Đề Thi Giữa Học Kỳ 2 Toán 11 KNTT Cấu Trúc Mới Giải Chi Tiết-Đề 5

Đề thi giữa học kỳ 2 Toán 11 KNTT cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 5 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phưong án đúng nhất.

Câu 1. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt {{a^3}} $ bằng

A. ${a^6}$.

B. ${a^{\frac{3}{2}}}$.

C. ${a^{\frac{2}{3}}}$.

D. ${a^{\frac{1}{6}}}$.

Câu 2. Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}$.

B. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m – n}}$.

C. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}$.

D. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n – m}}$.

Câu 3. Cho $a > 0$ và $a \ne 1$ khi đó ${log_a}\sqrt[3]{a}$ bằng

A. -3 .

B. $\frac{1}{3}$.

C. $ – \frac{1}{3}$.

D. 3 .

Câu 4. Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \ne 1,a \ne \sqrt b $ và ${log_a}b = \sqrt 3 $. Tính $P = {log_{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} $.

A. $P = – 5 + 3\sqrt 3 $

B. $P = – 1 + \sqrt 3 $

C. $P = – 1 – \sqrt 3 $

D. $P = – 5 – 3\sqrt 3 $

Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = {log_5}x$ là

A. $\left[ {0; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ;0} \right)$.

C. $\left( {0; + \infty } \right)$.

D. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.

Câu 6. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây sai?

A. Hàm số $y = {\left( {\frac{{2024}}{\pi }} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

B. Hàm số $y =logx$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

C. Hàm số $y =ln\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

D. Hàm số $y = {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 7. Nghiệm của phương trình ${log_2}\left( {5x} \right) = 3$ là:

A. $x = \frac{8}{5}$.

B. $x = \frac{9}{5}$.

C. $x = 8$.

D. $x = 9$.

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{4 – {x^2}}} \geqslant 27$ là

A. $\left[ { – 1;1} \right]$.

B. $\left( { – \infty ;1} \right]$.

C. $\left[ { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]$.

D. $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Câu 9. Trong không gian cho trước điểm $M$ và đường thẳng $\Delta $. Các đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta $ thì:

A. vuông góc với nhau.

B. song song với nhau.

C. cùng vuông góc với một mặt phẳng.

D. cùng thuộc một mặt phẳng.

Câu 10. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $BA’$ và $CD$ bằng:

A. ${45^ \circ }$.

B. ${60^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Câu 11. Qua điểm $O$ cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta $ cho trước?

A. Vô số.

B. 2 .

C. 3 .

D. 1 .

Câu 12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $I$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SC,SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $AH \bot \left( {SCD} \right)$.

B. $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

C. $AK \bot \left( {SCD} \right)$.

D. $BC \bot \left( {SAC} \right)$.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Cho các biểu thức sau: $A = {log_{{2^{2030}}}}4 – \frac{1}{{1015}} +ln{e^{2035}};B = {log_5}3 \cdot {log_2}5 – \frac{{ln9}}{{ln4}}$

a) $A$ chia hết cho 5

b) $A – B = 2036$

c) $A + 2024B = 2035$

d) $A – 2024B = 2035$

Câu 2. Cho phương trình ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x – 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}$. Biết phương trình có 1 nghiệm là $x = a$. Khi đó:

a) $a > 0$

b) Ba số $a,2,3$ tạo thành cấp số cộng với công sai bằng $d = 1$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} ({x^2} + 2x + 5) = 7$

d) Phương trình ${x^2} + x + a = 0$ vô nghiệm

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của đoạn $SB,SD$. Khi đó:

a) $MN//BD$.

b) $MN$ và $AC$ là hai đường thẳng chéo nhau.

c) $AC \bot BD$

d) $\left( {MN,AC} \right) = {90^ \circ }$

Câu 4. Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $OK$ là đường cao của tam giác $OBC$ và $OH$ là đường cao của tam giác $OAK$. Khi đó:

a) $OA \bot \left( {OBC} \right)$.

b) $OB \bot \left( {OAC} \right)$.

c) Các cạnh đối nhau trong tứ diện $OABC$ thì vuông góc với nhau.

d) $OH$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Phần 3. Câu trả lời ngắn. Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là $4 \cdot {10^5}\;{m^3}$. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây lấy gỗ trong khu rừng này là $4\% $ mỗi năm. Hỏi sau 5 năm không khai thác, khu rừng sẽ có số mét khối gỗ là bao nhiêu?

Câu 2. Cho ${log_a}b = 2$ và ${log_a}c = 3$. Tính $Q = {log_a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)$.

Câu 3. Tìm $m$ để hàm số $y = {log_{0,5}}\left( {m{x^2} – mx + 1} \right)$ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Câu 4. Anh Hưng gửi tiết kiệm khoản tiền 700 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $7\% $ / năm theo hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để anh Hưng thu được ít nhất 1 tỉ đồng (cả vốn lẫn lãi). Cho biết công thức lãi kép là $T = A \cdot {(1 + r)^n}$, trong đó $A$ là tiền vốn, $T$ là tiền vốn và lãi nhận được sau $n$ năm, $r$ là lãi suất/năm.

Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau, biết $AB = AC = AD = 1$.

Tìm số đo của góc $\left( {AB,CD} \right)$.

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và đáy $ABCD$ là hình vuông. Từ $A$ kẻ $AM \bot SB$.

Tìm số đo của góc $\left( {AM,\left( {SBC} \right)} \right)$.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt {{a^3}} $ bằng

A. ${a^6}$.

B. ${a^{\frac{3}{2}}}$.

C. ${a^{\frac{2}{3}}}$.

D. ${a^{\frac{1}{6}}}$.

Lời giải

Chọn B

Với $a > 0$ ta có $\sqrt {{a^3}} = {a^{\frac{3}{2}}}$.

Câu 2. Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}$.

B. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m – n}}$.

C. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}$.

D. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n – m}}$.

Lời giải

Chọn C.

Tính chất lũy thừa

Câu 3. Cho $a > 0$ và $a \ne 1$ khi đó ${log_a}\sqrt[3]{a}$ bằng

A. -3 .

B. $\frac{1}{3}$.

C. $ – \frac{1}{3}$.

D. 3 .

Lời giải

Chọn B

${log_a}\sqrt[3]{a} = \frac{1}{3}{log_a}a = \frac{1}{3}$.

Câu 4. Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \ne 1,a \ne \sqrt b $ và ${log_a}b = \sqrt 3 $. Tính $P = {log_{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} $.

A. $P = – 5 + 3\sqrt 3 $

B. $P = – 1 + \sqrt 3 $

C. $P = – 1 – \sqrt 3 $

D. $P = – 5 – 3\sqrt 3 $

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Phương pháp tự luận.

$P = \frac{{{log_a}\sqrt {\frac{b}{a}} }}{{{log_a}\frac{{\sqrt b }}{a}}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {{log_a}b – 1} \right)}}{{{log_a}\sqrt b – 1}}$

$ = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{{\frac{1}{2}{log_a}b – 1}} = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{{\sqrt 3 – 2}} = – 1 – \sqrt 3 $

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm.

Chọn $a = 2,b = {2^{\sqrt 3 }}$. Bấm máy tính ta được $P = – 1 – \sqrt 3 $.

Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = {log_5}x$ là

A. $\left[ {0; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ;0} \right)$.

C. $\left( {0; + \infty } \right)$.

D. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.

Chọn C

Lời giải

Điều kiện: $x > 0$.

Tập xác định: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Câu 6. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây sai?

A. Hàm số $y = {\left( {\frac{{2024}}{\pi }} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

B. Hàm số $y =logx$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

C. Hàm số $y =ln\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

D. Hàm số $y = {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải

Chọn C

Hàm số $y =ln\left( { x} \right)$ TXĐ $D = \left( {0; + \infty } \right)$$

Cơ số $a = e > 1$ do đó hàm số đồng biết trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Câu 7. Nghiệm của phương trình ${log_2}\left( {5x} \right) = 3$ là:

A. $x = \frac{8}{5}$.

B. $x = \frac{9}{5}$.

C. $x = 8$.

D. $x = 9$.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện $x > 0$

${log_2}\left( {5x} \right) = 3 \Leftrightarrow 5x = {2^3} \Leftrightarrow 5x = 8 \Leftrightarrow x = \frac{8}{5}$ (nhận).

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{4 – {x^2}}} \geqslant 27$ là

A. $\left[ { – 1;1} \right]$.

B. $\left( { – \infty ;1} \right]$.

C. $\left[ { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]$.

D. $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: ${3^{4 – {x^2}}} \geqslant 27 \Leftrightarrow 4 – {x^2} \geqslant 3 \Leftrightarrow – 1 \leqslant x \leqslant 1$.

Câu 9. Trong không gian cho trước điểm $M$ và đường thẳng $\Delta $. Các đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta $ thì:

A. vuông góc với nhau.

B. song song với nhau.

C. cùng vuông góc với một mặt phẳng.

D. cùng thuộc một mặt phẳng.

Lời giải

Chọn D

Suy ra từ tính chất 1 theo SGK hình học 11 trang 100 .

Câu 10. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $BA’$ và $CD$ bằng:

A. ${45^ \circ }$.

B. ${60^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Lời giải

Có $CD//AB \Rightarrow \left( {BA’,CD} \right) = \left( {BA’,BA} \right) = \widehat {ABA’} = {45^ \circ }$ (do $ABB’A’$ là hình vuông).

Câu 11. Qua điểm $O$ cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta $ cho trước?

A. Vô số.

B. 2 .

C. 3 .

D. 1 .

Lời giải

Theo tính chất 1 SGK Hình học 11 trang 100 .

Câu 12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $I$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SC,SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $AH \bot \left( {SCD} \right)$.

B. $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

C. $AK \bot \left( {SCD} \right)$.

D. $BC \bot \left( {SAC} \right)$.

Lời giải

Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{CD \bot SA} \\
{CD \bot AD}
\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK$

Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{AK \bot SD} \\
{AK \bot CD}
\end{array}} \right\} \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right).$

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thi sinh trả lời tù câu 1 đến câu 4. Trong mối ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Cho các biểu thức sau: $A = {log_{{2^{2030}}}}4 – \frac{1}{{1015}} +ln{e^{2035}};$$B = {log_5}3 \cdot {log_2}5 – \frac{{ln9}}{{ln4}}$

a) $A$ chia hết cho 5

b) $A – B = 2036$

c) $A + 2024B = 2035$

d) $A – 2024B = 2035$

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng

Ta có: $A = {log_{{2^{2030}}}}4 – \frac{1}{{1015}} +ln{e^{2035}}$$ = {log_{{2^{2030}}}}{2^2} – \frac{1}{{1015}} + 2035$

$ = \frac{2}{{2030}} – \frac{1}{{1015}} + 2035 = 2035$.

Ta có: $B = {log_5}3.{log_2}5 – \frac{{ln9}}{{ln4}} = {log_2}5.{log_5}3 – {log_4}9$

$ = {log_2}3 – {log_{{2^2}}}{3^2} = {log_2}3 – {log_2}3 = 0$.

Câu 2. Cho phương trình ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x – 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}$. Biết phương trình có 1 nghiệm là $x = a$. Khi đó:

a) $a > 0$

b) Ba số $a,2,3$ tạo thành cấp số cộng với công sai bằng $d = 1$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} ({x^2} + 2x + 5) = 7$

d) Phương trình ${x^2} + x + a = 0$ vô nghiệm

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x – 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x – 5}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ – x – 3}} \Leftrightarrow x – 5 = – x – 3 \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 1$.

b) Ba số $a,2,3$ tạo thành cấp số cộng với công sai bằng $d = 1$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} ({x^2} + 2x + 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 2x + 5) = 8$

d) ${x^2} + x + 1 > 0,\forall x$

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của đoạn $SB,SD$. Khi đó:

a) $MN//BD$.

b) $MN$ và $AC$ là hai đường thẳng chéo nhau.

c) $AC \bot BD$

d) $\left( {MN,AC} \right) = {90^ \circ }$

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Xét tam giác $SBD$ có $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN//BD$. (1)

Mặt khác: $AC \bot BD$ (hai đường chéo trong hình thoi). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC \bot MN$ hay $\left( {MN,AC} \right) = {90^ \circ }$.

Câu 4. Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $OK$ là đường cao của tam giác $OBC$ và $OH$ là đường cao của tam giác $OAK$. Khi đó:

a) $OA \bot \left( {OBC} \right)$.

b) $OB \bot \left( {OAC} \right)$.

c) Các cạnh đối nhau trong tứ diện $OABC$ thì vuông góc với nhau.

d) $OH$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OA \bot OB} \\
{OA \bot OC}
\end{array} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right);} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OB \bot OA} \\
{OB \bot OC}
\end{array} \Rightarrow OB \bot \left( {OAC} \right);} \right.$

Vì $OA \bot \left( {OBC} \right)$ mà $BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC$.

Vì $OB \bot \left( {OAC} \right)$ mà $AC \subset \left( {OAC} \right) \Rightarrow OB \bot AC$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OC \bot OA} \\
{OC \bot OB}
\end{array} \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)} \right.$, mà $AB \subset \left( {OAB} \right) \Rightarrow OC \bot AB$.

Vậy các cặp cạnh đối nhau của tứ diện $OABC$ vuông góc với nhau.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot OK} \\
{BC \bot OA\left( {\;do\;OA \bot \left( {OBC} \right)} \right)}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {OAK} \right);} \right.$

mà $OH \subset \left( {OAK} \right) \Rightarrow OH \bot BC$.

Khi đó:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OH \bot AK} \\
{OH \bot BC} \\
{AK \cap BC = K\; \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\;} \\
{AK,BC \subset \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.$

Phần 3. Câu trả lời ngắn. Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là $4 \cdot {10^5}\;{m^3}$. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây lấy gỗ trong khu rừng này là $4\% $ mỗi năm. Hỏi sau 5 năm không khai thác, khu rừng sẽ có số mét khối gỗ là bao nhiêu?

Lời giải

Nếu trữ lượng gỗ của khu rừng ban đầu là $A$ thì sau năm thứ nhất, lượng gỗ có được là $A + Ar = A\left( {1 + r} \right)$ với $r$ là tốc độ tăng trưởng mỗi năm.

Sau năm thứ hai, lượng gỗ có được là $A\left( {1 + r} \right) + A\left( {1 + r} \right) \cdot r = A{(1 + r)^2}$.

Theo phương pháp quy nạp, ta chứng minh được công thức tính lượng gỗ trong khu rừng là ${T_n} = A{(1 + r)^n}$ với $A$ là lượng gỗ ban đầu, $r$ là tốc độ tăng trưởng mỗi năm và $n$ là số năm tăng trưởng của rừng.

Vậy sau 5 năm, lượng gỗ trong khu rừng là:

${T_5} = 4 \cdot {10^5}{\left( {1 + \frac{4}{{100}}} \right)^5} = 486661,161\left( {\;{m^3}} \right)$

Câu 2. Cho ${log_a}b = 2$ và ${log_a}c = 3$. Tính $Q = {log_a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)$.

Lời giải

Ta có: $Q = {log_a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) = {log_a}{b^2} + {log_a}{c^3}$ $ = 2{log_a}b + 3{log_a}c = 2.2 + 3.3 = 13$.

Câu 3. Tìm $m$ để hàm số $y = {log_{0,5}}\left( {m{x^2} – mx + 1} \right)$ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Lời giải

Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m{x^2} – mx + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)$.

Trường hợp $1:m = 0$.

(*) trở thành $1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ (đúng) nên $m = 0$ thoả mãn.

Trường hợp 2: $m \ne 0$.

(*) tương đương với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0} \\
{\Delta = {m^2} – 4m < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0} \\
{0 < m < 4}
\end{array} \Leftrightarrow 0 < m < 4} \right.} \right.$.

Vậy $0 \leqslant m < 4$ thoả mãn đề bài.

Câu 4. Anh Hưng gửi tiết kiệm khoản tiền 700 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $7\% $ / năm theo hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để anh Hưng thu được ít nhất 1 tỉ đồng (cả vốn lẫn lãi). Cho biết công thức lãi kép là $T = A \cdot {(1 + r)^n}$, trong đó $A$ là tiền vốn, $T$ là tiền vốn và lãi nhận được sau $n$ năm, $r$ là lãi suất/năm.

Lời giải

Ta có: $T \geqslant 1000 \Leftrightarrow 700{(1 + 7\% )^n} \geqslant 1000 \Leftrightarrow 1,{07^n} \geqslant \frac{{10}}{7}$

$ \Leftrightarrow n \geqslant {log_{1,07}}\left( {\frac{{10}}{7}} \right) \approx 5,27$ (do $1,07 > 1$ ).

Vậy thời gian gửi tiết kiệm phải ít nhất 6 năm thì anh Hưng mới thu được ít nhât 1 tỉ đồng.

Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau, biết $AB = AC = AD = 1$.

Tìm số đo của góc $\left( {AB,CD} \right)$.

Lời giải

Theo định lí Pythagore, ta tính được $BC = CD = BD = \sqrt 2 $.

Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AC,AD$.

Tam giác $ABC$ có $MN$ là đường trung bình nên

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//AB} \\
{MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$

Tam giác $ACD$ có $NP$ là đường trung bình nên

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{NP//CD} \\
{NP = \frac{1}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường trung tuyến $AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Tam giác $AMP$ vuông tại $A$ có:

$MP = \sqrt {A{M^2} + A{P^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//AB} \\
{NP//CD}
\end{array} \Rightarrow \left( {AB,CD} \right) = \left( {MN,NP} \right)} \right.$.

Tam giác $MNP$ có: $M{N^2} = \frac{1}{4},N{P^2} = \frac{1}{2},M{P^2} = \frac{3}{4}$ hay $M{N^2} + N{P^2} = M{P^2}$.

Suy ra tam giác $MNP$ vuông tại $N$.

Vậy $\left( {AB,CD} \right) = \left( {MN,NP} \right) = {90^ \circ }$ hay $AB \bot CD$.

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và đáy $ABCD$ là hình vuông. Từ $A$ kẻ $AM \bot SB$. Tìm số đo của góc $\left( {AM,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Lời giải

Do $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (1).

Do $ABCD$ là hình vuông nên $BC \bot AB$ (2).

Từ (1), (2) $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\left( 3 \right)$.

Theo giả thiết, ta có $AM \bot SB$ (4).

Từ (3), (4) $ \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)$.