30 Câu Trắc Nghiệm Công Thức Nhân Xác Suất Theo Từng Dạng Giải Chi Tiết

30 câu trắc nghiệm công thức nhân xác suất theo từng dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. PHƯƠNG PHÁP

1. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì: $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$

Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

2. Công thức nhân xác suất cho $k$ biến cố độc lập

Một cách tổng quát, nếu $k$ biến cố ${A_1},{A_2},{A_3}, \ldots ,{A_k}$ là độc lập thì

$P\left( {{A_1},{A_2},{A_3}, \ldots ,{A_k}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \ldots P\left( {{A_k}} \right)$

Chú ý:

• Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $A$ và $\overline B $ độc lập, $B$ và $\overline A $ độc lập, $\overline B $ và $\overline A $ độc lập. Do đó Nếu $A$ và $B$ độc lập thì ta còn có các đẳng thức

$P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right)$

$P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( B \right)$

$P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right)$

• Nếu một trong các đẳng thức trên bị vi phạm thì hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập với nhau

• Xác suất của biến cố $\overline A $ của biến cố $A$ là : $P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right)$

II. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với nhau. $P\left( A \right) = 0,4,P\left( B \right) = 0,3$. Khi đó $P\left( {AB} \right)$ bằng
A. 0,58 .
B. 0,7 .
C. 0,1 .
D. 0,12 .

Lời giải

Chọn D

Do $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với nhau nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12$.

Câu 2. $A,B$ là hai biến cố độc lập. Biết $P\left( A \right) = \frac{1}{4},P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{9}$. Tính $P\left( B \right)$
A. $\frac{7}{{36}}$.
B. $\frac{1}{5}$.
C. $\frac{4}{9}$.
D. $\frac{5}{{36}}$.

Lời giải

Chọn C.

$A,B$ là hai biến cố độc lập nên: $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \Leftrightarrow \frac{1}{9} = \frac{1}{4} \cdot P\left( B \right) \Leftrightarrow P\left( B \right) = \frac{4}{9}$.

Câu 3. Trong một kì thi có $60\% $ thí sinh đỗ. Hai bạn $A,B$ cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là:
A. 0,24 .
B. 0,36 .
C. 0,16 .
D. 0,48 .

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0,4$

Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: $P = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right)$.

Vì biến cố $\overline A $ độc lập biến cố $B$ và biến cố $A$ độc lập biến cố $\overline B $ nên:

$P = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( B \right) + P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,48$

Câu 4. Cho phép thử có không gian mẫu $\Omega = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}$. Các cặp biến cố không đối nhau là:
A. $A = \left\{ 1 \right\}$ và $B = \left\{ {2,3,4,5,6} \right\}$.
B. $C = \left\{ {1,4,5} \right\}$ và $D = \left\{ {2,3,6} \right\}$.
C. $E = \left\{ {1,4,6} \right\}$ và $F = \left\{ {2,3} \right\}$
D. $\Omega $ và $\emptyset $.

Lời giải

Chọn C.

Theo định nghĩa hai biến cố đối nhau là hai biến cố giao nhau bằng rỗng và hợp nhau bằng không gian mẫu.

Mà $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{E \cap F = \emptyset } \\
{E \cup F \ne \Omega }
\end{array}} \right.$ nên $E,F$ không đối nhau.

Câu 5. Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi ${A_k}$ là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ $k$ ” với $k = 1,2,3,4$. Gọi $A$ là các biến cố “Lần thứ tư mới bắn trúng bia”. Hãy biểu diễn các biến cố $A$ sau qua các biến cố ${A_1},{A_2},{A_3},{A_4}$.
A. $A = \overline {{A_1}} \cap \overline {{A_2}} \cap {A_3} \cap {A_4}$
B. $A = \overline {{A_1}} \cap \overline {{A_2}} \cap \overline {{A_3}} \cap {A_4}$
C. $A = \overline {{A_1}} \cap {A_2} \cap \overline {{A_3}} \cap {A_4}$
D. $A = {A_1} \cap \overline {{A_2}} \cap \overline {{A_3}} \cap {A_4}$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\overline {{A_k}} $ là biến cố lần thứ $k\left( {k = 1,2,3,4} \right)$ bắn không trúng bia.

Do đó: $A = \overline {{A_1}} \cap \overline {{A_2}} \cap \overline {{A_3}} \cap {A_4}$

Câu 6. Một xưởng sản xuất có $n$ máy, trong đó có một số máy hỏng. Gọi ${A_k}$ là biến cố : “ Máy thứ $k$ bị hỏng”. $k = 1,2, \ldots ,n$. Biếncố $A$ : “ Cả nđều tốt đều tốt ” là
A. $A = {A_1}{A_2} \ldots {A_n}$.
B. $A = {\overline A _1}{\overline A _2} \ldots {\overline A _{n – 1}}{A_n}$
C. $A = {A_1}{A_2} \ldots {A_{n – 1}}{\overline A _n}$
D. $A = {\overline A _1}{\overline A _2} \ldots {\overline A _n}$

Lời giải

Chọn D.

Ta có: ${A_k}$ là biến cố : “ Máy thứ $k$ bị hỏng”. $k = 1,2, \ldots ,n$. Nên: $\overline {{A_k}} $ là biến cố : “ Máy thứ $k$ tốt”. $k = 1,2, \ldots ,n$.

Biếncố $A$ : “ Cả n đều tốt đều tốt ” là: $A = {\overline A _1}{\overline A _2} \ldots {\overline A _n}$.

Câu 7. Một người bắn liên tiếp vào một mục tiêu khi viên đạn trúng mục tiêu thì thôi (các phát súng độc lập nhau ). Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,6 . Tính xác suất để bắn đến viên thứ 4 thì ngừng bắn
A. $P\left( H \right) = 0,03842$
B. $P\left( H \right) = 0,384$
C. $P\left( H \right) = 0,03384$
D. $P\left( H \right) = 0,0384$

Lời giải

Chọn D.

Gọi ${A_i}$ là biến cố trúng đích lần thứ 4

$H$ là biến cố bắn lần thứ 4 thì ngừng $H = \overline {{A_1}} \cap \overline {{A_2}} \cap \overline {{A_3}} \cap {A_4}$ $P\left( H \right) = 0,4.0,4.0,4.0,6 = 0,0384$.

Câu 8. Bốn khẩu pháo cao xạ $A,B,C,D$ cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là $P\left( A \right) = \frac{1}{2} \cdot P\left( B \right) – \frac{2}{3},P\left( C \right) = \frac{4}{5},P\left( D \right) = \frac{5}{7}$. Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng.
A. $P\left( D \right) = \frac{{14}}{{105}}$
B. $P\left( D \right) = \frac{4}{{15}}$
C. $P\left( D \right) = \frac{4}{{105}}$
D. $P\left( D \right) = \frac{{104}}{{105}}$

Lời giải

Chọn D.

Tính xác suất mục tiêu không bị bắn trúng: $P\left( H \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1}{{105}}$

Vậy xác suất trúng đích $P\left( D \right) = 1 – \frac{1}{{105}} = \frac{{104}}{{105}}$.

Câu 9. Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia, biết xác suất bắn trúng vòng 10 của xạ thủ thứ nhất là 0,75 và của xạ thủ thứ hai là 0,85 . Tính xác suất để có ít nhất một viên trúng vòng 10 ?
A. 0,9625.
B. 0,325 .
C. 0,6375 .
D. 0, 0375 .

Lời giải

Chọn C.

Gọi A là biến cố: “có ít nhất một viên trúng vòng 10.”

$\overline A $ là biến cố: “Không viên nào trúng vòng 10.”

$ = > P\left( {\overline A } \right) = \left( {1 – 0,75} \right) \cdot \left( {1 – 0,85} \right) = 0,0375$.

$ = > P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – 0,0375 = 0,9625$.

Câu 10. Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,6 ; người thứ hai bắn trúng bia là 0,9 . Hãy tính xác suất để cả hai người cùng bắn trúng.
A. 0,54
B. 0, 6
C. 0,9
D. 0,44

Lời giải

Chọn A.

Gọi ${A_1}$ là biến cố “Người thứ nhất bắn trúng bia”

${A_2}$ là biến cố ” Người thứ hai bắn trúng bia”

Gọi $A$ là biến cố “cả hai người bắng trúng”, suy ra $A = {A_1} \cap {A_2}$

Vì ${A_1},{A_2}$ là độc lập nên $P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{A_2}} \right) = 0,6.0,9 = 0,54$

Câu 11. Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,75 ; người thứ hai bắn trúng bia là 0,9 . Hãy tính xác suất để cả hai người cùng không bắn trúng;
A. 0,04
B. 0,025
C. 0,975
D. 0,05

Lời giải

Chọn B.

Gọi ${A_1}$ là biến cố “Người thứ nhất bắn trúng bia”

${A_2}$ là biến cố “ Người thứ hai bắn trúng bia”

Gọi $A$ là biến cố “Cả hai người bắn không trúng bia”.

Ta thấy $A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} $. Hai biến cố $\overline {{A_1}} $ và $\overline {{A_2}} $ là hai biến cố độc lập nên

$P\left( A \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = \left[ {1 – P\left( {{A_1}} \right)} \right]\left[ {1 – P\left( {{A_2}} \right)} \right]$

$ = \left( {1 – 0,75} \right)\left( {1 – 0,9} \right) = 0,025$

Câu 12. Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,5 ; người thứ hai bắn trúng bia là 0,75 . Hãy tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng.
A. 0,625
B. 0,375
C. 0,875
D. 0,125

Lời giải

Chọn C.

Gọi ${A_1}$ là biến cố “Người thứ nhất bắn trúng bia”

${A_2}$ là biến cố “Người thứ hai bắn trúng bia”

Gọi $A$ là biến cố “Cả hai người bắn không trúng bia”.

Ta thấy $A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} $. Hai biến cố $\overline {{A_1}} $ và $\overline {{A_2}} $ là hai biến cố độc lập nên

$P\left( A \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = \left[ {1 – P\left( {{A_1}} \right)} \right]\left[ {1 – P\left( {{A_2}} \right)} \right]$

$ = \left( {1 – 0,5} \right)\left( {1 – 0,75} \right) = 0,125$

Gọi $B$ là biến cố “Có ít nhất một người bắn trúng bia”, khi đó biến cố đối của $B$ là biến cố $A$.

Do đó $P\left( B \right) = 1 – P\left( A \right) = 1 – 0,125 = 0,875$.

Câu 13. Ba xạ thủ ${A_1},{A_2},{A_3}$ độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của ${A_1},{A_2},{A_3}$ tương ứng là 0,$7;0,6$ và 0,5 . Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.
A. 0,45 .
B. 0,21 .
C. 0,75 .
D. 0,94 .

Lời giải

Chọn D

Gọi ${A_i}$ : “Xạ thủ thứ $i$ bắn trúng mục tiêu” với $i = \overline {1,3} $.

Khi đó $\overline {{A_i}} $ : “Xạ thủ thứ $i$ bắn không trúng mục tiêu”.

Ta có $P\left( {{A_1}} \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( {\overline {{A_1}} } \right) = 0,3;P\left( {{A_2}} \right) = 0,6 $

$\Rightarrow P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = 0,4;P\left( {{A_3}} \right) = 0,5 \Rightarrow P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = 0,5$.

Gọi $B$ : “Cả ba xạ thủ bắn không trúng mục tiêu”.

Và $\overline B $ : “có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.

Ta có $P\left( B \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = 0,3 \cdot 0,4 \cdot 0,5 = 0,06$.

Khi đó $P\left( {\overline B } \right) = 1 – P\left( B \right) = 1 – 0,06 = 0,94$.

Câu 14. Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng?
A. $\frac{4}{5}$.
B. $\frac{3}{4}$.
C. $\frac{7}{8}$.
D. $\frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn C

Cách 1. Hai người ngang sức nên xác suất người thứ hai thắng 1 trận là $\frac{1}{2}$; thua 1 trận là $\frac{1}{2}$.

A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc”

$\overline A = $ “người thứ hai thắng chung cuộc” (tức là người thứ hai thắng liên tiếp 3 ván)

$P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = \frac{7}{8}$.

Cách 2. Hai người ngang sức nên xác suất người thứ nhất thắng 1 trận là $\frac{1}{2}$; thua 1 trận là $\frac{1}{2}$.

A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc”

Vậy $A = $ “Người thứ nhất thắng ngay trận đầu” $ \cup $ “Người thứ nhất thắng sau 2 trận” $ \cup $ “Người thứ nhất thắng sau 3 trận”

$ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{8}$.

Câu 15. Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,95 và 0,8 . Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt.
A. 0,76
B. 0,24
C. 0,19
D. 0,81

Lời giải

Chọn A.

Gọi A là biến cố “Động cơ I chạy tốt” $ \Rightarrow P\left( A \right) = 0,95$

B là biến cố “Động cơ II chạy tốt” $ \Rightarrow P\left( B \right) = 0,8$

C là biến cố “Cả hai động cơ đều chạy tốt”.

Ta thấy $A,B$ là hai biến cố độc lập với nhau và $C = AB$.

Ta có $P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0,95.0,8 = 0,76$

Câu 16. Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I là 0,9 và xác suất động cơ II chạy không tốt là 0,2 . Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt.
A. 0,82
B. 0,18
C. 0,02
D. 0,08

Lời giải

Chọn C.

Gọi A là biến cố “Động cơ I chạy tốt”, $ \Rightarrow P\left( A \right) = 0,9$

B là biến cố “Động cơ II chạy tốt” $ \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 0,2$

Gọi $C$ là biến cố “Cả hai động cơ đều chạy không tốt”.

Ta thấy $C = \overline A \overline B $. Hai biến cố $\overline A $ và $\overline B $ độc lập với nhau nên

$P\left( C \right) = \left( {1 – P\left( A \right)} \right)P\left( {\overline B } \right) = \left( {1 – 0,9} \right) \cdot 0,2 = 0,02$.

Câu 17. Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ $I$ và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7 . Hãy tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.
A. 0,91
B. 0,34
C. 0,06
D. 0,94

Lời giải

Chọn D.

Gọi A là biến cố “Động cơ I chạy tốt”

$B$ là biến cố “Động cơ II chạy tốt”

C là biến cố “Cả hai động cơ đều chạy không tốt”. Hai biến cố $\overline A $ và $\overline B $ độc lập với nhau nên

$P\left( C \right) = P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,06$

Gọi $D$ là biến cố “Có ít nhất một động cơ chạy tốt”, khi đó biến cố đối của $D$ là biến cố $C$.

Do đó $P\left( D \right) = 1 – P\left( C \right) = 0,94$.

Câu 18. Một cặp vợ chồng mong muốn sinh bằng đựơc sinh con trai ( Sinh được con trai rồi thì không sinh nữa, chưa sinh được thì sẽ sinh nữa ). Xác suất sinh được con trai trong một lần sinh là 0,49 . Tìm xác suất sao cho cặp vợ chồng đó mong muốn sinh được con trai ở lần sinh thứ 2.
A. 0,24
B. 0,299
C. 0,24239
D. 0,2499

Lời giải

Chọn D.

Gọi A là biến cố : “ Sinh con gái ở lần thứ nhất”, ta có:

$P\left( A \right) = 1 – 0,49 = 0,51$.

Gọi $B$ là biến cố: “ Sinh con trai ở lần thứ hai”, ta có: $P\left( B \right) = 0,49$

Gọi C là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất và sinh con trai ở lần thứ hai” Ta có: $C = AB$, mà $A,B$ độc lập nên ta có:

$P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,2499$.

Câu 19. Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 . Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai
A. 0,88
B. 0,23
C. 0,78
D. 0,32

Lời giải

Chọn A.

Gọi $A$ là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai, suy ra $\overline A $ là xác suất 3 lần sinh toàn con gái.

Gọi ${B_i}$ là biến cố lần thứ i sinh con gái $\left( {i = 1,2,3} \right)$

Suy ra $P\left( {{B_1}} \right) = P\left( {{B_2}} \right) = P\left( {{B_3}} \right) = 0,49$

Ta có: $\overline A = {B_1} \cap {B_2} \cap {B_3}$

$ \Rightarrow P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( {{B_1}} \right)P\left( {{B_2}} \right)P\left( {{B_3}} \right)$

$ = 1 – {(0,49)^3} \approx 0,88$.

Câu 20. Một bình đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi. Tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ?
A. $\frac{{63}}{{256}}$.
B. $\frac{9}{{16}}$.
C. $\frac{9}{{17}}$.
D. $\frac{{21}}{{80}}$.

Lời giải

Chọn D.

Gọi $A$ là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu đỏ.

Gọi $B$ là biến cố lần thứ hai lấy được bi màu xanh.

Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi màu đỏ là: $P\left( A \right) = \frac{7}{{16}}$

Xác suất để lần thứ hai lấy được bi màu xanh (trong 15 viên bi còn lại) là: $P\left( B \right) = \frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}$

Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau nên áp dụng quy tắc nhân xác suất ta có:

$P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{7}{{16}} \cdot \frac{3}{5} = \frac{{21}}{{80}}$

Câu 21. Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi. Tính xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen?
A. $\frac{{35}}{{123}}$.
B. $\frac{1}{{35}}$.
C. $\frac{{35}}{{144}}$.
D. $\frac{5}{{123}}$.

Lời giải

Chọn A.

Gọi $A$ là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu trắng.

Gọi $B$ là biến cố lần thứ hai lấy được bi màu đen. $ \Rightarrow AB$ là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu trắng; lần thứ hai lấy được bi màu đen. Ta thấy 2 biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau.

Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi màu trắng là: $P\left( A \right) = \frac{7}{{12}}$

Xác suất để lần thứ hai lấy được bi màu đen (trong 11 viên bi còn lại) là $P\left( B \right) = \frac{5}{{11}}$.

Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau nên áp dụng quy tắc nhân xác suất ta có:

$P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{7}{{12}} \cdot \frac{5}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}$

Câu 22. Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số $1,2, \ldots $, 9. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là $\frac{3}{{10}}$. Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là:
A. $\frac{2}{{15}}$.
B. $\frac{1}{{15}}$.
C. $\frac{4}{{15}}$.
D. $\frac{7}{{15}}$.

Lời giải

Chọn B.

Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. ”

Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “

$ = > P\left( A \right) = \frac{{C_4^1}}{{C_9^1}} = \frac{4}{9}$.

Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II “ $P\left( B \right) = \frac{3}{{10}}$.

Ta thấy biến cố $A,B$ là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left( X \right) = P\left( {A \cdot B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{{10}} = \frac{1}{{15}}$.

Câu 23. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố $A$ :’’ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
A. $P\left( A \right) = \frac{1}{2}$.
B. $P\left( A \right) = \frac{3}{8}$.
C. $P\left( A \right) = \frac{7}{8}$.
D. $P\left( A \right) = \frac{1}{4}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $\overline A $ :”không có lần nào xuất hiện mặt sấp” hay cả 3 lần đều mặt ngửa.

Theo quy tắc nhân xác suất: $P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Vậy: $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Câu 24. Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:
A. $\frac{4}{{16}}$.
B. $\frac{2}{{16}}$.
C. $\frac{6}{{16}}$.
D. $\frac{1}{{16}}$.

Lời giải

Chọn D.

Mỗi lần suất hiện mặt sấp có xác suất là $\frac{1}{2}$.

Theo quy tắc nhân xác suất: $P\left( A \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{{16}}$

Câu 25. Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tìm xác suất của biến cố $A$ : “ Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.
A. $P\left( A \right) = 2 – {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4}$
B. $P\left( A \right) = 1 – {\left( {\frac{1}{6}} \right)^4}$
C. $P\left( A \right) = 3 – {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4}$
D. $P\left( A \right) = 1 – {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4}$

Lời giải

Chọn D.

Gọi ${A_i}$ là biến cố “ mặt 4 chấm xuất hiện lần thứ $i$ ” với $i = 1,2,3,4$.

Khi đó: $\overline {{A_i}} $ là biến cố “Mặt 4 chấm không xuất hiện lần thứ $i$ ”

Và $P\left( {\overline {{A_i}} } \right) = 1 – P\left( {{A_i}} \right) = 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Ta có: $\overline A $ là biến cố: “ không có mặt 4 chấm xuất hiện trong 4 lần gieo”

Và $\overline A = \overline {{A_1}} \cdot \overline {{A_2}} \cdot \overline {{A_3}} \cdot \overline {{A_4}} $. Vì các ${A_i}$ độc lập với nhau nên ta có

$P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right)P\left( {\overline {{A_2}} } \right)P\left( {\overline {{A_3}} } \right)P\left( {\overline {{A_4}} } \right) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4}$

Vậy $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4}$.

Câu 26. Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là $1/3$ và $3/7$. Gọi $A$ là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố A là bao nhiêu?
A. $P\left( A \right) = \frac{2}{7}$
B. $P\left( A \right) = \frac{3}{7}$
C. $P\left( A \right) = \frac{6}{7}$
D. $P\left( A \right) = \frac{1}{7}$

Lời giải

Chọn D.

Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ. “”

Gọi X là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ. Theo giả thiết $P\left( X \right) = \frac{1}{3}$

Gọi Y là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ.Theo giả thiết $P\left( Y \right) = \frac{3}{7}$

Ta thấy biến cố X, Y là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left( A \right) = P\left( {XY} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( Y \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{7}$

Câu 27. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6 . Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là
A. 0,45 .
B. 0,4 .
C. 0,48 .
D. 0, 24 .

Lời giải

Chọn C

Gọi ${A_1},{A_2},X$ lần lượt là biến cố bắn trúng mục tiêu của viên đạn thứ nhất, viên đạn thứ hai, một viên đạn trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu.

Khi đó $X = {A_1}\overline {{A_2}} + \overline {{A_1}} {A_2}$.

Xác suất cần tìm $P\left( X \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}} \right) = 0,6.0.4 + 0,4.0,6 = 0,48$.

Câu 28. Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,$8;0,6;0,5$. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng:
A. 0,92 .
B. 0,54 .
C. 0,46 .
D. 0,96 .

Lời giải

Chọn C

Gọi X là biến cố: “có đúng 2 người bắn trúng đích”.

Gọi $A$ là biến cố: “người thứ nhất bắn trúng đích

$ \Rightarrow P\left( A \right) = 0,8;P\left( {\overline A } \right) = 0,2$

Gọi $B$ là biến cố: “người thứ hai bắn trúng đích

$ \Rightarrow P\left( B \right) = 0,6;P\left( {\overline B } \right) = 0,4$

Gọi C là biến cố: “người thứ ba bắn trúng đích

$ \Rightarrow P\left( C \right) = 0,5;P\left( {\overline B } \right) = 0,5$

Ta thấy biến cố $A,B,C$ là 3 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left( X \right) = P\left( {AB\overline C } \right) + P\left( {A\overline B C} \right) + P\left( {\overline A BC} \right)$

$ = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \cdot P\left( {\overline C } \right) + P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) \cdot P\left( C \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( B \right) \cdot P\left( C \right)$

$ = 0,8.0,6.0,5 + 0,8.0,4.0,5 + 0,2.0,6.0,5 = 0,46$

Câu 29. Một máy có 5 động cơ gồm 3 động cơ bên cánh trái và hai động cơ bên cánh phải. Mỗi động cơ bên cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,09 , mỗi động cơ bên cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,04 . Các động cơ hoạt động độc lập với nhau. Máy bay chỉ thực hiện được chuyến bay an toàn nếu có ít nhất hai động cơ làm việc. Tìm xác suất để máy bay thực hiện được chuyến bay an toàn.
A. 0,91414148
B. 0,981444
C. 0,99074656
D. 0,9999074656

Lời giải

Chọn D.

Gọi A là biến cố: “Máy bay bay an toàn”.

Khi đó $\overline A $ là biến cố: “Máy bay bay không an toàn”.

Ta có máy bay bay không an toàn khi xảy ra một trong các trường hợp sau

TH 1: Cả 5 động cơ đều bị hỏng

Ta có xác suất để xảy ra trường hợp này là: ${(0,09)^3} \cdot {(0,04)^2}$

TH 2: Có một động cơ ở cánh phải hoạt động và các động cơ còn lại đều bị hỏng. Xác suất để xảy ra trường hợp này là: 3. ${(0,09)^2} \cdot 0,91.{(0,04)^2}$

TH 3: Có một động cơ bên cánh trái hoạt động, các động cơ còn lại bị hỏng

Xác suất xảy ra trường hợp này là: 2.0, 04.0,96.(0,09)

$P\left( {\overline A } \right) = {(0,09)^3} \cdot {(0,04)^2} + 3 \cdot {(0,09)^2} \cdot 0,91 \cdot {(0,04)^2} + 2 \cdot 0,04 \cdot 0,96 \cdot {(0,09)^3}$

$ = 0,925344 \cdot {10^{ – 4}}$.

Vậy $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 0,9999074656$.

Câu 30. Có 3 chiếc hộp. Hộp $A$ chứa 3 bi đỏ, 5 bi trắng. Hộp $B$ chứa 2 bi đỏ,2 bi vàng. Hộp $C$ chứa 2 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một bi từ hộp đó. Xác suất để được một bi đỏ là:
A. $\frac{{17}}{{40}}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{2}{{15}}$

Lời giải

Chọn A

Lấy ngẫu nhiên một hộp

Gọi A là biến cố lấy được hộp A

Gọi $B$ là biến cố lấy được hộp $B$

Gọi $C$ là biến cố lấy được hộp $C$

Vậy $P\left( A \right) = P\left( B \right) = P\left( C \right) = \frac{1}{3}$

Gọi D là biến cố “ lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lại lấy ngẫu nhiên một viên bi và được bi đỏ ” là $D = \left( {D \cap A} \right) \cup \left( {D \cap B} \right) \cup \left( {D \cap C} \right)$

Do đó :

$P\left( D \right) = P\left( {D \cap A} \right) + P\left( {D \cap B} \right) + P\left( {D \cap C} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{{17}}{{40}}$