Giải Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo Bài 4 Chương 1 Bài Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Một Số Hàm Số Cơ Bản

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = {x^3} + x – 2$;

b) $y = 2{x^3} + {x^2} – \frac{1}{2}x – 3$.

Lời giải

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
Đạo hàm $y’ = 3{x^2} + 1;y’ > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.

Chú ý: Cho hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$.

+ Nếu $a > 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $

+ Nếu $a < 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty $

• Các giới hạn tại vô cực:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $
• Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực trị

3. Đồ thị:

Khi $x = 0$ thì $y = – 2$ nên $\left( {0; – 2} \right)$ là giao điểm của đồ thị với trục $Oy$.

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left( {1;0} \right)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left( {0; – 2} \right)$.

b) $y = 2{x^3} + {x^2} – \frac{1}{2}x – 3$

1. Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y’ = 6{x^2} + 2x – \frac{1}{2};y’ = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{6}$.

Trên các khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{6}; + \infty } \right),y’ > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng $\left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{6}} \right),y’ < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x = – \frac{1}{2}$ và ${y_{CD}} = – \frac{{11}}{4}$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{1}{6}$ và ${y_{Cr}} = – \frac{{329}}{{108}}$.

• Các giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi $x = 0$ thì $y = – 3$ nên $\left( {0; – 3} \right)$ là giao điểm của đồ thị với trục $Oy$.

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} – \frac{1}{2}x – 3 = 0$, phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trụ̣c $Ox$ tại 1 điềm.

Điểm $\left( { – \frac{1}{2}; – \frac{{11}}{4}} \right)$ là cực đại và điểm $\left( {\frac{1}{6}; – \frac{{329}}{{108}}} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left( { – \frac{1}{6}; – \frac{{313}}{{108}}} \right)$.

Câu 2. Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$.

a) Tìm điểm $I$ thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của $I$ là nghiệm của phương trình $y” = 0$.

b) Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Lời giải

a) Xét hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x;$

$y” = 6x – 6;y” = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Với $x = 1$, ta có $y\left( 1 \right) = 0$.

Vậy $I\left( {1;0} \right)$.

b) Ta có $y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Bảng biến thiên:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại là ${y_{CD}} = 2$;

hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$, giá trị cực tiểu là ${y_{CT}} = – 2$.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2; – 2} \right)$.

Ta thấy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{0 + 2}}{2} = 1} \\
{\frac{{2 + \left( { – 2} \right)}}{2} = 0}
\end{array}} \right.$

Vậy điểm $I\left( {1;0} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Câu 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = 3 + \frac{1}{x}$

b) $y = \frac{{x – 3}}{{1 – x}}$.

Lời giải

a) $y = 3 + \frac{1}{x}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$.

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y’ = \frac{{ – 1}}{{{x^2}}}$.

Vì $y’ < 0$ với mọi $x \ne 0$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Tiệm cận:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 3$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3$ .

Suy ra đường thẳng $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty $.

Suy ra đường thẳng $x = 0$ (hay trục $Oy$ ) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow 3 + \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{1}{3}$ nên đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $\left( { – \frac{1}{3};0} \right)$.

Đồ thị hàm số không cắt trục $Oy$.

Ngoài ra, đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( { – 1;2} \right)$ và $\left( {1;4} \right)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( {0;3} \right)$. Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = 0$ và $y = 3$.

b) $y = \frac{{x – 3}}{{1 – x}}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$.

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(1 – x)}^2}}}$.

Vì $y’ < 0$ với mọi $x \ne 1$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoáng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \frac{1}{{ – 1}} = – 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \frac{1}{{ – 1}} = – 1$.

Suy ra đường thẳng $y = – 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty $.

Suy ra đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có $x = 0$ thì $y = – 3$ nên đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $\left( {0; – 3} \right)$.

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x – 3}}{{1 – x}} = 0 \Leftrightarrow x = 3$ nên đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $\left( {3;0} \right)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( {1; – 1} \right)$. Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = 1$ và $y = – 1$.

Câu 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}}$

b) $y = 2x – \frac{1}{{1 – 2x}}$.

Lời giải

a) $y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}} = x – 1 + \frac{1}{{x – 1}}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y’ = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{(x – 1)}^2}}}$. Ta có $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Trên các khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right),y’ > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right),y’ < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${y_{CT}} = 2$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${y_{CD}} = – 2$.

• Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {y – \left( {x – 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{{x – 1}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – \left( {x – 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x – 1}} = 0$.

Suy ra đường thẳng $y = x – 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty $.

Suy $ra$ đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0; – 2} \right)$.

Đồ thị hàm số không cắt trục $Ox$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( {1;0} \right)$.

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = 1$ và $y = x – 1$.

b) $y = 2x – \frac{1}{{1 – 2x}}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y’ = 2 – \frac{2}{{{{(1 – 2x)}^2}}}$.

Ta có $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$.

Trên các khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right),y’ > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng $\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{2};1} \right),y’ < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và ${y_{CT}} = 3$. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${y_{CD}} = – 1$.

• Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {y – 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 1}}{{1 – 2x}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y – 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 1}}{{1 – 2x}} = 0$.

Suy ra đường thẳng $y = 2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ – }} y = – \infty $;$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y = + \infty $.

Suy ra đường thẳng $x = \frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0; – 1} \right)$.

Đồ thị hàm số không cắt trục $Ox$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( {\frac{1}{2};1} \right)$. Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = \frac{1}{2}$ và $y = 2x$.

Câu 5. Cho hàm số $y = \frac{{ – {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Lời giải

a) Xét hàm số $y = \frac{{ – {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = – x + 5 – \frac{9}{{x + 2}}$.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2} \right\}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y’ = \frac{{ – {x^2} – 4x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}}$.

Ta có $y’ = 0 \Leftrightarrow x = – 5$ hoặc $x = 1$.

Trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 5} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right),y’ < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng $\left( { – 5; – 2} \right)$ và $\left( { – 2;1} \right),y’ > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = – 5$ và ${y_{CT}} = 13$. Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và ${y_{CD}} = 1$.

• Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty $

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {y – \left( { – x + 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 9}}{{x + 2}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – \left( { – x + 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 9}}{{x + 2}} = 0$.

Suy ra đường thẳng $y = – x + 5$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} y = + \infty $;$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} y = – \infty $.

Suy ra đường thẳng $x = – 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.

Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại 2 điểm và đi qua các điểm $\left( { – 5;13} \right),\left( {1;1} \right)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( { – 2;7} \right)$.

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = – 2$ và $y = – x + 5$.

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\left( { – 5;13} \right)$ và $\left( {1;1} \right)$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{ – 5 + 1}}{2} = – 2} \\
{\frac{{13 + 1}}{2} = 7}
\end{array}} \right.$.

Vậy tọa độ trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\left( { – 2;7} \right)$, đây chính là tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số.

Suy ra, trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng với tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Câu 6. Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh $6dm$ làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Hình 11

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo $x$ với $x$ là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.

Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải

a) Sau khi cắt bốn góc tấm bia và dựng thành chiếc hộp không nắp, khi đó chiếc hộp dựng thành có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước là $x,6 – 2x$ và $6 – 2x\left( {dm} \right)$.

Rõ ràng $x$ phải thỏa mãn điều kiện $0 < x < 3$.

Thể tích của chiếc hộp là $V\left( x \right) = x{(6 – 2x)^2}\left( {d{m^3}} \right)\;$với $(0 < x < 3)$.

b) Xét hàm số $V\left( x \right) = x{(6 – 2x)^2}$ với $x \in \left( {0;3} \right)$.

1. Tập xác định: $D = \left( {0;3} \right)$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $V’\left( x \right) = {(6 – 2x)^2} + x \cdot 2\left( {6 – 2x} \right) \cdot \left( { – 2} \right)$$ = \left( {6 – 2x} \right)\left( {6 – 6x} \right)$.

Trên khoảng $\left( {0;3} \right)$, ta có $V’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Trên khoảng $\left( {0;1} \right),V’\left( x \right) > 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Trên khoảng $\left( {1;3} \right),V’\left( x \right) < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực đại tại $x = 1,{y_{CD}} = 16$.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Trên khoảng $\left( {0;3} \right)$, đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( {1;16} \right)$ và $\left( {2;8} \right)$.

Đồ thị hàm số $V\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0;3} \right)$ được biểu diễn như hình dưới đây.

Từ đó, ta thấy để tìm được độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất, ta cần tìm ${x_0} \in \left( {0;3} \right)$ sao cho $V\left( {{x_0}} \right)$ có giá trị lớn nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy trong khoàng $\left( {0;3} \right)$ hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại $x = 1$ nên tại đó $V\left( x \right)$ có giá trị lớn nhất là $\mathop {max}\limits_{\left( {0;3} \right)} V(x) = 16$

Vậy độ dài cạnh của hình vuông cần cắt bỏ là $1\,dm$ thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất.