- Các Dạng Toán Bài Giá Trị Góc Lượng Giác Từ 00 Đến 1800 Giải Chi Tiết
- 70 Câu Trắc Nghiệm Giá Trị Góc Lượng Giác Từ 00 Đến 1800 Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Bài Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Giải Chi Tiết
- 50 Câu Trắc Nghiệm Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Giải Chi Tiết
- 20 Câu Trắc Nghiệm Ứng Dụng Thực Tế Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Giải Chi Tiết
- 20 Câu Trắc Nghiệm Nhận Dạng Tam Giác Lớp 10 Giải Chi Tiết
70 Câu trắc nghiệm bài Giá trị góc lượng giác từ 00 đến 1800 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC-TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Cho $\alpha $ là góc nhọn. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $sin\alpha < 0$.
B. $cos\alpha > 0$.
C. $tan\alpha < 0$.
D. $cot\alpha < 0$.
Lời giải
Chọn C.
$\alpha $ là góc nhọn suy ra $cos\alpha > 0$.
Câu 2. Cho $\alpha $ là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $sin\alpha < 0$.
B. $cos\alpha > 0$.
C. $tan\alpha < 0$.
D. $cot\alpha > 0$.
Lời giải
Chọn C.
$\alpha $ là góc tù suy ra : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sin\alpha > 0} \\
{cos\alpha < 0}
\end{array} \Rightarrow tan\alpha < 0} \right.$.
Câu 3. Cho hai góc nhọn $\alpha $ và $\beta $ trong đó $\alpha < \beta $. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $sin\alpha < sin\beta $.
B. $cos\alpha < cos\beta $.
C. $cos\alpha = sin\beta \Leftrightarrow \alpha + \beta = {90^ \circ }$.
D. $cot\alpha + tan\beta > 0$.
Lời giải
Chọn B.
$\alpha $ và $\beta $ là hai góc nhọn $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sinx > 0} \\
{cosx > 0}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{tanx > 0} \\
{cotx > 0}
\end{array} \Rightarrow tanx + cotx > 0} \right.} \right.$.
$\alpha + \beta = {90^ \circ } \Rightarrow sin\beta = sin\left( {{{90}^ \circ } – \alpha } \right) = cos\alpha $.
Với $\alpha < \beta $, biểu diễn trên nửa đường tròn đơn vị. Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sin\alpha < sin\beta } \\
{cos\alpha > cos\beta }
\end{array}} \right.$.
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. $cos\alpha = – cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
B. $cot\alpha = cot\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
C. $tan\alpha = tan\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
D. $sin\alpha = – sin\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
Lời giải
Chọn A.
Với hai góc bù nhau ta có $cos\alpha = – cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)$.
Câu 5. Cho hai góc nhọn $\alpha $ và $\beta (\alpha < \beta )$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $cos\alpha < cos\beta $.
B. $sin\alpha < sin\beta $.
C. $tan\alpha + tan\beta > 0$.
D. $cot\alpha > cot\beta $.
Lời giải
Chọn A.
Câu 6. Cho góc $\alpha $ tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $sin\alpha < 0$.
B. $cos\alpha > 0$.
C. $tan\alpha > 0$.
D. $cot\alpha < 0$.
Lời giải
Chọn D.
Câu 7. Cho $\alpha $ và $\beta $ là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
A. $sin\alpha = sin\beta $.
B. $cos\alpha = – cos\beta $.
C. $tan\alpha = – tan\beta $.
D. $cot\alpha = cot\beta $.
Lời giải
Chọn D.
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 8. Bất đẳng thức nào dưới đây là sai?
A. $cos{75^ \circ } > cos{50^ \circ }$.
B. $sin{80^0} > sin{50^0}$.
C. $tan{45^ \circ } < tan{60^ \circ }$.
D. $cos{30^ \circ } = sin{60^ \circ }$.
Lời giải
Chọn A.
Câu 9. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. $sin{90^ \circ } < sin{100^ \circ }$.
B. $cos{95^0} > cos{100^0}$.
C. $tan{85^ \circ } < tan{125^0}$.
D. $cos{145^ \circ } > cos{125^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B.
Câu 10. Cho góc $\alpha \in \left( {{{90}^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $sin\alpha $ và $cot\alpha $ cùng dấu.
B. Tích $sin\alpha \cdot cot\alpha $ mang dấu âm.
C. Tích $sin\alpha \cdot cos\alpha $ mang dấu dương.
D. $sin\alpha $ và $tan\alpha $ cùng dấu.
Lời giải
Chọn B
Với $\alpha \in \left( {{{90}^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$, ta có $sin\alpha > 0,cos\alpha < 0$ suy ra: $tan\alpha < 0,cot\alpha < 0$
Vậy $sin\alpha \cdot cot\alpha < 0$
Câu 11. Cho góc $\alpha $ tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $sin\alpha < 0$.
B. $cos\alpha > 0$.
C. $tan\alpha > 0$.
D. $cot\alpha < 0$.
Lời giải
Chọn D
Câu 12. Hai góc nhọn $\alpha $ và $\beta $ phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?
A. $sin\alpha = cos\beta $.
B. $tan\alpha = cot\beta $.
C. $cot\beta = \frac{1}{{cot\alpha }}$.
D. $cos\alpha = – sin\beta $.
Lời giải
Chọn D
$cos\alpha = cos\left( {{{90}^ \circ } – \beta } \right) = sin\beta $.
Câu 13. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
A. $sin{150^ \circ } = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
B. $cos{150^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C. $tan{150^ \circ } = – \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
D. $cot{150^ \circ } = \sqrt 3 $
Lời giải
Chọn C
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 14. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. $sin{90^ \circ } < sin{100^ \circ }$.
B. $cos{95^ \circ } > cos{100^ \circ }$.
C. $tan{85^ \circ } < tan{125^ \circ }$.
D. $cos{145^ \circ } > cos{125^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B
Câu 15. Giá trị của $tan{45^ \circ } + cot{135^ \circ }$ bằng bao nhiêu?
A. 2 .
B. 0 .
C. $\sqrt 3 $.
D. 1 .
Lời giải
Chọn B
$tan{45^ \circ } + cot{135^ \circ } = 1 – 1 = 0$
Câu 16. Giá trị của $cos{30^ \circ } + sin{60^ \circ }$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C. $\sqrt 3 $.
D. 1 .
Lời giải
Chọn C
$cos{30^ \circ } + sin{60^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 $.
Câu 17. Giá trị của $cos{60^ \circ } + sin{30^ \circ }$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
B. $\sqrt 3 $.
C. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
D. 1
Lời giải
Chọn D
Ta có $cos{60^ \circ } + sin{30^ \circ } = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Câu 18. Giá trị của $tan{30^ \circ } + cot{30^ \circ }$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{4}{{\sqrt 3 }}$.
B. $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}$.
C. $\frac{2}{{\sqrt 3 }}$.
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
$tan{30^ \circ } + cot{30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 19. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
A. $sin{0^ \circ } + cos{0^ \circ } = 1$.
B. $sin{90^ \circ } + cos{90^ \circ } = 1$.
C. $sin{180^ \circ } + cos{180^ \circ } = – 1$.
D. $sin{60^ \circ } + cos{60^ \circ } = 1$.
Lời giải
Chọn D
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 20. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $cos{60^ \circ } = sin{30^ \circ }$.
B. $cos{60^ \circ } = sin{120^ \circ }$.
C. $cos{30^ \circ } = sin{120^ \circ }$.
D. $sin{60^ \circ } = – cos{120^ \circ }$.
Lời giải
Chọn B
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 21. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. $sin{45^ \circ } + sin{45^ \circ } = \sqrt 2 $.
B. $sin{30^ \circ } + cos{60^ \circ } = 1$.
C. $sin{60^ \circ } + cos{150^ \circ } = 0$.
D. $sin{120^ \circ } + cos{30^ \circ } = 0$.
Lời giải
Chọn D
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 22. Cho hai góc nhọn $\alpha $ và $\beta (\alpha < \beta )$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $cos\alpha < cos\beta $.
B. $sin\alpha < sin\beta $.
C. $tan\alpha + tan\beta > 0$.
D. $cot\alpha > cot\beta $.
Lời giải
Chọn B
Biểu diễn lên đường tròn.
Câu 23. Cho $\vartriangle ABC$ vuông tại $A$, góc $B$ bằng ${30^ \circ }$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $cosB = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
B. $sinC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C. $cosC = \frac{1}{2}$.
D. $sinB = \frac{1}{2}$
Lời giải
Chọn A
$cosB = cos{30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
Câu 24. Tính giá trị của biểu thức $P = sin{30^ \circ }cos{60^ \circ } + sin{60^ \circ }cos{30^ \circ }$.
A. $P = 1$.
B. $P = 0$.
C. $P = \sqrt 3 $.
D. $P = – \sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $P = sin{30^ \circ }cos{60^ \circ } + sin{60^ \circ }cos{30^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 1$.
Câu 25. Giá trị của biểu thức $A = si{n^2}{51^ \circ } + si{n^2}{55^ \circ } + si{n^2}{39^ \circ } + si{n^2}{35^ \circ }$ là
A. 3 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
$A = \left( {si{n^2}{{51}^ \circ } + si{n^2}{{39}^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{{55}^ \circ } + si{n^2}{{35}^ \circ }} \right) $
$= \left( {si{n^2}{{51}^ \circ } + co{s^2}{{51}^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{{55}^ \circ } + co{s^2}{{55}^ \circ }} \right) = 2$.
Câu 26. Giá trị của $E = sin{36^ \circ }cos{6^ \circ }sin{126^ \circ }cos{84^ \circ }$ là
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C. 1 .
D. -1 .
Lời giải
Chọn A
$E = sin{36^ \circ }cos{6^ \circ }sin\left( {{{90}^ \circ } + {{36}^ \circ }} \right)cos\left( {{{90}^ \circ } – {6^ \circ }} \right) $
$= sin{36^ \circ }cos{6^ \circ } – cos{36^ \circ }sin{6^ \circ } = sin{30^ \circ } = \frac{1}{2}$
Câu 27. Giá trị của $A = tan{5^ \circ } \cdot tan{10^ \circ } \cdot tan{15^ \circ } \ldots tan{80^ \circ } \cdot tan{85^ \circ }$ là
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. -1 .
Lời giải
Chọn B
$A = \left( {tan{5^ \circ } \cdot tan{{85}^ \circ }} \right) \cdot \left( {tan{{10}^ \circ } \cdot tan{{80}^ \circ }} \right) \ldots \left( {tan{{40}^ \circ }tan{{50}^ \circ }} \right) \cdot tan{45^ \circ } = 1$.
Câu 28. Tổng $si{n^2}{2^ \circ } + si{n^2}{4^ \circ } + si{n^2}{6^ \circ } + \ldots + si{n^2}{84^ \circ } + si{n^2}{86^ \circ } + si{n^2}{88^ \circ }$ bằng
A. 21 .
B. 23 .
C. 22 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn C
$S = si{n^2}{2^ \circ } + si{n^2}{4^ \circ } + si{n^2}{6^ \circ } + \ldots + si{n^2}{84^ \circ } + si{n^2}{86^ \circ } + si{n^2}{88^ \circ }$
$ = \left( {si{n^2}{2^ \circ } + si{n^2}{{88}^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{4^ \circ } + si{n^2}{{86}^ \circ }} \right) + \ldots + \left( {si{n^2}{{44}^ \circ } + si{n^2}{{46}^ \circ }} \right)$
$ = \left( {si{n^2}{2^ \circ } + co{s^2}{2^ \circ }} \right) + \left( {si{n^2}{4^ \circ } + co{s^2}{4^ \circ }} \right) + \ldots + \left( {si{n^2}{{44}^ \circ } + co{s^2}{{44}^ \circ }} \right) = 22$
Câu 29. Giá trị của biểu thức $A = tan{1^ \circ }tan{2^ \circ }tan{3^ \circ } \ldots tan{88^ \circ }tan{89^ \circ }$ là
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn D
$A = \left( {tan{1^ \circ } \cdot tan{{89}^ \circ }} \right) \cdot \left( {tan{2^ \circ } \cdot tan{{88}^ \circ }} \right) \ldots \left( {tan{{44}^ \circ } \cdot tan{{46}^ \circ }} \right) \cdot tan{45^ \circ } = 1$.
Câu 30. Biểu thức $A = cos{20^ \circ } + cos{40^ \circ } + cos{60^ \circ } + \ldots + cos{160^ \circ } + cos{180^ \circ }$ có giá trị bằng
A. 1 .
B. -1 .
C. 2 .
D. -2 .
Lời giải
Chọn B
Ta có $cos\alpha = – cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right)\;$ nên suy ra $cos\alpha + cos\left( {{{180}^ \circ } – \alpha } \right) = 0$.
Do đó:
$A = \left( {cos{{20}^ \circ } + cos{{160}^ \circ }} \right) + \left( {cos{{40}^ \circ } + cos{{140}^ \circ }} \right) + \left( {cos{{60}^ \circ } + cos{{120}^ \circ }} \right)$
$ + \left( {cos{{80}^ \circ } + cos{{100}^ \circ }} \right) + cos{180^ \circ }$$ = cos{180^ \circ } = – 1.$
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
• $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }}\left( {\alpha \ne {{90}^ \circ }} \right)$
• $cot\alpha = \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}\left( {\alpha \ne {0^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$
• $tan\alpha \cdot cot\alpha = 1\left( {\alpha \ne {0^ \circ };{{90}^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$
• $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$
• $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\left( {\alpha \ne {{90}^ \circ }} \right)$
• $1 + co{t^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\left( {\alpha \ne {0^ \circ };{{180}^ \circ }} \right)$
Chú ý: $si{n^2}\alpha = {(sin\alpha )^2};co{s^2}\alpha = {(cosx\alpha )^2};ta{n^2}\alpha = {(tan\alpha )^2};co{t^2}\alpha = {(cot\alpha )^2}$
Câu 31. Biết $sin\alpha = \frac{2}{3},\left( {{{90}^ \circ } < \alpha < {{180}^ \circ }} \right)$. Hỏi giá trị tan $\alpha $ là bao nhiêu?
A. 2 .
B. -2 .
C. $ – \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.
D. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.
Lời giải
Chọn C.
Vì ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ } \Rightarrow cos\alpha < 0 \Rightarrow cos\alpha = – \sqrt {1 – si{n^2}\alpha } = – \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = – \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.
Vậy $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} = – \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.
Câu 32. $cos\alpha $ bằng bao nhiêu nếu $cot\alpha = – \frac{1}{2}$ ?
A. $ \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.
B. $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
C. $ – \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.
D. $ – \frac{1}{3}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $cot\alpha = – \frac{1}{2} \Rightarrow tan\alpha = – 2$.
$1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Leftrightarrow co{s^2}\alpha = \frac{1}{{1 + ta{n^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {{( – 2)}^2}}} = \frac{1}{5}$.
Suy ra $cos\alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.
Câu 33. Cho $sin\alpha = \frac{1}{3}$, với ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$. Tính $cos\alpha $.
A. $cos\alpha = \frac{2}{3}$.
B. $cos\alpha = – \frac{2}{3}$.
C. $cos\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
D. $cos\alpha = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$.
Mặt khác ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$ nên $cos\alpha = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
Câu 34. Cho biết $cos\alpha = – \frac{2}{3}$. Tính $tan\alpha $ ?
A. $\frac{5}{4}$.
B. $ – \frac{5}{2}$.
C. $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
D. $ – \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Do $cos\alpha < 0 \Rightarrow tan\alpha < 0$.
Ta có: $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Leftrightarrow ta{n^2}\alpha = \frac{5}{4} \Rightarrow tan\alpha = – \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.
Câu 35. Cho biết $tan\alpha = \frac{1}{2}$. Tính $cot\alpha $.
A. $cot\alpha = 2$.
B. $cot\alpha = \sqrt 2 $.
C. $cot\alpha = \frac{1}{4}$.
D. $cot\alpha = \frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn A
$tan\alpha \cdot cot\alpha = 1 \Rightarrow cotx = \frac{1}{{tanx}} = 2$.
Câu 36. Nếu $tan\alpha = 3$ thì $cos\alpha $ bằng bao nhiêu?
A. $ – \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $ \pm \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.
D. $\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Leftrightarrow co{s^2}\alpha = \frac{1}{{1 + ta{n^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {3^2}}} = \frac{1}{{10}}$.
Suy ra $cos\alpha = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.
Câu 37. Cho $\alpha $ là góc tù và $sin\alpha = \frac{5}{{13}}$. Giá trị của biểu thức $3sin\alpha + 2cos\alpha $ là
A. $\frac{9}{{13}}$.
B. 3 .
C. $ – \frac{9}{{13}}$.
D. -3 .
Lời giải
Chọn C
Ta có $co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow cos\alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}$
Do $\alpha $ là góc tù nên $cos\alpha < 0$, từ đó $cos\alpha = – \frac{{12}}{{13}}$
Như vậy $3sin\alpha + 2cos\alpha = 3 \cdot \frac{5}{{13}} + 2\left( { – \frac{{12}}{{13}}} \right) = – \frac{9}{{13}}$.
Câu 38. Biết $cot\alpha = – a,a > 0$. Tính $cos\alpha $
A. $cos\alpha = \frac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
B. $cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
C. $cos\alpha = – \frac{1}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
D. $cos\alpha = – \frac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
Lời giải
Chọn D
Do $cot\alpha = – a,a > 0$ nên ${90^ \circ } < \alpha < {180^ \circ }$ suy ra $cos\alpha < 0$.
Mặt khác, $tan\alpha = \frac{1}{{cot\alpha }} \Leftrightarrow tan\alpha = \frac{{ – 1}}{a}$.
Mà ta lại có $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Leftrightarrow co{s^2}\alpha = \frac{1}{{1 + ta{n^2}\alpha }} \Leftrightarrow co{s^2}\alpha = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}$.
Khi đó $cos\alpha = – \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$ và do $a > 0$ nên $cos\alpha = – \frac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.
Câu 39. Cho $cosx = \frac{1}{2}$. Tính biểu thức $P = 3si{n^2}x + 4co{s^2}x$
A. $\frac{{13}}{4}$.
B. $\frac{7}{4}$.
C. $\frac{{11}}{4}$.
D. $\frac{{15}}{4}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $P = 3si{n^2}x + 4co{s^2}x = 3\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right) + co{s^2}x = 3 + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{13}}{4}$.
Câu 40. Cho $\alpha $ là góc tù và $sin\alpha = \frac{4}{5}$. Giá trị của biểu thức $A = 2sin\alpha – cos\alpha $ bằng
A. $\frac{{ – 7}}{5}$.
B. $\frac{7}{5}$.
C. 1 .
D. $\frac{{11}}{5}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $sin\alpha = \frac{4}{5} \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$. Do $\alpha $ là góc tù nên $cos\alpha < 0 \Rightarrow cos\alpha = \frac{{ – 3}}{5}$.
$A = 2sin\alpha – cos\alpha = \frac{{2.4}}{5} – \frac{{ – 3}}{5} = \frac{{11}}{5}$
Câu 41. Cho $sin\alpha = \frac{4}{5}$, với ${90^ \circ } \leqslant \alpha \leqslant {180^ \circ }$. Tính giá trị của $M = \frac{{sin\alpha + cos\alpha }}{{co{s^3}\alpha }}$
A. $M = \frac{{25}}{{27}}$
B. $M = \frac{{175}}{{27}}$.
C. $M = \frac{{35}}{{27}}$.
D. $M = – \frac{{25}}{{27}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$.
Mà ${90^ \circ } \leqslant \alpha \leqslant {180^ \circ } \Rightarrow cos\alpha \leqslant 0 \Rightarrow cos\alpha = \frac{{ – 3}}{5}$.
Từ đó $M = \frac{{sin\alpha + cos\alpha }}{{co{s^3}\alpha }} = \frac{{ – 25}}{{27}}$.
Câu 42. Cho biết $cos\alpha = – \frac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $E = \frac{{cot\alpha + 3tan\alpha }}{{2cot\alpha + tan\alpha }}$ ?
A. $ – \frac{{19}}{{13}}$.
B. $\frac{{19}}{{13}}$.
C. $\frac{{25}}{{13}}$.
D. $ – \frac{{25}}{{13}}$
Lời giải
Chọn B
$E = \frac{{cot\alpha + 3tan\alpha }}{{2cot\alpha + tan\alpha }} = \frac{{1 + 3ta{n^2}\alpha }}{{2 + ta{n^2}\alpha }} = \frac{{3\left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right) – 2}}{{1 + \left( {1 + ta{n^2}\alpha } \right)}} = \frac{{\frac{3}{{co{s^2}\alpha }} – 2}}{{\frac{1}{{co{s^2}\alpha }} + 1}}$
$ = \frac{{3 – 2co{s^2}\alpha }}{{1 + co{s^2}\alpha }} = \frac{{19}}{{13}}.$
Câu 43. Cho biết $cot\alpha = 5$. Tính giá trị của $E = 2co{s^2}\alpha + 5sin\alpha cos\alpha + 1$ ?
A. $\frac{{10}}{{26}}$.
B. $\frac{{100}}{{26}}$.
C. $\frac{{50}}{{26}}$.
D. $\frac{{101}}{{26}}$.
Lời giải
Chọn D
$E = si{n^2}\alpha \left( {2co{t^2}\alpha + 5cot\alpha + \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}} \right) = \frac{1}{{1 + co{t^2}\alpha }}\left( {3co{t^2}\alpha + 5cot\alpha + 1} \right) = \frac{{101}}{{26}}$.
Câu 44. Cho $cot\alpha = \frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $A = \frac{{3sin\alpha + 4cos\alpha }}{{2sin\alpha – 5cos\alpha }}$ là:
A. $ – \frac{{15}}{{13}}$.
B. -13 .
C. $\frac{{15}}{{13}}$.
D. 13 .
Lời giải
Chọn D
$A = \frac{{3sin\alpha + 4sin\alpha \cdot cot\alpha }}{{2sin\alpha – 5sin\alpha \cdot cot\alpha }} = \frac{{3 + 4cot\alpha }}{{2 – 5cot\alpha }} = 13.$
Câu 45. Cho biết $cos\alpha = – \frac{2}{3}$. Giá trị của biểu thức $E = \frac{{cot\alpha – 3tan\alpha }}{{2cot\alpha – tan\alpha }}$ bằng bao nhiêu?
A. $ – \frac{{25}}{3}$.
B. $ – \frac{{11}}{{13}}$.
C. $ – \frac{{11}}{3}$.
D. $ – \frac{{25}}{{13}}$.
Lời giải
Chọn C
$E = \frac{{cot\alpha – 3tan\alpha }}{{2cot\alpha – tan\alpha }} = \frac{{1 – 3ta{n^2}\alpha }}{{2 – ta{n^2}\alpha }} = \frac{{4 – 3\left( {ta{n^2}\alpha + 1} \right)}}{{3 – \left( {1 + ta{n^2}\alpha } \right)}} = \frac{{4 – \frac{3}{{co{s^2}\alpha }}}}{{3 – \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}}} = \frac{{4co{s^2}\alpha – 3}}{{3co{s^2}\alpha – 1}} = – \frac{{11}}{3}$.
Câu 46. Biết $cos\alpha = \frac{1}{3}$. Giá trị đúng của biểu thức $P = si{n^2}\alpha + 3co{s^2}\alpha $ là:
A. $\frac{{11}}{9}$.
B. $\frac{4}{3}$.
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{{10}}{9}$.
Lời giải
Chọn A
$cos\alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow P = si{n^2}\alpha + 3co{s^2}\alpha = \left( {si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha } \right) + 2co{s^2}\alpha = 1 + 2co{s^2}\alpha = \frac{{11}}{9}$.
DẠNG 3: RÚT GỌN ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 47. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
A. $si{n^2}\alpha + cos{\alpha ^2} = 1$.
B. $si{n^2}\alpha + co{s^2}\frac{\alpha }{2} = 1$.
C. $sin{\alpha ^2} + cos{\alpha ^2} = 1$.
D. $si{n^2}2\alpha + co{s^2}2\alpha = 1$.
Lời giải
Chọn D
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 48. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$.
B. $1 + co{t^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\left( {sin\alpha \ne 0} \right)$.
C. $tan\alpha \cdot cot\alpha = – 1\left( {sin\alpha \cdot cos\alpha \ne 0} \right)$.
D. $1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\left( {cos\alpha \ne 0} \right)$.
Lời giải
Chọn C
$tan\alpha \cdot cot\alpha = \frac{{sinx}}{{cosx}} \cdot \frac{{cosx}}{{sinx}} = 1$.
Câu 49. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. $\frac{{1 – cosx}}{{sinx}} = \frac{{sinx}}{{1 + cosx}}\left( {x \ne {0^ \circ },x \ne {{180}^ \circ }} \right)$.
B. $tanx + cotx = \frac{1}{{sinxcosx}}\left( {x \ne {0^ \circ },{{90}^ \circ },{{180}^ \circ }} \right)$
C. $ta{n^2}x + co{t^2}x = \frac{1}{{si{n^2}xco{s^2}x}} – 2\left( {x \ne {0^ \circ },{{90}^ \circ },{{180}^ \circ }} \right)$
D. $si{n^2}2x + co{s^2}2x = 2$.
Lời giải
Chọn D
$si{n^2}2x + co{s^2}2x = 1$.
Câu 50. Rút gọn biểu thức sau $A = \frac{{co{t^2}x – co{s^2}x}}{{co{t^2}x}} + \frac{{sinx \cdot cosx}}{{cotx}}$
A. $A = 4$.
B. $A = 2$.
C. $A = 1$.
D. $A = 3$.
Lời giải
Chọn C
$A = \frac{{co{t^2}x – co{s^2}x}}{{co{t^2}x}} + \frac{{sinx \cdot cosx}}{{cotx}} = \frac{{\frac{{co{s^2}x}}{{si{n^2}x}} – co{s^2}x}}{{\frac{{co{s^2}x}}{{si{n^2}x}}}} + \frac{{sinx \cdot cosx}}{{\frac{{cosx}}{{sinx}}}}$
$\; = \frac{{co{s^2}x\left( {1 – si{n^2}x} \right)}}{{co{s^2}x}} + si{n^2}x = 1 – si{n^2}x + si{n^2}x = 1.$
Câu 51. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. ${(cosx + sinx)^2} + {(cosx – sinx)^2} = 2,\forall x$.
B. $ta{n^2}x – si{n^2}x = ta{n^2}xsi{n^2}x,\forall x \ne {90^ \circ }$
C. $si{n^4}x + co{s^4}x = 1 – 2si{n^2}xco{s^2}x,\forall x$.
D. $si{n^6}x – co{s^6}x = 1 – 3si{n^2}xco{s^2}x,\forall x$
Lời giải
Chọn D
$si{n^6}x – co{s^6}x = \left( {si{n^2}x – co{s^2}x} \right)\left( {1 – si{n^2}xco{s^2}x} \right)$.
Câu 52. Biểu thức ${(cota + tana)^2}$ bằng
A. $\frac{1}{{si{n^2}\alpha }} – \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}$.
B. $co{t^2}a + ta{n^2}a2$.
C. $\frac{1}{{si{n^2}\alpha }} + \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}$.
D. $co{t^2}ata{n^2}a + 2$.
Lời giải
Chọn C
${(cota + tana)^2} = co{t^2}a + 2cota \cdot tana + ta{n^2}a $
$= \left( {co{t^2}a + 1} \right) + \left( {ta{n^2}a + 1} \right) = \frac{1}{{si{n^2}a}} + \frac{1}{{co{s^2}a}}$.
Câu 53. Rút gọn biểu thức sau $A = {(tanx + cotx)^2} – {(tanx – cotx)^2}$
A. $A = 4$.
B. $A = 1$.
C. $A = 2$.
D. $A = 3$
Lời giải
Chọn A
$A = \left( {ta{n^2}x + 2tanx \cdot cotx + co{t^2}x} \right) – \left( {ta{n^2}x – 2tanx \cdot cotx + co{t^2}x} \right) = 4$.
Câu 54. Đơn giản biểu thức $G = \left( {1 – si{n^2}x} \right)co{t^2}x + 1 – co{t^2}x$.
A. $si{n^2}x$.
B. $co{s^2}x$.
C. $\frac{1}{{cosx}}$.
D. $cosx$.
Lời giải
Chọn A
$G = \left[ {\left( {1 – si{n^2}x} \right) – 1} \right]co{t^2}x + 1 = – si{n^2}x \cdot co{t^2}x + 1 = 1 – co{s^2}x = si{n^2}x$.
Câu 55. Đơn giản biểu thức $E = cotx + \frac{{sinx}}{{1 + cosx}}$ ta được
A. $sinx$.
B. $\frac{1}{{cosx}}$.
C. $\frac{1}{{sinx}}$.
D. $cosx$.
Lời giải
Chọn C
$E = cotx + \frac{{sinx}}{{1 + cosx}} = \frac{{cosx}}{{sinx}} + \frac{{sinx}}{{1 + cosx}} = \frac{{cosx\left( {1 + cosx} \right) + sinx \cdot sinx}}{{sinx\left( {1 + cosx} \right)}}$
$ = \frac{{cosx\left( {1 + cosx} \right) + \left( {1 – co{s^2}x} \right)}}{{sinx\left( {1 + cosx} \right)}} = \frac{{cosx\left( {1 + cosx} \right) + \left( {1 + cosx} \right)\left( {1 – cosx} \right)}}{{sinx\left( {1 + cosx} \right)}}$
$ = \frac{1}{{sinx}}$
Câu 56. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{1 – si{n^2}x}}{{2sinx \cdot cosx}}$ ta được
A. $P = \frac{1}{2}tanx$.
B. $P = \frac{1}{2}cotx$.
C. $P = 2cotx$.
D. $P = 2tanx$.
Lời giải
Chọn B
$P = \frac{{1 – si{n^2}x}}{{2sinx \cdot cosx}} = \frac{{co{s^2}x}}{{2sinx \cdot cosx}} = \frac{{cosx}}{{2sinx}} = \frac{1}{2}cotx$.
Câu 57. Cho $tan\alpha – cot\alpha = 3$. Tính giá trị của biểu thức sau: $A = ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha $.
A. $A = 12$.
B. $A = 11$.
C. $A = 13$.
D. $A = 5$.
Lời giải
Chọn B
$tan\alpha – cot\alpha = 3 \Leftrightarrow {(tan\alpha – cot\alpha )^2} = 9 \Leftrightarrow ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha – 2tan\alpha \cdot cot\alpha = 9$
$ \Leftrightarrow ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha – 2 = 9 \Leftrightarrow ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha = 11$
Câu 58. Biết $sina + cosa = \sqrt 2 $. Hỏi giá trị của $si{n^4}a + co{s^4}a$ bằng bao nhiêu?
A. $\frac{3}{2}$.
B. $\frac{1}{2}$.
C. -1 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B
Ta có: $sina + cosa = \sqrt 2 \Rightarrow 2 = {(sina + cosa)^2} \Rightarrow sina \cdot cosa = \frac{1}{2}$.
$si{n^4}a + co{s^4}a = \left( {si{n^2}a + co{s^2}a} \right) – 2si{n^2}aco{s^2}a = 1 – 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}$.
Câu 59. Biểu thức $f\left( x \right) = 3\left( {si{n^4}x + co{s^4}x} \right) – 2\left( {si{n^6}x + co{s^6}x} \right)$ có giá trị bằng:
A. 1 .
B. 2 .
C. -3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn A
$si{n^4}x + co{s^4}x = 1 – 2si{n^2}xco{s^2}x$.
$si{n^6}x + co{s^6}x = 1 – 3si{n^2}xco{s^2}x$
$f\left( x \right) = 3\left( {1 – 2si{n^2}xco{s^2}x} \right) – 2\left( {1 – 3si{n^2}xco{s^2}x} \right) = 1$
Câu 60. Biểu thức: $f\left( x \right) = co{s^4}x + co{s^2}xsi{n^2}x + si{n^2}x$ có giá trị bằng
A. 1 .
B. 2 .
C. -2 .
D. -1 .
Lời giải
Chọn A
$f\left( x \right) = co{s^2}x\left( {co{s^2}x + si{n^2}x} \right) + si{n^2}x = co{s^2}x + si{n^2}x = 1.$
Câu 61. Biểu thức $ta{n^2}xsi{n^2}x – ta{n^2}x + si{n^2}x$ có giá trị bằng
A. -1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn B
$ta{n^2}xsi{n^2}x – ta{n^2}x + si{n^2}x = ta{n^2}x\left( {si{n^2}x – 1} \right) + si{n^2}x = \frac{{si{n^2}x}}{{co{s^2}x}}\left( { – co{s^2}x} \right) + si{n^2}x = 0.$
Câu 62. Cho $tan\alpha + cot\alpha = m$. Tìm $m$ để $ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha = 7$.
A. $m = 9$.
B. $m = 3$.
C. $m = – 3$.
D. $m = \pm 3$.
Lời giải
Chọn D
$7 = ta{n^2}\alpha + co{t^2}\alpha = {(tan\alpha + cot\alpha )^2} – 2 \Rightarrow {m^2} = 9 \Leftrightarrow m = \pm 3$.
Câu 63. Cho $sinx + cosx = m$. Tính theo $m$ giá trị của $M = sinx \cdot cosx$.
A. ${m^2} – 1$.
B. $\frac{{{m^2} – 1}}{2}$.
C. $\frac{{{m^2} + 1}}{2}$.
D. ${m^2} + 1$.
Lời giải
Chọn B
$sinx + cosx = m \Rightarrow {(sinx + cosx)^2} = {m^2} \Leftrightarrow \left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right) + 2sinx \cdot cosx = {m^2}$
$ \Leftrightarrow 1 + 2sinx \cdot cosx = {m^2} \Leftrightarrow sinx \cdot cosx = \frac{{{m^2} – 1}}{2}$.
Vậy $M = \frac{{{m^2} – 1}}{2}$.
Câu 64. Cho $x$ thỏa mãn $2sinx + cosx = \frac{2}{5}$. Tính giá trị biểu thức: $P = 2\left| {sinx} \right| + cosx$.
Bạn Minh Hiền đã làm như sau:
Bước 1: Nếu sin $ \geqslant 0$ thì
$P = 2\left| {sinx} \right| + cosx = 2sinx + cosx = \frac{2}{5}.$
Nếu $sinx < 0$ thì $P = 2\left| {sinx} \right| + cosx = – 2sinx + cosx$.
Bước 2: Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2sinx + cosx = \frac{2}{5}} \\
{ – 2sinx + cosx = P}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sinx = \frac{1}{4}\left( {\frac{2}{5} – P} \right)} \\
{cosx = \frac{1}{2}\left( {\frac{2}{5} + P} \right)}
\end{array}} \right.} \right.$
Bước 3: Do $si{n^2}x + co{s^2}x = 1$
$ \Rightarrow \frac{1}{{16}}{\left( {\frac{2}{5} – P} \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {\frac{2}{5} + P} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{P = – 2} \\
{P = \frac{{38}}{{25}}}
\end{array}} \right.$
Bước 4: Vậy $P \in \left\{ { – 2;\frac{2}{5};\frac{{38}}{{25}}} \right\}$ là các giá trị cần tính.
Bạn Minh Hiền sai ở bước nào?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn D.
Bạn Minh Hiền đã không chú ý tới điều kiện $sinx < 0$. Với điều kiện này $\frac{1}{4}\left( {\frac{2}{5} – P} \right) < 0$
$ \Leftrightarrow \frac{2}{5} < P \leqslant \sqrt 5 $
Như vậy giá trị $P = – 2$ bị loại.
Vậy bạn Minh Hiền sai ở bước 4, chưa thử lại đã kết luận vội vàng.
Câu 65. Cho $\alpha \in \left( {{0^0};{{180}^ \circ }} \right)$. Xác định mệnh đề đúng?
A. $\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = 1 + cot\alpha + co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $.
B. $\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = 1 + 2cot\alpha = co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $.
C. $\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = 1 + cot\alpha + 2co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $.
D. $\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = 1 + cot\alpha – 2co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $.
Lời giải
Chọn A.
$\frac{{cos\alpha + sin\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} = \frac{{cos\alpha }}{{si{n^3}\alpha }} + \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}$
$ = \frac{{cot\alpha }}{{si{n^2}\alpha }} = 1 + co{t^2}\alpha $
$ = cot\alpha \left( {1 + co{t^2}\alpha } \right) + 1 + co{t^2}\alpha $
$ = 1 + cot\alpha + co{t^2}\alpha + co{t^3}\alpha $