Giải Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo Bài Tập Cuối Chương 2

I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng.

Câu 1. Cho điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j$.

Tọa độ của điểm $M$ là
A. $M\left( {0;2;1} \right)$.
B. $M\left( {1;2;0} \right)$.
C. $M\left( {2;0;1} \right)$.
D. $M\left( {2;1;0} \right)$.

Lời giải

Câu 2. Cho hai điểm $A\left( { – 1;2; – 3} \right)$ và $B\left( {2; – 1;0} \right)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ là
A. $\overrightarrow {AB} = \left( {1; – 1;1} \right)$.
B. $\overrightarrow {AB} = \left( {3;3; – 3} \right)$.
C. $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1; – 3} \right)$.
D. $\overrightarrow {AB} = \left( {3; – 3;3} \right)$.

Lời giải

Câu 3. Cho hai điểm $A\left( {3; – 2;3} \right)$ và $B\left( { – 1;2;5} \right)$. Toạ độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là
A. $I\left( { – 2;2;1} \right)$.
B. $I\left( {1;0;4} \right)$.
C. $I\left( {2;0;8} \right)$.
D. $I\left( {2; – 2; – 1} \right)$.

Lời giải

Câu 4. Cho ba điểm $A\left( {1;3;5} \right),B\left( {2;0;1} \right),C\left( {0;9;0} \right)$. Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là
A. $G\left( {3;12;6} \right)$.
B. $G\left( {1;5;2} \right)$.
C. $G\left( {1;0;5} \right)$.
D. $G\left( {1;4;2} \right)$.

Lời giải

Câu 5. Cho $A\left( {1;2; – 1} \right),B\left( {2;1; – 3} \right),C\left( { – 3;5;1} \right)$. Điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành có toạ độ là
A. $D\left( { – 4;6;3} \right)$.
B. $D\left( { – 2;2;5} \right)$.
C. $D\left( { – 2;8; – 3} \right)$.
D. $D\left( { – 4;6; – 5} \right)$.

Lời giải

Câu 6. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai vectơ $\vec u = \left( {0; – 1;0} \right)$ và $\vec v = \left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)$. Giá trị của $\alpha $ là
A. $\alpha = \frac{\pi }{6}$.
B. $\alpha = \frac{\pi }{3}$.
C. $\alpha = \frac{{2\pi }}{3}$.
D. $\alpha = \frac{\pi }{2}$.

Lời giải

Câu 7. Cho $A\left( {2; – 1;1} \right),B\left( { – 1;3; – 1} \right),C\left( {5; – 3;4} \right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} $ có giá trị là
A. 48 .
B. -48 .
C. 52 .
D. -52 .

Lời giải

Câu 8. Cho hai điểm $A\left( { – 1;2;3} \right),B = \left( {1;0;2} \right)$.

Toạ độ điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {MA} $ là
A. $M\left( { – 2;3;\frac{7}{2}} \right)$.
B. $M\left( { – 2; – 3;\frac{7}{2}} \right)$.
C. $M\left( { – 2;3;7} \right)$.
D. $M\left( { – 4;6;7} \right)$.

Lời giải

II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $OABC \cdot O’A’B’C’$ như Hình 1, biết $B’\left( {2;3;5} \right)$.

a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

b) Tính độ dài đường chéo $OB’$ của hình hộp chữ nhật đó.

Hình 1

Lời giải

Câu 10. Tìm toạ độ của điểm $P$ được biểu diễn trong Hình 2 và tính khoảng cách $OP$.

Hình 2

Lời giải

Câu 11. Cho $\vec u = \left( {2; – 5;3} \right),\vec v = \left( {0;2; – 1} \right)$, $\vec w = \left( {1;7;2} \right)$. Tìm toạ độ của vectơ $\vec a = \vec u – 4\vec v – 2\vec w$.

Lời giải

Câu 12. Cho ba điểm $A\left( {0;1;2} \right),B\left( {1;2;3} \right)$, $C\left( {1; – 2; – 5} \right)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $MB = 3MC$. Tính độ dài đoạn thẳng $AM$.

Lời giải

Câu 13. Cho hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ tạo với nhau góc ${60^ \circ }$. Biết rằng $\left| {\vec u} \right| = 2$ và $\left| {\vec v} \right| = 4$. Tính $\left| {\vec u + \vec v} \right|$.

Lời giải

Câu 14. Cho hai điểm $A\left( {1;2; – 1} \right),B\left( {0; – 2;3} \right)$.

a) Tính độ dài đường cao $AH$ hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $OAB$ với $O$ là gốc tọa độ.

b) Tính diện tích tam giác $OAB$.

Lời giải

Câu 15. Cho biết máy bay $A$ đang bay với vectơ vận tốc $\vec a = \left( {300;200;400} \right)$ (đơn vị: km/h). Máy bay $B$ bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay $A$.

a) Tìm toạ độ vectơ vận tốc $\vec b$ của máy bay $B$.

b) Tính tốc độ của máy bay $B$.

Hình 3

Lời giải

Câu 16. Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tư diện đó.

Một phân tử metan $C{H_4}$ được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện.

Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết $H – C – H$ là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng $109,{5^ \circ }$.

Hình 4

Lời giải