Trắc Nghiệm Bài 4 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm bài 4 Phương trình lượng giác cơ bản mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Nghiệm của phương trình ${\text{sin}}\frac{x}{2} = 1$ là
A. $x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

Phương trình tương đương ${\text{sin}}\frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Câu 2. Phương trình ${\text{sin}}\left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = 1$ có nghiệm là
A. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi $.
B. $x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi $.
C. $x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi $.
D. $x = \frac{\pi }{3} + 2\pi $.

Lời giải

${\text{sin}}\left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x – \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi {\text{\;}}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Câu 3. Tìm nghiệm của phương trình ${\text{sin}}2x = 1$.
A. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $.
B. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi $.
C. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi $.
D. $x = \frac{{k\pi }}{2}$.

Lời giải

Ta có: ${\text{sin}}2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $.

Câu 4. Tìm nghiệm của phương trình $2{\text{sin}}x – 3 = 0$.
A. $x \in \emptyset $.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {\text{arcsin}}\left( {\frac{3}{2}} \right) + k2\pi } \\
{x = \pi – {\text{arcsin}}\left( {\frac{3}{2}} \right) + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {\text{arcsin}}\left( {\frac{3}{2}} \right) + k2\pi } \\
{x = – {\text{arcsin}}\left( {\frac{3}{2}} \right) + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
D. $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải

Ta có: $2{\text{sin}}x – 3 = 0 \Leftrightarrow {\text{sin}}x = \frac{3}{2} > 1$ nên phương trình vô nghiệm.

Câu 5. Phương trình ${\text{sin}}x = 1$ có một nghiệm là
A. $x = \pi $.
B. $x = – \frac{\pi }{2}$.
C. $x = \frac{\pi }{2}$.
D. $x = \frac{\pi }{3}$.

Lời giải

Ta có ${\text{sin}}x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\text{\;}}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do đó $x = \frac{\pi }{2}$ là một nghiệm của phương trình ${\text{sin}}x = 1$.

Câu 6. Phương trình ${\text{sin}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ có nghiệm là:
A. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $.
B. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi $.
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k\pi } \\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi }
\end{array}} \right.$.
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.$.

Lời giải

Ta có ${\text{sin}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.$, với $k \in \mathbb{Z}$.

Câu 7. Tập nghiệm của phương trình ${\text{sin}}x = {\text{sin}}{30^ \circ }$ là
A. $S = \left\{ {{{30}^ \circ } + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\} \cup \left\{ {{{150}^ \circ } + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
B. $S = \left\{ { \pm {{30}^ \circ } + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
C. $S = \left\{ { \pm {{30}^ \circ } + k{{360}^ \circ }\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
D. $S = \left\{ {{{30}^ \circ } + {{360}^ \circ }\mid k \in \mathbb{Z}} \right\} \cup \left\{ {{{150}^ \circ } + {{360}^ \circ }\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Lời giải

Ta có ${\text{sin}}x = {\text{sin}}{30^ \circ } \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {{30}^ \circ } + k{{360}^ \circ }} \\
{x = {{180}^ \circ } – {{30}^ \circ } + k{{360}^ \circ }}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {{30}^ \circ } + k{{360}^ \circ }} \\
{x = {{150}^ \circ } + k{{360}^ \circ }}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$.

Câu 8. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình ${\text{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1$.
A. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B. $x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
D. $x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

Ta có ${\text{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 9. Phương trình $2{\text{sin}}x – 1 = 0$ có tập nghiệm là:
A. $S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
B. $S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ; – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
C. $S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ; – \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
D. $S = \left\{ {\frac{1}{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Lời giải

Ta có $:2{\text{sin}}x – 1 = 0 \Leftrightarrow {\text{sin}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\text{sin}}x = {\text{sin}}\frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}k \in \mathbb{Z}} \right.$.

Câu 10. Phương trình $2{\text{sin}}x + 1 = 0$ có nghiệm là:
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.$
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.$
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k\pi } \\
{x = – \frac{{7\pi }}{6} + k\pi }
\end{array}} \right.$

Chọn B

Lời giải

Ta có: $2{\text{sin}}x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\text{sin}}x = – \frac{1}{2} = {\text{sin}}\left( { – \frac{\pi }{6}} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Câu 11. Nghiệm của phương trình ${\text{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ là:
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in Z} \right)} \right.$

B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in Z} \right)} \right.$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in Z} \right)} \right.$
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in Z} \right)} \right.$

Lời giải

Chọn D

Phương trình ${\text{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow {\text{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\text{cos}}\left( {\frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in Z} \right)} \right.$.

Câu 12. Nghiệm của phương trình ${\text{cos}}x = – \frac{1}{2}$ là
A. $x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi $
B. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $
C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $
D. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi $

Chọn A

Lời giải

Ta có: ${\text{cos}}x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\text{cos}}x = {\text{cos}}\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi {\text{\;}}\left( {k \in {\text{Z}}} \right)$.

Câu 13. Giải phương trình ${\text{cos}}x = 1$.
A. $x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có ${\text{cos}}x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 14. Phương trình ${\text{cos}}x = {\text{cos}}\frac{\pi }{3}$ có tất cả các nghiệm là:
A. $x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
B. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
D. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn C

Lời giải

Phương trình ${\text{cos}}x = {\text{cos}}\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 15. Phương trình ${\text{cos}}x = 0$ có nghiệm là:
A. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B. $x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D. $x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn A

Lời giải

Theo công thức nghiệm đặc biệt thì ${\text{cos}}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn A.

Câu 16. Nghiệm của phương trình ${\text{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ là
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Lời giải

Phương trình ${\text{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow {\text{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\text{cos}}\left( {\frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Câu 17. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình ${\text{cos}}\frac{x}{3} = 0$.
A. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \frac{{3\pi }}{2} + k6\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = \frac{{3\pi }}{2} + k3\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

${\text{cos}}\frac{x}{3} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{2} + 3k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Câu 18. Phương trình $2{\text{cos}}x – \sqrt 2 = 0$ có tất cả các nghiệm là
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.$.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.$.
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi } \\
{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.$.
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.$.

Lời giải

$2{\text{cos}}x – \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow {\text{cos}}x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}.} \right.$

Câu 19. Giải phương trình $2{\text{cos}}x – 1 = 0$
A. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.$.
C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k\pi } \\
{x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.$

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Ta có $2{\text{cos}}x – 1 = 0 \Leftrightarrow {\text{cos}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 20. Nghiệm của phương trình ${\text{cos}}x = – 1$ là:
A. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

Phương trình ${\text{cos}}x = – 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 21. Phương trình lượng giác: $2{\text{cos}}x + \sqrt 2 = 0$ có nghiệm là
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi }
\end{array}} \right.$.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }
\end{array}} \right.$.
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi } \\
{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }
\end{array}} \right.$.
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi }
\end{array}} \right.$.

Lời giải

Phương trình tương đương với ${\text{cos}}x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {\text{cos}}\frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi $

Chọn B

Câu 22. Tìm công thức nghiệm của phương trình $2{\text{cos}}\left( {x + \alpha } \right) = 1$.
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \alpha + \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = – \alpha + \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \alpha + \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = – \alpha + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \alpha + \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \alpha – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \alpha + \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = – \alpha – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Lời giải

$2{\text{cos}}\left( {x + \alpha } \right) = 1 \Leftrightarrow {\text{cos}}\left( {x + \alpha } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x + \alpha = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \alpha + \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = – \alpha – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).} \right.$

Câu 23. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình ${\text{tan}}x = m,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)$.
A. $x = {\text{arctan}}m + k\pi $ hoặc $x = \pi – {\text{arctan}}m + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B. $x = \pm {\text{arctan}}m + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = {\text{arctan}}m + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D. $x = {\text{arctan}}m + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

Ta có: ${\text{tan}}x = m \Leftrightarrow x = {\text{arctan}}m + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 24. Phương trình ${\text{tan}}x = \sqrt 3 $ có tập nghiệm là
A. $\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
B. $\emptyset $.
C. $\left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
D. $\left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Lời giải

Ta có ${\text{tan}}x = \sqrt 3 \Leftrightarrow {\text{tan}}x = {\text{tan}}\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 25. Nghiệm của phương trình ${\text{tan}}3x = {\text{tan}}x$ là
A. $x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = \frac{{k\pi }}{6},k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

Ta có ${\text{tan}}3x = {\text{tan}}x \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\text{cos}}3x \ne 0} \\
{{\text{cos}}x \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}} \\
{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}} \right.} \right.$

Ta có ${\text{tan}}3x = {\text{tan}}x \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$. Kết hợp điều kiện $\left( {\text{*}} \right)$ suy ra $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Câu 26. Phương trình lượng giác: $\sqrt 3 \cdot {\text{tan}}x + 3 = 0$ có nghiệm là:
A. ${\text{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi $.
B. ${\text{x}} = – \frac{\pi }{3} + k2\pi $.
C. ${\text{x}} = \frac{\pi }{6} + k\pi $.
D. ${\text{x}} = – \frac{\pi }{3} + k\pi $.

Chọn D

Lời giải

$\sqrt 3 \cdot {\text{tan}}x + 3 = 0 \Leftrightarrow {\text{tan}}x = – \sqrt 3 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3} + k\pi $.

Câu 27. Giải phương trình: ${\text{ta}}{{\text{n}}^2}x = 3$ có nghiệm là:
A. ${\text{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi $.
B. ${\text{x}} = – \frac{\pi }{3} + k\pi $.
C. ${\text{x}} = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $.
D. vô nghiệm.

Chọn C

Lời giải

${\text{ta}}{{\text{n}}^2}x = 3 \Leftrightarrow {\text{tan}}x = \pm \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Câu 28. Nghiệm của phương trình $\sqrt 3 + 3{\text{tan}}x = 0$ là:
A. $x = – \frac{\pi }{6} + k\pi $.
B. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $.
C. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi $.
D. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $.

Chọn A

Lời giải

$\sqrt 3 + 3{\text{tan}}x = 0 \Leftrightarrow {\text{tan}}x = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Câu 29. Giải phương trình $\sqrt 3 {\text{tan}}2x – 3 = 0$.
A. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B. $x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D. $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn D

Lời giải

$\sqrt 3 {\text{tan}}2x – 3 = 0 \Leftrightarrow {\text{tan}}2x = \sqrt 3 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Câu 30. Phương trình lượng giác $3{\text{cot}}x – \sqrt 3 = 0$ có nghiệm là:
A. ${\text{x}} = \frac{\pi }{3} + k2\pi $.
B. Vô nghiệm.
C. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi $.
D. ${\text{x}} = \frac{\pi }{3} + k\pi $.

Chọn D

Lời giải

Ta có $3{\text{cot}}x – \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow {\text{cot}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow {\text{cot}}x = {\text{cot}}\left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 31. Phương trình $2{\text{cot}}x – \sqrt 3 = 0$ cónghiệmlà
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in Z} \right)} \right.$.
B. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C. $x = {\text{arccot}}\frac{{\sqrt 3 }}{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$.
D. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$.

Chọn C

Lời giải

Ta có $2{\text{cot}}x – \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow {\text{cot}}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = {\text{arccot}}\frac{{\sqrt 3 }}{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 32. Giải phương trình ${\text{cot}}\left( {3x – 1} \right) = – \sqrt 3 $.
A. $x = \frac{1}{3} + \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$.
B. $x = \frac{1}{3} + \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$.
C. $x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)$.
D. $x = \frac{1}{3} – \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$.

Chọn A

Lời giải

Ta có ${\text{cot}}\left( {3x – 1} \right) = – \sqrt 3 \Leftrightarrow {\text{cot}}\left( {3x – 1} \right) = {\text{cot}}\left( { – \frac{\pi }{6}} \right)$.

$ \Leftrightarrow 3x – 1 = \frac{{ – \pi }}{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} – \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}$

$\xrightarrow{{k = 1}}x = \frac{1}{3} + \frac{\pi }{{18}}{\text{.}}$

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của ${\text{m}}$ để phương trình: $3{\text{sin}}x + m – 1 = 0$ có nghiệm?
A. 7
B. 6
C. 3
D. 5

Lời giải

$3{\text{sin}}x + m – 1 = 0 \Leftrightarrow {\text{sin}}x = \frac{{1 – m}}{3}$, để có nghiệm ta có $ – 1 \leqslant \frac{{1 – m}}{3} \leqslant 1 \Leftrightarrow – 2 \leqslant m \leqslant 4$

Nên có 7 giá trị nguyên từ -2 ; đến 4 .

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${\text{sin}}x = m$ có nghiệm.
A. $m \leqslant 1$.
B. $m \geqslant – 1$.
C. $ – 1 \leqslant m \leqslant 1$.
D. $m \leqslant – 1$.

Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta luôn có $ – 1 \leqslant {\text{sin}}x \leqslant 1$.

Lời giải

Do đó, phương trình ${\text{sin}}x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $ – 1 \leqslant m \leqslant 1$.

Câu 35. Tìm tất các các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${\text{cos}}x – m = 0$ vô nghiệm.
A. $m \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
B. $m \in \left( {1; + \infty } \right)$.
C. $m \in \left[ { – 1;1} \right]$.
D. $m \in \left( { – \infty ; – 1} \right)$.

Lời giải

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình ${\text{cos}}x = a$. – Phương trình có nghiệm khi $\left| a \right| \leqslant 1$.

Phương trình vô nghiệm khi $\left| a \right| > 1$.

Phương trình ${\text{cos}}x – m = 0 \Leftrightarrow {\text{cos}}x = m$.

Do đó, phương trình ${\text{cos}}x = m$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left| m \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < – 1} \\
{m > 1}
\end{array}} \right.$.

Câu 36. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm $M,N$ ?

A. $2{\text{sin}}2x = 1$.
B. $2{\text{cos}}2x = 1$.
C. $2{\text{sin}}x = 1$.
D. $2{\text{cos}}x = 1$.

Chọn C

Lời giải

Ta thấy 2 điểm ${\text{M}}$ và ${\text{N}}$ là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm $\frac{1}{2}$ với đường tròn lượng giác $ \Rightarrow {\text{M}}$ và ${\text{N}}$ là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: ${\text{sin}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2{\text{sin}}x = 1 \Rightarrow $ Đáp án.

Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $3{\text{sin}}2x – {m^2} + 5 = 0$ có nghiệm?
A. 6 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 7 .

Chọn B

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với phương trình ${\text{sin}}2x = \frac{{{m^2} – 5}}{3}$

Vì ${\text{sin}}2x \in \left[ { – 1;1} \right]$ nên $\frac{{{m^2} – 5}}{3} \in \left[ { – 1;1} \right] \Leftrightarrow {m^2} \in \left[ {2;8} \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 2\sqrt 2 \leqslant m \leqslant – \sqrt 2 } \\
{\sqrt 2 \leqslant m \leqslant 2\sqrt 2 }
\end{array}} \right.$

Vậy có 2 giá trị.

Câu 38. Cho phương trình ${\text{cos}}5x = 3m – 5$. Gọi đoạn $\left[ {a;b} \right]$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm. Tính $3a + b$.
A. 5 .
B. -2 .
C. $\frac{{19}}{3}$.
D. 6 .

Lời giải

Phương trình đã cho có nghiệm khi $ – 1 \leqslant 3m – 5 \leqslant 1 \Leftrightarrow 4 \leqslant 3m \leqslant 6 \Leftrightarrow \frac{4}{3} \leqslant m \leqslant 2$.

Khi đó tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm là $\left[ {\frac{4}{3};2} \right]$.

Ta được $a = \frac{4}{3};b = 2.{\text{\;Suy\;ra\;}}3a + b = 6.$

Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${\text{cos}}x = m + 1$ có nghiệm?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. Vô số.

Lời giải

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình ${\text{cos}}x = a$.

• Phương trình có nghiệm khi $\left| a \right| \leqslant 1$.

• Phương trình vô nghiệm khi $\left| a \right| > 1$.

Do đó, phương trình ${\text{cos}}x = m + 1$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left| {m + 1} \right| \leqslant 1$

$ \Leftrightarrow – 1 \leqslant m + 1 \leqslant 1 \Leftrightarrow – 2 \leqslant m \leqslant 0$$\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { – 2; – 1;0} \right\}{\text{.}}$

Câu 40. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${\text{cos}}\left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) – m = 2$ có nghiệm. Tính tổng $T$ của các phần tử trong $S$.
A. $T = 6$.
B. $T = 3$.
C. $T = – 2$.
D. $T = – 6$.

Lời giải

Phương trình ${\text{cos}}\left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) – m = 2 \Leftrightarrow {\text{cos}}\left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) = m + 2$.

Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow – 1 \leqslant m + 2 \leqslant 1 \Leftrightarrow – 3 \leqslant m \leqslant – 1$

$\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}S = \left\{ { – 3; – 2; – 1} \right\} \to T = \left( { – 3} \right) + \left( { – 2} \right) + \left( { – 1} \right) = – 6$.

Câu 41. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\sqrt 3 {\text{cos}}x + m – 1 = 0$ có nghiệm?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. Vô số.

Lời giải

Ta có $\sqrt 3 {\text{cos}}x + m – 1 = 0 \Leftrightarrow {\text{cos}}x = \frac{{1 – m}}{{\sqrt 3 }}$.

Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow – 1 \leqslant \frac{{1 – m}}{{\sqrt 3 }} \leqslant 1 \Leftrightarrow 1 – \sqrt 3 \leqslant m \leqslant 1 + \sqrt 3 $$\xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ {0;1;2} \right\}$.

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số $m$.

Câu 42. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { – 2024;2024} \right]$ để phương trình $m{\text{cos}}x + 1 = 0$ có nghiệm?
A. 2024 .
B. 2025 .
C. 4036 .
D. 4038 .

Lời giải

Ta có $m{\text{cos}}x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\text{cos}}x = – \frac{1}{m}$.

Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow – 1 \leqslant – \frac{1}{m} \leqslant 1 \Leftrightarrow m \geqslant 1$$\xrightarrow[{m \in \left[ { – 2024;2024} \right]}]{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ {1;2;3; \ldots ;2024} \right\}$.

Vậy có tất cả 2024 giá trị nguyên của tham số $m$.

Câu 43. Phương trình ${\text{sin}}2x = {\text{cos}}x$ có nghiệm là
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}} \\
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}} \\
{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}} \\
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Lời giải

${\text{sin}}2x = {\text{cos}}x \Leftrightarrow {\text{sin}}2x = {\text{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}} \\
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).} \right.$

Câu 44. Nghiệm của phương trình ${\text{sin}}3x = {\text{cos}}x$ là
A. $x = k\pi ;x = k\frac{\pi }{2}$.
B. $x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{4} + k\pi $.
C. $x = k2\pi ;x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $.
D. $x = k\pi ;x = \frac{\pi }{4} + k\pi $.

Lời giải

${\text{sin}}3x = {\text{cos}}x \Leftrightarrow {\text{sin}}3x = {\text{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x = \frac{\pi }{2} – x + k2\pi } \\
{3x = \pi  – \frac{\pi }{2} + x + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}} \\
{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }
\end{array}.} \right.} \right.$