khoản của bác Hưng là

${A_1} = {A_0}\left( {1 + 3\% } \right) – 120000 = 1,03{A_0} – 120000\;$(đồng)

Vào cuối năm thứ hai, số tiền trong tài khoản của bác Hưng là

${A_2} = {A_1}\left( {1 + 3\% } \right) – 120000 = 1,03{A_1} – 120000\;$(đồng)

Vào cuối năm thứ ba, số tiền trong tài khoản của bác Hưng là

${A_3} = {A_2}\left( {1 + 3\% } \right) – 120000 = 1,03{A_2} – 120000\;$(đồng)

Tương tự, vào cuối năm thứ $n\left( {n \geqslant 1} \right)$, số tiền trong tài khoản của bác Hưng là

${A_n} = {A_{n – 1}}\left( {1 + 3\% } \right) – 120000 = 1,03{A_{n – 1}} – 120000\;$(đồng)

b) Ta tính lần lượt ${A_1},{A_2},{A_3},{A_4}$ :

$\begin{array}{*{20}{l}}
{{A_1} = 10180000;}&{{A_2} = 10365400;} \\
{{A_3} = 10556362;}&{{A_4} = 10753053.}
\end{array}$

Như vậy, số dư trong tài khoản của bác Hưng sau 4 năm là 10753053 dồng.

Câu 31: Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,. ở hàng thứ có cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Lời giải

Giải sử người ta đã trồng được $n$ hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 1$, công sai $d = 1$

Tổng số cây ở $n$ hàng cây là:

${S_n} = \frac{{n\left( {1 + n} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 4950$

$ \Leftrightarrow {n^2} + n – 9900 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{n = 99} \\
{n = – 100\,\,(loại)}
\end{array}} \right.\;$

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.