Phương Pháp Xác Định Tính Đúng Sai Một Mệnh Đề Toán 10 Giải Chi Tiết

Phương pháp Xác định tính đúng sai một mệnh đề Toán 10 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. PHƯƠNG PHÁP

Để xét tính đúng, sai của một mệnh đề ta cần nhớ nội dung sau:

⬩ Một câu khẳng định đúng là mệnh đề đúng.

⬩ Một câu khẳng định sai là mệnh đề sai.

⬩ Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai.

II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

1. MỨC ĐỘ 1

A. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau:

M: “$\sqrt 7 $  là một số hữu tỉ”.

N: “Tổng của độ dài hai cạnh một tam giác lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”.

Lời giải

Mệnh đề M là một mệnh đề sai vì $\sqrt 7 $ là số vô tỉ.

Mệnh đề N đúng.

Bài 2. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau:

A: “Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn”.

B: “Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn”.

C: “Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ”.

D: “Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ”.

Lời giải

A là mệnh đề sai. Ví dụ: $1 + 3 = 4$ là số chẵn nhưng $1,\,3$ là số lẻ.

B là mệnh đề sai. Ví dụ: $2.3 = 6$ là số chẵn nhưng $3$ là số lẻ.

C là mệnh đề sai. Ví dụ: $1 + 3 = 4$ là số chẵn nhưng $1,3$ là số lẻ.

D là mệnh đề đúng.

Bài 3. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau:

P: “$ – \pi < – 2 \Leftrightarrow {\pi ^2} < 4.$”.

Q: “$\pi < 4 \Rightarrow {\pi ^2} < 16.$”.

Lời giải

Ta có: ${\pi ^2} < 4 \Leftrightarrow \left| \pi \right| < 2 \Leftrightarrow – 2 < \pi < 2$. Suy ra P sai.

$\pi < 4 \Leftrightarrow {\pi ^2} < 16$. Suy ra Q đúng.

Bài 4. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau:

X: “$\sqrt {23} < 5 \Leftrightarrow 2\sqrt {23} < 10$”.

Y: “$\sqrt {23} < 5 \Rightarrow – 2\sqrt {23} > – 10.$”.

Lời giải

Ta có: $\sqrt {23} < 5 \Leftrightarrow 2\sqrt {23} < 2.5.$ Suy ra X đúng.

$\sqrt {23} < 5 \Rightarrow – 2\sqrt {23} > – 2.5.$ Suy ra Y đúng.

Bài 5. Xét tính đúng, sai của mệnh đề sau:

M: “Số nguyên tố lớn hơn 2 là số lẻ”.

N: “Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5”.

P: “Bình phương tất cả các số nguyên đều chia hết cho 2”.

Lời giải

M là mệnh đề đúng. Vì mọi số lớn hơn 2 mà chẵn thì đêuu chia hết cho 2, nên không thể là số nguyên tố.

N là mệnh đề đúng.

P là mệnh đề sai. Ví dụ: ${3^2} = 9$ nhưng 9 không chia hết cho 2.

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\pi < 3.$ B. ${\pi ^2} > 16.$

C. $\sqrt {35} > 6.$ D. $\sqrt {36} \geqslant 6.$

Lời giải

Chọn D

Ta có$\sqrt {36} = 6{\text{ }} \Rightarrow $ Chọn D.

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. 30 chia hết cho 5. B. 30 là bội số của 5.

C. 30 là ước số của 5. D. 5 là ước số của 30.

Lời giải

Chọn C

Ta có $30:5 = 6$nên A, B, D đúng; C sai.

Câu 3. Mệnh đề nào là sau đây sai?

A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.

B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông$.$

C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi nó là tam giác cân và có một góc bằng $60^\circ .$

Lời giải

Chọn A

Vì hai tam giác đồng dạng thì luôn có các góc bằng nhau nên A sai.

Các mệnh đề B, C, D đúng.

Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

B. Nếu tứ giác $ABCD$ một cặp cạnh đối song song thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

C. Nếu tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

D. Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải

Chọn A

Theo định lý đã học suy ra chọn A.

Các mệnh đề B, C, D sai.

Câu 5. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. 2 là số nguyên tố. B. 1 là số nguyên tố.

C. 5 là số nguyên tố. D. 6 không phải là số nguyên tố.

Lời giải

Chọn B

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Vậy B sai.

2. MỨC ĐỘ 2

A. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai:

a) $P$: “Phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ có nghiệm”.

b) $Q$: “Năm $2020$ là năm nhuận”.

c) $R$: “$327$ chia hết cho $3$”.

Lời giải

a) $\overline P $: “Phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ vô nghiệm”. $\overline P $ là mệnh đề đúng.

b) $\overline Q $: “Năm $2020$ không phải là năm nhuận”. $\overline Q $ là mệnh đề sai.

c) $\overline R $: “$327$ không chia hết cho $3$”.$\overline R $ là mệnh đề sai.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với đường trung tuyến $AM$. Xét hai mệnh đề

$P$: “Tam giác $ABC$ vuông tại $A$”;

$Q$: “Trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$”

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.

b) Phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai.

Lời giải

a) “Nếu tam giác $ABC$ đã cho vuông tại $A$ thì trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$”. Mệnh đề này đúng.

b) “Tam giác $ABC$ đã cho vuông tại $A$ nếu và chỉ nếu trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$”. Mệnh đề này đúng.

Bài 3. Cho hai mệnh đề

$P$: “$42$ chia hết cho $5$”;

$Q$: “$42$ chia hết cho $10$”

Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và cho biết mệnh đề này đúng hay sai, tại sao?

Lời giải

“Do $42$ chia hết cho $5$ nên nó chia hết cho $10$”. Mệnh đề này đúng vì $P$ là mệnh đề sai.

Bài 4. Xét hai mệnh đề

$P$: “$7$là số nguyên tố”;

$Q$: “$6! + 1$ chia hết cho $7$”

Phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ bằng hai cách. Cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

Lời giải

“$7$là số nguyên tố nếu và chỉ nếu $6! + 1$ chia hết cho $7$”

“Điều kiện cần và đủ để $7$là số nguyên tố là $6! + 1$ chia hết cho $7$”

Mệnh đề này đúng vì cả hai mệnh đề $P$ và $Q$ đều đúng.

Bài 5. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề: “$\forall n \in \mathbb{N}$, ${n^2} + n + 1$ là số nguyên tố”.

Mệnh đề phủ định đó đúng hay sai?

Lời giải

Mệnh đề phủ định là: “$\exists n \in \mathbb{N}$, ${n^2} + n + 1$ không phải là số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định đúng. Ví dụ với $n = 4$ thì ${n^2} + n + 1 = 21$ chia hết cho $3$ nên là hợp số.

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. $ – 5 < – 3 \Rightarrow {( – 5)^2} < {( – 3)^2}$ B. $\pi < 4 \Leftrightarrow {\pi ^2} < 16.$

C. $\sqrt {23} < 5 \Rightarrow 2\sqrt {23} < 2.5.$ D. $\sqrt {23} < 5 \Rightarrow – 2\sqrt {23} > – 2.5.$

Lời giải

$ – 5 < – 3$(Đúng)

${( – 5)^2} < {( – 3)^2} \Leftrightarrow 25 < 9$(sai).

Suy ra A sai.

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.

B. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông$.$

C. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

D. Một tam giác là đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng $60^\circ .$

Lời giải

Đáp án A sai vì hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác đồng dạng bằng nhau khi chúng có cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

A. Nếu số nguyên $n$ có chữ số tận cùng là $5$thì số nguyên $n$chia hết cho $5.$

B. Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

C. Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau.

D. Nếu tứ giác $ABCD$ là hình thoi thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Lời giải

Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số nguyên $n$chia hết cho $5$ thì số nguyên$n$có chữ số tận cùng là $5$”. Mệnh đề này sai vì số nguyên $n$ cũng có thể có chữ số tận cùng là $0$.

Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”. Mệnh đề này đúng.

Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. là tam giác đều $ \Leftrightarrow $ Tam giác $ABC$ cân

B. là tam giác đều $ \Leftrightarrow $ Tam giác $ABC$ cân và có một góc

C. là tam giác đều $ \Leftrightarrow $ $ABC$ là tam giác có ba cạnh bằng nhau

D. là tam giác đều $ \Leftrightarrow $ Tam giác $ABC$ có hai góc bằng

Lời giải

Mệnh đề kéo théo là tam giác đều $ \Rightarrow $ Tam giác $ABC$ cân là mệnh đề đúng, nhưng mệnh đề đảo Tam giác $ABC$ cân $ \Rightarrow ABC$ là tam giác đều là mệnh đề sai.

Do đó, 2 mệnh đề là tam giác đều và Tam giác $ABC$ cân không phải là 2 mệnh đề tương đương.

3. MỨC ĐỘ 3

A. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1. Xác định tính đúng, sai của mệnh đề A : “$\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} \geqslant 0$ ” và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Lời giải

Mệnh đề A đúng và là mệnh đề sai.

Bài 2. Dùng kí hiệu $\exists $ và $\forall $ để viết mệnh đề “Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó.”, và xét tính đúng, sai của mệnh đề đó.

Lời giải

là mệnh đề đúng. Các số nguyên đó là $0$ và $1$.

Bài 3. Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề $A:$”$\forall x \in \mathbb{R}, – 4{x^2} + 4x – 1 \leqslant 0$” và xét tính đúng, sai của mệnh đề đó.

Lời giải

Ta có là mệnh đề sai vì

$ – 4{x^2} + 4x – 1 < 0 \Leftrightarrow – {\left( {2x – 1} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{2}$.

Khi đó mệnh đề phủ định là mệnh đề đúng.

Bài 4. Xét mệnh đề chứa biến: . Có bao nhiêu giá trị của biến $x$ để mệnh đề trên là mệnh đề đúng ?

Lời giải

Ta có ${x^3} – 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = 1,x = 2$. Vậy có ba giá trị của $x$.

Bài 5. Viết mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a$ chia hết cho $9$” và xét tính đúng, sai của nó.

Lời giải

Mệnh đề đảo của mệnh đề A là “Nếu $a$ chia hết cho $9$ thì $a$ chia hết cho $3$” là một mệnh đề đúng.

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai

A. $\exists x \in \mathbb{Q}:4{x^2} – 1 = 0$. B. $\exists x \in \mathbb{R}:x > {x^2}$.

C. $\forall n \in \mathbb{N}:{n^2} + 1$ không chia hết cho 3. D. $\forall n \in \mathbb{N}:{n^2} > n$.

Lời giải

Chọn D

Ta chỉ ra được mệnh đề D chỉ đúng với $n < 0$ hoặc $n > 1$ nên mệnh đề D sai.

Câu 2: Cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng ?

A. Nếu tứ giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc đối bù nhau.

B. Nếu $a = b$ thì $a.c = b.c$.

C. Nếu $a > b$ thì ${a^2} > {b^2}$.

D. Nếu số nguyên chia hết cho 10 thì chia hết cho 5 và 2.

Lời giải

Chọn D

“Nếu số nguyên chia hết cho $10$ thì chia hết cho $5$ và $2$” có mệnh đề đảo là “Nếu số nguyên chia hết cho $5$ và $2$ thì chia hết cho $10$” là một mệnh đề đúng.

Câu 3: Dùng kí hiệu $\exists ,\forall $ để phát biểu mệnh đề “Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó”.

A. $\exists n \in \mathbb{R}:\frac{1}{n} > n$ B. $\forall n \in \mathbb{Q}:\frac{1}{n} > n$ C. $\exists n \in \mathbb{Q}:n > \frac{1}{n}$ D. $\exists n \in \mathbb{Q}:\frac{1}{n} > n$.

Lời giải

Chọn D

Câu 4: Hãy chọn mệnh đề đúng:

A. Phương trình: $\frac{{{x^2} – 9}}{{x – 3}} = 0$ có một nghiệm là . B. $\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} + x > 0.$

C. $\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} – x + 2 < 0.$ D. $\forall x \in \mathbb{R}:2{x^2} + 6\sqrt 2 x + 10 > 1.$

Lời giải

Chọn B

Đáp án A sai. Do $x = 3$ không thỏa mãn phương trình.

Đáp án C sai.

Ta có ${x^2} – x + 2 = {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Đáp án D sai. Ta có $2{x^2} + 6\sqrt 2 x + 10 > 1 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 x + 3} \right)^2} > 0$ khi và chỉ khi $x \ne – \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Câu 5: Cho mệnh đề $A=” \forall x \in \mathbb{R}: x^2+x \geq-\frac{1}{4}$ “. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề $A$ và xét tính đúng sai của nó.

A. $\bar{A}=” \exists x \in \mathbb{R}: x^2+x \geq-\frac{1}{4} “$. Đây là mệnh đề đúng.

B. $\bar{A}=” \exists x \in \mathbb{R}: x^2+x \leq-\frac{1}{4} “$. Đây là mệnh đề đúng.

C. $\bar{A}=” \exists x \in \mathbb{R}: x^2+x<-\frac{1}{4} “$. Đây là mệnh đề đúng.

D. $\bar{A}=” \exists x \in \mathbb{R}: x^2+x<-\frac{1}{4}$. Đây là mệnh đề sai.

Lời giải

Chọn D

$A=” \forall x \in \mathbb{R}: x^2+x \geq-\frac{1}{4}$ vậy $\bar{A}=” \exists x \in \mathbb{R}: x^2+x<-\frac{1}{4}$.

Ta có $x^2+x \geq-\frac{1}{4} \Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \geq 0, x \in \mathbb{R}$ là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề $\bar{A}$ là mệnh đề sai.