Trắc Nghiệm Bài Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Đạo Hàm Theo Dạng Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm bài định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cách 1: Để tính đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$, ta thực hiện theo các bước sau:

• Tính $f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)$

• Lập và rút gọn tỉ số: $\frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}$ với $x \in \left( {a;b} \right),x \ne {x_0}$

• Tìm giới hạn:

Cách 2:

• Tính đại lượng $\Delta x = x – {x_0}$ gọi là số gia của biến tại ${x_0}$.

• Tính đại lượng $\Delta y = f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó

• Nếu phương trình chuyển động của vật là $s = f\left( t \right)$ thì $v\left( t \right) = f’\left( t \right)$ là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$.

2. Phương trình tiếp tuyến

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0}$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ là $y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right)$, trong đó ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.

II. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0}$. Đạo hàm của $f\left( x \right)$ tại ${x_0}$ là
A. $f\left( {{x_0}} \right)$.
B. $\frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{h}$.
C. (nếu tồn tại giới hạn).
D. $\mathop {lim}\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) – f\left( {{x_0} – h} \right)}}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).

Lời giải

Chọn C.

Định nghĩa hay (nếu tồn tại giới hạn).

Câu 2. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${x_0}$ là $f’\left( {{x_0}} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$.
B. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$.
C. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}$.
D. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f\left(x+x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$.

Lời giải

Chọn D

A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).

B. Đúng vì

$\Delta x = x – {x_0} \Rightarrow x = \Delta x + {x_0}$

$\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)$

C. Đúng vì

Đặt $h = \Delta x = x – {x_0} \Rightarrow x = h + {x_0},\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)$

Câu 3. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn . Kết quả đúng là
A. $f’\left( 2 \right) = 3$.
B. $f’\left( x \right) = 2$.
C. $f’\left( x \right) = 3$.
D. $f’\left( 3 \right) = 2$.

Lời giải

Chọn D

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}=2=f^{\prime}(3)$

Câu 4. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2024} \frac{{f(x) – f(2024)}}{{2024 – x}} = 2024$. Kết quả đúng là
A. $f’\left( {2024} \right) = 2024$.
B. $f’\left( {2024} \right) = \frac{1}{{2024}}$.
C. $f’\left( x \right) = 2024$.
D. $f’\left( {2024} \right) = – 2024$.

Lời giải

Chọn D

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2024} \frac{{f(x) – f(2024)}}{{2024 – x}} = 2024$

$ \Leftrightarrow ( – 1).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2024} \frac{{f(x) – f(2024)}}{{x – 2024}} = 2024$

$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2024} \frac{{f(x) – f(2024)}}{{x – 2024}} = – 2024$

$ \Leftrightarrow f'(x) = – 2024$

Câu 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm thỏa mãn $f’\left( 6 \right) = 2$. Giá trị của biểu thức bằng
A. 12 .
B. 2 .
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn B

Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D$ và $x_{0} \in D$. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$ thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại $x_{0}$

Vậy kết quả của biểu thức $\lim _{x \rightarrow 6} \frac{f(x)-f(6)}{x-6}=f^{\prime}(6)=2$.

Câu 6. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0} = 2$. Tìm .
A. 0 .
B. $f’\left( 2 \right)$.
C. $2f’\left( 2 \right) – f\left( 2 \right)$.
D. $f\left( 2 \right) – 2f’\left( 2 \right)$.

Lời giải

Chọn C

Do hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0} = 2$ suy ra $\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 2 \right)}}{{x – 2}} = f’\left( 2 \right)$.

Ta có

$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2f(x) – xf(2)}}{{x – 2}} \Leftrightarrow I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2f(x) – 2f(2) + 2f(2) – xf(2)}}{{x – 2}}$

$ \Leftrightarrow I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2(f(x) – f(2))}}{{x – 2}} – \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(2)(x – 2)}}{{x – 2}} \Leftrightarrow I = 2{f^\prime }(2) – f(2)$.

Câu 7. Cho hàm số $y = {x^3} + 1$ gọi $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x$ và $\Delta y$ là số gia tương ứng của hàm số, tính $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.
A. $3{x^2} – 3x \cdot \Delta x + {(\Delta x)^3}$.
B. $3{x^2} + 3x \cdot \Delta x + {(\Delta x)^2}$.
C. $3{x^2} + 3x \cdot \Delta x – {(\Delta x)^2}$.
D. $3{x^2} + 3x \cdot \Delta x + {(\Delta x)^3}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có : $\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right) = {(x + \Delta x)^3} + 1 – \left( {{x^3} + 1} \right)$

$ = 3{x^2}.\Delta x + 3x \cdot {\Delta ^2}x + {\Delta ^3}x = \Delta x\left( {3{x^2} + 3x \cdot \Delta x + {\Delta ^2}x} \right)$$ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} + 3x \cdot \Delta x + {\Delta ^2}x = 3{x^2} + 3x \cdot \Delta x + {(\Delta x)^2}$.

Câu 8. Tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ của hàm số $f\left( x \right) = 2x\left( {x – 1} \right)$ theo $x$ và $\Delta x$ là
A. $4x + 2\Delta x + 2$.
B. $4x + 2{(\Delta x)^2} – 2$.
C. $4x + 2\Delta x – 2$.
D. $4x\Delta x + 2{(\Delta x)^2} – 2\Delta x$

Lời giải

Chọn C

$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \frac{{2x\left( {x – 1} \right) – 2{x_0}\left( {{x_0} – 1} \right)}}{{x – {x_0}}}$

$ = \frac{{2\left( {x – {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right) – 2\left( {x – {x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = 2x + 2{x_0} – 2 = 4x + 2\Delta x – 2$

Câu 9. Số gia của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}$ ứng với số gia $\Delta x$ của đối số $x$ tại ${x_0} = – 1$ là
A. $\frac{1}{2}{(\Delta x)^2} – \Delta x$
B. $\frac{1}{2}\left[ {{{(\Delta x)}^2} – \Delta x} \right]$.
C. $\frac{1}{2}\left[ {{{(\Delta x)}^2} + \Delta x} \right]$.
D. $\frac{1}{2}{(\Delta x)^2} + \Delta x$.

Lời giải

Chọn A

Với số gia $\Delta x$ của đối số $x$ tại ${x_0} = – 1$

Ta có

$\Delta y = \frac{{{{( – 1 + \Delta x)}^2}}}{2} – \frac{1}{2} = \frac{{1 + {{(\Delta x)}^2} – 2\Delta x}}{2} – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{(\Delta x)^2} – \Delta x$

Câu 10. Số gia của hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$ ứng với ${x_0} = 2$ và $\Delta x = 1$ bằng bao nhiêu?
A. -19 .
B. 7 .
C. 19 .
D. -7 .

Lời giải

ChọnC.

Ta có $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^3} – {2^3} = x_0^3 + {(\Delta x)^3} + 3{x_0}\Delta x\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – 8$.

Với ${x_0} = 2$ và $\Delta x = 1$ thì $\Delta y = 19$.

Câu 11. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – x$, đạo hàm của hàm số ứng với số gia $\Delta x$ của đối số $x$ tại ${x_0}$ là
A. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {{{(\Delta x)}^2} + 2x\Delta x – \Delta x} \right)$.
B. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 2x – 1)$.
C. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 2x + 1)$.
D. $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {{{(\Delta x)}^2} + 2x\Delta x + \Delta x} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có :

$\Delta y = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} – \left( {{x_0} + \Delta x} \right) – \left( {x_0^2 – {x_0}} \right)$

$ = x_0^2 + 2{x_0}\Delta x + {(\Delta x)^2} – {x_0} – \Delta x – x_0^2 + {x_0}$

$ = {(\Delta x)^2} + 2{x_0}\Delta x – \Delta x$

Nên $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^{2}+2 x_{0} \Delta x-\Delta x}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\Delta x+2 x_{0}-1\right)$

Vậy $f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+2 x-1)$

Câu 12. Số gia của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – 4x + 1$ ứng với $x$ và $\Delta x$ là
A. $\Delta x\left( {\Delta x + 2x – 4} \right)$.
B. $2x + \Delta x$.
C. $\Delta x \cdot \left( {2x – 4\Delta x} \right)$.
D. $2x – 4\Delta x$.

Lời giải

Chọn A

Ta có

$\Delta y = f\left( {\Delta x + x} \right) – f\left( x \right)$

$ = {(\Delta x + x)^2} – 4\left( {\Delta x + x} \right) + 1 – \left( {{x^2} – 4x + 1} \right)$

$ = \Delta {x^2} + 2\Delta x \cdot x + {x^2} – 4\Delta x – 4x + 1 – {x^2} + 4x – 1$

$ = \Delta {x^2} + 2\Delta x \cdot x – 4\Delta x$

$ = \Delta x\left( {\Delta x + 2x – 4} \right)$

Câu 13. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định bởi $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{x}}&{\left( {x \ne 0} \right)} \\
0&{\left( {x = 0} \right)}
\end{array}} \right.$. Giá trị $f’\left( 0 \right)$ bằng:
A. 0 .
B. 1 .
C. $\frac{1}{2}$.
D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn C.

Ta có :

${f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \frac{1}{2}$

Câu 14. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3 – \sqrt {4 – x} }}{4}}&{\;khi\;x \ne 0} \\
{\frac{1}{4}}&{\;khi\;x = 0}
\end{array}} \right.$. Khi đó $f’\left( 0 \right)$ là kết quả nào sau đây?
A. $\frac{1}{4}$.
B. $\frac{1}{{16}}$.
C. $\frac{1}{{32}}$.
D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{3 – \sqrt {4 – x} }}{4} – \frac{1}{4}}}{x} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 – \sqrt {4 – x} }}{{4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4 – (4 – x)}}{{4x(2 + \sqrt {4 – x} )}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{4(2 + \sqrt {4 – x} )}} = \frac{1}{{4(2 + \sqrt {4 – 0} )}} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow {f^\prime }(0) = \frac{1}{{16}}.$

Câu 15. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {{x^3} – 2{x^2} + x + 1} – 1}}{{x – 1}}}&{\;khi\;x \ne 1} \\
0&{\;khi\;x = 1}
\end{array}} \right.$ có đạo hàm tại điểm ${x_0} = 1$ là?
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$

Lời giải

Chọn C.

${f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^3} – 2{x^2} + x + 1} – 1}}{{{{(x – 1)}^2}}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x}{{\sqrt {{x^3} – 2{x^2} + x + 1} + 1}} = \frac{1}{2}$

Vậy ${f^\prime }(1) = \frac{1}{2}$.