Trắc Nghiệm Bài 5 Dãy Số Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm bài 5 Dãy số mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{2{n^2} – 1}}{{{n^2} + 3}}$. Tìm số hạng ${u_5}$.

A. ${u_5} = \frac{1}{4}$.

B. ${u_5} = \frac{{17}}{{12}}$.

C. ${u_5} = \frac{7}{4}$.

D. ${u_5} = \frac{{71}}{{39}}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có ${u_5} = \frac{{{{2.5}^2} – 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{7}{4}$

Câu 2. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = {( – 1)^n} \cdot 2n$. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ${u_1} = – 2$.

B. ${u_2} = 4$.

C. ${u_3} = – 6$.

D. ${u_4} = – 8$.

Lời giải

Chọn D

Vì ${u_4} = {( – 1)^4} \cdot 2 \cdot 4 = 8 \ne – 8$

Câu 3. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = {( – 1)^n} \cdot \frac{{{2^n}}}{n}$. Tìm số hạng ${u_3}$.

A. ${u_3} = \frac{8}{3}$.

B. ${u_3} = 2$.

C. ${u_3} = – 2$.

D. ${u_3} = – \frac{8}{3}$.

Lời giải

Ta có ${u_3} = {( – 1)^3}\frac{{{2^3}}}{3} = – \frac{8}{3}$

Chọn D

Câu 4. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}$. Chọn đáp án đúng.

A. ${u_4} = \frac{1}{4}$.

B. ${u_5} = \frac{1}{{16}}$.

C. ${u_5} = \frac{1}{{32}}$.

D. ${u_3} = \frac{1}{8}$.

Lời giải

Ta có ${u_4} = \frac{4}{{{2^4}}} = \frac{1}{4}$

Chọn A

Câu 5. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = n{( – 1)^n}{\text{sin}}\left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)$. Số hạng thứ 9 của dãy số đó là:

A. 0 .

B. 9 .

C. -1 .

D. -9 .

Lời giải

Ta có ${u_9} = 9 \cdot {( – 1)^9} \cdot {\text{sin}}\left( {\frac{{9\pi }}{2}} \right) = – 9$

Chọn D

Câu 6. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{1}{{n + 1}}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}$.

B. $1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}$.

C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{6}$.

D. $1;\frac{1}{3};\frac{1}{5}$.

Lời giải

Ta có ${u_1} = \frac{1}{2},{u_2} = \frac{1}{3},{u_3} = \frac{1}{4}$

Chọn A

Câu 7. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

A. ${u_1} = 1,{u_2} = \frac{3}{4},{u_3} = \frac{7}{5},{u_4} = \frac{3}{2},{u_5} = \frac{{11}}{7}$.

B. ${u_1} = 1,{u_2} = \frac{5}{4},{u_3} = \frac{7}{5},{u_4} = \frac{3}{2},{u_5} = \frac{{11}}{7}$.

C. ${u_1} = 1,{u_2} = \frac{5}{4},{u_3} = \frac{8}{5},{u_4} = \frac{3}{2},{u_5} = \frac{{11}}{7}$

D. ${u_1} = 1,{u_2} = \frac{5}{4},{u_3} = \frac{7}{5},{u_4} = \frac{7}{2},{u_5} = \frac{{11}}{3}$.

Chọn B

Lời giải

Câu 8. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{n}{{{3^n} – 1}}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là

A. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}$.

B. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}$.

C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{{16}}$.

D. $\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}$.

Lời giải

Chọn B

Câu 9. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}$. Số $\frac{8}{{15}}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8 .

B. 6 .

C. 5 .

D. 7 .

Lời giải

Ta có ${u_n} = \frac{8}{{15}} \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \frac{8}{{15}}\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right) \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7$

Chọn D

Câu 10. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{2n + 5}}{{5n – 4}}$. Số $\frac{7}{{12}}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 6 .

B. 8 .

C. 9 .

D. 10 .

Lời giải

Ta có ${u_n} = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{2n + 5}}{{5n – 4}} = \frac{7}{{12}}\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right) \Leftrightarrow 24n + 60 = 35n – 28 \Leftrightarrow 11n = 88 \Leftrightarrow n = 8$

Chọn B

Câu 11. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{n – 1}}{{{n^2} + 1}}$. Số $\frac{2}{{13}}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. Thứ 3.

B. Thứ tư.

C. Thứ năm.

D. Thứ 6 .

Lời giải

Ta có ${u_n} = \frac{2}{{13}} \Leftrightarrow \frac{{n – 1}}{{{n^2} + 1}} = \frac{2}{{13}}\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right) \Leftrightarrow 13n – 13 = 2{n^2} + 2 \Leftrightarrow 2{n^2} – 13n + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 5\left( n \right)} \\
{n = \frac{3}{2}\left( l \right)}
\end{array}} \right.$

Chọn C

Câu 12. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = {n^3} – 8{n^2} – 5n + 7$. Số -33 là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 5 .

B. 6 .

C. 8 .

D. 9 .

Lời giải

Ta có ${u_n} = – 33 \Leftrightarrow {n^3} – 8{n^2} – 5n + 7 = – 33\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right) \Leftrightarrow {n^3} – 8{n^2} – 5n + 40 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 8\left( n \right)} \\
{n = \pm \sqrt 5 \left( l \right)}
\end{array}} \right.$

Chọn C

Câu 13. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {3^n}$. Tìm số hạng ${u_{2n – 1}}$.

A. ${u_{2n – 1}} = {3^2} \cdot {3^n} – 1$.

B. ${u_{2n – 1}} = {3^n} \cdot {3^{n – 1}}$.

C. ${u_{2n – 1}} = {3^{2n}} – 1$.

D. ${u_{2n – 1}} = {3^{2\left( {n – 1} \right)}}$.

Lời giải

Ta có ${u_{2n – 1}} = {3^{2n – 1}} = {3^n} \cdot {3^{n – 1}}$

Chọn B

Câu 14. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {3^n}$. Số hạng ${u_{n + 1}}$ bằng:

A. ${3^n} + 1$.

B. ${3^n} + 3$.

C. ${3^n} \cdot 3$.

D. $3\left( {n + 1} \right)$.

Lời giải

Ta có ${u_{n + 1}} = {3^{n + 1}} = {3^n} \cdot 3$

Chọn C

Câu 15. Cho dãy $\left( {{{\text{u}}_{\text{n}}}} \right)$ với ${u_n} = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + \frac{1}{{n + 3}} + \ldots + \frac{1}{{2n}}$. Số hạng thứ 4 của dãy $\left( {{{\text{u}}_{\text{n}}}} \right)$ là:

A. $\frac{1}{{16}}$.

B. $\frac{{533}}{{840}}$.

C. $\frac{1}{8}$.

D. $\frac{1}{{32}}$.

Lời giải

${u_4} = \frac{1}{{4 + 1}} + \frac{1}{{4 + 2}} + \frac{1}{{4 + 3}} + \frac{1}{{2.4}} = \frac{{533}}{{840}}$

Chọn B

Câu 16. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n}$. Tính ${u_5}$.

A. 5 .

B. $\frac{6}{5}$.

C. $\frac{5}{6}$.

D. 1 .

Lời giải:

Thay $n = 5$ vào ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n}$ ta được ${u_5} = \frac{{5 + 1}}{5} = \frac{6}{5}$.

Chọn B

Câu 17. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}$ ( $a$ hằng số). Tìm số hạng thứ ${u_{n + 1}}$.

A. ${u_{n + 1}} = \frac{{a \cdot {{(n + 1)}^2}}}{{n + 1}}$.

B. ${u_{n + 1}} = \frac{{a \cdot {{(n + 1)}^2}}}{{n + 2}}$.

C. ${u_{n + 1}} = \frac{{a \cdot {n^2} + 1}}{{n + 1}}$.

D. ${u_{n + 1}} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 2}}$.

Lời giải:

Ta có ${u_{n + 1}} = \frac{{a \cdot {{(n + 1)}^2}}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{a{{(n + 1)}^2}}}{{{{(n + 2)}^2}}}$.

Chọn B

Câu 18. Xét dãy các số tự nhiên lẻ. Số 2017 là số hạng thứ mấy?

A. 2017 .

B. 1008 .

C. 1009 .

D. 2015 .

Lời giải

Ta có: ${u_n} = 2n – 1,{u_n} = 2017 \Rightarrow n = 1009$.

Chọn C

Câu 19. Số $\frac{9}{{41}}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số ${u_n} = \frac{{2n}}{{{n^2} + 1}}$ ?

A. 7 .

B. 8 .

C. 9 .

D. 10 .

Lời giải:

Xét $\frac{{2n}}{{{n^2} + 1}} = \frac{9}{{41}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \\
{9{n^2} – 82n + 9 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow n = 9} \right.$.

Chọn C

Câu 20. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \frac{{2n – 1}}{{n + 1}}$. Số $\frac{3}{2}$ là số hạng thứ mấy của dãy số trên.

A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 6 .

Lời giải:

Nhập vào máy tính biểu thức $\frac{{2X – 1}}{{X + 1}}$, sử dụng chức năng CALC tại các đáp án, ta được $\frac{{2X – 1}}{{X + 1}}$

CALC $5 \to \frac{3}{2}$

Chọn C

Câu 21. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{ – n}}{{n + 1}}$. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $ – \frac{1}{2}; – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}$.

B. $ – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}; – \frac{6}{7}$.

C. $\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}$.

D. $\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}$.

Lời giải

Ta có ${u_1} = – \frac{1}{2};{u_2} = – \frac{2}{3};{u_3} = – \frac{3}{4};{u_4} = – \frac{4}{5};{u_5} = – \frac{5}{6}$. Chọn

Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh.

(ii) Ta thấy dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số âm nên loại các phương án ${\text{C}},{\text{D}}$.

Đáp án đúng là ${\text{A}}$ hoặc ${\text{B}}$.

Ta chỉ cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là được. Chẳng hạng kiểm tra ${u_1}$ thì thấy ${u_1} = – \frac{1}{2}$ nên

Chọn A.

Câu 22. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{n}{{{3^n} – 1}}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}$.

B. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}$.

C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{{16}}$.

D. $\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}$.

Lời giải

Dùng MTCT chức năng CALC: ta có

${u_1} = \frac{1}{2};{u_2} = \frac{2}{{{3^2} – 1}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4};{u_3} = \frac{3}{{{3^3} – 1}} = \frac{3}{{26}}{\text{.\;}}$

Chọn B

Câu 23. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = {2^n}$. Tìm số hạng ${u_{n + 1}}$.

A. ${u_{n + 1}} = {2^n} \cdot 2$.

B. ${u_{n + 1}} = {2^n} + 1$.

C. ${u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right)$.

D. ${u_{n + 1}} = {2^n} + 2$.

Lời giải

Thay $n$ bằng $n + 1$ trong công thức ${u_n}$ ta được: ${u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = 2 \cdot {2^n}$.

Chọn A

Câu 24. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_n} = {5^{n + 1}}$. Tìm số hạng ${u_{n – 1}}$.

A. ${u_{n – 1}} = {5^{n – 1}}$.

B. ${u_{n – 1}} = {5^n}$.

C. ${u_{n – 1}} = {5.5^{n + 1}}$.

D. ${u_{n – 1}} = {5.5^{n – 1}}$.

Lời giải

${u_n} = {5^{n + 1}}\xrightarrow{{n \leftrightarrow n – 1}}{u_{n – 1}} = {5^{\left( {n – 1} \right) + 1}} = {5^n}$.

Chọn B

Câu 25. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_n} = {\left( {\frac{{n – 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}}$. Tìm số hạng ${u_{n + 1}}$.

A. ${u_{n + 1}} = {\left( {\frac{{n – 1}}{{n + 1}}} \right)^{2\left( {n + 1} \right) + 3}}$.

B. ${u_{n + 1}} = {\left( {\frac{{n – 1}}{{n + 1}}} \right)^{2\left( {n – 1} \right) + 3}}$.

C. ${u_{n + 1}} = {\left( {\frac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 3}}$.

D. ${u_{n + 1}} = {\left( {\frac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}$.

Lời giải

${u_n} = {\left( {\frac{{n – 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}}\xrightarrow{{n \leftrightarrow n + 1}}{u_{n + 1}} = {\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right) – 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}}} \right)^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} = {\left( {\frac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}$.

Chọn D.

Câu 26. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{n}{{{2^n} – 1}}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số là

A. $\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}$.

B. $1;\frac{1}{2};\frac{1}{{16}}$

C. $1;\frac{1}{4};\frac{1}{8}$

D. $1;\frac{2}{3};\frac{3}{7}$.

Lời giải

Chọn D.

${u_1} = 1,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{3}{7}$.

Câu 27. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng tổng quát ${u_n} = 1 – \frac{n}{{{n^2} + 1}}$ (với $n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$ ). Số hạng đầu tiên của dãy là:

A. 2 .

B. $\frac{3}{5}$.

C. 0 .

D. $\frac{1}{2}$.

Lời giải

Ta có ${u_1} = 1 – \frac{1}{{{1^2} + 1}} = \frac{1}{2}$.

Chọn D

Câu 28. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = – {n^2} + n + 1$. Số -19 là số hạng thứ mấy của dãy?

A. 5 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn A

Giả sử ${u_n} = – 19,\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$.

Suy ra $ – {n^2} + n + 1 = – 19$

$ \Leftrightarrow – {n^2} + n + 20 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 5} \\
{n = – 4\left( l \right)}
\end{array}} \right.$.

Vậy số -19 là số hạng thứ 5 của dãy.

Câu 29. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_n} = {( – 1)^n}{\text{cos}}\left( {n\pi } \right)$. Giá trị ${u_{99}}$ bằng

A. 99 .

B. -1 .

C. 1 .

D. -99 .

Lời giải

Ta có: ${u_{99}} = {( – 1)^{99}}{\text{cos}}\left( {99\pi } \right) = – {\text{cos}}\left( {98\pi + \pi } \right) = – {\text{cos}}\left( \pi \right) = 1$.

Chọn C

Câu 30. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 2n + 1$ số hạng thứ 2019 của dãy là

A. 4039 .

B. 4390 .

C. 4930 .

D. 4093 .

Chọn A.

Lời giải

Ta có $:{u_{2019}} = 2.2019 + 1 = 4039$.

Câu 31. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 1 + {2^n}$. Khi đó số hạng ${u_{2018}}$ bằng

A. ${2^{2018}}$.

B. $2017 + {2^{2017}}$.

C. $1 + {2^{2018}}$.

D. $2018 + {2^{2018}}$.

Lời giải

Ta có ${u_{2018}} = 1 + {2^{2018}}$.

Chọn C

Câu 32. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n – 2}}{{3n + 1}},{\text{n}} \geqslant 1$. Tìm khẳng định sai.

A. ${u_3} = \frac{1}{{10}}$.

B. ${u_{10}} = \frac{8}{{31}}$.

C. ${u_{21}} = \frac{{19}}{{64}}$.

D. ${u_{50}} = \frac{{47}}{{150}}$.

Lời giải

Ta có: ${u_{50}} = \frac{{50 – 2}}{{3.50 + 1}} = \frac{{48}}{{151}}$.

Câu 33. Cho dãy số ${u_n} = \frac{{{n^2} + 2n – 1}}{{n + 1}}$. Tính ${u_{11}}$.

Chọn D

A. ${u_{11}} = \frac{{182}}{{12}}$.

B. ${u_{11}} = \frac{{1142}}{{12}}$.

C. ${u_{11}} = \frac{{1422}}{{12}}$.

D. ${u_{11}} = \frac{{71}}{6}$.

Lời giải

Ta có: ${u_{11}} = \frac{{{{11}^2} + 2 \cdot 11 – 1}}{{11 + 1}} = \frac{{71}}{6}$.

Chọn D

Câu 34. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng tổng quát là ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{{n^2} + 1}}$. Khi đó $\frac{{39}}{{362}}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 20 .

B. 19 .

C. 22 .

D. 21 .

Lời giải

Ta có $\frac{{2n + 1}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{39}}{{362}} \Leftrightarrow 39{n^2} – 724n – 323 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 19} \\
{n = – \frac{{17}}{{39}}}
\end{array}} \right.$ do $n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$ nên $n = 19$.

Chọn B

Câu 35. Cho dãy số viết dưới dạng khai triển là $1,4,9,16,25$, Trong các công thức sau, công thức nào là công thức tổng quát của dãy số trên.

A. ${u_n} = 3n – 2$.

B. ${u_n} = n + 3$.

C. ${u_n} = {n^2}$.

D. ${u_n} = 2{n^2} – 1$.

Chọn C

Lời giải:

Thử từng đáp án với $n = 1,2,3,4,5$ ta thấy đáp án ${\text{C}}$ đúng.

Câu 36. Cho dãy số có các số hạng đầu là: $8,15,22,29,36, \ldots $. Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

A. ${u_n} = 7n + 7$.

B. ${u_n} = 7n$.

C. ${u_n} = 7n + 1$.

D. ${u_n} = 7n + 3$.

Lời giải:

Ta có:

$8 = 7.1 + 1$

$15 = 7.2 + 1$

$22 = 7.3 + 1$

$29 = 7.4 + 1$

$36 = 7.5 + 1$

Suy ra số hạng tổng quát ${u_n} = 7n + 1$.

Chọn C

Câu 37. Cho dãy số $\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{5}{7}, \ldots $ Công thức tổng quát ${u_n}$ nào là của dãy số đã cho?

A. ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$.

B. ${u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$.

C. ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 3}}\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$.

D. ${u_n} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$.

Lời giải

Viết lại dãy số: $\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{4}{6},\frac{5}{7}, \ldots $

$ \Rightarrow {u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 3}}\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$.

Câu 38. Cho dãy số có các số hạng đầu là: $5;10;15;20;25; \ldots $ Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. ${u_n} = 5\left( {n – 1} \right)$.

B. ${u_n} = 5n$.

C. ${u_n} = 5 + n$.

D. ${u_n} = 5.n + 1$.

Lời giải

Ta có:

$5 = 5.1$

$10 = 5.2$

$15 = 5.3$

$20 = 5.4$

$25 = 5.5$

Suy ra số hạng tổng quát ${u_n} = 5n$.

Chọn B.

Câu 39. Cho dãy số có các số hạng đầu là: $0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5}; \ldots $. Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n}$.

B. ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$.

C. ${u_n} = \frac{{n – 1}}{n}$.

D. ${u_n} = \frac{{{n^2} – n}}{{n + 1}}$.

Lời giải

Ta có:

$0 = \frac{0}{{0 + 1}}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{{1 + 1}}$

$\frac{2}{3} = \frac{2}{{2 + 1}}$

$\frac{3}{4} = \frac{3}{{3 + 1}}$

$\frac{4}{5} = \frac{4}{{4 + 1}}$

Suy ra ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$.

Chọn B.

Câu 40. Cho dãy số có các số hạng đầu là: $ – 1;1; – 1;1; – 1; \ldots $. Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng

A. ${u_n} = 1$.

B. ${u_n} = – 1$.

C. ${u_n} = {( – 1)^n}$.

D. ${u_n} = {( – 1)^{n + 1}}$.

Lời giải

Ta có:

Các số hạng đầu của dãy là ${( – 1)^1};{( – 1)^2};{( – 1)^3};{( – 1)^4};{( – 1)^5}; \ldots \Rightarrow {u_n} = {( – 1)^n}$.

Chọn C

Câu 41. Cho dãy số có các số hạng đầu là: $ – 2;0;2;4;6; \ldots $.Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. ${u_n} = – 2n$.

B. ${u_n} = \left( { – 2} \right) + n$.

C. ${u_n} = \left( { – 2} \right)\left( {n + 1} \right)$.

D. ${u_n} = \left( { – 2} \right) + 2\left( {n – 1} \right)$.

Lời giải

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là $\left( { – 2} \right)$ nên ${u_n} = \left( { – 2} \right) + 2 \cdot \left( {n – 1} \right)$.

Chọn D.

Câu 42. Cho dãy số có các số hạng đầu là: $\frac{1}{3};\frac{1}{{{3^2}}};\frac{1}{{{3^3}}};\frac{1}{{{3^4}}};\frac{1}{{{3^5}}}; \ldots $. Số hạng tổng quát của dãy số này là?

A. ${u_n} = \frac{1}{3}\frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$.

B. ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}$.

C. ${u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}$.

D. ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n – 1}}}}$.

Lời giải

5 số hạng đầu là $\frac{1}{{{3_1}}};\frac{1}{{{3^2}}};\frac{1}{{{3^3}}};\frac{1}{{{3^4}}};\frac{1}{{{3^5}}}; \ldots $ nên ${u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}$.

Chọn C

Câu 43. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = 3n + 6$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải

Ta có ${u_n} = 3n + 6 \Rightarrow {u_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) + 6 = 3n + 9$

Xét hiệu ${u_{n + 1}} – {u_n} = \left( {3n + 9} \right) – \left( {3n + 6} \right) = 3 > 0\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng

Giải nhanh: Dãy này có dạng ${u_n} = an + b;{\text{a}} = 3 > 0$ nên dãy số tăng

Chọn A

Câu 44. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Có số hạng ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}} + 1$

Lời giải

Ta có ${u_n} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}} = 1 + \frac{3}{{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = 1 + \frac{3}{{n + 3}}$

Xét hiệu ${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{3}{{n + 3}} – \frac{3}{{n + 2}} = \frac{{ – 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} < 0\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm

Giải nhanh: Dãy này có dạng ${u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}$

Mẫu $n + 2 > 0\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$ và $ad – bc = 2 – 5 = – 3 < 0$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm

Chọn B

Câu 45. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Dãy số là dãy hữu hạn

Lời giải

Ta có ${u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{{5^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}}}$

Xét tỉ số $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{5^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}}} \cdot \frac{{{n^2}}}{{{5^n}}} = \frac{{5{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 1}}$

$ = \frac{{{n^2} + 2n + 1 + 4{n^2} – 2n – 1}}{{{n^2} + 2n + 1}}$

$ = 1 + \frac{{2n\left( {n – 1} \right) + 2{n^2} – 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} > 1,\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng

Chọn A

Câu 46. Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${u_n}$ sau, dãy số nào tăng?

A. ${u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}$.

B. ${u_n} = \frac{n}{{2{n^2} + 1}}$.

C. ${u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{3n + 2}}$.

D. ${u_n} = {( – 2)^n}\sqrt {{n^2} – 1} $.

Lời giải

Ta xét đáp án A ${u_n} = \frac{n}{{{2^n}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = \frac{1}{2}} \\
{{u_2} = \frac{2}{4}}
\end{array} \Rightarrow {u_1} = {u_2} \Rightarrow } \right.$ Loại A

Ta xét đáp án ${\text{B}}{u_n} = \frac{n}{{2{n^2} + 1}}. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = \frac{1}{3}} \\
{{u_2} = \frac{2}{9}}
\end{array} \Rightarrow {u_1} > {u_2} \Rightarrow } \right.$ Loại B

Ta xét đáp án C ${u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{3n + 2}}.. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = \frac{2}{5} = \frac{{16}}{{40}}} \\
{{u_2} = \frac{5}{8} = \frac{{25}}{{40}}}
\end{array} \Rightarrow {u_1} < {u_2} \Rightarrow } \right.$ Xét tiếp

Ta xét đáp án D ${u_n} = {( – 2)^n}\sqrt {{n^2} – 1} . \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 0} \\
{{u_2} = 4\sqrt 3 } \\
{{u_3} = – 8\sqrt 8 }
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow {u_1} < {u_2} > {u_3}_3 \Rightarrow $ Loại D

Chọn C

Có thể dùng Table trong casio để nhập hàm rồi loại trừ với Start 1; End 20; Step 1

Chú ý: Nếu bài này mà giải theo tự luận thì rất dài ta phải xét ${u_{n + 1}} – {u_n}$ của 4 dãy số

Câu 47. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \sqrt {5n + 2} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải

• Trắc nghiệm: Tính vài số hạng đầu của dãy số rồi suy ra kết quả

• Tự luận:

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = \sqrt {5\left( {n + 1} \right) + 2} – \sqrt {5n + 2} = \sqrt {5n + 7} – \sqrt {5n + 2} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$

Chọn A

Câu 48. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \frac{1}{{3n + 2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Cả A, B, C đều đúng

Lời giải

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{1}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} – \frac{1}{{3n + 2}} = \frac{1}{{3n + 5}} – \frac{1}{{3n + 2}} = – \frac{3}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0$.

Vậy ${u_{n + 1}} – {u_n} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$

Chọn B