Các Dạng Toán Bài Giá Trị Góc Lượng Giác Từ 0_­­_­⁰ Đến 180⁰ Giải Chi Tiết

Các dạng toán bài Giá trị góc lượng giác từ 0_­­_­⁰ đến 180⁰ giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

• Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = 2\sin ({180^0} – \alpha ) + \sin \alpha + cos({180^0} – \alpha ) + cos\alpha $

b) $B = 5\tan ({180^0} – \alpha ) + 5\tan \alpha + 3\cot ({180^0} – \alpha ) + \cot \alpha $

Lời giải

a) Áp dụng công thức hai góc bù nhau

* $\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha $

* $cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $

Ta có:

$A = 2\sin ({180^0} – \alpha ) + \sin \alpha + cos({180^0} – \alpha ) + cos\alpha $

$ = 2\sin \alpha + \sin \alpha – cos\alpha + cos\alpha = 3\sin \alpha $

b) Áp dụng công thức hai góc bù nhau

* $\tan \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \tan \alpha $

* $\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cot \alpha $

Ta có:

$B = 5\tan ({180^0} – \alpha ) + 5\tan \alpha + 3\cot ({180^0} – \alpha ) + \cot \alpha $

$ = – 5\tan \alpha + 5\tan \alpha – 3\cot \alpha + \cot \alpha = – 2\cot \alpha $

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = {a^2}sin{90^ \circ } + {b^2}cos{90^ \circ } + {c^2}cos{180^ \circ }$

b) $B = 3 – si{n^2}{90^ \circ } + 2co{s^2}{60^ \circ } – 3ta{n^2}{45^ \circ }$

Lời giải

a) $A = {a^2}sin{90^ \circ } + {b^2}cos{90^ \circ } + {c^2}cos{180^ \circ } = {a^2} \cdot 1 + {b^2} \cdot 0 + {c^2} \cdot \left( { – 1} \right) = {a^2} – {c^2}$.

b) $B = 3 – si{n^2}{90^ \circ } + 2co{s^2}{60^ \circ } – 3ta{n^2}{45^ \circ } = 3 – {(1)^2} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} – 3{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 1$.

Bài 3. Đơn giản biểu thức sau:

a) $A = sin{100^ \circ } + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } + cos{164^ \circ }$.

b) $B = 2sin\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right) \cdot cot\alpha + cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right) \cdot tan\alpha \cdot cot\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$ với ${0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }$.

Lời giải

a) Áp dụng công thức hai góc bù nhau

* $\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha $ hay $\sin \alpha = \sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right)$

* $cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $ hay $cos\alpha = – cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right)$

Ta có:

$A = sin{100^ \circ } + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } + cos{164^ \circ }$

$ = sin\left( {{{180}^ \circ } – {{80}^ \circ }} \right) + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } + cos\left( {{{180}^ \circ } – {{16}^ \circ }} \right)$

$ = sin{80^ \circ } + sin{80^ \circ } + cos{16^ \circ } – cos{16^ \circ }$$ = 2sin{80^ \circ }$

b) Áp dụng công thức hai góc bù nhau

* $\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha $

* $cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $

* $\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cot \alpha $

Ta có:

$B = 2sin\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right) \cdot cot\alpha + cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right) \cdot tan\alpha \cdot cot\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$

$ = 2sin\alpha \cdot cot\alpha + cos\alpha \cdot tan\alpha \cdot cot\alpha $

$ = 2sin\alpha \cdot \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }} + cos\alpha $$ = 3cos\alpha $

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A = si{n^2}{3^ \circ } + co{s^2}{177^ \circ } + si{n^2}{1^ \circ } + co{s^2}{179^ \circ }$

b) $B = cos{0^ \circ } + cos{20^ \circ } + cos{40^ \circ } + \ldots + cos{160^ \circ } + cos{180^ \circ }$

c) $C = tan{5^ \circ }tan{10^ \circ }tan{15^ \circ } \ldots tan{80^ \circ }tan{85^ \circ }$

Lời giải

a) Ta có:

$cos17{7^ \circ } = – co\operatorname{s} ({180^0} – {177^0}) = – cos{3^0}$

$cos17{9^ \circ } = – co\operatorname{s} ({180^0} – {179^0}) = – cos{1^0}$

Nên

$A = si{n^2}{3^ \circ } + co{s^2}{177^ \circ } + si{n^2}{1^ \circ } + co{s^2}{179^ \circ }$

$ = \left( {si{n^2}{3^ \circ } + co{s^2}{3^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{1^ \circ } + co{s^2}{1^ \circ }} \right) = 1 + 1 = 2$

b) Áp dụng công thức hai góc bù nhau

$cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – cos\alpha $

Ta có:

$B = \left( {cos{0^ \circ } + cos{{180}^ \circ }} \right) + \left( {cos{{20}^ \circ } + cos{{160}^ \circ }} \right) + \ldots + \left( {cos{{80}^ \circ } + cos{{100}^ \circ }} \right)$

$ = \left( {cos{0^ \circ } – cos{0^ \circ }} \right) + \left( {cos{{20}^ \circ } – cos{{20}^ \circ }} \right) + \ldots + \left( {cos{{80}^ \circ } – cos{{80}^ \circ }} \right) = 0$

c) Áp dụng công thức hai góc phụ nhau

$\cot ({90^0} – \alpha ) = \tan \alpha $ hay $\tan \alpha = \cot ({90^0} – \alpha )$

Ta có:

$C = \left( {tan{5^ \circ }tan{{85}^ \circ }} \right)\left( {tan1{0^ \circ }tan8{0^ \circ }} \right)….\left( {tan4{0^ \circ }tan5{0^ \circ }} \right).\tan {45^0}$

$ = \left( {tan{5^ \circ }cot(9{0^0} – {{85}^ \circ })} \right)\left( {tan{{10}^ \circ }cot(9{0^0} – {{80}^ \circ })} \right) \ldots \left( {tan{{40}^ \circ }cot(9{0^0} – {{50}^ \circ })} \right).\tan {45^0}$

$ = \left( {tan{5^ \circ }cot{5^ \circ }} \right)\left( {tan1{0^ \circ }cot1{0^ \circ }} \right) \ldots \left( {tan{{40}^ \circ }cot4{0^ \circ }} \right).\tan {45^0} = 1.1…1.1 = 1$ ( Do$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$ )

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

• Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

Bài 1. Cho $cos\alpha = – \frac{2}{3}$ và $sin\alpha > 0$. Tính giá trị lượng giác còn lại.

Lời giải

Ta có $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow si{n^2}\alpha = 1 – co{s^2}\alpha $

$ \Rightarrow sin\alpha = \sqrt {1 – co{s^2}\alpha } = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$(Do $sin\alpha > 0$)

$cot\alpha = \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }} = \frac{{ – \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = – \frac{2}{{\sqrt 5 }}$

$tan\alpha cot\alpha = 1 \Rightarrow cot\alpha = \frac{1}{{tan\alpha }} = – \frac{{\sqrt 5 }}{2}$

Bài 2. Cho $sin\alpha = \frac{1}{3}$ với ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$. Tính giá trị lượng giác còn lại.

Lời giải

Vì ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$ nên $cos\alpha < 0$

Mặt khác $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha $

suy ra $cos\alpha = – \sqrt {1 – si{n^2}\alpha } = – \sqrt {1 – \frac{1}{9}} = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Do đó:

$tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$

$tan\alpha cot\alpha = 1 \Rightarrow cot\alpha = \frac{1}{{tan\alpha }} = – 2\sqrt 2 $

Bài 3. Cho $tan\alpha = – 2\sqrt 2 $. Tính giá trị lượng giác còn lại.

Lời giải

Ta có $tan\alpha cot\alpha = 1 \Rightarrow cot\alpha = \frac{1}{{tan\alpha }} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$

Vì $tan\alpha = – 2\sqrt 2 < 0 \Rightarrow cos\alpha < 0$ mặt khác $ta{n^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}$ Nên $cos\alpha = – \sqrt {\frac{1}{{ta{n^2} + 1}}} = – \sqrt {\frac{1}{{8 + 1}}} = – \frac{1}{3}$

Ta có $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} \Rightarrow sin\alpha = tan\alpha \cdot cos\alpha = – 2\sqrt 2 \cdot \left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Bài 4. Cho $cos\alpha = \frac{3}{4}$ với ${0^ \circ } < \alpha < {90^ \circ }$. Tính $A = \frac{{tan\alpha + 3cot\alpha }}{{tan\alpha + cot\alpha }}$.

Lời giải

Ta có $A = \frac{{tan\alpha + 3\frac{1}{{tan\alpha }}}}{{tan\alpha + \frac{1}{{tan\alpha }}}} = \frac{{ta{n^2}\alpha + 3}}{{ta{n^2}\alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{{co{s^2}\alpha }} + 2}}{{\frac{1}{{co{s^2}\alpha }}}} = 1 + 2co{s^2}\alpha $

Suy ra $A = 1 + 2 \cdot \frac{9}{{16}} = \frac{{17}}{8}$

Bài 5. Cho góc $\alpha \left( {{0^ \circ } < \alpha < {{180}^ \circ }} \right)$ thỏa mãn $tan\alpha = 3$.

Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{2sin\alpha – 3cos\alpha }}{{3sin\alpha + 2cos\alpha }}$.

Lời giải

Ta có $tan\alpha = 3 \Rightarrow cos\alpha \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $cos\alpha $ ta được

$P = \frac{{2sin\alpha – 3cos\alpha }}{{3sin\alpha + 2cos\alpha }} = \frac{{2tan\alpha – 3}}{{3tan\alpha + 2}} = \frac{3}{{11}}.$

Bài 6. Cho $tan\alpha = \sqrt 2 $. Tính $B = \frac{{sin\alpha – cos\alpha }}{{si{n^3}\alpha + 3co{s^3}\alpha + 2sin\alpha }}$

Lời giải

Ta có $tan\alpha = 3 \Rightarrow cos\alpha \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho $co{s^3}\alpha $ ta

$B = \frac{{\frac{{sin\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} – \frac{{cos\alpha }}{{co{s^3}\alpha }}}}{{\frac{{si{n^3}\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} + \frac{{3co{s^3}\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} + \frac{{2sin\alpha }}{{co{s^3}\alpha }}}}$

$ = \frac{{tan\alpha \left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right) – \left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right)}}{{ta{n^3}\alpha + 3 + 2tan\alpha \left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right)}}$

Suy ra $B = \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + 1} \right) – \left( {2 + 1} \right)}}{{2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 \left( {2 + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}}{{3 + 8\sqrt 2 }}$.

Bài 7. Biết $sinx + cosx = m$

a) Tìm $\left| {si{n^4}x – co{s^4}x} \right|$.

b) Chứng minh rằng $\left| m \right| \leqslant \sqrt 2 $.

Lời giải

a) Ta có ${(sinx + cosx)^2} = si{n^2}x + 2sinxcosx + co{s^2}x = 1 + 2sinxcosx\;\left( * \right)$

Mặt khác $sinx + cosx = m$ nên ${m^2} = 1 + 2sin\alpha cos\alpha $ hay $sin\alpha cos\alpha = \frac{{{m^2} – 1}}{2}$

Đặt $A = \left| {si{n^4}x – co{s^4}x} \right|$. Ta có $A = \left| {\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right)\left( {si{n^2}x – co{s^2}x} \right)} \right| = \left| {\left( {sinx + cosx} \right)\left( {sinx – cosx} \right)} \right|$

$ \Rightarrow {A^2} = {(sinx + cosx)^2}{(sinx – cosx)^2} = \left( {1 + 2sinxcosx} \right)\left( {1 – 2sinxcosx} \right)$

$ \Rightarrow {A^2} = \left( {1 + \frac{{{m^2} – 1}}{2}} \right)\left( {1 – \frac{{{m^2} – 1}}{2}} \right) = \frac{{3 + 2{m^2} – {m^4}}}{4}$. Vậy $A = \frac{{\sqrt {3 + 2{m^2} – {m^4}} }}{2}$

b) Ta có $2sinxcosx \leqslant si{n^2}x + co{s^2}x = 1$

Kết hợp với (*) suy ra ${(sinx + cosx)^2} \leqslant 2 \Rightarrow \left| {sinx + cosx} \right| \leqslant \sqrt 2 $

DẠNG 3: RÚT GỌN ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC-CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

$A = sin\left( {{{90}^ \circ } – x} \right) + cos\left( {{{180}^ \circ } – x} \right) + si{n^2}x\left( {1 + ta{n^2}x} \right) – ta{n^2}x$

Lời giải

$A = sin\left( {{{90}^ \circ } – x} \right) + cos\left( {{{180}^ \circ } – x} \right) + si{n^2}x\left( {1 + ta{n^2}x} \right) – ta{n^2}x$

$ = cosx – cosx + si{n^2}x \cdot \frac{1}{{co{s^2}x}} – ta{n^2}x = 0$

Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

$B = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{1}{{1 + cosx}} + \frac{1}{{1 – cosx}}} – \sqrt 2 $

Lời giải

$B = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{{1 – cosx + 1 + cosx}}{{\left( {1 – cosx} \right)\left( {1 + cosx} \right)}}} – \sqrt 2 $

$ = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{2}{{1 – co{s^2}x}}} – \sqrt 2 = \frac{1}{{sinx}} \cdot \sqrt {\frac{2}{{si{n^2}x}}} – \sqrt 2 $

$ = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{si{n^2}x}} – 1} \right) = \sqrt 2 co{t^2}x$

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) $si{n^4}x + co{s^4}x = 1 – 2si{n^2}x \cdot co{s^2}x$

b) $\frac{{1 + cotx}}{{1 – cotx}} = \frac{{tanx + 1}}{{tanx – 1}}$

c) $\frac{{cosx + sinx}}{{co{s^3}x}} = ta{n^3}x + ta{n^2}x + tanx + 1$

Lời giải

a) $si{n^4}x + co{s^4}x = si{n^4}x + co{s^4}x + 2si{n^2}xco{s^2}x – 2si{n^2}xco{s^2}x$

$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{\; = {{\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right)}^2} – 2si{n^2}xco{s^2}x} \\
{}&{\; = 1 – 2si{n^2}xco{s^2}x}
\end{array}$

b) $\frac{{1 + cotx}}{{1 – cotx}} = \frac{{1 + \frac{1}{{tanx}}}}{{1 – \frac{1}{{tanx}}}} = \frac{{\frac{{tanx + 1}}{{tanx}}}}{{\frac{{tanx – 1}}{{tanx}}}} = \frac{{tanx + 1}}{{tanx – 1}}$

c) $\frac{{cosx + sinx}}{{co{s^3}x}} = \frac{1}{{co{s^2}x}} + \frac{{sinx}}{{co{s^3}x}} = ta{n^2}x + 1 + tanx\left( {ta{n^2}x + 1} \right)$

$ = ta{n^3}x + ta{n^2}x + tanx + 1$

Bài 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$.

a) $A = ta{n^2}xsi{n^2}x – ta{n^2}x + si{n^2}x$

b) $B = \sqrt {si{n^4}x + 6co{s^2}x + 3co{s^4}x} + \sqrt {co{s^4}x + 6si{n^2}x + 3si{n^4}x} $

Lời giải

a) $A = ta{n^2}xsi{n^2}x – ta{n^2}x + si{n^2}x$

$A = ta{n^2}x\left( {si{n^2}x – 1} \right) + si{n^2}x$

$ = \frac{{si{n^2}x}}{{co{s^2}x}}\left( { – co{s^2}x} \right) + si{n^2}x = 0$

Vậy $A$ không phụ thuộc vào $x$.

b) $B = \sqrt {si{n^4}x + 6co{s^2}x + 3co{s^4}x} + \sqrt {co{s^4}x + 6si{n^2}x + 3si{n^4}x} $

$B = \sqrt {{{\left( {1 – co{s^2}x} \right)}^2} + 6co{s^2}x + 3co{s^4}x} + \sqrt {{{\left( {1 – si{n^2}x} \right)}^2} + 6si{n^2}x + 3si{n^4}x} $

$ = \sqrt {4co{s^4}x + 4co{s^2}x + 1} + \sqrt {4si{n^4}x + 4si{n^2}x + 1} $

$ = \sqrt {{{\left( {2co{s^2}x + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2si{n^2}x + 1} \right)}^2}} $

$ = 2co{s^2}x + 1 + 2si{n^2}x + 1 = 3$

Vậy $B$ không phụ thuộc vào $x$.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\frac{{si{n^3}\frac{B}{2}}}{{cos\left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}} + \frac{{co{s^3}\frac{B}{2}}}{{sin\left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}} – \frac{{cos\left( {A + C} \right)}}{{sinB}} \cdot tanB = 2$

Lời giải

Vì $A + B + C = {180^ \circ }$ nên

$VT = \frac{{si{n^3}\frac{B}{2}}}{{cos\left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}} + \frac{{co{s^3}\frac{B}{2}}}{{sin\left( {\frac{{{{180}^ \circ } – B}}{2}} \right)}} – \frac{{cos\left( {{{180}^ \circ } – B} \right)}}{{sinB}} \cdot tanB$

$ = \frac{{si{n^3}\frac{B}{2}}}{{sin\frac{B}{2}}} + \frac{{co{s^3}\frac{B}{2}}}{{cos\frac{B}{2}}} – \frac{{ – cosB}}{{sinB}} \cdot tanB = si{n^2}\frac{B}{2} + co{s^2}\frac{B}{2} + 1 = 2 = VP$

Suy ra điều phải chứng minh.