Trắc Nghiệm Bài 4 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Mức Vận Dụng Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm bài 4 Phương trình lượng giác cơ bản mức vận dụng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương:

$m{x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + m – 2 = 0\left( 1 \right)$ và $\;\left( {m – 2} \right){x^2} – 3x + {m^2} – 15 = 0\left( 2 \right){\text{.}}$

A. $m = – 5$.

B. $m = – 5;m = 4$.

C. $m = 4$.

D. $m = 5$.

Chọn C

Lời giải

Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

Ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {mx – m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{mx – m + 2 = 0}
\end{array}} \right.$

Do hai phương trình tương đương nên $x = 1$ là nghiệm của phương trình (2)

Thay $x = 1$ vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được

$\left( {m – 2} \right) – 3 + {m^2} – 15 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m – 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 4} \\
{m = – 5}
\end{array}} \right.$

• Với $m = – 5$ : Phương trình (1) trở thành $ – 5{x^2} + 12x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = \frac{7}{5}}
\end{array}} \right.$

Phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành $ – 7{x^2} – 3x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{x = – \frac{{10}}{7}}
\end{array}} \right.$

Suy ra hai phương trình không tương đương

• Với $m = 4$ : Phương trình (1) trở thành $4{x^2} – 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{1}{2}} \\
{x = 1}
\end{array}} \right.$

Phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành $2{x^2} – 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$

Suy ra hai phương trình tương đương

Vậy $m = 4$ thì hai phương trình tương đương.

Câu 2. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương:

$2{x^2} + mx – 2 = 0\left( 1 \right)\;$và $2{x^3} + \left( {m + 4} \right){x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x – 4 = 0\left( 2 \right){\text{.}}$

A. $m = 2$.

B. $m = 3$.

C. $m = – 2$.

D. $m = \frac{1}{2}$.

Chọn B

Lời giải

Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

Ta có $2{x^3} + \left( {m + 4} \right){x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} + mx – 2} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2} \\
{2{x^2} + mx – 2 = 0}
\end{array}} \right.$ Do hai phương trình tương đương nên $x = – 2$ cũng là nghiệm của phương trình (1) Thay $x = – 2$ vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $2{( – 2)^2} + m\left( { – 2} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow m = 3$

• Với $m = 3$ phương trình (1) trở thành $2{x^2} + 3x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$

Phương trình (2) trở thành $2{x^3} + 7{x^2} + 4x – 4 = 0 \Leftrightarrow {(x + 2)^2}\left( {2x + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$ Suy ra phương trình (1) tương đương với phương trình (2)

Vậy $m = 3$.

Câu 3. Cho phương trình $f\left( x \right) = 0$ có tập nghiệm ${S_1} = \left\{ {m;2m – 1} \right\}$ và phương trình $g\left( x \right) = 0$ có tập nghiệm ${S_2} = \left[ {1;2} \right]$. Tìm tất cả các giá trị $m$ để phương trình $g\left( x \right) = 0$ là phương trình hệ quả của phương trình $f\left( x \right) = 0$.

A. $1 < m < \frac{3}{2}$.

B. $1 \leqslant m \leqslant 2$.

C. $m \in \emptyset $.

D. $1 \leqslant m \leqslant \frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Gọi ${S_1},{S_2}$ lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình $f\left( x \right) = 0$ và $g\left( x \right) = 0$.

Ta nói phương trình $g\left( x \right) = 0$ là phương trình hệ quả của phương trình $f\left( x \right) = 0$ khi ${S_1} \subset {S_2}$.

Khi đó ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 \leqslant m \leqslant 2} \\
{1 \leqslant 2m – 1 \leqslant 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 \leqslant m \leqslant 2} \\
{1 \leqslant m \leqslant \frac{3}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow 1 \leqslant m \leqslant \frac{3}{2}} \right.} \right.$.

Câu 4. Xác định $m$ để hai phương trình sau tương đương:

${x^2} + x + 2 = 0\left( 1 \right)$ và ${x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + m – 2 = 0$

A. $m < – 3$

B. $m \leqslant – 3$

C. $m \leqslant – 6$

D. $m \geqslant – 6$

Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm.

Lời giải

Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vô nghiệm, tức là:

$\Delta ‘ = {(m + 1)^2} – \left( {{m^2} + m – 2} \right) < 0 \Leftrightarrow m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < – 3.$

Đáp án A.

Câu 5. Cho phương trình $sin\left( {2x – \frac{\pi }{4}} \right) = sin\left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ của phương trình trên.

A. $\frac{{7\pi }}{2}$.

B. $\pi $.

C. $\frac{{3\pi }}{2}$.

D. $\frac{\pi }{4}$.

Chọn B

Lời giải

Ta có: $sin\left( {2x – \frac{\pi }{4}} \right) = sin\left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \\
{2x – \frac{\pi }{4} = \pi – x – \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pi + k2\pi } \\
{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$.

• Xét $x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do $0 < x < \pi \Leftrightarrow 0 < \pi + k2\pi < \pi \Leftrightarrow – \frac{1}{2} < k < 0$. Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị $k$.

• Xét $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do $0 < x < \pi \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow – \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}$. Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên có hai giá trị $k$ là: $k = 0;k = 1$.

• Với $k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}$.

• Với $k = 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}$.

Do đó trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \frac{\pi }{6}$ và $x = \frac{{5\pi }}{6}$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ là: $\frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi $.

Câu 6. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( {m – 2} \right)sin2x = m + 1$ nhận $x = \frac{\pi }{{12}}$ làm nghiệm.

A. $m \ne 2$.

B. $m = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt 3 – 2}}$.

C. $m = – 4$.

D. $m = – 1$.

Lời giải

Vì $x = \frac{\pi }{{12}}$ là một nghiệm của phương trình $\left( {m – 2} \right)sin2x = m + 1$ nên ta có:

$\left( {m – 2} \right) \cdot sin\frac{{2\pi }}{{12}} = m + 1 \Leftrightarrow \frac{{m – 2}}{2} = m + 1 \Leftrightarrow m – 2 = 2m + 2 \Leftrightarrow m = – 4$.

Vậy $m = – 4$ là giá trị cần tìm.

Câu 7. Phương trình $sin\left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ ?

A. 3 .

B. 4 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải

Ta có

$sin\left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow sin\left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = sin\left( { – \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3x + \frac{\pi }{3} = – \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{3x + \frac{\pi }{3} = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}} \\
{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

+) TH1: $x = – \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 < – \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < k < \frac{{13}}{{12}}$.

Do $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1$. Suy ra trường hợp này có nghiệm $x = \frac{{4\pi }}{9}$ thỏa mãn.

+) TH2: $x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow – \frac{1}{2} < k < \frac{1}{4}$.

Do $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0$. Suy ra trường hợp này có nghiệm $x = \frac{\pi }{3}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Câu 8. Số nghiệm của phương trình $2sinx – \sqrt 3 = 0$ trên đoạn đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$.

A. 3 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 2 .

Chọn D

Lời giải

$2sinx – \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow sinx = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow sinx = sin\left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \pi – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.} \right.$

• Xét $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi $

$0 \leqslant x \leqslant 2\pi \Leftrightarrow 0 \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow – \frac{\pi }{3} \leqslant k2\pi \leqslant \frac{{5\pi }}{3} \Leftrightarrow – \frac{1}{6} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6} \Rightarrow k = 0$

Chỉ có một nghiệm $x = \frac{\pi }{3} \in \left[ {0;2\pi } \right]$

• Xét $x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi $

$0 \leqslant x \leqslant 2\pi \Leftrightarrow 0 \leqslant \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow – \frac{{2\pi }}{3} \leqslant k2\pi \leqslant \frac{{4\pi }}{3} \Leftrightarrow – \frac{1}{3} \leqslant k \leqslant \frac{2}{3} \Rightarrow k = 0$

Chỉ có một nghiệm $x = \frac{{2\pi }}{3} \in \left[ {0;2\pi } \right]$

Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$.

Câu 9. Phương trình $sin\left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ ?

A. 3 .

B. 4 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải

Ta có $sin\left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3x + \frac{\pi }{3} = – \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x = – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \\
{3x = \pi + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}} \\
{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$

Vì $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên $x = \frac{\pi }{3},x = \frac{{4\pi }}{9}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Câu 10. Phương trình $sin2x = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ có hai công thức nghiệm dạng $\alpha + k\pi ,\beta + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ với $\alpha ,\beta $ thuộc khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$. Khi đó, $\alpha + \beta $ bằng

A. $\frac{\pi }{2}$.

B. $ – \frac{\pi }{2}$.

C. $\pi $.

D. $ – \frac{\pi }{3}$.

Lời giải

Ta có: $sin2x = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} = sin\left( { – \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{2x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{\pi }{6} + k\pi } \\
{x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{\pi }{6} + k\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{3} + k\pi }
\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Vậy $\alpha = – \frac{\pi }{6}$ và $\beta = – \frac{\pi }{3}$. Khi đó $\alpha + \beta = – \frac{\pi }{2}$.

Câu 11. Tính tổng $S$ của các nghiệm của phương trình $sinx = \frac{1}{2}$ trên đoạn $\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$.

A. $S = \frac{{5\pi }}{6}$.

B. $S = \frac{\pi }{3}$.

C. $S = \frac{\pi }{2}$.

D. $S = \frac{\pi }{6}$.

Lời giải

Ta có: $sinx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi } \\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Vì $x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ nên $x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow S = \frac{\pi }{6}$.

Câu 12. Số nghiệm của phương trình $sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$ thuộc đoạn $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$ là:

A. 3 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải

Ta có $sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Suy ra số nghiệm thuộc $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$ của phương trình là 1 .

Câu 13. Phương trình $sin5x – sinx = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – 2018\pi ;2018\pi } \right]$ ?

A. 20179 .

B. 20181 .

C. 16144 .

D. 16145 .

Lời giải

Ta có

$sin5x – sinx = 0 \Leftrightarrow sin5x = sinx \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5x = x + k2\pi } \\
{5x = \pi – x + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\frac{\pi }{2}} \\
{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\frac{\pi }{2}}&{\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + m\pi }&{\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)} \\
{x = \frac{\pi }{6} + n\pi }&{\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)}
\end{array}} \right.$

Vì $x \in \left[ { – 2018\pi ;2018\pi } \right]$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 2018\pi \leqslant k\frac{\pi }{2} \leqslant 2018\pi } \\
{ – 2018\pi \leqslant \frac{{5\pi }}{6} + m\pi \leqslant 2018\pi } \\
{ – 2018\pi \leqslant \frac{\pi }{6} + n\pi \leqslant 2018\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 4036 \leqslant k \leqslant 4036} \\
{ – \frac{{12113}}{6} \leqslant m \leqslant \frac{{12103}}{6}} \\
{ – \frac{{12109}}{6} \leqslant n \leqslant \frac{{12107}}{6}}
\end{array}} \right.} \right.$.

Do đó có 8073 giá trị $k,4036$ giá trị $m,4036$ giá trị $n$, suy ra số nghiêm cần tìm là 16145 . nghiệm.

Câu 14. Số nghiệm thực của phương trình $2sinx + 1 = 0$ trên đoạn $\left[ { – \frac{{3\pi }}{2};10\pi } \right]$ là:

A. 12 .

B. 11 .

C. 20 .

D. 21 .

Chọn A

Lời giải

Phương trình tương đương: $sinx = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{ – \pi }}{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

• Với $x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ ta có $ – \frac{{3\pi }}{2} \leqslant – \frac{\pi }{6} + k2\pi \leqslant 10\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{ – 2}}{3} \leqslant k \leqslant \frac{{61}}{{12}},k \in \mathbb{Z}$

$ \Rightarrow 0 \leqslant k \leqslant 5,k \in \mathbb{Z}$. Do đó phương trình có 6 nghiệm.

• Với $x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ ta có $ – \frac{{3\pi }}{2} \leqslant \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \leqslant 10\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{ – 4}}{3} \leqslant k \leqslant \frac{{53}}{{12}},k \in \mathbb{Z}$

$ \Rightarrow – 1 \leqslant k \leqslant 4,k \in \mathbb{Z}$. Do đó, phương trình có 6 nghiệm.

• Rõ ràng các nghiệm này khác nhau từng đôi một, vì nếu

$ – \frac{\pi }{6} + k2\pi = \frac{{7\pi }}{6} + k’2\pi \Leftrightarrow k – k’ = \frac{2}{3}$.

Vậy phương trình có 12 nghiệm trên đoạn $\left[ { – \frac{{3\pi }}{2};10\pi } \right]$.

Câu 15. Phương trình: $2sin\left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) – \sqrt 3 = 0$ có mấy nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;3\pi } \right)$.

A. 8 .

B. 6 .

C. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn B

Ta có $2sin\left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) – \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow 2sin\left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{2x – \frac{\pi }{3} = \pi – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k\pi } \\
{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.$. Vì $x \in \left( {0;3\pi } \right)$ nên $x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{4\pi }}{3};\frac{{7\pi }}{3};\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right\}$.

Câu 16. Tổng các nghiệm thuộc khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình $4{\text{si}}{{\text{n}}^2}2x – 1 = 0$ bằng:

A. $\pi $.

B. $\frac{\pi }{3}$.

C. 0 .

D. $\frac{\pi }{6}$.

Lời giải

Ta có: $4{\text{si}}{{\text{n}}^2}2x – 1 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {1 – cos4x} \right) – 1 = 0 \Leftrightarrow cos4x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do $x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2} \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = \frac{\pi }{{12}}} \\
{{x_2} = – \frac{\pi }{{12}}} \\
{{x_3} = – \frac{{5\pi }}{{12}}} \\
{{x_4} = \frac{{5\pi }}{{12}}}
\end{array} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 0} \right.$.

Câu 17. Biết các nghiệm của phương trình $cos2x = – \frac{1}{2}$ có dạng $x = \frac{\pi }{m} + k\pi $ và $x = – \frac{\pi }{n} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$; với $m,n$ là các số nguyên dương) Khi đó $m + n$ bằng

A. 4 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 6 .

Chọn

D.

Lời giải

$cos2x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow cos2x = cos\frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \\
{2x = – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{3} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$

$ \Rightarrow m + n = 3 + 3 = 6$.

Câu 18. Phương trình $\sqrt 2 cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$ có số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$ là

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Chọn B

Lời giải

Phương trình:

$\sqrt 2 cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x + \frac{\pi }{3} = – \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vì $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ nên $x \in \left\{ {\frac{\pi }{6},\frac{{7\pi }}{6}} \right\}$. Vậy số nghiệm phương trình là 2

Câu 19. Nghiệm lớn nhất của phương trình $2cos2x – 1 = 0$ trong đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là:

A. $x = \pi $.

B. $x = \frac{{11\pi }}{{12}}$.

C. $x = \frac{{2\pi }}{3}$.

D. $x = \frac{{5\pi }}{6}$.

Lời giải

Phương trình $2cos2x – 1 = 0 \Leftrightarrow cos2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{2x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{6} + k\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{6} + k\pi }
\end{array}} \right.} \right.$.

Xét $x \in \left[ {0;\pi } \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 \leqslant \frac{\pi }{6} + k\pi \leqslant \pi } \\
{0 \leqslant – \frac{\pi }{6} + k\pi \leqslant \pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{ – 1}}{6} \leqslant k \leqslant \frac{5}{6}} \\
{\frac{1}{6} \leqslant k \leqslant \frac{7}{6}}
\end{array}} \right.} \right.$ mà $k \in \mathbb{Z}$ suy ra $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 0} \\
{k = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6}} \\
{x = \frac{{5\pi }}{6}}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình $2cos2x – 1 = 0$ trong đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là $x = \frac{{5\pi }}{6}$.

Câu 20. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là nghiệm của phương trình $cos2x = – \frac{1}{2}$.

A. $\left\{ {\frac{{2\pi }}{3},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}} \right\}$.

B. $\left\{ {\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}} \right\};\left\{ {\frac{{2\pi }}{3},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}} \right\}$.

C. $\left\{ {\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}} \right\};\left\{ {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right\}$.

D. $\left\{ {\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}} \right\}$.

Lời giải

Ta có: $cos2x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do số đo một góc là nghiệm nên $x = \frac{\pi }{3}$ hoặc $x = \frac{{2\pi }}{3}$ thỏa mãn.

Vậy tam giác có số đo ba góc là: $\left\{ {\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}} \right\}$ hoặc $\left\{ {\frac{{2\pi }}{3},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}} \right\}$.

Câu 21. Số nghiệm của phương trình $cosx = \frac{1}{2}$ thuộc đoạn $\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$ là?

A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 1 .

Lời giải

Ta có $cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.$.

Xét $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi $, do $x \in \left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$ và $k \in \mathbb{Z}$ nên $ – 2\pi \leqslant \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Rightarrow k = – 1;k = 0$.

Xét $x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi $, do $x \in \left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$ và $k \in \mathbb{Z}$ nên $ – 2\pi \leqslant – \frac{\pi }{3} + k2\pi \leqslant 2\pi \Rightarrow k = 1;k = 0$.

Vậy phương trình có 4 nghiệm trên đoạn $\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$.

Câu 22. Phương trình $cos2x + cosx = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( { – \pi ;\pi } \right)$ ?

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải

Ta có $cos2x + cosx = 0 \Leftrightarrow cos2x = cos\left( {\pi + x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pi + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vì $ – \pi < x < \pi \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{3}} \\
{x = \frac{\pi }{3}}
\end{array}} \right.$.

Câu 23. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $cos2x – cosx = 0$ trên khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$ bằng $T$. Khi đó $T$ có giá trị là:

A. $T = \frac{{7\pi }}{6}$.

B. $T = 2\pi $.

C. $T = \frac{{4\pi }}{3}$.

D. $T = \pi $.

Lời giải

Ta có: $cos2x – cosx = 0 \Leftrightarrow cos2x = cosx$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = x + k2\pi } \\
{2x = – x + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = \frac{{k2\pi }}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{k2\pi }}{3};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$.

Vì $x \in \left( {0;2\pi } \right)$ nên $0 < \frac{{k2\pi }}{3} < 2\pi \Leftrightarrow 0 < k < 3$.

Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3};x = \frac{{4\pi }}{3}$.

Vậy $T = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{4\pi }}{3} = 2\pi $.

Câu 24. Số nghiệm của phương trình $2cosx = \sqrt 3 $ trên đoạn $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là

A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Chọn D

Lời giải

$2cosx = \sqrt 3 \Leftrightarrow cosx = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Mà $x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ và $k \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}$.

Câu 25. Tính tổng các nghiệm trong đoạn $\left[ {0;30} \right]$ của phương trình: $tanx = tan3x$

A. $55\pi $.

B. $\frac{{171\pi }}{2}$.

C. $45\pi $.

D. $\frac{{190\pi }}{2}$.

Chọn C

Lời giải

Điều kiện để phương trình có nghĩa $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{cosx \ne 0} \\
{cos3x \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \\
{x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}}
\end{array}\left( {\text{*}} \right)} \right.} \right.$

Khi đó, phương trình $3x = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$ so sánh với đk

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = \pi + k2\pi }
\end{array},x = \in \left[ {0;30} \right] \Rightarrow k = \left\{ {0; \ldots ;4} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ; \ldots ;9\pi } \right\}} \right.$

Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn $\left[ {0;30} \right]$ của phương trình là: $45\pi $.

Câu 26. Nghiệm của phương trình $tanx = \frac{{ – \sqrt 3 }}{3}$ được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

A. Điểm $F$, điểm $D$.

B. Điểm $C$, điểm $F$.

C. Điểm $C$, điểm $D$, điểm $E$, điểm $F$.

D. Điểm $E$, điểm $F$.

Lời giải

$tanx = \frac{{ – \sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Với $0 < x < 2\pi \Rightarrow x = – \frac{\pi }{3}$ hoặc $x = \frac{{2\pi }}{3}$.

Câu 27. Số nghiệm của phương trình $tanx = tan\frac{{3\pi }}{{11}}$ trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)$ là?

A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn C

Ta có $tanx = tan\frac{{3\pi }}{{11}} \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{{11}} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$.

Do $x \in \left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right) \to \frac{\pi }{4} < \frac{{3\pi }}{{11}} + k\pi < 2\pi $

$\xrightarrow[{Xap\,xi}]{{CASIO}} – 0,027\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \left\{ {0;1} \right\}$

Câu 28. Tổng các nghiệm của phương trình $tan5x – tanx = 0$ trên nửa khoảng $\left[ {0;\pi } \right)$ bằng:

A. $\frac{{5\pi }}{2}$.

B. $\pi $.

C. $\frac{{3\pi }}{2}$.

D. $2\pi $.

Chọn C

Lời giải:

Ta có: $tan5x – tanx = 0 \Leftrightarrow tan5x = tanx \Leftrightarrow 5x = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x \in \left[ {0;\pi } \right)$, suy ra $0 \leqslant \frac{{k\pi }}{4} < \pi \Leftrightarrow 0 \leqslant k < 4\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$

Suy ra các nghiệm của phương trình trên $\left[ {0;\pi } \right)$ là $\left\{ {0;\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}$

Suy ra $0 + \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2} + \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{3\pi }}{2}$

Câu 29. Tính tổng các nghiệm của phương trình $tan\left( {2x – {{15}^ \circ }} \right) = 1$ trên khoảng $\left( { – {{90}^ \circ };{{90}^ \circ }} \right)$ bằng)

A. ${0^0}$.

B. $ – {30^0}$.

C. ${30^ \circ }$.

D. $ – {60^ \circ }$.

Chọn A

Lời giải

Ta có $tan\left( {2x – {{15}^ \circ }} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x – {15^ \circ } = {45^ \circ } + k{180^ \circ } \Leftrightarrow x = {30^ \circ } + k{90^ \circ }\left( {k \in Z} \right)$.

Do $x \in \left( { – {{90}^ \circ };{{90}^ \circ }} \right) \to – {90^ \circ } < {30^ \circ } + k{90^ \circ } < {90^ \circ } \Leftrightarrow – \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}$

$\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 1 \to x = – {{60}^ \circ }} \\
{k = 0 \to x = {{30}^ \circ }}
\end{array} \to – {{60}^0} + {{30}^ \circ } = {{30}^ \circ }} \right.$.

Câu 30. Nghiệm của phương trình $cot\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 $ có dạng $x = – \frac{\pi }{m} + \frac{{k\pi }}{n},k \in \mathbb{Z},m,n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$ và $\frac{k}{n}$ là phân số tối giản. Khi đó $m – n$ bằng

A. 3 .

B. 5 .

C. -3 .

D. -5 .

Chọn B

Lời giải

Ta có $cot\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow cot\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = cot\frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{6} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 6} \\
{n = 1}
\end{array} \Rightarrow m – n = 5} \right.$.

Câu 31. Hỏi trên đoạn $\left[ {0;2018\pi } \right]$, phương trình $\sqrt 3 cotx – 3 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 2018 .

B. 6340 .

C. 2017.

D. 6339 .

Chọn A

Lời giải

Ta có $cotx = \sqrt 3 \Leftrightarrow cotx = cot\frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Theo giả thiết, ta có $0 \leqslant \frac{\pi }{6} + k\pi \leqslant 2018\pi \xrightarrow{{Xap\,xi}} – \frac{1}{6} \leqslant k \leqslant 2017,833$.

$3\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \left\{ {0;1; \ldots ;2017} \right\}$.

Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của $k$ tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 32. Số nghiệm của phương trình $sin\left( {2x – {{40}^ \circ }} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ với $ – {180^ \circ } \leqslant x \leqslant {180^ \circ }$ là ?

A. 2 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 7 .

Lời giải

Cách 1

Ta có :

$sin\left( {2x – {{40}^ \circ }} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow sin\left( {2x – {{40}^ \circ }} \right) = sin{60^ \circ }$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – {{40}^ \circ } = {{60}^ \circ } + k{{360}^ \circ }} \\
{2x – {{40}^ \circ } = {{180}^ \circ } – {{60}^ \circ } + k{{360}^ \circ }}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = {{100}^ \circ } + k{{360}^ \circ }} \\
{2x = {{160}^ \circ } + k{{360}^ \circ }}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {{50}^ \circ } + k{{180}^ \circ }} \\
{x = {{80}^ \circ } + k{{180}^ \circ }}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

• Xét nghiệm $x = {50^ \circ } + k{180^ \circ }$.

Ta có : $ – {180^ \circ } \leqslant x \leqslant {180^ \circ } \Leftrightarrow – {180^ \circ } \leqslant {50^ \circ } + k{180^ \circ } \leqslant {180^ \circ } \Leftrightarrow – \frac{{23}}{{18}} \leqslant k \leqslant \frac{{13}}{{18}}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = – 1 \Rightarrow x = – {{130}^ \circ }} \\
{k = 0 \Rightarrow x = {{50}^ \circ }}
\end{array}} \right.$

• Xét nghiệm $x = {80^ \circ } + k{180^ \circ }$.

Ta có : $ – {180^ \circ } \leqslant x \leqslant {180^ \circ } \Leftrightarrow – {180^ \circ } \leqslant {80^ \circ } + k{180^ \circ } \leqslant {180^ \circ } \Leftrightarrow – \frac{{13}}{9} \leqslant k \leqslant \frac{5}{9}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = – 1 \Rightarrow x = – {{100}^ \circ }} \\
{k = 0 \Rightarrow x = {{80}^ \circ }}
\end{array}} \right.$

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Chọn ${\mathbf{B}}$

Cách 2 (CASIO).

Ta có : $ – {180^ \circ } \leqslant x \leqslant {180^ \circ }$.

Chuyển máy về chế độ $DEG$, dùng chức năng $TABLE$ nhập hàm $f\left( X \right) = sin\left( {2X – 40} \right) – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ với các thiết lập Start $ = – 180,END = 180,STEP = 20$. Quan sát bảng giá trị của $f\left( X \right)$ ta suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 33. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $2sin\left( {4x – \frac{\pi }{3}} \right) – 1 = 0$.

A. $x = \frac{\pi }{4}$.

B. $x = \frac{{7\pi }}{{24}}$.

C. $x = \frac{\pi }{8}$.

D. $x = \frac{\pi }{{12}}$.

Lời giải

Ta có $2sin\left( {4x – \frac{\pi }{3}} \right) – 1 = 0 \Leftrightarrow sin\left( {4x – \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow sin\left( {4x – \frac{\pi }{3}} \right) = sin\frac{\pi }{6}$.

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4x – \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{4x – \frac{\pi }{3} = \pi – \frac{\pi }{6} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{4x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}} \\
{x = \frac{{7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.} \right.$.

TH1. Với $x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\xrightarrow{{Cho\,lon\,hon\,0}}\frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2} > 0 \Leftrightarrow k > – \frac{1}{4} \to {k_{min}} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{8}$.

TH2. Với $x = \frac{{7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\xrightarrow{{Cho\,lon\,hon\,0}}\frac{{7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2} > 0 \Leftrightarrow k > – \frac{7}{{12}} \to {k_{min}} = 0 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{{24}}$.

So sánh hai nghiệm ta được $x = \frac{\pi }{8}$ là nghiệm dương nhỏ nhất.

Câu 34. Tính tổng $T$ tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{{\left( {2cosx – 1} \right)\left( {sin2x – cosx} \right)}}{{sinx – 1}} = 0$ trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ ta được kết quả là:

A. $T = \frac{{2\pi }}{3}$.

B. $T = \frac{\pi }{2}$.

C. $T = \pi $.

D. $T = \frac{\pi }{3}$.

Điều kiện xác định $sinx \ne 1$.

Lời giải

Phương trình tương đương $\left( {2cosx – 1} \right)cosx \cdot \left( {2sinx – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{cosx = \frac{1}{2}} \\
{cosx = 0} \\
{sinx = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$.

Vì $x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ và $sinx \ne 1$ nên $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3}} \\
{x = \frac{\pi }{6}}
\end{array}} \right.$. Do đó $T = \frac{\pi }{2}$.

Câu 35. Phương trình $sinx = cosx$ có số nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ là:

A. 3

B. 5

C. 2

D. 4

Lời giải

Chọn C.

Ta có $sinx = cosx \Leftrightarrow \sqrt 2 sin\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x – \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Trong $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ phương trình có hai nghiệm

Câu 36. Giải phương trình $\left( {2cos\frac{x}{2} – 1} \right)\left( {sin\frac{x}{2} + 2} \right) = 0$

A. $x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

B. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k4\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D. $x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Lời giải

Chọn D

Vì $ – 1 \leqslant sin\frac{x}{2} \leqslant 1,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow sin\frac{x}{2} + 2 > 0$

Vậy phương trình tương đương

$2cos\frac{x}{2} – 1 = 0 \Leftrightarrow cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $

$ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 37. Phương trình $8 \cdot cos2x \cdot sin2x \cdot cos4x = – \sqrt 2 $ có nghiệm là

A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{ – \pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{4}} \\
{x = \frac{{5\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{4}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{8}} \\
{x = \frac{{3\pi }}{{16}} + k\frac{\pi }{8}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{8}} \\
{x = \frac{{3\pi }}{8} + k\frac{\pi }{8}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{{32}} + k\frac{\pi }{4}} \\
{x = \frac{{3\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{4}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Lời giải

Ta có:

$8 \cdot cos2x \cdot sin2x \cdot cos4x = – \sqrt 2 \Leftrightarrow 4 \cdot sin4x \cdot cos4x = – \sqrt 2 \Leftrightarrow 2 \cdot sin8x = – \sqrt 2 \Leftrightarrow sin8x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$ \Leftrightarrow sin8x = sin\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{{32}} + k\frac{\pi }{4}} \\
{x = \frac{{5\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{4}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{ – \pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{4}} \\
{x = \frac{{5\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{4}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Câu 38. Tìm số nghiệm của phương trình $sin\left( {cos2x} \right) = 0$ trên $\left[ {0;2\pi } \right]$.

A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải

Ta có $sin\left( {cos2x} \right) = 0 \Leftrightarrow cos2x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $cos2x \in \left[ { – 1;1} \right] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow cos2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + {k_1}\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + {k_1}\frac{\pi }{2}\left( {{k_1} \in \mathbb{Z}} \right)$.

$x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow {k_1} \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$.

Vậy phương trình có 4 nghiệm trên $\left[ {0;2\pi } \right]$.

Câu 39. Trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$, phương trình $cos4x + sinx = 0$ có tập nghiệm là $S$. Hãy xác định $S$.

A. $S = \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3};\frac{{3\pi }}{{10}};\frac{{7\pi }}{{10}}} \right\}$.

B. $S = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{3\pi }}{{10}}} \right\}$.

C. $S = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{{10}};\frac{{7\pi }}{{10}}} \right\}$.

D. $S = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{3\pi }}{{10}};\frac{{7\pi }}{{10}}} \right\}$.

Lời giải

Ta có $cos4x + sinx = 0 \Leftrightarrow cos4x = – sinx \Leftrightarrow cos4x = sin\left( { – x} \right) \Leftrightarrow cos4x = cos\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi } \\
{4x = – \frac{\pi }{2} – x + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}} \\
{x = – \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}}
\end{array},k \in \mathbb{Z}.} \right.} \right.$

Vì $x \in \left( {0;\pi } \right)$ nên $S = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{3\pi }}{{10}};\frac{{7\pi }}{{10}}} \right\}$.

Câu 40. Phương trình $cos3x \cdot tan5x = sin7x$ nhận những giá trị sau của $x$ làm nghiệm

A. $x = \frac{\pi }{2}$.

B. $x = 10\pi ;x = \frac{\pi }{{10}}$.

C. $x = 5\pi ;x = \frac{\pi }{{10}}$.

D. $x = 5\pi ;x = \frac{\pi }{{20}}$

Lời giải

Điều kiện $5x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

Phương trình tương đương $cos3x \cdot sin5x – sin7xcos5x = 0 \Leftrightarrow sin2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$.

Ta thấy $x = \frac{\pi }{2},x = \frac{\pi }{{10}}$ không thỏa mãn điều kiện nên loại đáp án ${\mathbf{A}},{\mathbf{B}},.{\mathbf{C}}$

Vậy đáp án đúng là ${\mathbf{D}}$

Câu 41. Giải phương trình $\frac{{1 + {\text{si}}{{\text{n}}^2}x}}{{1 – {\text{si}}{{\text{n}}^2}x}} – {\text{ta}}{{\text{n}}^2}x = 4$.

A. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

B. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi $.

C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $.

D. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $.

Lời giải

Điều kiện: $cosx \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $.

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{{1 + {\text{si}}{{\text{n}}^2}x}}{{{\text{co}}{{\text{s}}^2}x}} – \frac{{{\text{si}}{{\text{n}}^2}x}}{{{\text{co}}{{\text{s}}^2}x}} = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{{{\text{co}}{{\text{s}}^2}x}} = 4$

$ \Leftrightarrow \frac{{1 + cos2x}}{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow cos2x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $

Câu 42. Giải phương trình $\frac{{cosx\left( {1 – 2sinx} \right)}}{{2{\text{co}}{{\text{s}}^2}x – sinx – 1}} = \sqrt 3 $.

A. $x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi $.

B. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi $.

C. $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi $.

D. $x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi $.

Lời giải

Điều kiện:

$2{\text{co}}{{\text{s}}^2}x – sinx – 1 \ne 0 \Leftrightarrow 2{\text{si}}{{\text{n}}^2}x + sinx – 1 \ne 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sinx \ne – 1} \\
{sinx \ne \frac{1}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{{ – \pi }}{2} + k2\pi } \\
{x \ne \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}$

Ta có $\frac{{cosx\left( {1 – 2sinx} \right)}}{{2{\text{co}}{{\text{s}}^2}x – sinx – 1}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow cosx – sin2x = \sqrt 3 \left( {cos2x – sinx} \right)$

$ \Leftrightarrow \sqrt 3 sinx + cosx = sin2x + \sqrt 3 cosx \Leftrightarrow sin\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = sin\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + \frac{\pi }{3} = x + \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{2x + \frac{\pi }{3} = \pi – \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}.}
\end{array}} \right.} \right.$

Câu 43. Giải phương trình $sinx \cdot cosx\left( {1 + tanx} \right)\left( {1 + cotx} \right) = 1$.

A. Vô nghiệm.

B. $x = k2\pi $.

C. $x = \frac{{k\pi }}{2}$.

D. $x = k\pi $.

Lời giải

Điều kiện: $x \ne \frac{{k\pi }}{2}$.

Ta có $sinx \cdot cosx\left( {1 + tanx} \right)\left( {1 + cotx} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow sinxcosx\left( {1 + \frac{{sinx}}{{cosx}}} \right)\left( {1 + \frac{{cosx}}{{sinx}}} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow {(sinx + cosx)^2} = 1 \Leftrightarrow 1 + sin2x = 1$

$ \Leftrightarrow sin2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$(không thỏa mãn đk).

Câu 44. Phương trình $sin2x + cosx = 0$ có tổng các nghiệm trong khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$ bằng

A. $2\pi $.

B. $3\pi $.

C. $5\pi $.

D. $6\pi $.

Lời giải

$sin2x + cosx = 0 \Leftrightarrow 2sinxcosx + cosx = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{cosx = 0} \\
{2sinx + 1 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{2} + k\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}} \right.} \right.$

$x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow x = \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{7\pi }}{6}} \right\}$

Câu 45. Số nghiệm chung của hai phương trình $4{\text{co}}{{\text{s}}^2}x – 3 = 0$ và $2sinx + 1 = 0$ trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ bằng

A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 1 .

Lời giải

Trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ phương trình $2sinx + 1 = 0 \Leftrightarrow sinx = – \frac{1}{2}$ có hai nghiệm là $ – \frac{\pi }{6}$ và $\frac{{7\pi }}{6}$.

Cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình $4{\text{co}}{{\text{s}}^2}x – 3 = 0$.

Vậy hai phương trình có 2 nghiệm chung)

Câu 46. Giải phương trình $sinxsin7x = sin3xsin5x$.

A. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

B. $x = \frac{{k\pi }}{6},k \in \mathbb{Z}$.

C. $x = \frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}$.

D. $x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

Ta có: $sinxsin7x = sin3xsin5x \Leftrightarrow cos6x – cos8x = cos2x – cos8x$.

$ \Leftrightarrow cos6x = cos2x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{6x = 2x + k2\pi } \\
{6x = – 2x + k2\pi }
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{k\pi }}{2}} \\
{x = \frac{{k\pi }}{4}}
\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}.} \right.$

Câu 47. Tìm số nghiệm của phương trình $sinx = cos2x$ thuộc đoạn $\left[ {0;20\pi } \right]$.

A. 20 .

B. 40 .

C. 30 .

D. 60 .

Lời giải

Chọn C

Ta có $sinx = cos2x \Leftrightarrow sinx = 1 – 2{\text{si}}{{\text{n}}^2}x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{sinx = \frac{1}{2}} \\
{sinx = – 1}
\end{array}} \right.$.

$sinx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

$sinx = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Xét $x \in \left[ {0;20\pi } \right]:$

• Với $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi $, ta có $0 \leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Leftrightarrow – \frac{1}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{119}}{{12}}$, do $k \in \mathbb{Z}$ nên.

• Với $x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi $, ta có $0 \leqslant \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \leqslant 20\pi \Leftrightarrow – \frac{5}{{12}} \leqslant k \leqslant \frac{{115}}{{12}}$, do $k \in \mathbb{Z}$ nên.

• Với $x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi $, ta có $0 \leqslant – \frac{\pi }{2} + k2\pi \leqslant 20\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leqslant k \leqslant \frac{{41}}{4}$, do $k \in \mathbb{Z}$ nên.

Vậy phương trình đã cho có 30 nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;20\pi } \right]$.

Câu 48. Biểu diễn tập nghiệm của phương trình $cosx + cos2x + cos3x = 0$ trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là

A. 6

B. 5

C. 4

D. 2

Lời giải

Ta có $cosx + cos2x + cos3x = 0 \Leftrightarrow \left( {cos3x + cosx} \right) + cos2x = 0$

$ \Leftrightarrow 2cos2x \cdot cosx + cos2x = 0 \Leftrightarrow cos2x\left( {2cosx + 1} \right) = 0$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{cos2x = 0} \\
{cosx = – \frac{1}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = \frac{\pi }{2} + k\pi } \\
{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}} \\
{x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vậy biểu diễn tập nghiệm của phương trình $cosx + cos2x + cos3x = 0$ trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là 6 .