Trắc Nghiệm Bài 6 Cấp Số Cộng Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm bài 6 Cấp số cộng mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 7 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

TRẮC NGHIỆM BÀI 6. CẤP SỐ CỘNG

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG

Phương pháp: Dãy $({u_n})$ là cấp số cộng ${u_{n + 1}} – {u_n} = d$ là hằng số

Câu 1. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

A. $\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.

B. $\left( {{u_n}} \right)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = 3} \\
{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.

C. $\left( {{u_n}} \right):1;3;6;10;15; \ldots $.

D. $\left( {{u_n}} \right): – 1;1; – 1;1; – 1; \ldots $.

Lời giải

Dãy số ở đáp án A thỏa ${u_{n + 1}} – {u_n} = 2$ với mọi $n \geqslant 1$ nên là cấp số cộng.

Chọn A

Câu 2. Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?

a) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 4n$.

b) Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = 2{n^2} + 1$.

c) Dãy số $\left( {{w_n}} \right)$ với ${w_n} = \frac{n}{3} – 7$

d) Dãy số $\left( {{t_n}} \right)$ với ${t_n} = \sqrt 5 – 5n$.

A. 4 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Lời giải

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 4n$ có ${u_{n + 1}} = 4\left( {n + 1} \right) = 4n + 4 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 4,\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}} \Rightarrow $ dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d = 4$.

Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = 2{n^2} + 1$ có ${v_1} = 3,{v_2} = 9,{v_3} = 19$ nên dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ không là cấp số cộng.

Dãy số $\left( {{w_n}} \right)$ với ${w_n} = \frac{n}{3} – 7$ có ${w_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{3} – 7 = \frac{n}{3} – 7 + \frac{1}{3} \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{3},\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}} \Rightarrow $ dãy số $\left( {{w_n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d = \frac{1}{3}$.

Dãy số $\left( {{t_n}} \right)$ với ${t_n} = \sqrt 5 – 5n$ có ${t_{n + 1}} = \sqrt 5 – 5n – 5 \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} – 5,\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}} \Rightarrow $ dãy số $\left( {{w_n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d = – 5$.

Vậy có 3 dãy số là cấp số cộng.

Chọn D

Câu 3. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $1; – 2; – 4; – 6; – 8$.

B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12$.

C. $1; – 3; – 7; – 11; – 15$.

D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9$.

Chọn C

Lời giải

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tính chất ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$ thì được gọi là một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số: 1;-3;-7;-11;-15 là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng -4.

Câu 4. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng?

A. $\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}$.

B. $1;1;1;1;1$.

C. $ – 8; – 6; – 4; – 2;0$.

D. $3;1; – 1; – 2; – 4$.

Chọn D

Lời giải

Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số ${\text{d}}$ không đổi.

Đáp án A: Là cấp số cộng với ${u_1} = \frac{1}{2};d = 1$.

Đáp án B: Là cấp số cộng với ${u_1} = 1;d = 0$.

Đáp án C: Là cấp số cộng với ${u_1} = – 8;d = 2$.

Đáp án D: Không là cấp số cộng vì ${u_2} = {u_1} + \left( { – 2} \right);{u_4} = {u_3} + \left( { – 1} \right)$.

Câu 5. Xác định $a$ để 3 số $1 + 2a;2{a^2} – 1; – 2a$ theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của $a$.

B. $a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

C. $a = \pm 3$.

D. $a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Theo công thức cấp số cộng ta có: $2\left( {2{a^2} – 1} \right) = \left( {1 + 2a} \right) + \left( { – 2a} \right) \Leftrightarrow {a^2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Câu 6. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. ${u_n} = 3{n^2} + 2024$.

B. ${u_n} = 3n + 2025$.

C. ${u_n} = {3^n}$.

D. ${u_n} = {( – 3)^{n + 1}}$.

Chọn B

Lời giải

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 2025 – \left( {3n + 2025} \right) = 3 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 3$.

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai $d = 3$.

Câu 7. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

A. $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = \frac{1}{n}$.

B. $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {u_{n – 1}} – 2,\forall n \geqslant 2$.

C. $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {2^n} – 1$.

D. $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 2{u_{n – 1}},\forall n \geqslant 2$.

Chọn B

Lời giải

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {u_{n – 1}} – 2,\forall n \geqslant 2$

Ta có ${u_n} – {u_{n – 1}} = – 2,\forall n \geqslant 2$

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai $d = – 2$

Câu 8. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. ${u_n} = {n^2} + 1,{\text{}}n \geqslant 1$.

B. ${u_n} = {2^n},{\text{}}n \geqslant 1$.

C. ${u_n} = \sqrt {n + 1} ,n \geqslant 1$

D. ${u_n} = 2n – 3,{\text{}}n \geqslant 1$

Chọn D

Lời giải

Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: ${u_{n + 1}} = {u_n} + d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = d,{\text{\;}}\forall n \geqslant 1,d = $ const

Thử các đáp án ta thấy với dãy số: ${u_n} = 2n – 3,n \geqslant 1$ thì:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_n} = 2n – 3} \\
{{u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) – 3 = 2n – 1}
\end{array} \Rightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = 2 = } \right.{\text{const}}$

Câu 9. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:

A. ${u_n} = {3^{n + 1}}$.

B. ${u_n} = \frac{2}{{n + 1}}$.

C. ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} $.

D. ${u_n} = \frac{{5n – 2}}{3}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có dãy ${u_n}$ là cấp số cộng khi ${u_{n + 1}} – {u_n} = d,\forall {\text{n}} \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$ với $d$ là hằng số.

Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy số ta dự đoán đáp án D.

Xét hiệu ${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{5\left( {n + 1} \right) – 2}}{3} – \frac{{5n – 2}}{3} = \frac{5}{3},\forall {\text{n}} \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$.

Vậy dãy ${u_n} = \frac{{5n – 2}}{3}$ là cấp số cộng.

Câu 10. Các dãy số có số hạng tổng quát ${u_n}$. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

A. ${u_n} = 2n + 5$.

B. $49,43,37,31,25$.

C. ${u_n} = 1 + {3^n}$.

D. ${u_n} = {(n + 3)^2} – {n^2}$.

Lời giải

Chọn C

Xét dãy số ${u_n} = 1 + {3^n}$, suy ra ${u_{n + 1}} = 1 + {3^{n + 1}}$. Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = {2.3^n},\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$. Do đó ${u_n} = 1 + {3^n}$ không phải là cấp số cộng.

Câu 11. Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?

A. ${u_n} = n + {2^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$.

B. ${u_n} = 3n + 1,\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$.

C. ${u_n} = {3^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$.

D. ${u_n} = \frac{{3n + 1}}{{n + 2}},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$.

Chọn B

Lời giải

* Với dãy số ${u_n} = n + {2^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$, xét hiệu: ${u_{n + 1}} – {u_n} = n + 1 + {2^{n + 1}} – n – {2^n} = {2^n} + 1,\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$ thay đổi theo $n$ nên ${u_n} = n + {2^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$ không là cấp số cộng. (A loại)

* Với dãy số ${u_n} = 3n + 1,\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$, xét hiệu: ${u_{n + 1}} – {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 – 3n – 1 = 3,\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$ là hằng số nên ${u_n} = 3n + 1,\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$ là cấp số cộng. (B đúng)

* Với dãy số ${u_n} = {3^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$, xét hiệu: ${u_{n + 1}} – {u_n} = {3^{n + 1}} – {3^n} = {2.3^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$ thay đổi theo $n$ nên ${u_n} = {3^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$ không là cấp số cộng. (C loại)

* Với dãy số ${u_n} = \frac{{3n + 1}}{{n + 2}},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$, xét hiệu:

${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{3\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1 + 2}} – \frac{{3n + 1}}{{n + 2}} = \frac{5}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$ thay đổi theo $n$ nên ${u_n} = \frac{{3n + 1}}{{n + 2}},\left( {n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}} \right)$ không là cấp số cộng. (D loại)

Câu 12. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

A. $1;2;3;4;5$.

B. $1;2;4;8;16$.

C. $1; – 1;1; – 1;1$.

D. $1; – 3;9; – 27;81$.

Chọn A

Lời giải

Câu 13. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

A. $\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.

B. $\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = 3} \\
{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.

C. $\left( {{u_n}} \right):1;3;6;10;15; \ldots $.

D. $\left( {{u_n}} \right): – 1;1; – 1;1; – 1; \ldots $.

Chọn A

Lời giải

Dãy số ở đáp án ${\text{A}}$ thỏa ${u_{n + 1}} – {u_n} = 2$ với mọi $n \geqslant 1$ nên là cấp số cộng.

DẠNG 2: TÍNH SỐ HẠNG, CÔNG SAI CẤP SỐ CỘNG, TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU

Phương pháp:

* Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + (n – 1)d$

* Tổng $n$ số hạng đầu ${s_n} = \frac{n}{2}({u_1} + {u_n}) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + (n – 1)d} \right]$

Câu 14. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 9$ và công sai $d = 2$. Giá trị của ${u_2}$ bằng

A. 11 .

B. $\frac{9}{2}$.

C. 18 .

D. 7 .

Chọn A

Lời giải

Ta có: ${u_2} = {u_1} + d = 9 + 2 = 11$.

Câu 15. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 8$ và công sai $d = 3$. Giá trị của ${u_2}$ bằng

A. $\frac{8}{3}$.

B. 24 .

C. 5 .

D. 11 .

Chọn D

Lời giải

Áp dụng công thức ta có: ${u_2} = {u_1} + d = 8 + 3 = 11$.

Câu 16. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 7$ công sai $d = 2$. Giá trị ${u_2}$ bằng

A. 14 .

B. 9 .

C. $\frac{7}{2}$.

D. 5

Chọn B

Lời giải

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng thì ${u_{n + 1}} = {u_n} + d \Rightarrow {u_2} = {u_1} + d = 7 + 2 = 9$

Câu 17. Cho một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = \frac{1}{3},{u_8} = 26$. Tìm công sai $d$

A. $d = \frac{{11}}{3}$.

B. $d = \frac{{10}}{3}$.

C. $d = \frac{3}{{10}}$.

D. $d = \frac{3}{{11}}$.

Chọn A

Lời giải

${u_8} = {u_1} + 7d \Leftrightarrow 26 = \frac{1}{3} + 7d \Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3}{\text{.}}$

Câu 18. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng có ${u_1} = 3$ và công sai $d = 4$. Biết tổng $n$ số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là ${S_n} = 253$. Tìm $n$.

A. 9 .

B. 11 .

C. 12 .

D. 10 .

Chọn B

Ta có ${S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right)}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {2.3 + \left( {n – 1} \right) \cdot 4} \right)}}{2} = 253$

$ \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n – 506 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 11} \\
{n = – \frac{{23}}{2}\left( L \right)}
\end{array}} \right.$

Câu 19. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng tổng quát là ${u_n} = 3n – 2$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng.

A. $d = 3$.

B. $d = 2$.

C. $d = – 2$.

D. $d = – 3$.

Lời giải

Chọn A

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) – 2 – 3n + 2 = 3$

Suy ra $d = 3$ là công sai của cấp số cộng.

Câu 20. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 3,{u_6} = 27$. Tính công sai $d$.

A. $d = 7$.

B. $d = 5$.

C. $d = 8$.

D. $d = 6$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có ${u_6} = {u_1} + 5d = 27 \Rightarrow d = 6$.

Câu 21. Cho dãy số vô hạn $\left\{ {{u_n}} \right\}$ là cấp số cộng có công sai $d$, số hạng đầu ${u_1}$. Hãy chọn khẳng định sai?

A. ${u_5} = \frac{{{u_1} + {u_9}}}{2}$.

B. ${u_n} = {u_{n – 1}} + d,n \geqslant 2$.

C. ${S_{12}} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + 11d} \right)$.

D. ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right) \cdot d,\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$.

Chọn C

Lời giải

Ta có công thức tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: ${S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)d}}{2}$

Suy ra ${S_{12}} = 12{u_1} + \frac{{12 \cdot 11 \cdot d}}{2} = 6\left( {2{u_1} + 11d} \right) \ne \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + 11d} \right)$.

Câu 22. Cho một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 5$ và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công thức của số hạng tổng quát ${u_n}$.

A. ${u_n} = 1 + 4n$.

B. ${u_n} = 5n$.

C. ${u_n} = 3 + 2n$.

D. ${u_n} = 2 + 3n$.

Chọn A

Lời giải

Ta có: ${S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = 5150 \Rightarrow d = 4$.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = 1 + 4n$.

Câu 23. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_4} = 10} \\
{{u_4} + {u_6} = 26}
\end{array}} \right.$ có công sai là

A. $d = – 3$.

B. $d = 3$.

C. $d = 5$.

D. $d = 6$.

Chọn B

Lời giải

Gọi $d$ là công sai.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_4} = 10} \\
{{u_4} + {u_6} = 26}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 3d = 10} \\
{2{u_1} + 8d = 26}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{d = 3}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Vậy công sai $d = 3$.

Câu 24. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_5} = – 15,{u_{20}} = 60$. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

A. ${S_{10}} = – 125$.

B. ${S_{10}} = – 250$.

C. ${S_{10}} = 200$.

D. ${S_{10}} = – 200$.

Chọn A

Lời giải

Gọi ${u_1},d$ lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_5} = – 15} \\
{{u_{20}} = 60}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 4d = – 15} \\
{{u_1} + 19d = 60}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 35} \\
{d = 5}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Vậy ${S_{10}} = \frac{{10}}{2} \cdot \left( {2{u_1} + 9d} \right) = 5 \cdot \left[ {2 \cdot \left( { – 35} \right) + 9 \cdot 5} \right] = – 125$.

Câu 25. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_4} = – 12,{u_{14}} = 18$. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.

A. ${S_{16}} = – 24$.

B. ${S_{16}} = 26$.

C. ${S_{16}} = – 25$.

D. ${S_{16}} = 24$.

Lời giải

Chọn D

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 3d = – 12} \\
{{u_1} + 13d = 18}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 21} \\
{d = 3}
\end{array}} \right.} \right.$.

Khi đó, ${S_{16}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 15d} \right) \cdot 16}}{2} = 8\left( { – 42 + 45} \right) = 24$.

Câu 26. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_5} = 18$ và $4{S_n} = {S_{2n}}$. Tìm số hạng đầu tiên ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng.

A. ${u_1} = 2;d = 4$.

B. ${u_1} = 2;d = 3$.

C. ${u_1} = 2;d = 2$.

D. ${u_1} = 3;d = 2$.

Chọn A

Lời giải

Ta có: ${u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18$ (1).

$4{S_n} = {S_{2n}} \Leftrightarrow 4\left[ {n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)d}}{2}} \right] = \left[ {2n{u_1} + \frac{{2n\left( {2n – 1} \right)d}}{2}} \right] \Leftrightarrow 4{u_1} + 2nd – 2d = 2{u_1} + 2nd – d$

$ \Leftrightarrow 2{u_1} – d = 0$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra ${u_1} = 2;d = 4$.

Câu 27. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 2$ và công sai $d = 3$. Tìm số hạng ${u_{10}}$.

A. ${u_{10}} = – {2.3^9}$.

B. ${u_{10}} = 25$.

C. ${u_{10}} = 28$.

D. ${u_{10}} = – 29$.

Chọn B

Lời giải

Ta có ${u_{10}} = {u_1} + 9d = – 2 + 9.3 = 25$.

Câu 28. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 11$ và công sai $d = 4$. Hãy tính ${u_{99}}$.

A. 401 .

B. 403 .

C. 402 .

D. 404 .

Chọn B

Lời giải

Ta có $:{u_{99}} = {u_1} + 98d = 11 + 98.4 = 403$.

Câu 29. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right),n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$ có số hạng tổng quát ${u_n} = 1 – 3n$. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng

A. -59048 .

B. -59049 .

C. -155 .

D. -310 .

Lời giải

Chọn C

Ta có: ${u_n} = 1 – 3n \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1 – 3.1 = – 2} \\
{{u_{10}} = 1 – 3.10 = – 29}
\end{array}} \right.$.

Áp dụng công thức: $S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{10\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right)}}{2} = – 155$.

Câu 30. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 4;{u_2} = 1$. Giá trị của ${u_{10}}$ bằng

A. ${u_{10}} = 31$.

B. ${u_{10}} = – 23$.

C. ${u_{10}} = – 20$.

D. ${u_{10}} = 15$.

Chọn B.

Lời giải

${u_1} = 4;{u_2} = 1 \Rightarrow d = – 3$. Vậy ${u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9 \cdot \left( { – 3} \right) = – 23$.

Câu 31. Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$, công sai $d = 5$, số hạng thứ tư là

A. ${u_4} = 23$.

B. ${u_4} = 18$.

C. ${u_4} = 8$.

D. ${u_4} = 14$.

Chọn B

Lời giải

${u_4} = {u_1} + 3d = 3 + 5.3 = 18$.

Câu 32. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai $d = 2$. Tính ${u_5}$.

A. 11 .

B. 15 .

C. 12 .

D. 14 .

Chọn A

Lời giải

Ta có ${u_5} = {u_1} + 4d = 3 + 4.2 = 11$.

Câu 33. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 123,{u_3} – {u_{15}} = 84$. Số hạng ${u_{17}}$ bằng

A. 235 .

B. 11 .

C. $96000{\text{c}}{{\text{m}}^3}$.

D. $81000{\text{c}}{{\text{m}}^3}$.

Lời giải

Chọn B.

Giả sử cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có công sai $d$.

Theo giả thiết ta có: ${u_3} – {u_{15}} = 84 \Leftrightarrow {u_1} + 2d – {u_1} – 14d = 84 \Leftrightarrow – 12d = 84 \Leftrightarrow d = – 7$.

Vậy ${u_{17}} = {u_1} + 16d = 123 + 16.\left( { – 7} \right) = 11$.

Câu 34. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ và công sai $d = 2$. Tổng ${S_{10}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} \ldots . + {u_{10}}$ bằng:

A. ${S_{10}} = 110$.

B. ${S_{10}} = 100$.

C. ${S_{10}} = 21$.

D. ${S_{10}} = 19$.

Chọn B

Lời giải

Áp dụng công thức ${S_n} = \frac{{n\left( {{u_n} + {u_1}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]}}{2}$ ta được:

${S_{10}} = \frac{{10\left[ {2 + \left( {10 – 1} \right)2} \right]}}{2} = 100$.

Câu 35. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_2} = 3$ và ${u_4} = 7$. Giá trị của ${u_{15}}$ bằng

A. 27 .

B. 31 .

C. 35 .

D. 29 .

Chọn D

Lời giải

Từ giả thiết ${u_2} = 3$ và ${u_4} = 7$ suy ra ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + d = 3} \\
{{u_1} + 3d = 7}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{d = 2}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy ${u_{15}} = {u_1} + 14d = 29$.

Câu 36. Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng?

A. $6,12,18$.

B. $8,13,18$.

C. $7,12,17$.

D. $6,10,14$.

Chọn C

Lời giải

Xem cấp số cộng cần tìm là $\left( {{u_n}} \right)$ có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_5} = 22}
\end{array}} \right.$. Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{d = 5}
\end{array}} \right.$.

Vậy cấp số cộng cần tìm là $\left( {{u_n}} \right):2,7,12,17,22$.

Câu 37. Cho dãy số ${u_1} = 1;{u_n} = {u_{n – 1}} + 2,(n \in \mathbb{N},n > 1)$. Kết quả nào đúng?

A. ${u_5} = 9$.

B. ${u_3} = 4$.

C. ${u_2} = 2$.

D. ${u_6} = 13$.

Chọn A

Lời giải

Ta có ${u_n} = {u_{n – 1}} + 2 \Rightarrow {u_n} – {u_{n – 1}} = 2$ nên dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai ${\text{d}} = 2$.

Nên theo công thức tổng quát của CSC ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right){\text{d}}$.

Do đó: ${u_2} = {u_1} + {\text{d}} = 1 + 2 = 3;{u_3} = {u_1} + 2{\text{d}} = 1 + 2.2 = 5;{u_5} = {u_1} + 4{\text{d}} = 1 + 4.2 = 9$;

${u_6} = {u_1} + 5{\text{d}} = 1 + 5.2 = 11$.

Vậy ${u_5} = 9$.

Câu 38. Cho cấp số cộng có tổng $n$ số hạng đầu là ${S_n} = 3{n^2} + 4n,n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là

A. ${u_{10}} = 55$.

B. ${u_{10}} = 67$.

C. ${u_{10}} = 61$.

D. ${u_{10}} = 59$.

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết ta có ${S_1} = {u_1} = 3 \cdot {1^2} + 4.1 = 7$.

Ta có ${S_n} = 3{n^2} + 4n = \frac{{n\left( {8 + 6n} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {7 + 6n + 1} \right)}}{2} \Rightarrow {u_n} = 6n + 1 \Rightarrow {u_{10}} = 61$.

Câu 39. Cho cấp số cộng có tổng $n$ số hạng đầu là ${S_n} = 4{n^2} + 3n,n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$ thì số hạng thứ 10 của cấp số cộng là

A. ${u_{10}} = 95$.

B. ${u_{10}} = 71$.

C. ${u_{10}} = 79$.

D. ${u_{10}} = 87$.

Lời giải

Chọn C

Theo công thức ta có $\frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = 4{n^2} + 3n \Leftrightarrow {u_1} + {u_n} = 8n + 6 \Rightarrow {u_n} = – {u_1} + 8n + 6$. Mà ${u_1} = {S_1} = 7$ do đó ${u_{10}} = – 7 + 8.10 + 6 = 79$.

Câu 40. Người ta viết thêm 999 số thực vào giữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng. Tìm số hạng thứ 501.

A. 1009 .

B. $\frac{{2019}}{2}$.

C. 1010 .

D. $\frac{{2021}}{2}$.

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức cấp số cộng ta có:

${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d \Rightarrow {u_{1001}} = {u_1} + \left( {1001 – 1} \right)d \Leftrightarrow 2018 = 1 + \left( {1001 – 1} \right)d \Rightarrow d = \frac{{2017}}{{1000}}{\text{.}}$

Vậy số hạng thứ 501 là ${u_{501}} = {u_1} + \left( {501 – 1} \right)d = \frac{{2019}}{2}$.