70 Câu Trắc Nghiệm Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác Theo Dạng Giải Chi Tiết

70 câu trắc nghiệm đạo hàm của hàm số lượng giác theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

• ${(sinx)’} = cosx\; \Rightarrow {(sinu)’} = u’.cosu$

• ${(cosx)’} = – sinx\; \Rightarrow {(cosu)’} = – u’ \cdot sinu$

• ${(tanx)’} = \frac{1}{{co{s^2}x}}\; \Rightarrow {(tanu)’} = \frac{{u’}}{{co{s^2}u}}$

• ${(cotx)’} = – \frac{1}{{si{n^2}x}}\; \Rightarrow {(cotu)’} = – \frac{{u’}}{{si{n^2}u}}$.

II. TRẮC NGHIỆM

DẠNG 1: ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TẠI MỘT ĐIỂM

Câu 1. Hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{2}{{cos\left( {\pi x} \right)}}$ có $f’\left( 3 \right)$ bằng:

A. $2\pi $.

B. $\frac{{8\pi }}{3}$.

C. $\frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

D. 0 .

Lời giải

Chọn D.

$f’\left( x \right) = \frac{2}{{cos\left( {\pi x} \right)}} = 2 \cdot {(cos\left( {\pi x} \right))’} \cdot \frac{{ – 1}}{{co{s^2}\left( {\pi x} \right)}} = 2 \cdot \pi \frac{{sin\left( {\pi x} \right)}}{{co{s^2}\left( {\pi x} \right)}}$.

$f’\left( 3 \right) = 2\pi \cdot \frac{{sin3\pi }}{{co{s^2}3\pi }} = 0$.

Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = tan\left( {x – \frac{{2\pi }}{3}} \right)$. Giá trị $f’\left( 0 \right)$ bằng

A. $ – \sqrt 3 $.

B. 4 .

C. -3 .

D. $\sqrt 3 $.

Lời giải

Chọn B.

$f’\left( x \right) = \frac{1}{{co{s^2}\left( {x – \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} \Rightarrow f’\left( 0 \right) = \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4.$

Câu 3. Cho hàm số $y = cos3x \cdot sin2x$. Tính $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ bằng:

A. $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – 1$.

B. $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 1$.

C. $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{1}{2}$.

D. $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn B.

$y’ = {(cos3x)’}sin2x + cos3x{(sin2x)’} = – 3sin3x \cdot sin2x + 2cos3x \cdot cos2x$.

$y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – 3sin3\frac{\pi }{3} \cdot sin2\frac{\pi }{3} + 2cos3\frac{\pi }{3} \cdot cos2\frac{\pi }{3} = 1$.

Câu 4. Cho hàm số $y = \frac{{cos2x}}{{1 – sinx}}$. Tính $y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right)$ bằng:

A. $y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 1$.

B. $y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = – 1$.

C. $y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 $.

D. $y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = – \sqrt 3 $.

Lời giải

Chọn D.

$y’ = \frac{{{{(cos2x)}’} \cdot \left( {1 – sinx} \right) – cos2x{{(1 – sinx)}’}}}{{{{(1 – sinx)}^2}}} = \frac{{ – 2sin2x\left( {1 – sinx} \right) + cos2x \cdot cosx}}{{{{(1 – sinx)}^2}}}$.

$y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ – 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 – \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{{{\left( {1 – \frac{1}{2}} \right)}^2}}}$

$ = \frac{{ – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = 4\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right) = – 2\sqrt 3 + \sqrt 3 = – \sqrt 3 $.

Câu 5. Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt 2 }}{{cos3x}}$. Khi đó $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ là:

A. $\frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

B. $ – \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

C. 1 .

D. 0 .

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = – \sqrt 2 \cdot \frac{{{{(cos3x)}’}}}{{co{s^2}3x}} = \frac{{3\sqrt 2 \cdot sin3x}}{{co{s^2}3x}}$.

Do đó $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 2 \cdot sin\pi }}{{co{s^2}\pi }} = 0$

Câu 6. Xét hàm số $y = f\left( x \right) = 2sin\left( {\frac{{5\pi }}{6} + x} \right)$. Tính giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right)$ bằng:

A. -1 .

B. 0 .

C. 2 .

D. -2 .

Lời giải

Chọn D.

$f’\left( x \right) = 2cos\left( {\frac{{5\pi }}{6} + x} \right)$.

$f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = – 2$.

Câu 7. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {sinx} }}$. Giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ là:

A. 1 .

B. $\frac{1}{2}$.

C. 0 .

D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn C.

$y’ = {\left( {\frac{1}{{\sqrt {sinx} }}} \right)’} = – \frac{{{{(sinx)}’}}}{{{{(\sqrt {sinx} )}^2}}} = – \frac{{cosx}}{{sinx}} = – tanx$

$ \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = tan\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$

Câu 8. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = – \frac{{cosx}}{{3si{n^3}x}} + \frac{4}{3}cotx$. Giá trị đúng của $f’\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ bằng:

A. $\frac{8}{9}$.

B. $ – \frac{9}{8}$.

C. $\frac{9}{8}$.

D. $ – \frac{8}{9}$.

Lời giải

Chọn B.

$y’ = f’\left( x \right) = {\left( { – \frac{{cosx}}{{3si{n^3}x}} + \frac{4}{3}cotx} \right)’}$

$ = {\left( { – cotx \cdot \frac{1}{{si{n^2}x}} + \frac{4}{3}cotx} \right)’} = {\left( { – cotx \cdot \left( {1 + co{t^2}x} \right) + \frac{4}{3}cotx} \right)’}$$ = {\left( {co{t^3}x + \frac{1}{3}cotx} \right)’} = 3co{t^2}x \cdot {(cotx)’} – \frac{1}{{si{n^2}x}} = – \frac{{co{t^2}x}}{{si{n^2}x}} – \frac{1}{{si{n^2}x}}$.

Suy ra $f’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{{co{t^2}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}}{{si{n^2}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} – \frac{1}{{si{n^2}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} = – \frac{9}{8}$

Câu 9. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{co{s^2}x}}{{1 + si{n^2}x}}$. Biểu thức $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) – 3f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ bằng

A. -3 .

B. $\frac{8}{3}$.

C. 3 .

D. $ – \frac{8}{3}$.

Lời giải

Chọn C.

$f’\left( x \right) = \frac{{ – 2cosxsinx\left( {1 + si{n^2}x} \right) – 2cosxsinxco{s^2}x}}{{{{\left( {1 + si{n^2}x} \right)}^2}}}$

$ = \frac{{ – 2cosxsinx\left( {1 + si{n^2}x + co{s^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + si{n^2}x} \right)}^2}}} = \frac{{ – 4cosxsinx}}{{{{\left( {1 + si{n^2}x} \right)}^2}}} \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 8}}{9}$

$f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) – 3f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3$.

Câu 10. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = si{n^3}5x \cdot co{s^2}\frac{x}{3}$. Giá trị đúng của $f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng

A. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

B. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

C. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

D. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Lời giải

Chọn A.

$f’\left( x \right) = 3 \cdot 5 \cdot cos5x \cdot si{n^2}5x \cdot co{s^2}\frac{x}{3} – si{n^3}5x \cdot \frac{2}{3} \cdot sin\frac{x}{3} \cdot cos\frac{x}{3}$

$f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 – 1 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{2 \cdot 3}} = – \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Câu 11. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = sin\left( {\pi sinx} \right)$. Giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right)$ bằng:

A. $\frac{{\pi \sqrt 3 }}{2}$.

B. $\frac{\pi }{2}$.

C. $ – \frac{\pi }{2}$.

D. 0 .

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = {(\pi \cdot sinx)’} \cdot cos\left( {\pi \cdot sinx} \right) = \pi \cdot cosx \cdot cos\left( {\pi \cdot sinx} \right)$

$ \Rightarrow y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \pi \cdot cos\frac{\pi }{6} \cdot cos\left( {\pi \cdot sin\frac{\pi }{6}} \right) = \pi \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot cos\left( {\pi \cdot \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 \cdot \pi }}{2} \cdot cos\frac{\pi }{2} = 0$

Câu 12. Cho $f\left( x \right) = si{n^3}ax,a > 0$. Tính $f’\left( \pi \right)$.

A. $f’\left( \pi \right) = 3si{n^2}\left( {a\pi } \right) \cdot cos\left( {a\pi } \right)$.

B. $f’\left( \pi \right) = 0$.

C. $f’\left( \pi \right) = 3asi{n^2}\left( {a\pi } \right)$.

D. $f’\left( \pi \right) = 3a \cdot si{n^2}\left( {a\pi } \right) \cdot cos\left( {a\pi } \right)$.

Lời giải

Chọn B

$f\left( x \right) = si{n^3}ax \Rightarrow f’\left( x \right) = 3asi{n^2}axcosax \Rightarrow f’\left( \pi \right) = 3asi{n^2}a\pi \cdot cosa\pi = 0$.

Câu 13. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = sin\sqrt x + cos\sqrt x $. Giá trị $f’\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}}} \right)$ bằng

A. $\sqrt 2 $.

B. 0 .

C. $\frac{{2\sqrt 2 }}{\pi }$.

D. $\frac{2}{\pi }$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}cos\sqrt x – \frac{1}{{2\sqrt x }}sin\sqrt x \Rightarrow f’\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}}} \right) = 0$

Câu 14. Hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{2}{{cot\left( {\pi x} \right)}}$ có $f’\left( 3 \right)$ bằng

A. 8 .

B. $\frac{{8\pi }}{3}$.

C. $\frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

D. $2\pi $.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $f’\left( x \right) = – \frac{{2{{[cot\left( {\pi x} \right)]}’}}}{{co{t^2}\left( {\pi x} \right)}} = 2\pi \frac{{1 + co{t^2}\left( {\pi x} \right)}}{{co{t^2}\left( {\pi x} \right)}} \Rightarrow f’\left( 3 \right) = 2\pi $.

Câu 15. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \sqrt {tanx + cotx} $. Giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ bằng

A. $\sqrt 2 $.

B. 0 .

C. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

D. $\frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{{{{(tanx + cotx)}’}}}{{2\sqrt {tanx + cotx} }} = \frac{{\frac{1}{{co{s^2}x}} – \frac{1}{{si{n^2}x}}}}{{2\sqrt {tanx + cotx} }} \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0$.

Câu 16. Cho $f\left( x \right) = co{s^2}x – si{n^2}x$. Giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ bằng:

A. 2

B. 1

C. -2

D. 0

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $f\left( x \right) = cos2x \Rightarrow f’\left( x \right) = – 2sin2x$. Do đó $f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = – 2$

Câu 17. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{cosx}}{{1 – sinx}}$. Giá trị biểu thức $f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) – f’\left( { – \frac{\pi }{6}} \right)$ là

A. $\frac{4}{3}$.

B. $\frac{4}{9}$.

C. $\frac{8}{9}$.

D. $\frac{8}{3}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{{{{(cosx)}’}\left( {1 – sinx} \right) – {{(1 – sinx)}’}cosx}}{{{{(1 – sinx)}^2}}} = \frac{1}{{1 – sinx}} \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) – f’\left( { – \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{4}{3}$

Câu 18. Tính $\frac{{f’\left( 1 \right)}}{{\varphi ‘\left( 0 \right)}}$. Biết rằng : $f\left( x \right) = {x^2}$ và $\varphi \left( x \right) = 4x + sin\frac{{\pi x}}{2}$.

A. $\frac{{f’\left( 1 \right)}}{{\varphi ‘\left( 0 \right)}} = \frac{4}{{8 – \pi }}$

B. $\frac{{f’\left( 1 \right)}}{{\varphi ‘\left( 0 \right)}} = \frac{2}{{8 + \pi }}$

C. $\frac{{f’\left( 1 \right)}}{{\varphi ‘\left( 0 \right)}} = \frac{4}{\pi }$

D. $\frac{{f’\left( 1 \right)}}{{\varphi ‘\left( 0 \right)}} = \frac{4}{{8 + \pi }}$

Lời giải

Chọn D.

$f’\left( x \right) = 2x \Rightarrow f’\left( 1 \right) = 2;\varphi ‘\left( x \right) = 4 + \frac{\pi }{2}cos\frac{{\pi x}}{2} \Rightarrow \varphi ‘\left( 0 \right) = 4 + \frac{\pi }{2}$

Suy ra $\frac{{f’\left( 1 \right)}}{{\varphi ‘\left( 0 \right)}} = \frac{4}{{8 + \pi }}$.

Câu 19. Đạo hàm của hàm số $y = \frac{{si{n^2}x – co{s^2}x}}{{sinx \cdot cosx}}$ tại điểm $x = \frac{\pi }{6}$ là:

A. $ – \frac{8}{3}$.

B. $\frac{8}{3}$.

C. $\frac{{16}}{3}$.

D. $ – \frac{{16}}{3}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $y = \frac{{si{n^2}x – co{s^2}x}}{{sinx \cdot cosx}} = \frac{{ – cos2x}}{{\frac{1}{2}sin2x}} = – 2cot2x$.

Do đó $y’ = – 2\frac{{ – 2}}{{si{n^2}2x}} = \frac{4}{{si{n^2}2x}} \Rightarrow y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{16}}{3}$.

Câu 20. Cho $f\left( x \right) = \sqrt {1 + 3x} – \sqrt[3]{{1 + 2x}},g\left( x \right) = sinx$. Tính giá trị của $\frac{{f’\left( 0 \right)}}{{g’\left( 0 \right)}}$.

A. $\frac{5}{6}$.

B. $ – \frac{5}{6}$.

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn A

Ta có $f’\left( x \right) = \frac{3}{{2\sqrt {1 + 3x} }} – \frac{2}{{3\sqrt[3]{{{{(1 + 2x)}^2}}}}} \Rightarrow f’\left( 0 \right) = \frac{3}{2} – \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$

Lại có $g’\left( x \right) = cosx \Rightarrow g’\left( 0 \right) = 1$

Suy ra $\frac{{f’\left( 0 \right)}}{{g’\left( 0 \right)}} = \frac{5}{6}$.

DẠNG 2: ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 21. Có các nhận xét sau :

1. Hàm số $y = sinx$ có đạo hàm là $y’ = cosx$

2. Hàm số $y = cosx$ có đạo hàm là $y’ = – sinx$

3. Hàm số $y = tanx$ có đạo hàm là $y’ = – \frac{1}{{co{s^2}x}}$

4. Hàm số $y = cotx$ có đạo hàm là $y’ = \frac{1}{{si{n^2}x}}$

Có bao nhiêu nhận xét đúng?

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn B.

${(sinx)’} = cosx$. Suy ra (1) Đúng

${(cosx)’} = – sinx$. Suy ra (2) Đúng

${(tanx)’} = \frac{1}{{co{s^2}x}}$. Suy ra (3) Sai

${(cotx)’} = – \frac{1}{{si{n^2}x}}$ Suy ra (4) Sai

Câu 22. Tìm đạo hàm $y’$ của hàm số $y = sinx + cosx$.

A. $y’ = 2cosx$.

B. $y’ = 2sinx$.

C. $y’ = sinx – cosx$.

D. $y’ = cosx – sinx$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $y’ = {(sinx + cosx)’} = cosx – sinx$.

Câu 23. Hàm số $y = tanx – cotx$ có đạo hàm là $y’ = \frac{a}{{si{n^2}2x}}$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left( {10;20} \right)$

B. $\left( {0;10} \right)$

C. $\left( { – 10;0} \right)$

D. $\left( { – 20; – 10} \right)$

Lời giải

Chọn B.

$y’ = \frac{1}{{co{s^2}x}} + \frac{1}{{si{n^2}x}} = \frac{{si{n^2}x + co{s^2}x}}{{si{n^2}x \cdot co{s^2}x}} = \frac{4}{{si{n^2}2x}}$.

$ \Rightarrow a = 4 \in \left( {0;10} \right)$

Câu 24. Cho hàm số $f\left( x \right) = sin2x$. Tính $f’\left( x \right)$.

A. $f’\left( x \right) = 2sin2x$.

B. $f’\left( x \right) = cos2x$.

C. $f’\left( x \right) = 2cos2x$.

D. $f’\left( x \right) = – \frac{1}{2}cos2x$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $f\left( x \right) = sin2x$, suy ra $f’\left( x \right) = 2cos2x$.

Câu 25. Đạo hàm của hàm số $y = sin\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. $ – cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$.

B. $ – 2cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$.

C. $2cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$

D. $cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $y = sin\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) \Rightarrow y’ = {\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)’} \cdot cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) = – 2cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$.

Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số $y = tan\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)$ :

A. $y’ = – \frac{1}{{co{s^2}\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)}}$.

B. $y’ = \frac{1}{{co{s^2}\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)}}$.

C. $y’ = \frac{1}{{si{n^2}\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)}}$.

D. $y’ = – \frac{1}{{si{n^2}\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)}}$.

Lời giải

Chọn A

$y’ = {\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)’} \cdot \frac{1}{{co{s^2}\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)}} = – \frac{1}{{co{s^2}\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)}}$

Câu 27. Đạo hàm của hàm số $y = sin\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$ là $y’$ bằng

A. $ – 2sin2x$.

B. $ – cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$.

C. $2sin2x$.

D. $cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

$y’ = – 2cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) = – 2sin\left( {2x} \right)$.

Câu 28. Hàm số $y = – \frac{3}{2}sin7x$ có đạo hàm là:

A. $ – \frac{{21}}{2}cosx$.

B. $ – \frac{{21}}{2}cos7x$.

C. $\frac{{21}}{2}cos7x$.

D. $\frac{{21}}{2}cosx$.

Lời giải

Chọn B.

$y’ = {\left( { – \frac{3}{2}sin7x} \right)’} = – \frac{3}{2} \cdot {(7x)’}cos7x = – \frac{{21}}{2}cos7x.$

Câu 29. Đạo hàm của $y = tan7x$ bằng:

A. $\frac{7}{{co{s^2}7x}}$.

B. $ – \frac{7}{{co{s^2}7x}}$.

C. $ – \frac{7}{{si{n^2}7x}}$.

D. $\frac{{7x}}{{co{s^2}7x}}$.

Lời giải

Chon A.

Ta có $:y’ = {(tan7x)’} = \frac{7}{{co{s^2}7x}}$

Câu 30. Hàm số $y = cot3x – \frac{1}{2}tan2x$ có đạo hàm là $y’ = \frac{a}{{si{n^2}3x}} + \frac{b}{{co{s^2}2x}} \cdot $ Giá trị của $P = a + b$ là:

A. $P = – 3$

B. $P = 2$

C. $P = – 4$

D. $P = 3$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $y’ = – \frac{3}{{si{n^2}3x}} – \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{{co{s^2}2x}} = – \frac{3}{{si{n^2}3x}} – \frac{1}{{co{s^2}2x}}$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 3} \\
{b = – 1}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b = – 4$

Câu 31. Hàm số $y = – \frac{1}{2}sin\left( {\frac{\pi }{3} – {x^2}} \right)$ có đạo hàm là:

A. $x \cdot cos\left( {\frac{\pi }{3} – {x^2}} \right)$

B. $\frac{1}{2}{x^2}cos\left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)$.

C. $\frac{1}{2}xsin\left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)$.

D. $\frac{1}{2}xcos\left( {\frac{\pi }{3} – {x^2}} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $y’ = – \frac{1}{2} \cdot \left( { – 2x} \right) \cdot cos\left( {\frac{\pi }{3} – {x^2}} \right) = x \cdot cos\left( {\frac{\pi }{3} – {x^2}} \right)$

Câu 32. Đạo hàm của hàm số $y = cos\left( {tanx} \right)$ bằng

A. $sin\left( {tanx} \right) \cdot \frac{1}{{co{s^2}x}}$.

B. $ – sin\left( {tanx} \right) \cdot \frac{1}{{co{s^2}x}}$.

C. $sin\left( {tanx} \right)$.

D. $ – sin\left( {tanx} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

$y’ = – sin\left( {tanx} \right) \cdot \frac{1}{{co{s^2}x}}$.

Câu 33. Hàm số $y = 2sin\left( {{x^2} + 2} \right)$ có đạo hàm là:

A. $y’ = xcos\left( {{x^2} + 2} \right)$

B. $y’ = 4cos\left( {{x^2} + 2} \right)$

C. $y’ = 2xcos\left( {{x^2} + 2} \right)$

D. $y’ = 4xcos\left( {{x^2} + 2} \right)$

Lời giải

Chọn D.

$y’ = 4xcos\left( {{x^2} + 2} \right)$

Câu 34. Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2sin2x + cos2x$ là

A. $4cos2x + 2sin2x$.

B. $2cos2x – 2sin2x$.

C. $4cos2x – 2sin2x$.

D. $ – 4cos2x – 2sin2x$.

Lời giải

Chọn C.

$f’\left( x \right) = 4cos2x – 2sin2x$.

Câu 35. Hàm số $y = 2sin3x + cos2x$ có đạo hàm là $y’ = acos3x + bsin2x$. Giá trị của $P = a + b$ là:

A. $P = – 2$

B. $P = 2$

C. $P = 4$

D. $P = 10$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $y’ = \left( {2cos3x} \right) \cdot 3 – \left( {sin2x} \right) \cdot 2 = 6cos3x – 2sin2x$.

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 6} \\
{b = – 2}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b = 4$

Câu 36. Hàm số $y = \frac{{cos4x}}{2} + 3sin4x$ có đạo hàm là $y’ = acos4x + bsin4x$. Giá trị của $P = a + b$ là:

A. $P = – 2$

B. $P = 2$

C. $P = 4$

D. $P = – 10$

Lời giải

Chọn D.

Ta có $y’ = – 2sin4x + 12cos4x$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2} \\
{b = – 12}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b = – 10$

Câu 37. Hàm số $y = sin2x – cosx$ có đạo hàm $y’ = acos2x + bsinx$. Giá trị $\frac{{{a^2}}}{{{b^{2024}}}}$ là

A. 4 .

B. $\frac{1}{{{2^{2024}}}}$.

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn A.

$y = sin2x – cosx \Rightarrow y’ = 2cos2x + sinx$

$ \Rightarrow a = 2;b = 1$

$ \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^{2024}}}} = \frac{{{2^2}}}{{{1^{2024}}}} = 4$

Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số $y = si{n^6}x + co{s^6}x + 3si{n^2}xco{s^2}x$.

A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn B

Có: $y = {\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right)^3} – 3si{n^2}xco{s^2}x\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right) + 3si{n^2}xco{s^2}x = 1$.

$ \Rightarrow y’ = 0$.

Câu 39. Để tính đạo hàm của hàm số $y = sinx \cdot cosx$, một học sinh tính theo hai cách sau:

(I) $y’ = co{s^2}x – si{n^2}x = cos2x$

(II) $y = \frac{1}{2}sin2x \Rightarrow y’ = cos2x$

Cách nào ĐÚNG?

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Không cách nào.

D. Cả hai cách.

Lời giải

Chọn D.

Câu 40. Hàm số $y = xtan2x$ có đạo hàm là $y’ = atan2x + \frac{{bx}}{{co{s^2}2x}}$. Giá trị của $P = a + b$ là:

A. $P = – 10$

B. $P = 2$

C. $P = 3$

D. $P = 10$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $y’ = x’tan2x + x{(tan2x)’} = tan2x + x\frac{{{{(2x)}’}}}{{co{s^2}2x}} = tan2x + x \cdot \frac{2}{{co{s^2}2x}}$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1} \\
{b = 2}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b = 3$

Câu 41. Hàm số $y = {x^2}$. $cosx$ có đạo hàm là $y’ = ax \cdot cosx + b{x^2}sinx$. Giá trị của $P = a + b$ là:

A. $P = 1$

B. $P = 2$

C. $P = 3$

D. $P = – 1$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $y’ = {\left( {{x^2}} \right)’} \cdot cosx + {x^2} \cdot {(cosx)’} = 2x \cdot cosx – {x^2} \cdot sinx$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2} \\
{b = – 1}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b = 1$

Câu 42. Hàm số $y = \left( {1 + sinx} \right)\left( {1 + cosx} \right)$ có đạo hàm là $y’ = acosx + bsinx + ccos2x$. Giá trị của $P = a + b + c$ là:

A. $P = 1$

B. $P = 2$

C. $P = 3$

D. $P = – 1$

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $y = \left( {1 + sinx} \right)\left( {1 + cosx} \right) = 1 + sinx + cosx + sinx \cdot cosx = 1 + sinx + cosx + \frac{1}{2}sin2x$.

Suy ra: $y’ = cosx – sinx + cos2x$.

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1} \\
{b = – 1} \\
{c = 1}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b + c = 1$

Câu 43. Hàm số $y = \frac{1}{{sin2x}}$ có đạo hàm là $y’ = \frac{{acosx}}{{si{n^2}2x}}$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left( {10;20} \right)$

B. $\left( {0;10} \right)$

C. $\left( { – 10;0} \right)$

D. $\left( { – 20; – 10} \right)$

Lời giải

Chọn C.

$y’ = – \frac{{{{(sin2x)}’}}}{{si{n^2}2x}} = – \frac{{2cos2x}}{{si{n^2}2x}}$.

$ \Rightarrow a = – 2 \in \left( { – 10;0} \right)$

Câu 44. Hàm số $y = \frac{{sinx}}{x}$ có đạo hàm là $y’ = \frac{{axcosx + bsinx}}{{{x^2}}}$. Giá trị của $P = a + b$ là:

A. $P = – 2$

B. $P = 2$

C. $P = 0$

D. $P = 1$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $y’ = \frac{{{{(sinx)}’} \cdot x – sinx \cdot x’}}{{{x^2}}} = \frac{{x \cdot cosx – sinx}}{{{x^2}}}$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1} \\
{b = – 1}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b = 0$

Câu 45. Cho hàm số $y = \frac{{1 + sinx}}{{1 + cosx}}$. Xét hai kết quả:

(I) $y’ = \frac{{\left( {cosx – sinx} \right)\left( {1 + cosx + sinx} \right)}}{{{{(1 + cosx)}^2}}}$

(II) $y’ = \frac{{1 + cosx + sinx}}{{{{(1 + cosx)}^2}}}$

Kết quả nào đúng?

A. Cả hai đều sai.

B. Chỉ (II).

C. Chỉ (I).

D. Cả hai đều đúng.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $y’ = \frac{{cosx\left( {1 + cosx} \right) + sinx\left( {1 + sinx} \right)}}{{{{(1 + cosx)}^2}}} = \frac{{1 + sinx + cosx}}{{{{(1 + cosx)}^2}}}$

Câu 46. Hàm số $y = \frac{{cos2x}}{{3x + 1}}$ có đạo hàm là $y’ = \frac{{asin2x}}{{3x + 1}} + \frac{{bcos2x}}{{{{(3x + 1)}^2}}}$. Giá trị của $P = a + b$ là:

A. $P = – 5$

B. $P = – 2$

C. $P = 3$

D. $P = – 3$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $y’ = \frac{{{{(cos2x)}’}\left( {3x + 1} \right) – {{(3x + 1)}’} \cdot cos2x}}{{{{(3x + 1)}^2}}}$

$ \Rightarrow y’ = \frac{{ – 2sin2x\left( {3x + 1} \right) – 3cos2x}}{{{{(3x + 1)}^2}}} = \frac{{ – 2sin2x}}{{3x + 1}} – \frac{{3cos2x}}{{{{(3x + 1)}^2}}}$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 2} \\
{b = – 3}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b = – 5$

Câu 47. Hàm số $y = \frac{{sinx}}{{sinx – cosx}}$ có đạo hàm là $y’ = \frac{a}{{{{(sinx – cosx)}^2}}}$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left( {10;20} \right)$

B. $\left( {0;10} \right)$

C. $\left( { – 10;0} \right)$

D. $\left( { – 20; – 10} \right)$

Lời giải

Chọn C.

$y’ = \frac{{cosx\left( {sinx – cosx} \right) – sinx\left( {cosx + sinx} \right)}}{{{{(sinx – cosx)}^2}}} = \frac{{ – 1}}{{{{(sinx – cosx)}^2}}}$.

$ \Rightarrow a = – 1 \in \left( { – 10;0} \right)$

Câu 48. Hàm số $y = \frac{{sinx – xcosx}}{{cosx + xsinx}}$ có đạo hàm bằng

A. $\frac{{ – {x^2} \cdot sin2x}}{{{{(cosx + xsinx)}^2}}}$

B. $\frac{{ – {x^2} \cdot si{n^2}x}}{{{{(cosx + xsinx)}^2}}}$

C. $\frac{{ – {x^2} \cdot cos2x}}{{{{(cosx + xsinx)}^2}}}$

D. ${\left( {\frac{x}{{cosx + xsinx}}} \right)^2}$

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

$y’ = \frac{{{{(sinx – xcosx)}’}\left( {cosx + xsinx} \right) – {{(cosx + xsinx)}’}\left( {sinx – xcosx} \right)}}{{{{(cosx + xsinx)}^2}}}$

$ = \frac{{xsinx\left( {cosx + xsinx} \right) – xcosx\left( {sinx – xcosx} \right)}}{{{{(cosx + xsinx)}^2}}} = {\left( {\frac{x}{{cosx + xsinx}}} \right)^2}$

Câu 49. Hàm số $y = si{n^2}4x$ có đạo hàm là $y’ = asin8x$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left( {10;20} \right)$

B. $\left( {0;10} \right)$

C. $\left( { – 10;0} \right)$

D. $\left( { – 20; – 10} \right)$

Lời giải

Chọn B.

$y’ = 2 \cdot 4 \cdot sin4x \cdot cos4x = 4sin8x$.

$ \Rightarrow a = 4 \in \left( {0;10} \right)$

Câu 50. Hàm số $y = 2cos{x^2}$ có đạo hàm là

A. $ – 2sin{x^2}$.

B. $ – 4xcos{x^2}$.

C. $ – 2xsin{x^2}$.

D. $ – 4xsin{x^2}$.

Lời giải

Chọn D.

$y’ = – 2.2x \cdot sin{x^2} = – 4xsin{x^2}$.

Câu 51. Hàm số $y = \frac{1}{2}cot{x^2}$ có đạo hàm là:

A. $\frac{{ – x}}{{2sin{x^2}}}$.

B. $\frac{x}{{si{n^2}{x^2}}}$.

C. $\frac{{ – x}}{{sin{x^2}}}$.

D. $\frac{{ – x}}{{si{n^2}{x^2}}}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $y’ = – \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}’}}}{{si{n^2}{x^2}}} = – \frac{x}{{si{n^2}{x^2}}}$

Câu 52. Hàm số $y = \frac{1}{2}{(1 + tanx)^2}$ có đạo hàm là:

A. $y’ = 1 + tanx$.

B. $y’ = {(1 + tanx)^2}$.

C. $y’ = \left( {1 + tanx} \right)\left( {1 + ta{n^2}x} \right)$.

D. $y’ = 1 + ta{n^2}x$.

Lời giải

Chọn C.

Sử dụng công thức đạo hàm hợp: ${\left( {{u^n}} \right)’} = n \cdot {u^{n – 1}} \cdot u’$ và đạo hàm của hàm số lượng giác.

Ta có: $y’ = \frac{1}{2} \cdot 2\left( {1 + tanx} \right) \cdot {(1 + tanx)’} = \left( {1 + tanx} \right)\frac{1}{{co{s^2}x}} = \left( {1 + tanx} \right)\left( {1 + ta{n^2}x} \right)$.

Câu 53. Hàm số $y = ta{n^2}\frac{x}{2}$ có đạo hàm là:

A. $y’ = \frac{{sin\frac{x}{2}}}{{co{s^3}\frac{x}{2}}}$.

B. $y’ = \frac{{2sin\frac{x}{2}}}{{co{s^3}\frac{x}{2}}}$.

C. $y’ = \frac{{sin\frac{x}{2}}}{{2co{s^3}\frac{x}{2}}}$.

D. $y’ = ta{n^3}\left( {\frac{x}{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

$y’ = {\left( {tan\frac{x}{2}} \right)’} \cdot 2tan\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\frac{1}{{co{s^2}\frac{x}{2}}}2tan\frac{x}{2} = \frac{1}{{co{s^2}\frac{x}{2}}} \cdot \frac{{sin\frac{x}{2}}}{{cos\frac{x}{2}}} = \frac{{sin\frac{x}{2}}}{{co{s^3}\frac{x}{2}}}.$

Câu 54. Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = si{n^3}\left( {2x + 1} \right)$.

A. $si{n^2}\left( {2x + 1} \right)cos\left( {2x + 1} \right)$.

B. $12si{n^2}\left( {2x + 1} \right)cos\left( {2x + 1} \right)$.

C. $3si{n^2}\left( {2x + 1} \right)cos\left( {2x + 1} \right)$.

D. $6si{n^2}\left( {2x + 1} \right)cos\left( {2x + 1} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Bước đầu tiên áp dung công thức ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$ với $u = sin\left( {2x + 1} \right)$

Vậy $y’ = {\left( {si{n^3}\left( {2x + 1} \right)} \right)’} = 3si{n^2}\left( {2x + 1} \right) \cdot {(sin\left( {2x + 1} \right))’}$.

Tính ${(sin\left( {2x + 1} \right))’}$ : Áp dụng ${(sinu)’}$, với $u = \left( {2x + 1} \right)$

Ta được: ${(sin\left( {2x + 1} \right))’} = cos\left( {2x + 1} \right) \cdot {(2x + 1)’} = 2cos\left( {2x + 1} \right)$.

$ \Rightarrow y’ = 3 \cdot si{n^2}\left( {2x + 1} \right) \cdot 2cos\left( {2x + 1} \right) = 6si{n^2}\left( {2x + 1} \right)cos\left( {2x + 1} \right)$.

Câu 55. Tính đạo hàm của hàm số sau $y = si{n^2}\left( {3x + 1} \right)$

A. $3sin\left( {6x + 2} \right)$

B. $sin\left( {6x + 2} \right)$

C. $ – 3sin\left( {6x + 2} \right)$

D. $3cos\left( {6x + 2} \right)$

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = 2sin\left( {3x + 1} \right) \cdot {[sin\left( {3x + 1} \right)]’} = 2sin\left( {3x + 1} \right) \cdot 3cos\left( {3x + 1} \right) = 3sin\left( {6x + 2} \right)$.

Câu 56. Cho hàm số $f\left( x \right) = si{n^2}3x$. có đạo hàm $f’\left( x \right) = – msin6x$. Giá trị ${m^3}$ là

A. 27 .

B. 3 .

C. -9 .

D. -27 .

Lời giải

Chọn D.

Tacó $f’\left( x \right) = {\left( {si{n^2}3x} \right)’} = 2sin3x \cdot {(sin3x)’} = 2 \cdot sin3x \cdot 3 \cdot cos3x = 3sin6x$.

$ \Rightarrow {m^3} = – 27$

Câu 57. Hàm số $f\left( x \right) = sin2x – co{s^2}3x$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = acos2x – bsin6x$. Giá trị $\frac{a}{b}$ là

A. $ – \frac{3}{2}$.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $ – \frac{2}{3}$.

D. $\frac{2}{3}$.

Lời giải

Chọn C.

$f\left( x \right) = sin2x – co{s^2}3x = sin2x – \frac{{cos6x + 1}}{2}$

$ \Rightarrow f’\left( x \right) = 2cos2x + 3sin6x$ $ \Rightarrow \frac{a}{b} = – \frac{2}{3}$

Câu 58. Hàm số $y = {\left( {2 + si{n^2}2x} \right)^3}$ có đạo hàm là $y’ = asin4x{\left( {b + si{n^2}2x} \right)^2}$.. Giá trị của $P = a + b$ là:

A. $P = – 10$

B. $P = 2$

C. $P = 8$

D. $P = 6$

Lời giải

Chọn C.

Áp dụng ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$, với $u = 2 + si{n^2}2x$.

$y’ = 3{\left( {2 + si{n^2}2x} \right)^2}{\left( {2 + si{n^2}2x} \right)’} = 3{\left( {2 + si{n^2}2x} \right)^2}{\left( {si{n^2}2x} \right)’}$.

Tính ${\left( {si{n^2}2x} \right)’}$, áp dụng ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$, với $u = sin2x$.

${\left( {si{n^2}2x} \right)’} = 2 \cdot sin2x{(sin2x)’} = 2 \cdot sin2x \cdot cos2x{(2x)’} = 2sin4x$.

$ \Rightarrow y’ = 6sin4x{\left( {2 + si{n^2}2x} \right)^2}$.

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 6} \\
{b = 2}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow P = a + b = 8$

Câu 59. Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = {(sinx + cosx)^3}$.

A. $3{(sinx + cosx)^2}\left( {cosx + sinx} \right)$.

B. $3{(sinx – cosx)^2}\left( {cosx – sinx} \right)$.

C. ${(sinx + cosx)^2}\left( {cosx – sinx} \right)$.

D. $3{(sinx + cosx)^2}\left( {cosx – sinx} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Áp dụng ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$, với $u = sinx + cosx$

$y’ = 3{(sinx + cosx)^2} \cdot {(sinx + cosx)’} = 3{(sinx + cosx)^2}\left( {cosx – sinx} \right)$.

Câu 60. Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = {\left( {co{s^4}x – si{n^4}x} \right)^5}$

A. $ – 10co{s^4}2x$.

B. $ – co{s^4}2x \cdot sin2x$.

C. $ – 10co{s^4}2x \cdot sinx$.

D. $ – 10co{s^4}2x \cdot sin2x$.

Lời giải

Chọn D.

$y = {\left[ {\left( {co{s^2}x – si{n^2}x} \right)\left( {co{s^2}x + si{n^2}x} \right)} \right]^5} = {(cos2x)^5}$.

Áp dụng ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$, với $u = cos2x$

$y’ = 5 \cdot co{s^4}2x \cdot {(cos2x)’} = 5 \cdot co{s^4}2x \cdot \left( { – sin2x} \right) \cdot {(2x)’} = – 10co{s^4}2x \cdot sin2x$.

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 61. Cho hàm số $y = sin\left( {\frac{\pi }{3} – \frac{x}{2}} \right)$. Khi đó phương trình $y’ = 0$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

B. $x = \frac{\pi }{3} – k\pi $.

C. $x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

D. $x = – \frac{\pi }{3} + k\pi $.

Lời giải

Chọn C

(vì $x = – \frac{\pi }{3} – 2k\pi ,k \in Z \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3} + 2l\pi ,l \in \mathbb{Z}$ )

Ta có: $y’ = – \frac{1}{2}cos\left( {\frac{\pi }{3} – \frac{x}{2}} \right) \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{2}cos\left( {\frac{\pi }{3} – \frac{x}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} – \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi $

$ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3} – 2k\pi ,k \in Z$

Câu 62. Cho hàm số $y = cos\left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)$. Khi đó phương trình $y’ = 0$ có nghiệm là:

A. $x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

B. $x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}$.

C. $x = – \frac{\pi }{3} + k\pi $.

D. $x = – \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = – 2 \cdot sin\left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)$

Theo giả thiết $y’ = 0 \Leftrightarrow sin\left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 63. Cho hàm số $y = co{t^2}\frac{x}{4}$. Khi đó nghiệm của phương trình $y’ = 0$ là:

A. $\pi + k2\pi $.

B. $2\pi + k4\pi $.

C. $2\pi + k\pi $.

D. $\pi + k\pi $.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $y’ = {\left( {co{t^2}\frac{x}{4}} \right)’} = 2cot\frac{x}{4}{\left( {cot\frac{x}{4}} \right)’} = \frac{1}{2}cot\frac{x}{4}\left( {1 + co{t^2}\frac{x}{4}} \right)$

Mà: $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}cot\frac{x}{4}\left( {1 + co{t^2}\frac{x}{4}} \right) \Leftrightarrow cot\frac{x}{4} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = 2\pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}$

DẠNG 4: ĐẠO HÀM CẤP 2 CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 64. Cho hàm số $f\left( x \right) = cos2x$. Tính $P = f”\left( \pi \right)$.

A. $P = 4$.

B. $P = 0$.

C. $P = – 4$.

D. $P = – 1$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $f’\left( x \right) = – 2sin2x;f”\left( x \right) = – 4cos2x$.

Do đó: $f”\left( \pi \right) = – 4$.

Câu 65. Cho hàm số $y = co{s^2}x$. Khi đó bằng

A. -2 .

B. 2 .

C. 2 .

D. $ – 2\sqrt 3 $.

Lời giải

Chọn C

$y’ = 2cosx \cdot \left( { – sinx} \right) = – sin2x;y” = – 2cos2x;$.

$ \Rightarrow y”\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – 4cos\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2$.

Câu 66. Cho hàm số $f\left( x \right) = si{n^3}x + {x^2}$. Giá trị $f”\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng

A. 0 .

B. -1 .

C. -2 .

D. 5 .

Lời giải

Chọn B.

Vì: $f’\left( x \right) = 3si{n^2}xcosx + 2x;f”\left( x \right) = 6sinxco{s^2}x – 3si{n^3}x + 2 \Rightarrow f”\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – 1$.

Câu 67. Cho hàm số $y = sin2x$. Tính $y”$

A. $y” = – sin2x$

B. $y” = – 4sinx$

C. $y” = sin2x$

D. $y” = – 4sin2x$

Lời giải

Chọn D.

Ta có $y’ = 2cos2x \Rightarrow y” = – 4sin2x$

Câu 68. Hàm số $y = tanx$ có đạo hàm cấp 2 bằng :

A. $y” = – \frac{{2sinx}}{{co{s^3}x}}$.

B. $y” = \frac{1}{{co{s^2}x}}$.

C. $y” = – \frac{1}{{co{s^2}x}}$.

D. $y” = \frac{{2sinx}}{{co{s^3}x}}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = \frac{1}{{co{s^2}x}} \cdot y” = – \frac{{2cosx\left( { – sinx} \right)}}{{co{s^4}x}} = \frac{{2sinx}}{{co{s^3}x}}$

Câu 69. Nếu $f”\left( x \right) = \frac{{2sinx}}{{co{s^3}x}}$ thì $f\left( x \right)$ bằng

A. $\frac{1}{{cosx}}$.

B. $ – \frac{1}{{cosx}}$.

C. $cotx$.

D. $tanx$.

Lời giải

Chọn D.

Vì: ${(tanx)^{”}} = {\left( {\frac{1}{{co{s^2}x}}} \right)’} = \frac{{ – 2cosx \cdot \left( { – sinx} \right)}}{{co{s^4}x}} = \frac{{2sinx}}{{co{s^3}x}}$.

Câu 70. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f\left( x \right) = xsinx – 3$ là biểu thức nào trong các biểu thức sau?

A. $f”\left( x \right) = 2cosx – xsinx$.

B. $f”\left( x \right) = – xsinx$.

C. $f”\left( x \right) = sinx – xcosx$.

D. $f”\left( x \right) = 1 + cosx$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $y’ = f’\left( x \right) = {(xsinx – 3)’} = sinx + xcosx$

Vậy $y” = f”\left( x \right) = {(sinx + xcosx)’} = 2cosx – xsinx$