25 Câu Trắc Nghiệm Đạo Hàm Của Hàm Số Lôgarit Giải Chi Tiết

25 câu trắc nghiệm đạo hàm của hàm số lôgarit giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

${(lnx)’} = \frac{1}{x}$ ${(ln\left| x \right|)’} = \frac{1}{x}$	${(lnu)’} = \frac{{u’}}{u}$ ${(ln\left| u \right|)’} = \frac{{u’}}{u}$
${\left( {lo{g_a}x} \right)’} = \frac{1}{{xlna}}$ ${\left( {lo{g_a}\left| x \right|} \right)’} = \frac{1}{{xlna}}$	${\left( {lo{g_a}u} \right)’} = \frac{{u’}}{{ulna}}$ ${\left( {lo{g_a}\left| u \right|} \right)’} = \frac{{u’}}{{ulna}}$

II. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, đạo hàm của hàm số $y = lo{g_2}x$ là:
A. $y’ = \frac{1}{{xln2}}$.
B. $y’ = \frac{{ln2}}{x}$.
C. $y’ = \frac{1}{x}$.
D. $y’ = \frac{1}{{2x}}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: ${\left( {lo{g_2}x} \right)’} = \frac{1}{{xln2}}$.

Câu 2. Tìm đạo hàm của hàm số $y = logx$.
A. $y’ = \frac{{ln10}}{x}$
B. $y’ = \frac{1}{{xln10}}$
C. $y’ = \frac{1}{{10lnx}}$
D. $y’ = \frac{1}{x}$

Lời giải

Chọn B.

Áp dụng công thức ${\left( {lo{g_a}x} \right)’} = \frac{1}{{xlna}}$, ta được $y’ = \frac{1}{{xln10}}$.

Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_2}\left( {2x + 1} \right)$.
A. $y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$
B. $y’ = \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$
C. $y’ = \frac{2}{{2x + 1}}$
D. $y’ = \frac{1}{{2x + 1}}$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $y’ = {\left( {lo{g_2}\left( {2x + 1} \right)} \right)’} = \frac{{{{(2x + 1)}’}}}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}} = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$.

Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số $y = log\left( {{e^x} + 2} \right)$
A. $y’ = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 2}}$.
B. $y’ = \frac{{{e^x}}}{{\left( {{e^x} + 2} \right)ln10}}$.
C. $y’ = \frac{1}{{{e^x} + 2}}$.
D. $y’ = \frac{1}{{\left( {{e^x} + 2} \right)ln10}}$

Lời giải

Chọn B.

$y’ = \frac{{{{\left( {{e^x} + 2} \right)}’}}}{{\left( {{e^x} + 2} \right)ln10}} = \frac{{{e^x}}}{{\left( {{e^x} + 2} \right)ln10}}$.

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}\left( {2x + 1} \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)ln3}}$.
B. $y’ = \frac{1}{{2x + 1}}$.
C. $y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln3}}$.
D. $y’ = \left( {2x + 1} \right) \cdot ln3$.

Lời giải

Chọn C

Đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}\left( {2x + 1} \right)$ là $y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln3}}$.

Câu 6. Cho hàm số $y = ln\frac{1}{{x + 1}}$. Xác định mệnh đề đúng
A. $xy’ – 1 = {e^y}$.
B. $xy’ + 1 = – {e^y}$.
C. $xy’ – 1 = – {e^y}$.
D. $xy’ + 1 = {e^y}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $y’ = {( – ln\left( {x + 1} \right))’} = – \frac{1}{{x + 1}} \Rightarrow xy’ + 1 = – \frac{x}{{x + 1}} + 1 = \frac{1}{{x + 1}} = {e^y}$.

Câu 7. Hàm số $f\left( x \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} – 2x} \right)$ có đạo hàm
A. $f’\left( x \right) = \frac{{ln2}}{{{x^2} – 2x}}$
B. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)ln2}}$
C. $f’\left( x \right) = \frac{{\left( {2x – 2} \right)ln2}}{{{x^2} – 2x}}$
D. $f’\left( x \right) = \frac{{2x – 2}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)ln2}}$

Lời giải

Chọn D.

$f’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} – 2x} \right)}’}}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)ln2}} = \frac{{2x – 2}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)ln2}}$

Câu 8. Tính đạo hàm số $y = f\left( x \right) = lo{g_{{x^2} + 2}}2$.
A. $y’ = – \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right) \cdot ln2 \cdot log_2^2\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
B. $y’ = – \frac{1}{{log_2^2\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
C. $y’ = – \frac{{2x}}{{ln\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
D. $y’ = – \frac{x}{{\left( {{x^2} + 2} \right) \cdot l{n^2}\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $y = lo{g_{{x^2} + 2}}2 = \frac{1}{{lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right)}} \Rightarrow y’ = – \frac{{{{\left( {lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right)} \right)}’}}}{{log_2^2\left( {{x^2} + 2} \right)}} = – \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right) \cdot ln2 \cdot log_2^2\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.

Câu 9. Đạo hàm của hàm số $y = lo{g_3}\left( {{x^2} + x + 1} \right)$ là:
A. $y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)ln3}}{{{x^2} + x + 1}}$
B. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)ln3}}$
C. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$
D. $y’ = \frac{1}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)ln3}}$

Lời giải

Chọn B.

$y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}’}}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)ln3}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)ln3}}$

Câu 10. Cho hàm số $f\left( x \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 1} \right)$, tính $f’\left( 1 \right)$
A $f’\left( 1 \right) = 1$
B. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{2ln2}}$.
C. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$.
D. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{ln2}}$.

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

$f’\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right) \cdot ln2}} \Rightarrow f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{ln2}}$.

Câu 11. Tìm đạo hàm của hàm số $y = ln\left( {1 + {e^{2x}}} \right)$.
A. $y’ = \frac{{ – 2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^2}}}$.
B. $y’ = \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}$.
C. $y’ = \frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}$.
D. $y’ = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = {\left[ {ln\left( {1 + {e^{2x}}} \right)} \right]’} = \frac{{{{\left( {1 + {e^{2x}}} \right)}’}}}{{1 + {e^{2x}}}} = \frac{{2{e^{2x}}}}{{1 + {e^{2x}}}}$.

Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số $y = ln\left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$
B. $y’ = \frac{2}{{\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$
C. $y’ = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$
D. $y’ = \frac{1}{{1 + \sqrt {x + 1} }}$

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

$y’ = {(ln\left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right))’} = \frac{{{{(1 + \sqrt {x + 1} )}’}}}{{1 + \sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$

Câu 13. Tính đạo hàm số $y = ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$.
A. $y’ = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2} + 1}}$.
B. $y’ = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.
C. $y’ = \frac{{1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}$.
D. $y’ = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $y’ = {\left[ {ln\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]’} = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}’}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

Câu 14. Cho hàm số $f\left( x \right) = ln\left( {{x^2} – 2x} \right)$. Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{{{f^2}\left( x \right)}}$
A. $y’ = \frac{{x – 1}}{{2\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.
B. $y’ = \frac{{ – 4x + 4}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)l{n^4}\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.
C. $y’ = \frac{{4 – 4x}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)l{n^3}\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.
D. $y’ = \frac{{2x – 2}}{{{{\left( {{x^2} – 2x} \right)}^2}}}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $y = \frac{1}{{{f^2}\left( x \right)}} = \frac{1}{{l{n^2}\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.

$ \Rightarrow f’\left( x \right) = – \frac{{{{\left[ {l{n^2}\left( {{x^2} – 2x} \right)} \right]}’}}}{{l{n^4}\left( {{x^2} – 2x} \right)}} = – \frac{{2\left( {2x – 2} \right)ln\left( {{x^2} – 2x} \right)}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)l{n^4}\left( {{x^2} – 2x} \right)}} = – \frac{{4x – 4}}{{\left( {{x^2} – 2x} \right)l{n^3}\left( {{x^2} – 2x} \right)}}$.

Câu 15. Cho hàm số $y = \frac{1}{{x + 1 + lnx}}$ với $x > 0$. Khi đó $ – \frac{{y’}}{{{y^2}}}$ bằng
A. $\frac{x}{{x + 1}}$.
B. $1 + \frac{1}{x}$.
C. $\frac{x}{{1 + x + lnx}}$.
D. $\frac{{x + 1}}{{1 + x + lnx}}$.

Lời giải

Chọn B.

$y = \frac{1}{{x + 1 + lnx}} \Rightarrow \frac{1}{y} = x + 1 + lnx \Rightarrow {\left( {\frac{1}{y}} \right)’} = {(x + 1 + lnx)’} \Leftrightarrow – \frac{{y’}}{{{y^2}}} = 1 + \frac{1}{x}.$

Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số $y = {2^x}lnx – \frac{1}{{{e^x}}}$.
A. $y’ = {2^x}\left( {\frac{1}{x} + \left( {ln2} \right)\left( {lnx} \right)} \right) + \frac{1}{{{e^x}}}$.
B. $y’ = {2^x}ln2 + \frac{1}{x} + {e^{ – x}}$.
C. $y’ = {2^x}\frac{1}{x}ln2 + \frac{1}{{{e^x}}}$.
D. $y’ = {2^x}ln2 + \frac{1}{x} – {e^x}$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $y’ = {2^x}\left( {ln2} \right)\left( {lnx} \right) + \frac{{{2^x}}}{x} + \frac{1}{{{e^x}}} = \left( {\frac{1}{x} + \left( {ln2} \right)\left( {lnx} \right)} \right) + \frac{1}{{{e^x}}}$.

Câu 17. Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {ln\left( {lnx} \right)} $ là:
A. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{xlnx\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$.
B. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$
C. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2xlnx\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$.
D. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{lnx\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$.

Lời giải

Chọn C.

Áp dụng các công thức ${(lnu)’} = \frac{{u’}}{{lnu}}$ và ${(\sqrt u )’} = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}$ ta có $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2xlnx\sqrt {ln\left( {lnx} \right)} }}$.

Câu 18. Cho $f\left( x \right) = 2 \cdot {3^{lo{g_{81}}x}} + 3$. Tính $f’\left( 1 \right)$
A. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$.
B. $f’\left( 1 \right) = \frac{{ – 1}}{2}$.
C. $f’\left( 1 \right) = 1$.
D. $f’\left( 1 \right) = 1$.

Lời giải

Chọn D.

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

$f’\left( x \right) = 2 \cdot {3^{lo{g_{81}}x}} \cdot ln3 \cdot {\left( {lo{g_{81}}x} \right)’} = 2 \cdot {3^{lo{g_{81}}x}} \cdot ln3 \cdot \frac{1}{{xln81}}$

$f’\left( 1 \right) = 2 \cdot {3^0} \cdot ln3 \cdot \frac{1}{{ln81}} = 2 \cdot 1 \cdot ln3 \cdot \frac{1}{{4ln3}} = \frac{1}{2}$.

Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số $y = {e^x} + ln3x$.
A. $y’ = {e^x} + \frac{1}{{3x}}$.
B. $y’ = {e^x} + \frac{1}{x}$.
C. $y’ = {e^x} + \frac{3}{x}$.
D. $y’ = {e^x}ln3x + {e^x}\frac{1}{x}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $y = {e^x} + ln3x = {e^x} + ln3 + lnx \Rightarrow y’ = {e^x} + \frac{1}{x}$.

Câu 20. Tính đạo hàm của hàm số $y = {7^{2x}} – lo{g_2}\left( {5x} \right)$.
A. $y’ = \frac{{2 \cdot {7^{2x}}}}{{ln5}}7 – \frac{{ln2}}{{5x}}$.
B. $y’ = 2 \cdot {7^{2x}} \cdot ln7 – \frac{1}{{xln5}}$.
C. $y’ = 2 \cdot {7^{2x}} \cdot ln7 – \frac{1}{{xln2}}$.
D. $y’ = \frac{{2 \cdot {7^{2x}}}}{{ln7}} – \frac{{ln2}}{{5x}}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $y = {7^{2x}} – lo{g_2}5 – lo{g_2}x \Rightarrow y’ = {2.7^{2x}} \cdot ln7 – \frac{1}{{xln2}}$.

Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_{2024}}\left| x \right|,\forall x \ne 0$.
A. $y’ = \frac{1}{{\left| x \right|ln2024}}$.
B. $y’ = \frac{1}{{\left| x \right|}}$.
C. $y’ = \frac{1}{{xln2024}}$.
D. $y’ = xln2024$.

Chọn C

Lời giải

$y’ = \frac{1}{{xlna}} = \frac{1}{{x\ln 2024}}$.

Câu 22. Cho hàm số $y = \frac{{lnx}}{x}$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $2y’ + xy” = – \frac{1}{{{x^2}}}$.
B. $y’ + xy” = \frac{1}{{{x^2}}}$.
C. $y’ + xy” = – \frac{1}{{{x^2}}}$.
D. $2y’ + xy” = \frac{1}{{{x^2}}}$.

Lời giải

Chọn A

Cách 1. $y’ = \frac{{{{(lnx)}’} \cdot x – x’ \cdot lnx}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{1}{x} \cdot x – lnx}}{{{x^2}}} = \frac{{1 – lnx}}{{{x^2}}}$

$y” = \frac{{{{(1 – lnx)}’} \cdot {x^2} – {{\left( {{x^2}} \right)}’}\left( {1 – lnx} \right)}}{{{x^4}}} = \frac{{ – \frac{1}{x} \cdot {x^2} – 2x\left( {1 – lnx} \right)}}{{{x^4}}}$

$ = \frac{{ – x – 2x\left( {1 – lnx} \right)}}{{{x^4}}} = – \frac{{1 + 2\left( {1 – lnx} \right)}}{{{x^3}}} = – \frac{{3 – 2lnx}}{{{x^3}}}$

Suy ra: $2y’ + xy” = 2 \cdot \frac{{1 – lnx}}{{{x^2}}} – x\frac{{3 – 2lnx}}{{{x^3}}}$

$ = \frac{{2 – 2lnx – 3 + 2lnx}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{{{x^2}}}$.

Cách 2. Ta có $xy = lnx$, lấy đạo hàm hai vế, ta được $y + xy’ = \frac{1}{x}$.

Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của biểu thức trên, ta được $y’ + y’ + xy” = – \frac{1}{{{x^2}}}$, hay $2y’ + xy” = – \frac{1}{{{x^2}}}$.

Câu 23. Cho hàm $y = x\left[ {cos\left( {lnx} \right) + sin\left( {lnx} \right)} \right]$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${x^2}y” + xy’ – 2y + 4 = 0$.
B. ${x^2}y” – xy’ – 2xy = 0$.
C. $2{x^2}y’ + xy” + 2y – 5 = 0$.
D. ${x^2}y” – xy’ + 2y = 0$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $y = x\left[ {cos\left( {lnx} \right) + sin\left( {lnx} \right)} \right]$ $y’ = cos\left( {lnx} \right) + sin\left( {lnx} \right) – sin\left( {lnx} \right) + cos\left( {lnx} \right) = 2cos\left( {lnx} \right)$

$y” = – \frac{2}{x}sin\left( {lnx} \right)$

Từ đó kiểm tra thấy đáp án $D$ đúng vì :

${x^2}y” – xy’ + 2y = y” = – 2xsin\left( {lnx} \right) – 2xcos\left( {lnx} \right) + 2x\left[ {cos\left( {lnx} \right) + sin\left( {lnx} \right)} \right] = 0$