Chuyên đề tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có lời giải và đáp án được phát triển từ câu 15 của đề tham khảo môn Toán.
TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề ①: Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước thức chứa lũy thừa.
Phương pháp:
Xác định $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ sao cho $F\left( {{x_0}} \right) = k$
Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$.
Thế điều kiện $F\left( {{x_0}} \right) = k$ tìm hằng số C
Kết luận cho bài toán.
Bài tập minh họa:
| Câu 1: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số$f\left( x \right) = \sin \left( {\pi – 2x} \right)$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.
Ⓐ. $F(x) = \frac{{ – \cos (\pi – 2x)}}{2} + \frac{1}{2}$. Ⓑ. $F(x) = \frac{{\cos (\pi – 2x)}}{2} + \frac{1}{2}$. Ⓒ.$F(x) = \frac{{\cos (\pi – 2x)}}{2} + 1$. Ⓓ. $F(x) = \frac{{\cos (\pi – 2x)}}{2} – \frac{1}{2}$. |
|
| Lời giải
Chọn B $F\left( x \right) = \int {\sin \left( {\pi – 2x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{\cos \left( {\pi – 2x} \right)}}{2} + {\rm{C}}$ $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = 1$$ \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}$ Vậy $F(x) = \frac{{\cos (\pi – 2x)}}{2} + \frac{1}{2}$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Thử đáp án |
Vấn đề ②: Phương pháp đổi biến số.
–Định lí: Cho hàm số $u = u\left( x \right)$ có đạo hàm và liên tục trên trên $K$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ liên tục sao cho $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ xác định trên $K$. Khi đó nếu hàm số $F\left( u \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( u \right)$, tức là: $\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} u’\left( x \right)du = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C$
-Phương pháp:
Từ đó ta có hai cách đổi biến số trong việc tính nguyên hàm như sau:
Đặt biến số: $t = u\left( x \right)$
Suy ra: $dt = du\left( x \right) = u’\left( x \right)dx$ rồi đưa về việc tính nguyên hàm
$I = \int {f\left[ {u\left( x \right)} \right].u’\left( x \right)dx = \int {f\left( t \right)dt} } $ đơn giản hơn.
Bài tập minh họa:
| Câu 1: Tìm họ nguyên hàm $\int {{{\cos }^2}x\sin x\;dx} $ ta được kết quả là
Ⓐ. $ – {\cos ^2}x + C$. Ⓑ. $\frac{1}{3}{\cos ^3}x + C$. Ⓒ.$ – \frac{1}{3}{\cos ^3}x + C$. Ⓓ. $\frac{1}{3}{\sin ^3}x + C$. |
|
| Lời giải
Chọn C $\int {{{\cos }^2}x\sin x\;dx} = – \int {{{\cos }^2}x\;d\left( {\cos x} \right)} = – \frac{1}{3}{\cos ^3}x + C$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu |
| Câu 2: Nguyên hàm $\int {\frac{1}{{{x^2}}}\cos \frac{1}{x}{\rm{d}}x} $ bằng
Ⓐ. $ – \sin \frac{1}{x} + C$. Ⓑ. $\sin \frac{1}{x} + C$. Ⓒ.$ – 2\sin \frac{1}{x} + C$. Ⓓ. $2\sin \frac{1}{x} + C$. |
|
| Lời giải
Chọn A Ta có $\int {\frac{1}{{{x^2}}}\cos \frac{1}{x}{\rm{d}}x} = – \int {\cos \frac{1}{x}{\rm{d}}\left( {\frac{1}{x}} \right) = } – \sin \frac{1}{x} + C$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu |
| Câu 3: Tính nguyên hàm $I = \int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}{\rm{d}}x} $.
Ⓐ. $I = \frac{2}{3}\sqrt {{{(lnx + 1)}^3}} + C$. Ⓑ. $I = \sqrt {lnx + 1} + C$. Ⓒ.$I = \frac{1}{2}\sqrt {{{(lnx + 1)}^2}} + C$. Ⓓ. $I = 2\sqrt {lnx + 1} + C$. |
|
| Lời giải
Chọn D $\int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}{\rm{d}}x = \int {{{(\ln x + 1)}^{\frac{{ – 1}}{2}}}{\rm{d}}(\ln x + 1) = 2\sqrt {\ln x + 1} + C.} } $ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu |
| Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{\sin x}}{{1 + 3\cos x}}$.
Ⓐ. $\int {f(x)} \,{\rm{d}}x = \frac{1}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C$. Ⓑ. $\int {f(x)} \,{\rm{d}}x = \ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C$. Ⓒ.$\int {f(x)} \,{\rm{d}}x = 3\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C$. Ⓓ. $\int {f(x)} \,{\rm{d}}x = \frac{{ – 1}}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C$. |
|
| Lời giải
Chọn D Ta có: $\int {\frac{{\sin x}}{{1 + 3\cos x}}} \,{\rm{d}}x = – \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{1 + 3\cos x}}} \,{\rm{d}}\left( {1 + 3\cos x} \right) = – \frac{1}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu |
Vấn đề ③: Phương pháp từng phần
-Phương pháp:
Cho hai hàm số $u\;$và $v$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.
Khi đó:$\smallint udv = uv – \smallint vdu.$ $\left( * \right)$
Để tính nguyên hàm $\smallint f\left( x \right)dx$ bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn $u,\;v$ sao cho $f\left( x \right)dx = udv$ (chú ý $\;dv = v’\left( x \right)dx$).
Sau đó tính $v = \smallint dv$ và $du = u’.dx$.
Bước 2. Thay vào công thức và tính $\smallint vdu$.
①.Dạng 1. $I = \int {P\left( x \right)\left[ \begin{array}{l}\sin x\\\cos x\end{array} \right]{\rm{d}}x} $, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức
.Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = P\left( x \right)\\{\rm{d}}v = \left[ \begin{array}{l}\sin x\\\cos x\end{array} \right]{\rm{d}}x\end{array} \right.$.
②. Dạng 2. $I = \int {P\left( x \right){e^{ax + b}}{\rm{d}}x} $, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thứ
.Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = P\left( x \right)\\{\rm{d}}v = {e^{ax + b}}{\rm{d}}x\end{array} \right.$.
③. Dạng 3. $I = \int {P\left( x \right)\ln \left( {mx + n} \right){\rm{d}}x} $, trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức
.Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {mx + n} \right)\\{\rm{d}}v = P\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right.$.
. Casio:
Bài tập minh họa:
| Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\cos 2x$ là
Ⓐ. $\frac{{x\sin 2x}}{2} + \frac{{\cos 2x}}{4} + C$. Ⓑ. $x\sin 2x – \frac{{\cos 2x}}{2} + C$. Ⓒ.$x\sin 2x + \frac{{\cos 2x}}{2} + C$. Ⓓ. $\frac{{x\sin 2x}}{2} – \frac{{\cos 2x}}{4} + C$. |
|
| Lời giải
Chọn A $I = \int {x\cos 2x{\rm{d}}x} $. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = \cos 2x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\v = \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right.$. Khi đó $I = \frac{1}{2}x\sin 2x – \frac{1}{2}\int {\sin 2x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio Calc x=3.5
Chọn A |
| Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\ln 2x$ là
Ⓐ. $\frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln 2x – \frac{1}{2}} \right) + C$. Ⓑ. ${x^2}\ln 2x – \frac{{{x^2}}}{2} + C$. Ⓒ.$\frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln 2x – 1} \right) + C$. Ⓓ. $\frac{{{x^2}}}{2}\ln 2x – {x^2} + C$. |
|
| Lời giải
Chọn A Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 2x\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{1}{x}\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$. $\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln 2x – \int {\frac{1}{x}.\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{d}}x} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln 2x – \frac{{{x^2}}}{4} + C = \frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln 2x – \frac{1}{2}} \right) + C\end{array}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio Calc x=1
Chon A |
| Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x.{{\rm{e}}^{2x}}$.
Ⓐ. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x}}\left( {x – \frac{1}{2}} \right) + C$. Ⓑ. $F\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^{2x}}\left( {x – 2} \right) + C$. Ⓒ. $F\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^{2x}}\left( {x – \frac{1}{2}} \right) + C$. Ⓓ. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x}}\left( {x – 2} \right) + C$. |
|
| Lời giải
Chọn A Ta có: $F\left( x \right) = \int {x.{{\rm{e}}^{2x}}dx} $. Đặt $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {\rm{d}}x\\v = \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}x{{\rm{e}}^{2x}} – \int {\frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{2x}}\left( {x – \frac{1}{2}} \right) + C\end{array}$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio Calc: x=2
|
Ⓑ Bài tập rèn luyện
Dạng 03: Công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng
Câu 1: Câu 1. Tìm tất cả nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = x – \frac{1}{x}$.
A. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} – \ln x + C$. B. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} – \ln \left| x \right|$.
C. $F\left( x \right) = 1 – \ln \left| x \right| + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} – \ln \left| x \right| + C$.
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}$. Tìm tất cả các hàm số $F\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{4036}} + 2018$.
A. $\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{2018}} + 2018$. B. $F\left( x \right) = 2017{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018$.
C. $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ và $F\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 2018$. D. $F\left( x \right) = 4034{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018$.
Câu 3: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \frac{1}{{1 – x}}$ và $f\left( 0 \right) = 1$. Tính $f\left( 5 \right)$.
A. $f\left( 5 \right) = 2\ln 2$. B. $f\left( 5 \right) = \ln 4 + 1$.
C. $f\left( 5 \right) = – 2\ln 2 + 1$. D. $f\left( 5 \right) = – 2\ln 2$.
Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 4x$.
A. $\int {f\left( x \right)dx} = – 4\cos 4x + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = 4\cos 4x + C$.
C. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{4}\cos 4x + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = – \frac{1}{4}\cos 4x + C$.
Câu 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}}$.
A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {3^x} + \frac{1}{x} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{x} + C$.
C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {3^x} – \frac{1}{x} + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} – \frac{1}{x} + C$.
Câu 6: Tính nguyên hàm $\int {\frac{1}{{1 + x}}dx} $.
A. $\log \left| {1 + x} \right| + C$. B. $\ln \left( {1 + x} \right) + C$. C. $\ln \left| {1 + x} \right| + C$. D. $ – \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} + C$.
Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số $y = 2x + 1$ là
A. $\frac{{{x^2}}}{2} + x + C$. B. $2x + 1 + C$. C. ${x^2} + x + C$. D. $2x + C$.
Câu 8: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin \left( {2x + 1} \right)$ là:
A. $F(x) = – \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right) + C$. B. $F(x) = \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right) + C$.
C. $F(x) = – \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)$. D. $F(x) = \cos \left( {2x + 1} \right)$.
Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + 1$ là
A. ${x^2} + x$ B. $2$ C. $C$ D. ${x^2} + x + C$
Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số $y = \cos 3x$ là
A. $\frac{{\sin 3x}}{3} + C$($C$ là hằng số) B. $ – \frac{{\sin 3x}}{3} + C$ ($C$ là hằng số)
C. $\sin 3x + C$ ($C$ là hằng số) D. $ – \sin 3x + C$ ($C$ là hằng số)
Câu 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = \sin 2018x$.
A. $\frac{{\cos 2018x}}{{2018}} + C$ B. $ – \frac{{\cos 2018x}}{{2019}} + C$
C. $ – \frac{{\cos 2018x}}{{2018}} + C$ D. $2018\cos 2018x + C$
Câu 12: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = – 4\sin 2x + 2\cos x – {e^x}$ là
A. $ – 8\cos 2x + 2\sin x – {e^x} + C$. B. $8\cos 2x – 2\sin x – {e^x} + C$.
C. $4\cos 2x – 2\sin x – {e^x} + C$. D. $2\cos 2x + 2\sin x – {e^x} + C$.
Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right) = \frac{5}{{4 – 3x}}$.
A. $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{5}{3}\ln \left| {4 – 3x} \right| + C$. B. $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{ – 5}}{3}\ln \left| {4 – 3x} \right| + C$.
C. $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\ln \left| {4 – 3x} \right| + C$. D. $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\ln \left( {4 – 3x} \right) + C$.
Câu 14: Cho $f\left( x \right) = – {x^3} + 3{x^2} – 1$. Một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 1 \right) = 2$ là.
A. $F\left( x \right) = – {x^4} + 3{x^3} – 2{x^2} + 2$. B. $F\left( x \right) = – \frac{{{x^4}}}{4} + {x^3} – x + \frac{9}{4}$.
C. $F\left( x \right) = – \frac{{{x^4}}}{4} + {x^3} – {x^2} – \frac{1}{4}$. D. $F\left( x \right) = – {x^4} + {x^3} – {x^2} + 3$.
Câu 15: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $\int {{e^x}{\rm{dx}}} = {e^x} – C$. B. $\int {\sin {\rm{xdx}}} = \cos x + C$.
C. $\int {2x{\rm{dx}}} = {x^2} + C$. D. $\int {\frac{1}{x}{\rm{dx}}} = \ln \left| x \right| + C$.
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$ là
A. $ – \cos 2x + C$. B. $\cos 2x + C$. C. $ – {\cos ^2}x + C$. D. $ – {\sin ^2}x + C$.
Câu 17: Nguyên hàm $\int {\sin 2x{\rm{d}}x} $ bằng:
A. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $\cos 2x + C$. C. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $ – \cos 2x + C$.
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + \cos x$ là
A. ${e^x} – \sin x + C$. B. $\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} – \sin x + C$. C. ${e^x} + \sin x + C$. D. $\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + \sin x + C$.
Câu 19: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {1000^x}.$
A. $F\left( x \right) = {1000^x} + C$. B. $F\left( x \right) = {3.10^{3x}}\ln 10$.
C. $F\left( x \right) = \frac{{{{1000}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C$.
Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = {2^x}$?
A. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. B. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \ln {2.2^x} + C$.
C. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C$. D. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = {2^x} + C$.
Câu 21: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}$ và $F\left( 0 \right) = 2$ thì $F\left( 1 \right)$ bằng.
A. $\ln 2$. B. $2 + \ln 2$. C. $3$. D. $4$.
Câu 22: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} + 2018$ là
A. ${x^4} + 2018x + C$. B. $\frac{{{x^4}}}{3} + 2018x + C$. C. $12{x^2} + C$. D. ${x^4} + C$.
Câu 23: Tất cả nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ là
A. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$. B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.
C. $\ln \left| {2x + 3} \right| + C$. D. $\frac{1}{{\ln 2}}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.
Câu 24: Một nguyên hàm của hàm số $y = \cos 2x$ là
A. $ – 2\sin 2x$. B. $\frac{1}{2}\sin 2x$. C. $\frac{{ – 1}}{2}\sin 2x$. D. $2\sin 2x$.
Câu 25: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 3x$.
A. $ – \cos 3x + C$. B. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. C. $\cos 3x + C$. D. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$.
Câu 26: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + x$ là
A. ${e^x} + {x^2} + C$ B. ${e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ C. $\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ D. ${e^x} + 1 + C$
Câu 27: Nguyên hàm của hàm số $y = {{\rm{e}}^{ – 3x + 1}}$ là
A. $\frac{1}{3}{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}} + C$. B. $ – \frac{1}{3}{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}} + C$. C. $3{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}} + C$. D. $ – 3{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}} + C$.
Câu 28: Họ nguyên hàm của hàm số $y = \sin 2x$ là
A. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $ – \frac{1}{2}\cos 2x$. C. $ – \cos 2x + C$. D. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$.
Câu 29: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 5{x^4} + 2$ là
A. ${x^5} + 2x + C$. B. $\frac{1}{5}{x^5} + 2x + C$. C. $10x + C$. D. ${x^5} + 2$.
Câu 30: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}\, + \,\sin x$ là
A. $\ln x – \cos x + C$ B. $ – \frac{1}{{{x^2}}} – \cos x + C$ C. $\ln \left| x \right| + \cos x + C$ D. $\ln \left| x \right| – \cos x + C$
Câu 31: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = \sin \left( {2x – 1} \right)$.
A. $\frac{1}{2}\cos \left( {2x – 1} \right) + C$. B. $ – \cos \left( {2x – 1} \right) + C$.
C. $ – \frac{1}{2}\cos \left( {2x – 1} \right) + C$. D. $ – \frac{1}{2}\sin \left( {2x – 1} \right) + C$.
Câu 32: Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^{ – x}}$ là
A. $ – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$ B. $ – {3^{ – x}} + C$ C. ${3^{ – x}}\ln 3 + C$ D. $\frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$
Câu 33: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 6{x^2} – 4x – 3$ là
A. $6{x^3} – 4{x^2} – 3x + C$. B. $12x – 4 + C$.
C. $2\left( {{x^3} – {x^2}} \right) – 3x + C$. D. $2{x^3} – 2{x^2} – 3 + C$.
Câu 34: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos x$ là
A. $ – \sin x + C$. B. $\sin x + C$. C. $\cos x + C$. D. $ – \cos x + C$.
Câu 35: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^{2x}}$.
A. $\int {{2^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^{2x – 1}}}}{{\ln 2}} + C$. B. $\int {{2^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^{2x + 1}}}}{{\ln 2}} + C$.
C. $\int {{2^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $\int {{2^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}}$.
Câu 36: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} – 3{x^2} + 2x + C} $. Hàm số $f\left( x \right)$ là:
A. $f\left( x \right) = {x^4} – {x^3} + {x^2} + Cx + C’$. B. $f\left( x \right) = 12{x^2} – 6x + 2 + C$.
C. $f\left( x \right) = {x^4} – {x^3} + {x^2} + Cx$. D. $f\left( x \right) = 12{x^2} – 6x + 2$.
Câu 37: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin \left( {1 – 3x} \right)$ là:
A. $ – 3\cos \left( {1 – 3x} \right) + C$. B. $\frac{1}{3}\cos \left( {1 – 3x} \right) + C$.
C. $ – \frac{1}{3}\cos \left( {1 – 3x} \right) + C$. D. $3\cos \left( {1 – 3x} \right) + C$.
Câu 38: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + \sin x.$
A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} + \cos x + C$.
C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {x^3} + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} – \cos x + C$.
Câu 39: Tính $\int {\sin 3x{\rm{d}}x} $
A. $ – \cos 3x + C$. B. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. C. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$. D. $\cos 3x + C$.
Câu 40: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x\cos x$ là:
A. $ – \sin x\cos x$. B. $\frac{1}{4}\cos 2x + C$. C. $ – \frac{1}{4}\cos 2x + C$. D. $\frac{1}{4}\sin 2x + C$.
Câu 41: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 3x$ là:
A. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$. B. $\cos 3x + C$. C. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. D. $ – \cos 3x + C$.
Câu 42: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$.
A. $ – 2\cos 2x + C$. B. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$. C. $2\cos 2x + C$. D. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.
Câu 43: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là
A. $F(x) = \ln {x^2} + {2^x}.\ln 2 + C.$ B. $F(x) = \ln {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.
C. $F(x) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $F(x) = \frac{1}{x} + {2^x}.\ln 2 + C$.
Câu 44: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \int {\left( {\sin 2x – \cos 3x} \right)} {\rm{d}}x$.
A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C} $. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \cos 2x – \sin 3x + C} $.
C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \cos 2x + \sin 3x + C} $. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C} $.
Câu 45: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ và $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1$. Tính $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right)$.
A. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} – 1$. B. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} – 1$. C. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$. D. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1$.
Câu 46: Cho $F\left( x \right)$là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{6}{{2x + 1}};F\left( 0 \right) = 1$. Tính $F\left( 1 \right)$
A. $F\left( 1 \right) = \ln 27 + 1$. B. $F\left( 1 \right) = 3\ln 3 – 1$. C. $F\left( 1 \right) = \ln 3 + 1$. D. $F\left( 1 \right) = 3\ln 3$
Câu 47: Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{x – 1}}$ và $F(2) = 1.$ Tính $F(3)$.
A. $F(3) = \ln \frac{3}{2}$. B. $F(3) = \ln 2$. C. $F(3) = \ln 2 + 1$. D. $F(3) = \frac{1}{2}$.
Câu 48: Nếu $f(x) = \int {\sin 2x{\rm{d}}x{\rm{ }}} $ và $f\left( 0 \right) = 1$ thì $f\left( x \right)$ bằng
A. $1 – \frac{{\cos 2x}}{2}$. B. $\cos 2x$. C. $\frac{{1 – \cos 2x}}{2}$. D. $2 – \cos 2x$.
Câu 49: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}$ và $F\left( 0 \right) = 1$. Tính giá trị của $F\left( 2 \right)$.
A. $F\left( 2 \right) = \frac{{\ln 5}}{2}$. B. $F\left( 2 \right) = 1 + \ln 5$. C. $F\left( 2 \right) = \frac{{\ln 5}}{2} – 1$. D. $F\left( 2 \right) = 1 + \frac{{\ln 5}}{2}$.
Câu 50: Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x – 1}}$; biết $F\left( 1 \right) = 2$. Tính $F\left( 2 \right)$.
A. $F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + 2$ B. $F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 – 2$
C. $F\left( 2 \right) = \ln 3 + 2$ D. $F\left( 2 \right) = 2\ln 3 – 2$
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1.D | 2.C | 3.C | 4.D | 5.D | 6.C | 7.C | 8.A | 9.D | 10.A |
| 11.C | 12.D | 13.B | 14.B | 15.B | 16.C | 17.A | 18.C | 19.D | 20.A |
| 21.B | 22.A | 23.B | 24.B | 25.B | 26.B | 27.B | 28.D | 29.A | 30.D |
| 31.C | 32.A | 33.B | 34.B | 35.A | 36.D | 37.B | 38.D | 39.B | 40.C |
| 41.C | 42.D | 43.C | 44.A | 45.B | 46.A | 47.C | 48.C | 49.D | 50.A |
Hướng dẫn giải
Dạng 03: Công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng
Câu 1. Tìm tất cả nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = x – \frac{1}{x}$.
A. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} – \ln x + C$. B. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} – \ln \left| x \right|$.
C. $F\left( x \right) = 1 – \ln \left| x \right| + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} – \ln \left| x \right| + C$.
Lời giải
Ta có $\int {\left( {x – \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}{x^2} – \ln \left| x \right| + C$.
Câu 1: Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}$. Tìm tất cả các hàm số $F\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{4036}} + 2018$.
A. $\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{2018}} + 2018$. B. $F\left( x \right) = 2017{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018$.
C. $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ và $F\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 2018$. D. $F\left( x \right) = 4034{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018$.
Lời giải
Ta có $F\left( x \right) = \int {{{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{4036}} + C$.
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \frac{1}{{1 – x}}$ và $f\left( 0 \right) = 1$. Tính $f\left( 5 \right)$.
A. $f\left( 5 \right) = 2\ln 2$. B. $f\left( 5 \right) = \ln 4 + 1$.
C. $f\left( 5 \right) = – 2\ln 2 + 1$. D. $f\left( 5 \right) = – 2\ln 2$.
Lời giải
Có: $f(x) = \int {\frac{1}{{1 – x}}dx} = – \ln \left| {1 – x} \right| + C$. Mà $f(0) = 1 \Rightarrow C = 1$ nên $f(x) = – ln\left| {1 – x} \right| + 1$.
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 4x$.
A. $\int {f\left( x \right)dx} = – 4\cos 4x + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = 4\cos 4x + C$.
C. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{4}\cos 4x + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = – \frac{1}{4}\cos 4x + C$.
Lời giải
Ta có $\int {\sin 4x{\rm{d}}x} = – \frac{1}{4}\cos 4x + C$.
Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}}$.
A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {3^x} + \frac{1}{x} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{x} + C$.
C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {3^x} – \frac{1}{x} + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} – \frac{1}{x} + C$.
Lời giải
Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{3^x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} – \frac{1}{x} + C$.
Câu 5: Tính nguyên hàm $\int {\frac{1}{{1 + x}}dx} $.
A. $\log \left| {1 + x} \right| + C$. B. $\ln \left( {1 + x} \right) + C$. C. $\ln \left| {1 + x} \right| + C$. D. $ – \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} + C$.
Lời giải
Ta có $\int {\frac{1}{{1 + x}}dx} = \ln \left| {1 + x} \right| + C.$.
Câu 7. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos 2x$.
A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\sin 2x} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – 2\sin 2x} + C$.
C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\sin 2x} + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2\sin 2x} + C$.
Lời giải
Ta có: $\int {\cos 2x{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\sin 2x} + C$.
Câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số $y = 2x + 1$ là
A. $\frac{{{x^2}}}{2} + x + C$. B. $2x + 1 + C$. C. ${x^2} + x + C$. D. $2x + C$.
Lời giải
$\int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^2} + x + C$.
Câu 7: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin \left( {2x + 1} \right)$ là:
A. $F(x) = – \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right) + C$. B. $F(x) = \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right) + C$.
C. $F(x) = – \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)$. D. $F(x) = \cos \left( {2x + 1} \right)$.
Lời giải
$\int {\sin \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {\sin \left( {2x + 1} \right){\rm{d}}\left( {2x + 1} \right)} $$ = – \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right) + C$.
Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + 1$ là
A. ${x^2} + x$ B. $2$ C. $C$ D. ${x^2} + x + C$
Lời giải
Ta có $\int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^2} + x + C$.
Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số $y = \cos 3x$ là
A. $\frac{{\sin 3x}}{3} + C$($C$ là hằng số) B. $ – \frac{{\sin 3x}}{3} + C$ ($C$ là hằng số)
C. $\sin 3x + C$ ($C$ là hằng số) D. $ – \sin 3x + C$ ($C$ là hằng số)
Lời giải
Ta có $\int {\cos 3x{\rm{d}}x = } $$\frac{1}{3}\int {\cos 3x{\rm{d}}\left( {3x} \right) = } $$\frac{1}{3}\sin 3x + C$.
Câu 10: Tìm họ nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = \sin 2018x$.
A. $\frac{{\cos 2018x}}{{2018}} + C$ B. $ – \frac{{\cos 2018x}}{{2019}} + C$
C. $ – \frac{{\cos 2018x}}{{2018}} + C$ D. $2018\cos 2018x + C$
Lời giải
Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có: $\int {\sin 2018x{\rm{d}}x} = – \frac{{\cos 2018x}}{{2018}} + C$.
Câu 11: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = – 4\sin 2x + 2\cos x – {e^x}$ là
A. $ – 8\cos 2x + 2\sin x – {e^x} + C$. B. $8\cos 2x – 2\sin x – {e^x} + C$.
C. $4\cos 2x – 2\sin x – {e^x} + C$. D. $2\cos 2x + 2\sin x – {e^x} + C$.
Lời giải
Ta có $\int {\left( { – 4\sin 2x + 2\cos x – {e^x}} \right)} dx = 2\cos 2x + 2\sin x – {e^x} + C$.
Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right) = \frac{5}{{4 – 3x}}$.
A. $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{5}{3}\ln \left| {4 – 3x} \right| + C$. B. $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{ – 5}}{3}\ln \left| {4 – 3x} \right| + C$.
C. $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\ln \left| {4 – 3x} \right| + C$. D. $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\ln \left( {4 – 3x} \right) + C$.
Lời giải
Ta có $\int {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{5}{{4 – 3x}}{\rm{d}}x} = – \frac{5}{3}\int {\frac{1}{{4 – 3x}}{\rm{d}}\left( {4 – 3x} \right)} = \frac{{ – 5}}{3}\ln \left| {4 – 3x} \right| + C$.
Câu 13: Cho $f\left( x \right) = – {x^3} + 3{x^2} – 1$. Một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 1 \right) = 2$ là.
A. $F\left( x \right) = – {x^4} + 3{x^3} – 2{x^2} + 2$. B. $F\left( x \right) = – \frac{{{x^4}}}{4} + {x^3} – x + \frac{9}{4}$.
C. $F\left( x \right) = – \frac{{{x^4}}}{4} + {x^3} – {x^2} – \frac{1}{4}$. D. $F\left( x \right) = – {x^4} + {x^3} – {x^2} + 3$.
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\left( { – {x^3} + 3{x^2} – 1} \right)} {\rm{d}}x = – \frac{{{x^4}}}{4} + {x^3} – x + C$.
$F\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow C = \frac{9}{4}$.
Câu 14: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $\int {{e^x}{\rm{dx}}} = {e^x} – C$. B. $\int {\sin {\rm{xdx}}} = \cos x + C$.
C. $\int {2x{\rm{dx}}} = {x^2} + C$. D. $\int {\frac{1}{x}{\rm{dx}}} = \ln \left| x \right| + C$.
Lời giải
Ta có: $\int {\sin {\rm{xdx}}} = – \cos x + C$.
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$ là
A. $ – \cos 2x + C$. B. $\cos 2x + C$. C. $ – {\cos ^2}x + C$. D. $ – {\sin ^2}x + C$.
Lời giải
$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\sin 2x{\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\cos 2x + C = – \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) + C = – {\cos ^2}x + C’$.
Câu 16: Nguyên hàm $\int {\sin 2x{\rm{d}}x} $ bằng:
A. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $\cos 2x + C$. C. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $ – \cos 2x + C$.
Lời giải
Ta có $\int {\sin 2x{\rm{d}}x} $$ = \frac{1}{2}\int {\sin 2x{\rm{d2}}x} $$ = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.
Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + \cos x$ là
A. ${e^x} – \sin x + C$. B. $\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} – \sin x + C$. C. ${e^x} + \sin x + C$. D. $\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + \sin x + C$.
Lời giải
Ta có: $\int {\left( {{e^x} + \cos x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + \sin x + C$.
Câu 18: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {1000^x}.$
A. $F\left( x \right) = {1000^x} + C$. B. $F\left( x \right) = {3.10^{3x}}\ln 10$.
C. $F\left( x \right) = \frac{{{{1000}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C$.
Lời giải
Ta có $F\left( x \right) = \int {{{1000}^x}dx} = \frac{{{{1000}^x}}}{{\ln 1000}} + C = \frac{{{{\left( {{{10}^3}} \right)}^x}}}{{\ln {{10}^3}}} + C = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C.$.
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = {2^x}$?
A. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. B. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \ln {2.2^x} + C$.
C. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C$. D. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = {2^x} + C$.
Lời giải
Ta có $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.
Câu 20: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}$ và $F\left( 0 \right) = 2$ thì $F\left( 1 \right)$ bằng.
A. $\ln 2$. B. $2 + \ln 2$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \ln \left| {x + 1} \right| + C$ mà $F\left( 0 \right) = 2$ nên $F\left( x \right) = \ln \left| {x + 1} \right| + 2$.
Do đó $F\left( 1 \right) = 2 + \ln 2$.
Câu 21: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} + 2018$ là
A. ${x^4} + 2018x + C$. B. $\frac{{{x^4}}}{3} + 2018x + C$. C. $12{x^2} + C$. D. ${x^4} + C$.
Lời giải
$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\left( {4{x^3} + 2018} \right){\rm{d}}x} $$ = {x^4} + 2018x + C$.
Câu 22: Tất cả nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ là
A. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$. B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.
C. $\ln \left| {2x + 3} \right| + C$. D. $\frac{1}{{\ln 2}}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.
Lời giải
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\frac{1}{{2x + 3}}{\rm{d}}x} $$ = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.
Câu 23: Một nguyên hàm của hàm số $y = \cos 2x$ là
A. $ – 2\sin 2x$. B. $\frac{1}{2}\sin 2x$. C. $\frac{{ – 1}}{2}\sin 2x$. D. $2\sin 2x$.
Lời giải
$\int {\cos 2x\,{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\sin 2x + C$.
Câu 24: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 3x$.
A. $ – \cos 3x + C$. B. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. C. $\cos 3x + C$. D. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$.
Lời giải
$\int {\sin 3xdx = \frac{{ – 1}}{3}\cos 3x + C} $
Câu 25: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + x$ là
A. ${e^x} + {x^2} + C$ B. ${e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ C. $\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ D. ${e^x} + 1 + C$
Lời giải
Câu 26: Nguyên hàm của hàm số $y = {{\rm{e}}^{ – 3x + 1}}$ là
A. $\frac{1}{3}{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}} + C$. B. $ – \frac{1}{3}{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}} + C$. C. $3{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}} + C$. D. $ – 3{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}} + C$.
Lời giải
Ta có $\int {{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}}{\rm{d}}x} = – \frac{1}{3}{{\rm{e}}^{ – 3x + 1}} + C$.
Câu 27: Họ nguyên hàm của hàm số $y = \sin 2x$ là
A. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $ – \frac{1}{2}\cos 2x$. C. $ – \cos 2x + C$. D. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$.
Lời giải
Ta có $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x$$ = \int {\sin 2x} \frac{1}{2}{\rm{d}}\left( {2x} \right)$$ = \frac{1}{2}\int {\sin 2x} {\rm{d}}\left( {2x} \right)$$ = \frac{1}{2}\cos 2x + C$.
Câu 28: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 5{x^4} + 2$ là
A. ${x^5} + 2x + C$. B. $\frac{1}{5}{x^5} + 2x + C$. C. $10x + C$. D. ${x^5} + 2$.
Lời giải
Ta có: $\int\limits_{}^{} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{}^{} {\left( {5{x^4} + 2} \right){\rm{d}}x} = {x^5} + 2x + C$.
Câu 29: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}\, + \,\sin x$ là
A. $\ln x – \cos x + C$ B. $ – \frac{1}{{{x^2}}} – \cos x + C$ C. $\ln \left| x \right| + \cos x + C$ D. $\ln \left| x \right| – \cos x + C$
Lời giải
Ta có $I = \int {\left( {\frac{1}{x} + \sin x} \right)} dx = \ln \left| x \right| – \cos x + C$
Câu 30: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = \sin \left( {2x – 1} \right)$.
A. $\frac{1}{2}\cos \left( {2x – 1} \right) + C$. B. $ – \cos \left( {2x – 1} \right) + C$.
C. $ – \frac{1}{2}\cos \left( {2x – 1} \right) + C$. D. $ – \frac{1}{2}\sin \left( {2x – 1} \right) + C$.
Lời giải
Ta có: $\int {\sin \left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\cos \left( {2x – 1} \right) + C$.
Câu 31: Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^{ – x}}$ là
A. $ – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$ B. $ – {3^{ – x}} + C$ C. ${3^{ – x}}\ln 3 + C$ D. $\frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$
Lời giải
Ta có $\int {f(x){\rm{d}}x} = \int {{3^{ – x}}{\rm{d}}x} = – \int {{3^{ – x}}{\rm{d}}( – x)} = – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$.
Câu 32: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 6{x^2} – 4x – 3$ là
A. $6{x^3} – 4{x^2} – 3x + C$. B. $12x – 4 + C$.
C. $2\left( {{x^3} – {x^2}} \right) – 3x + C$. D. $2{x^3} – 2{x^2} – 3 + C$.
Lời giải
Ta có $\int {\left( {6{x^2} – 4x – 3} \right){\rm{d}}x} = 2{x^3} – 2{x^2} – 3x + C$.
Câu 33: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos x$ là
A. $ – \sin x + C$. B. $\sin x + C$. C. $\cos x + C$. D. $ – \cos x + C$.
Lời giải
Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\cos x{\rm{d}}x} = \sin x + C$.
Câu 34: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^{2x}}$.
A. $\int {{2^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^{2x – 1}}}}{{\ln 2}} + C$. B. $\int {{2^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^{2x + 1}}}}{{\ln 2}} + C$.
C. $\int {{2^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $\int {{2^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^{2x}}}}{{\ln 2}}$.
Lời giải
Có $\int {{2^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^{2x}}}}{{2\ln 2}} + C = \frac{{{2^{2x – 1}}}}{{\ln 2}} + C$.
Câu 35: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} – 3{x^2} + 2x + C} $. Hàm số $f\left( x \right)$ là:
A. $f\left( x \right) = {x^4} – {x^3} + {x^2} + Cx + C’$. B. $f\left( x \right) = 12{x^2} – 6x + 2 + C$.
C. $f\left( x \right) = {x^4} – {x^3} + {x^2} + Cx$. D. $f\left( x \right) = 12{x^2} – 6x + 2$.
Lời giải
Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} – 3{x^2} + 2x + C} $ nên suy ra.
$f\left( x \right) = {\left( {4{x^3} – 3{x^2} + 2x + C} \right)^\prime } = 12{x^2} – 6x + 2$.
Câu 36: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin \left( {1 – 3x} \right)$ là:
A. $ – 3\cos \left( {1 – 3x} \right) + C$. B. $\frac{1}{3}\cos \left( {1 – 3x} \right) + C$.
C. $ – \frac{1}{3}\cos \left( {1 – 3x} \right) + C$. D. $3\cos \left( {1 – 3x} \right) + C$.
Lời giải
Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin \left( {1 – 3x} \right)$ là $F\left( x \right) = \frac{1}{3}\cos \left( {1 – 3x} \right) + C$.
Câu 37: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + \sin x.$
A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} + \cos x + C$.
C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {x^3} + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} – \cos x + C$.
Lời giải
Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} – \cos x + C$.
Câu 38: Tính $\int {\sin 3x{\rm{d}}x} $
A. $ – \cos 3x + C$. B. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. C. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$. D. $\cos 3x + C$.
Lời giải
Áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm cơ bản.
Dạng 06: Hàm lượng giác
Câu 39: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x\cos x$ là:
A. $ – \sin x\cos x$. B. $\frac{1}{4}\cos 2x + C$. C. $ – \frac{1}{4}\cos 2x + C$. D. $\frac{1}{4}\sin 2x + C$.
Lời giải
$\int {\sin x\cos x{\rm{d}}x = \int {\frac{{\sin 2x{\rm{d}}x}}{2} = – \frac{{\cos 2x}}{4} + C} } $.
Câu 40: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 3x$ là:
A. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$. B. $\cos 3x + C$. C. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. D. $ – \cos 3x + C$.
Ta có $\int {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \int {\sin 3x\,} {\rm{d}}x$$ = – \frac{1}{3}\cos 3x + C$.
Câu 41: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$.
A. $ – 2\cos 2x + C$. B. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$. C. $2\cos 2x + C$. D. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.
Lời giải
$\int {\sin 2x{\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.
Câu 42: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là
A. $F(x) = \ln {x^2} + {2^x}.\ln 2 + C.$ B. $F(x) = \ln {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.
C. $F(x) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $F(x) = \frac{1}{x} + {2^x}.\ln 2 + C$.
Lời giải
$\int {(\frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}} )dx = $$ – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$
Câu 43: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \int {\left( {\sin 2x – \cos 3x} \right)} {\rm{d}}x$.
A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C} $. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \cos 2x – \sin 3x + C} $.
C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \cos 2x + \sin 3x + C} $. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C} $.
Lời giải
$f\left( x \right) = \int {\left( {\sin 2x – \cos 3x} \right)} {\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C$.
Câu 44: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ và $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1$. Tính $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right)$.
A. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} – 1$. B. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} – 1$. C. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$. D. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1$.
$\int {{{\tan }^2}x{\rm{d}}x} = \int {\left[ {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = \tan x – x + C$.
Do $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{4} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} \cdot $
Vậy $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) – \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} – 1$.
Dạng 07: Nguyên hàm có điều kiện
Câu 45: Cho $F\left( x \right)$là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{6}{{2x + 1}};F\left( 0 \right) = 1$. Tính $F\left( 1 \right)$
A. $F\left( 1 \right) = \ln 27 + 1$. B. $F\left( 1 \right) = 3\ln 3 – 1$. C. $F\left( 1 \right) = \ln 3 + 1$. D. $F\left( 1 \right) = 3\ln 3$
Lời giải
Ta có: $F\left( x \right) = \int {\frac{6}{{2x + 1}}dx} = 3\ln \left| {2x + 1} \right| + C$.
$F\left( 0 \right) = 3\ln \left| {2.0 + 1} \right| + 1 + C = 1 \Rightarrow C = 1$.
Suy ra $F\left( x \right) = 3\ln \left| {2x + 1} \right| + 1 \Rightarrow F\left( 1 \right) = 3\ln 3 + 1 = \ln 27 + 1$,
Câu 46: Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{x – 1}}$ và $F(2) = 1.$ Tính $F(3)$.
A. $F(3) = \ln \frac{3}{2}$. B. $F(3) = \ln 2$. C. $F(3) = \ln 2 + 1$. D. $F(3) = \frac{1}{2}$.
Lời giải
Ta có $F\left( x \right) = \ln \left| {x – 1} \right| + C$.
$F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$$ \Rightarrow F\left( 3 \right) = \ln \left| {3 – 1} \right| + 1 = \ln 2 + 1$.
Câu 47: Nếu $f(x) = \int {\sin 2x{\rm{d}}x{\rm{ }}} $ và $f\left( 0 \right) = 1$ thì $f\left( x \right)$ bằng
A. $1 – \frac{{\cos 2x}}{2}$. B. $\cos 2x$. C. $\frac{{1 – \cos 2x}}{2}$. D. $2 – \cos 2x$.
Lời giải
$f(x) = \int {\sin 2x{\rm{d}}x{\rm{ }}} = – \frac{1}{2}{\rm{cos2}}x{\rm{ + C}}$.
$f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
$ \Rightarrow f(x) = – \frac{1}{2}{\rm{cos2}}x{\rm{ + }}\frac{1}{2}$.
Câu 48: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}$ và $F\left( 0 \right) = 1$. Tính giá trị của $F\left( 2 \right)$.
A. $F\left( 2 \right) = \frac{{\ln 5}}{2}$. B. $F\left( 2 \right) = 1 + \ln 5$. C. $F\left( 2 \right) = \frac{{\ln 5}}{2} – 1$. D. $F\left( 2 \right) = 1 + \frac{{\ln 5}}{2}$.
Lời giải
Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$.
Do $F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$. Suy ra $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 1 \Rightarrow F\left( 2 \right) = 1 + \frac{{\ln 5}}{2}$.
Câu 49: Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x – 1}}$; biết $F\left( 1 \right) = 2$. Tính $F\left( 2 \right)$.
A. $F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + 2$ B. $F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 – 2$
C. $F\left( 2 \right) = \ln 3 + 2$ D. $F\left( 2 \right) = 2\ln 3 – 2$
Lời giải
Ta có $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right| + C$; $F\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow C = 2$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right| + 2$$ \Rightarrow F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + 2$.
