60 Câu Trắc Nghiệm Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số Theo Dạng Giải Chi Tiết

60 câu trắc nghiệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM

Bài toán: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.

Phương pháp giải:

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là: $y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\left( * \right)$

• Tính $y’ = f’\left( x \right) \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right)$

• Thay $f’\left( {{x_0}} \right)$ vào $\left( * \right)$ ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Mở rộng:

• Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành Ox: Cho ${y_0} = 0$.

• Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành Oy: Cho ${x_0} = 0$.

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$

Áp dụng công thức: $y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\left( * \right)$

Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại ${M_0}$ là:
A. $y = f’\left( x \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$.
B. $y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)$.
C. $y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)$.
D. $y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)x$.

Lời giải

Chọn C

Câu 2. Cho đường cong $\left( C \right):y = {x^2}$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( { – 1;1} \right)$ là
A. $y = – 2x + 1$.
B. $y = 2x + 1$.
C. $y = – 2x – 1$.
D. $y = 2x – 1$.

Lời giải

Chọn C.

$y = {x^2} \Rightarrow y’ = 2x$.

$y’\left( { – 1} \right) = – 2$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y = – 2\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = – 2x – 1$.

Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right):y = {x^3}$ tại điểm ${M_0}\left( { – 1; – 1} \right)$ là:
A. $y = 3x – 2$.
B. $y = 3x + 2$.
C. $y = 3x + 3$.
D. $y = – 3x + 3$.

Lời giải

Chọn B.

$ + y’ = 3{x^2} \Rightarrow y’\left( { – 1} \right) = 3$

PTTT của $\left( C \right)$ tại điểm ${M_0}\left( { – 1; – 1} \right)$ là $y = 3\left( {x + 1} \right) – 1 \Leftrightarrow y = 3x + 2$.

Câu 4. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 7x + 2$. Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {0;2} \right)$ là:
A. $y = 7x + 2$.
B. $y = 7x – 2$.
C. $y = – 7x + 2$.
D. $y = – 7x – 2$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : $y’ = {x^2} – 6x + 7$

Hệ số góc tiếp tuyến $y’\left( 0 \right) = 7$

Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {0;2} \right)$ :
$y = 7\left( {x – 0} \right) + 2 = 7x + 2$.

Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 2}}$ tại điểm $M\left( { – 1; – 1} \right)$ là:
A. $y = – 2x – 1$.
B. $y = – 2x + 1$.
C. $y = 2x + 1$.
D. $y = 2x – 1$.

Lời giải

Chọn C

$f’\left( x \right) = \frac{2}{{{{(x + 2)}^2}}}$

Ta có ${x_0} = – 1;{y_0} = – 1;f’\left( {{x_0}} \right) = 2$ Phương trình tiếp tuyến $y = 2x + 1$.

Câu 6. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + x}}{{x – 2}}$. Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( {1; – 2} \right)$ là
A. $y = – 4\left( {x – 1} \right) – 2$.
B. $y = – 5\left( {x – 1} \right) + 2$.
C. $y = – 5\left( {x – 1} \right) – 2$.
D. $y = – 3\left( {x – 1} \right) – 2$.

Lời giải

Chọn C.

$y = \frac{{{x^2} + x}}{{x – 2}} \Rightarrow y’ = \frac{{{x^2} – 4x – 2}}{{{{(x – 2)}^2}}},y’\left( 1 \right) = – 5$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y = – 5\left( {x – 1} \right) – 2 \Leftrightarrow y = – 5x + 3$.

Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {2x} }}$ tại điểm $A\left( {\frac{1}{2};1} \right)$ có phương trình là:
A. $2x + 2y = – 3$.
B. $2x – 2y = – 1$.
C. $2x + 2y = 3$.
D. $2x – 2y = 1$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $y’ = – \frac{1}{{2x\sqrt {2x} }}$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là $:k = y’\left( {\frac{1}{2}} \right) = – 1$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ là : $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow 2x + 2y = 3$.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$

+ $x = {x_0} \Rightarrow {y_0} = f({x_0}) = y({x_0})$

+ Tính $y’ \Rightarrow f'({x_0})$

+ Thay vào công thức $y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

Chú ý: Nếu tìm giao điểm với trục tung $Oy$ thì cho ${x_0} = 0$.

Câu 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} + 3x$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 1$ là:
A. $y = 10x + 4$.
B. $y = 10x – 5$.
C. $y = 2x – 4$.
D. $y = 2x – 5$.

Lời giải

Chọn A.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} – 4x + 3$.

$y’\left( { – 1} \right) = 10;y\left( { – 1} \right) = – 6$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $\left( d \right):y = 10\left( {x + 1} \right) – 6 = 10x + 4$.

Câu 9. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết hoành độ tiếp điểm bằng 1
A. $y = 3x – 6$
B. $y = 3x – 7$
C. $y = 3x – 4$
D. $y = 3x – 5$

Lời giải

Chọn C.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.

Ta có: ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = – 1,y’\left( 1 \right) = 3$

Phương trình tiếp tuyến là: $y = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} = 3\left( {x – 1} \right) – 1 = 3x – 4$

Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{4}{{x – 1}}$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 1$ có phương trình là:
A. $y = – x + 2$.
B. $y = x + 2$.
C. $y = x – 1$.
D. $y = – x – 3$.

Lời giải

Chọn D.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$.

${x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = – 2$

Đạo hàm: $y’ = – \frac{4}{{{{(x – 1)}^2}}}$.

$ \Rightarrow f'({x_0}) = y'({x_0}) = f'( – 1) = – 1$

Phương trình của tiếp tuyến là $y = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} = – 1(x + 1) – 2 = – x – 3$

Câu 11. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {(x + 1)^2}\left( {x – 2} \right)$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là
A. $y = – 8x + 4$.
B. $y = 9x + 18$.
C. $y = – 4x + 4$.
D. $y = 9x – 18$.

Lời giải

Chọn D.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm.

Ta có ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0$.

$y = {(x + 1)^2}\left( {x – 2} \right) = {x^3} – 3x + 2 \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 3 \Rightarrow y’\left( 2 \right) = 9$.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 9\left( {x – 2} \right) + 0 \Leftrightarrow y = 9x – 18$.

Câu 12. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số $y = x{(3 – x)^2}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là
A. $y = – 3x + 8$.
B. $y = – 3x + 6$.
C. $y = 3x – 8$.

Lời giải

Chọn A.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm.

Ta có ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 2$.

$y = x{(3 – x)^2} = {x^3} – 6{x^2} + 9x \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 12x + 9 \Rightarrow y’\left( 2 \right) = – 3$.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = – 3\left( {x – 2} \right) + 2 \Leftrightarrow y = – 3x + 8$.

Câu 13. Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = f\left( x \right) = tan\left( {\frac{\pi }{4} – 3x} \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = \frac{\pi }{6}$ là:
A. $y = – x + \frac{\pi }{6} + 6$.
B. $y = – x – \frac{\pi }{6} – 6$.
C. $y = – 6x + \pi – 1$.
D. $y = – x – \frac{\pi }{6} + 6$.

Lời giải

Chọn C

$f’\left( x \right) = \frac{{ – 3}}{{co{s^2}\left( {\frac{\pi }{4} – 3x} \right)}};$

${x_0} = \frac{\pi }{6};{y_0} = – 1;f’\left( {{x_0}} \right) = – 6$

Phương trình tiếp tuyến: $y = – 6x + \pi – 1$.

Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} – 2$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 2$ có phương trình là:
A. $y = 4x – 8$.
B. $y = 20x + 22$.
C. $y = 20x – 22$.
D. $y = 20x – 16$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $f’\left( x \right) = 3{x^2} – 4x$. Tại điểm A có hoành độ ${x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right) = – 18$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là : $k = f’\left( { – 2} \right) = 20$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A$ là : $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 20x + 22$.

Câu 15. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} – 1$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = – 1$ là:
A. -2
B. 0
C. 1
D. 2

Lời giải

Ta có $f’\left( { – 1} \right) = – 2$.

Chọn A.

Câu 16. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung.
A. $y = – 3x + 12$
B. $y = – 3x + 11$
C. $y = – 3x + 1$
D. $y = – 3x + 2$

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Ta có: ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1,y’\left( {{x_0}} \right) = – 3$

Phương trình tiếp tuyến: $y = – 3x + 1$.

Câu 17. Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = \frac{{3x + 1}}{{x – 1}}$ cắt trục tung tại điểm $A$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A$ có phương trình là:
A. $y = – 4x – 1$.
B. $y = 4x – 1$.
C. $y = 5x – 1$.
D. $y = – 5x – 1$.

Lời giải

Chọn A.

Cho ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = – 1$

Ta có : điểm $A\left( {0; – 1} \right)$

$y’ = \frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}} \Rightarrow $ hệ số góc tiếp tuyến $y’\left( 0 \right) = – 4$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( {0; – 1} \right)$ là :

$y = – 4\left( {x – 0} \right) – 1 = – 4x – 1$.

Câu 18. Gọi $\left( P \right)$ là đồ thị của hàm số $y = 2{x^2} – x + 3$. Phương trình tiếp tuyến với $\left( P \right)$ tại điểm mà $\left( P \right)$ cắt trục tung là:
A. $y = – x + 3$.
B. $y = – x – 3$.
C. $y = 4x – 1$.
D. $y = 11x + 3$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : $\left( P \right)$ cắt trục tung tại điểm $M\left( {0;3} \right)$.

$y’ = 4x – 1$

Hệ số góc tiếp tuyến : $y’\left( 0 \right) = – 1$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( P \right)$ tại $M\left( {0;3} \right)$ là $y = – 1\left( {x – 0} \right) + 3 = – x + 3$.

Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 1}}{{2x – 1}}$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có phương trình là:
A. $y = x – 1$.
B. $y = x + 1$.
C. $y = x$.
D. $y = – x$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $y’ = \frac{{2{x^2} – 2x + 1}}{{{{(2x – 1)}^2}}}$.

Giao điểm $M$ của đồ thị với trục tung : ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = – 1$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ là : $k = y’\left( 0 \right) = 1$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M$ là : $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = x – 1$.

Câu 20. Gọi $M$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm $M$ là:
A. $y = \frac{3}{2}x – \frac{1}{2}$
B. $y = – \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$
C. $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$
D. $y = – \frac{3}{2}x – \frac{1}{2}$

Lời giải

Chọn B.

Vì $M$ là giao điểm của đồ thị với trục $Oy \Rightarrow M\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$

$y’ = \frac{{ – 3}}{{{{(x – 2)}^2}}} \Rightarrow k = y’\left( 0 \right) = – \frac{3}{4}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$ là: $y = – \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ $y = {y_0}$

+ $y = {y_0} \Rightarrow f({x_0}) = {y_0} \Rightarrow x = {x_0}$

+ Tính $y’ \Rightarrow f'({x_0})$

+ Thay vào công thức $y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

Chú ý: Nếu tìm giao điểm với trục hoành $Ox$ thì cho ${y_0} = 0$.

Câu 21. Cho hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tung độ tiếp điểm bằng 1
A. $y = 2$
B. $y = 1$
C. $y = 3$
D. $y = 4$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $y’ = 4{x^3} + 2x$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Ta có ${y_0} = 1 \Leftrightarrow x_0^4 + x_0^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 0,y’\left( {{x_0}} \right) = 0$

Phương trình tiếp tuyến: $y = 1$

Câu 22. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tung độ tiếp điểm bằng 3
A. $y = 9x – 1$ hay $y = 3$
B. $y = 9x – 4$ hay $y = 3$
C. $y = 9x – 3$ hay $y = 3$
D. $y = 9x – 13$ hay $y = 3$

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Ta có: ${y_0} = 3 \Leftrightarrow x_0^3 – 3{x_0} – 2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2,{x_0} = – 1$

• ${x_0} = – 1 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 0$. Phương trình tiếp tuyến: $y = 3$

• ${x_0} = 2 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 9$. Phương trình tiếp tuyến:

$y = 9\left( {x – 2} \right) + 3 = 9x – 13$.

Câu 23. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết tung độ tiếp điểm bằng 9.
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 18x + 81} \\
{y = – 9x} \\
{y = 18x – 27}
\end{array}} \right.$
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = x + 81} \\
{y = 9x} \\
{y = 9x – 2}
\end{array}} \right.$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 18x + 1} \\
{y = – 9x} \\
{y = 9x – 7}
\end{array}} \right.$
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = x + 81} \\
{y = – 9x} \\
{y = 9x – 2}
\end{array}} \right.$

Lời giải

Chọn A.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.

Ta có: ${y_0} = 9 \Leftrightarrow x_0^3 + 3x_0^2 – 6{x_0} – 8 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = – 1,{x_0} = 2,{x_0} = – 4$.

• ${x_0} = – 4 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 18$. Phương trình tiếp tuyến là: $y = 18\left( {x + 4} \right) + 9 = 18x + 81$

• ${x_0} = – 1 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = – 9$. Phương trình tiếp tuyến là: $y = – 9\left( {x + 1} \right) + 9 = – 9x$

• ${x_0} = 2 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 18$. Phương trình tiếp tuyến là: $y = 18\left( {x – 2} \right) + 9 = 18x – 27$.

Câu 24. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( H \right):y = \frac{{x – 1}}{{x + 2}}$ tại giao điểm của $\left( H \right)$ và trục hoành:
A. $y = \frac{1}{3}\left( {x – 1} \right)$.
B. $y = 3x$.
C. $y = x – 3$.
D. $y = 3\left( {x – 1} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 2} \right\}$.

Đạo hàm: $y’ = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}$.

Cho ${y_0} = 0 \Rightarrow $${x_o} = 1 \Rightarrow y’\left( 1 \right) = \frac{1}{3};y\left( 1 \right) = 0$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $d:y = \frac{1}{3}\left( {x – 1} \right)$.

Câu 25. Cho hàm số $y = \frac{{2x – 4}}{{x – 3}}$ có đồ thị là $\left( H \right)$. Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của $\left( H \right)$ với trục hoành là:
A. $y = 2x – 4$.
B. $y = 3x + 1$.
C. $y = – 2x + 4$.
D. $y = 2x$.

Lời giải

Chọn C.

Giao điểm của $\left( H \right)$ với trục hoành là $A\left( {2;0} \right)$.

Ta có: $y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 3)}^2}}} \Rightarrow y’\left( 2 \right) = – 2$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = – 2\left( {x – 2} \right)$ hay $y = – 2x + 4$.

Câu 26. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2} + 5x + 4$, có đồ thị $\left( C \right)$. Tại các giao điểm của $\left( C \right)$ với trục $Ox$, tiếp tuyến của $\left( C \right)$ có phương trình:
A. $y = 3x + 3$ và $y = – 3x – 12$.
B. $y = 3x – 3$ và $y = – 3x + 12$.
C. $y = – 3x + 3$ và $y = 3x – 12$.
D. $y = 2x + 3$ và $y = – 2x – 12$.

Lời giải

Chọn A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm. ${x^2} + 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = – 4}
\end{array}} \right.$

$f’\left( x \right) = 2x + 5$

TH1: ${x_0} = – 1;{y_0} = 0;f’\left( { – 1} \right) = 3$ PTTT có dạng $:y = 3x + 3$

TH2: ${x_0} = – 4;{y_0} = 0;f’\left( { – 4} \right) = – 3$ PTTT có dạng $:y = – 3x – 12$

Câu 27. Tìm trên $\left( C \right):y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ những điểm $M$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8 .
A. $M\left( { – 1; – 4} \right)$
B. $M\left( { – 2; – 27} \right)$
C. $M\left( {1;0} \right)$
D. $M\left( {2;5} \right)$

Lời giải

Chọn A.

Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {y_0} = 2x_0^3 – 3x_0^2 + 1$. Ta có: $y’ = 3{x^2} – 6x$.

Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ tại $M:y = \left( {6x_0^2 – 6{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + 2x_0^3 – 3x_0^2 + 1$.

$\Delta $ đi qua $P\left( {0;8} \right) \Leftrightarrow 8 = – 4x_0^3 + 3x_0^2 + 1 \Leftrightarrow {x_0} = – 1$. Vậy $M\left( { – 1; – 4} \right)$.

II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC k

Bài toán: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến có hệ số góc là $k$.

Phương pháp giải:

• Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị $\left( C \right)$.

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có hệ số góc $k$ là:

• $y = k\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}$

• Tính $y’ = f’\left( x \right) \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right) = k\left( 1 \right)$

• Giải phương trình (1) tìm ${x_0}$, sau đó thay ${x_0}$ vào $y = f\left( x \right)$ suy ra ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

• Thay ${x_0},{y_0}$ vào $\left( * \right)$ ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý:

1. Hệ số góc của tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc $\left( C \right)$ là: $k = f’\left( {{x_0}} \right)$

2. Cho tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ là đường thẳng $\left( \Delta \right)$ có hệ số góc ${k_\Delta }$ và đường thẳng $\left( d \right):y = {k_d}x + b$. Khi đó :

• Nếu $\left( \Delta \right)//\left( d \right) \Rightarrow {k_\Delta } = {k_d}$

• Nếu $\left( \Delta \right) \bot \left( d \right) \Rightarrow {k_\Delta } \cdot {k_d} = – 1 \Leftrightarrow {k_\Delta } = – \frac{1}{{{k_d}}}$

Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{2 – 3x}}{{x – 1}}$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :
A. 9 .
B. $\frac{1}{9}$.
C. -9 .
D. $ – \frac{1}{9}$.

Lời giải

Chọn A.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$. Đạo hàm: $y’ = \frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}}$.

Cho ${y_0} = 0 \Rightarrow {x_0} = \frac{2}{3}$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $A\left( {\frac{2}{3};0} \right)$.

Hệ số góc của tiếp tuyến là $y’\left( {\frac{2}{3}} \right) = 9$.

Câu 2. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$ tại giao điểm với trục tung bằng :
A. -2 .
B. 2 .
C. 1 .
D. -1 .

Lời giải

Chọn B.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 1} \right\}$.

Đạo hàm: $y’ = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}$.

Cho ${x_o} = 0 \Rightarrow {y_0}^\prime = 2$.

Câu 3. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = tanx$ tại điểm có hoành độ $x = \frac{\pi }{4}$.
A. $k = 1$.
B. $k = \frac{1}{2}$.
C. $k = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
D. 2 .

Lời giải

Chọn D.

$y = tanx \Rightarrow y’ = \frac{1}{{co{s^2}x}}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = tanx$ tại điểm có hoành độ $x = \frac{\pi }{4}$ là $k = y’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2$.

Câu 4. Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = sinx + 1$ tại điểm có hoành độ $\frac{\pi }{3}$ là
A. $k = \frac{1}{2}$.
B. $k = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C. $k = – \frac{1}{2}$.
D. $k = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Lời giải

Chọn A.

$y’ = cosx,k = y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = cos\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$.

Câu 5. Tiếp tuyến của hàm số $y = \frac{{x + 8}}{{x – 2}}$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 3$ có hệ số góc bằng
A. 3
B. -7
C. -10
D. -3

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $y’ = \frac{{ – 10}}{{{{(x – 2)}^2}}} \Rightarrow k = y’\left( {{x_0}} \right) = y’\left( 3 \right) = \frac{{ – 10}}{{{{(3 – 2)}^2}}} = – 10$

Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x – 5}}$ tại điểm $A\left( { – 1;0} \right)$ có hệ số góc bằng
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{6}{{25}}$
C. $ – \frac{1}{6}$
D. $ – \frac{6}{{25}}$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $y’ = \frac{{ – 6}}{{{{(x – 5)}^2}}}$. Theo giả thiết: $k = y’\left( { – 1} \right) = – \frac{1}{6}$

Câu 7. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $f\left( x \right) = – {x^3} + x + 2$ tại điểm $M\left( { – 2;8} \right)$ là:
A. 11.
B. -12
C. -11 .
D. 6 .

Lời giải

Ta có $f’\left( { – 2} \right) = – 11$

Chon C.

Câu 8. Điểm $M$ trên đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} – 1$ mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc $k$ bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì $M,k$ là
A. $M\left( {1; – 3} \right),k = – 3$.
B. $M\left( {1;3} \right),k = – 3$.
C. $M\left( {1; – 3} \right),k = 3$.
D. $M\left( { – 1; – 3} \right),k = – 3$.

Lời giải

Chọn A.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x$.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ là $k = y’\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 – 6{x_0} = 3{\left( {{x_0} – 1} \right)^2} – 3 \geqslant – 3$

Vậy $k$ bé nhất bằng -3 khi ${x_0} = 1,{y_0} = – 3$.

Câu 9. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9
A. $y = 9x – 1$ hay $y = 9x + 17$
B. $y = 9x – 1$ hay $y = 9x + 1$
C. $y = 9x – 13$ hay $y = 9x + 1$
D. $y = 9x – 13$ hay $y = 9x + 17$

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = 9 \Leftrightarrow 3x_0^2 – 3 = 9 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 2$

• ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 3$. Phương trình tiếp tuyến:

$y = 9\left( {x – 2} \right) + 3 = 9x – 13$.

• ${x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = – 1$.

Phương trình tiếp tuyến:

$y = 9\left( {x + 2} \right) – 1 = 9x + 17$.

Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} – 2$ có hệ số góc $k = – 9$, có phương trình là :
A. $y – 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.
B. $y = – 9\left( {x + 3} \right)$.
C. $y – 16 = – 9\left( {x – 3} \right)$.
D. $y + 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y’ = {x^2} + 6x$.

• $k = – 9 \Leftrightarrow y’\left( {{x_o}} \right) = – 9 \Leftrightarrow x_o^2 + 6{x_o} = – 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_o} + 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {x_o} = – 3 \Rightarrow {y_o} = 16$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $\left( d \right):y = – 9\left( {x + 3} \right) + 16 \Leftrightarrow y – 16 = – 9\left( {x + 3} \right)$.

Câu 11. Cho hàm số: $y = \frac{{2x + 2}}{{x – 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1 .
A. $y = – x – 2,y = – x + 7$.
B. $y = – x – 5,y = – x + 6$.
C. $y = – x – 1,y = – x + 4$.
D. $y = – x – 1,y = – x + 7$.

Lời giải

Chọn D

Hàm số đã cho xác định với $\forall x \ne 1$. Ta có: $y’ = \frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}}$

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ :

Tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1

Nên có: ${y’_0} = – 1 \Leftrightarrow \frac{{ – 4}}{{{{({x_0} – 1)}^2}}} = – 1 \Leftrightarrow {x_0} = 3,{x_0} = – 1$

• Với ${x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow \Delta :y = – x – 1$

• Với ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 4 \Rightarrow \Delta :y = – x + 7$

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: $y = – x – 1,y = – x + 7$.

Câu 12. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 1}}{{x – 2}}$ và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc $k = 2$ của đồ thị hàm số là
A. $y = 2x – 1;y = 2x – 3$.
B. $y = 2x – 5;y = 2x – 3$.
C. $y = 2x – 1;y = 2x – 5$.
D. $y = 2x – 1;y = 2x + 5$.

Lời giải

Chọn A.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có $y’ = \frac{{{x^2} – 4x + 5}}{{{{(x – 2)}^2}}}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến $k = 2 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2 – 4{x_0} + 5}}{{{{\left( {{x_0} – 2} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow x_0^2 – 4{x_0} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 1} \\
{{x_0} = 3}
\end{array}} \right.$.

Với ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow $ pttt: $y = 2\left( {x – 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x – 1$.

Với ${x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow $ pttt: $y = 2\left( {x – 3} \right) + 1 \Leftrightarrow y = 2x – 5$.

Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 2x – 1,y = 2x – 5$.

Câu 13. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: $y = \frac{{2x}}{{x – 1}}$, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $ – 2$
A. $y = – 2x + 1,y = – 2x$
B. $y = – 2x + 2,y = – 2x + 4$
C. $y = – 2x + 9,y = – 2x$
D. $y = – 2x + 8,y = – 2x$

Lời giải

Chọn D

Ta có: $y’ = \frac{{2\left( {x – 1} \right) – 2x}}{{{{(x – 1)}^2}}} = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}}$.

Gọi $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ bằng $y’\left( {{x_0}} \right) = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}$

Theo giải thiết, ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = – 2 \Leftrightarrow \frac{{ – 2}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = – 2$

$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} – 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} – 1 = 1} \\
{{x_0} – 1 = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 4} \\
{{x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 0}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: $y = – 2x + 8,y = – 2x$

Câu 14. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: $y = 2{x^4} – 4{x^2} + 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 48x – 1$.
A. $y = 48x – 9$
B. $y = 48x – 7$
C. $y = 48x – 10$
D. $y = 48x – 79$

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = 8{x^3} – 8x$

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 48x – 1$

Nên ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = 48 \Leftrightarrow x_0^3 – {x_0} – 6 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2$

Suy ra ${y_0} = 17$. Phương trình tiếp tuyến là:

$y = 48\left( {x – 2} \right) + 17 = 48x – 79$.

Câu 15. Cho hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 6x – 1$
A. $y = 6x – 2$
B. $y = 6x – 7$
C. $y = 6x – 8$
D. $y = 6x – 3$

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $y’ = 4{x^3} + 2x$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 6x – 1$ nên ta có:

• $y’\left( {{x_0}} \right) = 6 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 2{x_0} = 6 \Leftrightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 3$

Phương trình tiếp tuyến: $y = 6x – 3$.

Câu 16. Cho hàm số $y = \frac{{2x + 2}}{{x – 1}}\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y = – 4x + 1$.
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = – 4x + 2} \\
{y = – 4x + 14}
\end{array}} \right.$
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = – 4x + 21} \\
{y = – 4x + 14}
\end{array}} \right.$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = – 4x + 2} \\
{y = – 4x + 1}
\end{array}} \right.$
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = – 4x + 12} \\
{y = – 4x + 14}
\end{array}} \right.$

Lời giải

Chọn A.

Hàm số xác định với mọi $x \ne 1$. Ta có: $y’ = \frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}}$

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ : Vì tiếp tuyến song với đường thẳng $d:y = – 4x + 1$ nên ta có:

• $y’\left( {{x_0}} \right) = – 4 \Leftrightarrow \frac{{ – 4}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = – 4 \Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = 2$

• ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 2 \Rightarrow \Delta :y = – 4x + 2$

• ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 6 \Rightarrow \Delta :y = – 4x + 14$

Câu 17. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong $\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2} – 8x + 1$, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $\Delta :y = x + 28$ ?
A. $y = x + 28$.
B. $y = x – 4;y = x + 28$.
C. $y = x – 4$.
D. $y = x + 1$.

Lời giải

Chọn C.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} + 6x – 8$.

Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng $y = x + 28$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 .

Ta có phương trình $1 = 3{x^2} + 6x – 8 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 3}
\end{array}} \right.$.

Tại $M\left( {1; – 3} \right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x – 4$.

Tại $N\left( { – 3;25} \right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x + 28$( loại vì trùng với $\Delta $)

Câu 18. Cho hàm số $y = {x^2} – 6x + 5$ có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là:
A. $x = – 3$.
B. $y = – 4$.
C. $y = 4$.
D. $x = 3$.

Lời giải

Chọn B.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y’ = 2x – 6$.

Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên ta có:

$y’\left( {{x_o}} \right) = 0 \Rightarrow 2{x_o} – 6 = 0 \Leftrightarrow {x_o} = 3 \Rightarrow {y_o} = – 4 \Rightarrow d:y = – 4$.

Câu 19. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right):y = {x^3}$ biết nó vuông góc với đường thẳng $\Delta :y = – \frac{x}{{27}} + 8$ là:
A. $y = – \frac{1}{{27}}x + 8$.
B. $y = 27x \pm 3$.
C. $y = – \frac{1}{{27}}x \pm 3$.
D. $y = 27x \pm 54$.

Lời giải

Chọn D.

$y’ = 3{x^2}$.

+Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm.

• Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $\Delta :y = \frac{{ – 1}}{{27}}x + 8$ suy ra

$y’\left( {{x_0}} \right) = 27 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 27 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 3} \\
{{x_0} = – 3}
\end{array}.} \right.$

• Với ${x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 27$. PTTT là: $y = 27\left( {x – 3} \right) + 27 \Leftrightarrow y = 27x – 54$

• Với ${x_0} = – 3 \Rightarrow {y_0} = – 27$. PTTT là: $y = 27\left( {x + 3} \right) – 27 \Leftrightarrow y = 27x + 54$.

Câu 20. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = – \frac{1}{{18}}x + 1$
A. $y = 18x + 8$ và $y = 18x – 27$.
B. $y = 18x + 8$ và $y = 18x – 2$.
C. $y = 18x + 81$ và $y = 18x – 2$.
D. $y = 18x + 81$ và $y = 18x – 27$.

Lời giải

Chọn D.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = – \frac{1}{{18}}x + 1$ nên

Ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = 15 \Leftrightarrow x_0^2 + 2{x_0} – 8 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = – 4,{x_0} = 2$

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: $y = 18x + 81$ và $y = 18x – 27$.

Câu 21. Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 2$
A. $y = – 3x – 11$ hay $y = – 3x + 11$
B. $y = – 3x – 11$ hay $y = – 3x + 1$
C. $y = – 3x – 1$ hay $y = – 3x + 1$
D. $y = – 3x – 1$ hay $y = – 3x + 11$

Lời giải

Chọn D.

Ta có $y’ = \frac{{ – 3}}{{{{(x – 1)}^2}}}$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm.Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 2$ nên ta có

$y’\left( {{x_0}} \right) = – 3 \Leftrightarrow \frac{{ – 3}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = – 3 \Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = 2$

• ${x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = – 1$, phương trình tiếp tuyến là:$y = – 3x – 1$

• ${x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 5$, phương trình tiếp tuyến là: $y = – 3\left( {x – 2} \right) + 5 = – 3x + 11$.

Câu 22. Cho hàm số $y = 3{x^2} – 2x + 5$, có đồ thị $\left( C \right)$. Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $x + 4y + 1 = 0$ là đường thẳng có phương trình:
A. $y = 4x + 1$.
B. $y = 4x + 2$.
C. $y = 4x – 4$.
D. $y = 4x – 2$.

Lời giải

Chọn C.

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có phương trình là: $y – {y_0} = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)$

$d:x + 4y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = – \frac{1}{4}x – \frac{1}{4}$

$y’ = 6x – 2$

Tiếp tuyến vuông góc với $d$ nên $y’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( { – \frac{1}{4}} \right) = – 1 \Leftrightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 4 \Leftrightarrow 6{x_0} – 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 1$,

$y\left( 1 \right) = 6$. Phương trình tiếp tuyến có dạng : $y = 4x + 2$

Câu 23. Tìm $m$ để tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \left( {2m – 1} \right){x^4} – m + \frac{5}{4}$ tại điểm có hoành độ $x = – 1$ vuông góc với đường thẳng $d:2x – y – 3 = 0$.
A. $\frac{3}{4}$.
B. $\frac{1}{4}$.
C. $\frac{7}{{16}}$.
D. $\frac{9}{{16}}$.

Lời giải

Chọn D.

$d:2x – y – 3 = 0 \Leftrightarrow y = 2x – 3 \Rightarrow {k_d} = 2$.

$y = \left( {2m – 1} \right){x^4} – m + \frac{5}{4} \Rightarrow y’ = 4\left( {2m – 1} \right){x^3}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \left( {2m – 1} \right){x^4} – m + \frac{5}{4}$ tại điểm có hoành độ $x = – 1$ là ${k_{tt}} = y’\left( { – 1} \right) = 4\left( {2m – 1} \right){( – 1)^3} = – 4\left( {2m – 1} \right)$.

Ta có ${k_{tt}} \cdot {k_d} = – 1 \Leftrightarrow – 8\left( {2m – 1} \right) = – 1 \Leftrightarrow m = \frac{9}{{16}}$

Câu 24. Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy.
A. $y = 2,y = – 1$
B. $y = 3,y = – 1$
C. $y = 3,y = – 2$
D. $x = 3,x = – 1$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: $y’\left( {{x_0}} \right) = 0$

Hay ${x_0} = \pm 1$. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: $y = 3,y = – 1$.

Câu 25. Cho hàm số $y = 2 – \frac{4}{x}$ có đồ thị $\left( H \right)$. Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = – x + 2$ và tiếp xúc với $\left( H \right)$ thì phương trình của $\Delta $ là
A. $y = x + 4$.
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = x – 2} \\
{y = x + 4}
\end{array}} \right.$.
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = x – 2} \\
{y = x + 6}
\end{array}} \right.$.
D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn C.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$.

Đạo hàm: $y’ = \frac{4}{{{x^2}}}$

Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = – x + 2$ nên $\Delta $ có hệ số góc bằng 1 . Ta có phương trình $1 = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.$.

Tại $M\left( {2;0} \right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x – 2$.

Tại $N\left( { – 2;4} \right)$. Phương trình tiếp tuyến là $y = x + 6$.

III. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM

Bài toán: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$.

Phương pháp giải:

• Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị $\left( C \right)$.

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là:

$y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\;hay\;y = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$

Tính $y’ = f’\left( x \right) \Rightarrow f’\left( {{x_0}} \right)$ và ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

• Vì tiếp tuyến đi qua $A\left( {{x_1};{y_1}} \right) \Rightarrow {y_1} = f’\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {{x_1} – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$

• Giải phương trình (2) tìm ${x_0}$ thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .

Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right):y = {x^3}$ biết nó đi qua điểm $M\left( {2;0} \right)$ là:
A. $y = 27x \pm 54$.
B. $y = 27x – 9$ và $y = 27x – 2$.
C. $y = 27x \pm 27$.
D. $y = 0$ và $y = 27x – 54$.

Lời giải

Chọn D.

$ + y’ = 3{x^2}$.

• Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm. PTTT của $\left( C \right)$ tại $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là:

$y = 3x_0^2\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^3\;\left( d \right).$

• Vì tiếp tuyến $\left( d \right)$ đí qua $M\left( {2;0} \right)$ nên ta có phương trình:

$3x_0^2\left( {2 – {x_0}} \right) + x_0^3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 0} \\
{{x_0} = 3}
\end{array}.} \right.$

• Với ${x_0} = 0$ thay vào $\left( d \right)$ ta có tiếp tuyến $y = 0$.

• Với ${x_0} = 3$ thay vào $\left( d \right)$ ta có tiếp tuyến $y = 27x – 54$.

Câu 2. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 6x + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $N\left( {0;1} \right)$.
A. $y = – \frac{{33}}{4}x + 11$
B. $y = – \frac{{33}}{4}x + 12$
C. $y = – \frac{{33}}{4}x + 1$
D. $y = – \frac{{33}}{4}x + 2$

Lời giải

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x – 6$.

Phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = \left( {3x_0^2 + 6{x_0} – 6} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 – 6{x_0} + 1$

Vì tiếp tuyến đi qua $N\left( {0;1} \right)$ nên ta có:

$1 = \left( {3x_0^2 + 6{x_0} – 6} \right)\left( { – {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 – 6{x_0} + 1$

$ \Leftrightarrow 2x_0^3 + 3x_0^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 0,{x_0} = – \frac{3}{2}$

• ${x_0} = 0 \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = – 6$. Phương trình tiếp tuyến: $y = – 6x + 1$.

• ${x_0} = – \frac{3}{2} \Rightarrow {y_0} = \frac{{107}}{8},y’\left( {{x_0}} \right) = – \frac{{33}}{4}$. Phương trình tiếp tuyến $y’ = – \frac{{33}}{4}\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \frac{{107}}{8} = – \frac{{33}}{4}x + 1$

Câu 3. Cho hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến đi qua điểm $M\left( { – 1;3} \right)$.
A. $y = – 6x – 2$
B. $y = – 6x – 9$
C. $y = – 6x – 3$
D. $y = – 6x – 8$

Lời giải

Chọn C

Ta có: $y’ = 4{x^3} + 2x$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng:

$y = \left( {4x_0^3 + 2{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^4 + x_0^2 + 1$

Vì tiếp tuyến đi qua $M\left( { – 1;3} \right)$ nên ta có:

$3 = \left( {4x_0^3 + 2{x_0}} \right)\left( { – 1 – {x_0}} \right) + x_0^4 + x_0^2 + 1 \Leftrightarrow 3x_0^4 + 4x_0^3 + x_0^2 + 2{x_0} + 2 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}\left( {3x_0^2 – 2{x_0} + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = 3,y’\left( {{x_0}} \right) = – 6$

Phương trình tiếp tuyến: $y = – 6x – 3$.

Câu 4. Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}}$, tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { – 6;5} \right)$ là
A. $y = – x – 1;y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$.
B. $y = – x – 1;y = – \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$.
C. $y = – x + 1;y = – \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$.
D. $y = – x + 1;y = – \frac{1}{4}x – \frac{7}{2}$.

Lời giải

Chọn B.

$y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}} \Rightarrow y’ = \frac{{ – 4}}{{{{(x – 2)}^2}}}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}}$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ với ${x_0} \ne 2$ là:

$y = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {{x_0} – 2} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 2}}$.

Vì tiếp tuyến đi qua điểm $\left( { – 6;5} \right)$ nên ta có $5 = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {{x_0} – 2} \right)}^2}}}\left( { – 6 – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 2}} \Leftrightarrow 4x_0^2 – 24{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 0} \\
{{x_0} = 6}
\end{array}} \right.$
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: $y = – x – 1$ và $y = – \frac{1}{4}x + \frac{7}{2}$.

Câu 5. Tiếp tuyến kẻ từ điểm $\left( {2;3} \right)$ tới đồ thị hàm số $y = \frac{{3x + 4}}{{x – 1}}$ là
A. $y = – 28x + 59;y = x + 1$.
B. $y = – 24x + 51;y = x + 1$.
C. $y = – 28x + 59$.
D. $y = – 28x + 59;y = – 24x + 51$.

Lời giải

Chọn C.

$y = \frac{{3x + 4}}{{x – 1}} \Rightarrow y’ = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 1)}^2}}}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = \frac{{3x + 4}}{{x – 1}}$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ với ${x_0} \ne 2$ là:

$y = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = \frac{{ – 7}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{3{x_0} + 4}}{{{x_0} – 1}}$.

Vì tiếp tuyến đi qua điểm $\left( {2;3} \right)$ nên ta có $3 = \frac{{ – 7}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\left( {2 – {x_0}} \right) + \frac{{3{x_0} + 4}}{{{x_0} – 1}} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{3}{2}$.

Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: $y = – 28x + 59$.