Trắc Nghiệm Vận Dụng Cao Biến Đổi Lôgarit Và Tính Biểu Thức Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm vận dụng cao biến đổi lôgarit và tính biểu thức giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn ${a^{lo{g_3}7}} = 27,{b^{lo{g_7}11}} = 49,{c^{lo{g_{11}}25}} = \sqrt {11} $. Giá trị của biểu thức $T = {a^{log_3^27}} + {b^{log_7^211}} + {c^{log_{11}^225}}$ bằng

A. 467.

B. 469.

C. 468.

D. 465.

Lời giải

Chọn B.

Có $T = {\left( {{a^{lo{g_3}7}}} \right)^{lo{g_3}7}} + {\left( {{b^{lo{g_7}11}}} \right)^{lo{g_7}11}} + {\left( {{c^{lo{g_{11}}25}}} \right)^{lo{g_{11}}25}} = {(27)^{lo{g_3}7}} + {(49)^{lo{g_7}11}} + {(\sqrt {11} )^{lo{g_{11}}25}}$.

Áp dụng ${a^{lo{g_a}b}} = b$, ta được $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{(27)}^{lo{g_3}7}} = {{\left( {{3^3}} \right)}^{lo{g_3}7}} = {{\left( {{3^{lo{g_3}7}}} \right)}^3} = {7^3} = 343} \\
{{{(49)}^{lo{g_7}11}} = {{\left( {{7^2}} \right)}^{lo{g_7}11}} = {{\left( {{7^{lo{g_7}11}}} \right)}^2} = {{11}^2} = 121} \\
{{{(\sqrt {11} )}^{lo{g_{11}}25}} = {{\left( {{{11}^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{lo{g_{11}}25}} = {{\left( {{{11}^{lo{g_{11}}25}}} \right)}^{\frac{1}{2}}} = {{25}^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {25} = 5}
\end{array}} \right.$

Vậy $T = 343 + 121 + 5 = 469$.

Câu 2: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn ${3^x} = {5^y} = {15^{\frac{{2025}}{{x + y}} – x}}$. Gọi $S = xy + yz + zx$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $S \in \left( {0;2016} \right)$.

B. $S \in \left( {2016;2020} \right)$.

C. $S \in \left( {2020;2024} \right)$.

D. $S \in \left( {2024;2028} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Đặt ${3^x} = {5^y} = {15^{\frac{{2025}}{{x + y}} – x}} = t$. Từ giả thiết ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = lo{g_3}t} \\
{y = lo{g_5}t} \\
{\frac{{2025}}{{x + y}} – z = lo{g_{15}}t}
\end{array}} \right.$.

Suy ra $\frac{{2025}}{{x + y}} – z = lo{g_{15}}t = \frac{1}{{lo{g_t}15}} = \frac{1}{{lo{g_t}3 + lo{g_t}5}} = \frac{1}{{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}} = \frac{{xy}}{{x + y}}$.

Suy ra $\frac{{2025}}{{x + y}} = \frac{{xy + \left( {x + y} \right)z}}{{x + y}} \Leftrightarrow 2025 = xy + yz + zx$.

Câu 3: Cho $x,y,z$ là ba số thực khác 0 thỏa mãn ${2^x} = {5^y} = {10^{ – z}}$. Tính giá trị của biểu thức $A = xy + yz + zx$.

A. $A = 3$.

B. $A = 0$.

C. $A = 1$.

D. $A = 2$.

Lời giải

Chọn B

${2^x} = {5^y} = {10^{ – z}} \Leftrightarrow {2^x} = {5^y} = \frac{1}{{{{10}^z}}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{2^x} \cdot {{10}^z} = 1} \\
{{5^y} \cdot {{10}^z} = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{({2^x} \cdot {{10}^z})}^y} = 1} \\
{{{({5^y} \cdot {{10}^z})}^x} = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{2^{xy}} \cdot {{10}^{yz}} = 1} \\
{{5^{xy}} \cdot {{10}^{xz}} = 1}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Khi đó ${2^{xy}} \cdot {10^{yz}} \cdot {5^{xy}} \cdot {10^{xz}} = 1 \Leftrightarrow {10^{xy + yz + zx}} = 1 \Leftrightarrow xy + yz + zx = 0$.

Câu 4: Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${2^{ln\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)}} \cdot {5^{ln\left( {x + y} \right)}} = {2^{ln5}}$. Tìm giá trị của biểu thức sau: $P = x + y$.

A. $P = 2$.

B. $P = 4$.

C. $P = 5$.

D. $P = \frac{5}{2}$.

Lời giải

Chọn A

${2^{ln\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)}} \cdot {5^{ln\left( {x + y} \right)}} = {2^{ln5}} \Leftrightarrow {2^{ln\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)}} \cdot {5^{ln\left( {x + y} \right)}} = {5^{ln2}}$

$\; \Leftrightarrow {2^{ln\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)}} = {5^{ln2 – ln\left( {x + y} \right)}} = {5^{ln\frac{2}{{x + y}}}} = {5^{ – ln\frac{{x + y}}{2}}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ln\frac{{x + y}}{2}}}$

$ \Leftrightarrow ln\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{2} = 1 \Leftrightarrow x + y = 2$

Câu 5: Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn ${(a – 2)^2} + {(b – 2)^2} + {(c – 2)^2} = 8$ và ${2^a} = {3^b} = {6^{ – c}}$. Khi đó $a + b + c$ bằng

A. 2 .

B. 4 .

C. $2\sqrt 2 $.

D. 8 .

Lời giải

Chọn A.

Ta có $a = – clo{g_2}6$ và $b = – clo{g_3}6$. Suy ra $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = – \frac{1}{c} \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$.

Hay $ab + bc + ca = 0$. Suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} = {(a + b + c)^2}$ nên ${(a + b + c)^2} – 4\left( {a + b + c} \right) + 4 = 0$.

Vậy $a + b + c = 2$.

Câu 6: Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thỏa mãn ${4^a} = {9^b} = {6^c}$. Khi đó $\frac{c}{a} + \frac{c}{b}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{1}{6}$.

C. $\sqrt 6 $.

D. 2 .

Lời giải

Chọn D.

Đặt $t = {4^a} = {9^b} = {6^c} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = lo{g_4}t} \\
{b = lo{g_9}t} \\
{c = lo{g_6}t}
\end{array}} \right.$

Khi đó $\frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{{lo{g_6}t}}{{lo{g_4}t}} + \frac{{lo{g_6}t}}{{lo{g_9}t}} = lo{g_6}t \cdot lo{g_t}4 + lo{g_6}t \cdot lo{g_t}9 = lo{g_6}t\left( {lo{g_t}4 + lo{g_t}9} \right)$

$ = lo{g_6}t.lo{g_t}36 = lo{g_6}36 = lo{g_6}{6^2} = 2$.

Câu 7: Giả sử $p$ và $q$ là các số thực dương sao cho: $lo{g_9}p = lo{g_{12}}q = lo{g_{16}}\left( {p + q} \right)$. Tìm giá trị của $\frac{p}{q}$

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{8}{5}$

C. $\frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)$

D. $\frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$

Lời giải

Chọn D.

Đặt: $t = lo{g_9}p = lo{g_{12}}q = lo{g_{16}}\left( {p + q} \right)$ thì: $p = {9^t},q = {12^t},{16^t} = p + q = {9^t} + {12^t}$

Chia hai vế của (1) cho ${9^t}$ ta được: ${\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2t}} = 1 + {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t}$, đặt $x = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} = \frac{q}{p} > 0$ đưa về phương trình:

${x^2} – x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$ do $x > 0$, suy ra $\frac{q}{p} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$.

Câu 8: Cho $x,y$ và $z$ là các số thực lớn hơn 1 và gọi w là số thực dương sao cho $lo{g_x}w = 24$, $lo{g_y}w = 40$ và $lo{g_{xyz}}w = 12$. Tính $lo{g_z}w$.

A. 52 .

B. -60 .

C. 60 .

D. -52 .

Lời giải

Chọn C.

$lo{g_x}w = 24 \Rightarrow lo{g_w}x = \frac{1}{{24}}$

$lo{g_y}w = 40 \Rightarrow lo{g_w}y = \frac{1}{{40}}$.

Lại do

$lo{g_{xyz}}w = 12 \Leftrightarrow \frac{1}{{lo{g_w}\left( {xyz} \right)}} = 12 \Leftrightarrow \frac{1}{{lo{g_w}x + lo{g_w}y + lo{g_w}z}} = 12 \Leftrightarrow \frac{1}{{lo{g_w}x + lo{g_w}y + lo{g_w}z}} = 12$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{1}{{24}} + \frac{1}{{40}} + lo{g_w}z}} = 12 \Leftrightarrow lo{g_w}z = \frac{1}{{60}} \Rightarrow lo{g_z}w = 60$.

Câu 9: Cho $x,y$ và $z$ là các số thực lớn hơn 1 và gọi $w$ là số thực dương sao cho $lo{g_{{x^2}}}w = 15$, $lo{g_z}w = 20$ và $lo{g_{xyz}}w = 15$. Tính $lo{g_y}w$.

A. -60 .

B. 60 .

C. $\frac{1}{{60}}$.

D. $ – \frac{1}{{60}}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $lo{g_{{x^2}}}w = 15 \Rightarrow lo{g_x}w = 30 \Rightarrow lo{g_w}x = \frac{1}{{30}}$.

$lo{g_z}w = 20 \Rightarrow lo{g_w}z = \frac{1}{{20}}$.

Lại do $lo{g_{xyz}}w = 15 \Leftrightarrow \frac{1}{{lo{g_w}\left( {xyz} \right)}} = 15$

$ \Leftrightarrow lo{g_w}x + lo{g_w}y + lo{g_w}z = \frac{1}{{15}} \Leftrightarrow \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{20}} + lo{g_w}y = \frac{1}{{15}} \Leftrightarrow lo{g_w}y = – \frac{1}{{60}} \Leftrightarrow lo{g_y}w = – 60$.

Câu 10: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a > b > 1$ và $\frac{1}{{lo{g_b}a}} + \frac{1}{{lo{g_a}b}} = \sqrt {2026} $. Giá trị của biểu thức $P = \frac{1}{{lo{g_{ab}}b}} – \frac{1}{{lo{g_{ab}}a}}$ bằng

A. $\sqrt {2022} $.

B. $\sqrt {2024} $.

C. $\sqrt {2026} $.

D. $\sqrt {2028} $.

Lời giải

Chọn A.

Do $a > b > 1$ nên $lo{g_a}b > 0,lo{g_b}a > 0$ và $lo{g_b}a > lo{g_a}b$.

Ta có: $\frac{1}{{lo{g_b}a}} + \frac{1}{{lo{g_a}b}} = \sqrt {2026} $

$ \Leftrightarrow lo{g_b}a + lo{g_a}b = \sqrt {2026} $

$ \Leftrightarrow log_b^2a + log_a^2b + 2 = 2026$

$ \Leftrightarrow log_b^2a + log_a^2b = 2024$

Khi đó, $P = lo{g_b}ab – lo{g_a}ab = lo{g_b}a + lo{g_b}b – lo{g_a}a – lo{g_a}b = lo{g_b}a – lo{g_a}b$

Suy ra: ${P^2} = {\left( {lo{g_b}a – lo{g_a}b} \right)^2} = log_b^2a + log_a^2b – 2 = 2024 – 2 = 2022 \Rightarrow P = \sqrt {2022} $

Câu 11: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a > b > 1$ và $\frac{1}{{lo{g_a}b}} + \frac{1}{{lo{g_b}a}} = \sqrt {2025} $. Tìm giá trị của tham số thực $m$ để giá trị biểu thức $P = \frac{m}{{lo{g_{ab}}b}} – \frac{m}{{lo{g_{ab}}a}} = 2026$.

A. $m = \sqrt {2026} $.

B. $m = \frac{{2026}}{{\sqrt {2021} }}$.

C. $m = \sqrt {2024} $.

D. $m = \sqrt {2025} $.

Lời giải

Chọn B.

Do $a > b > 1 \Rightarrow lo{g_a}b > 0,lo{g_b}a > 0,lo{g_b}a > lo{g_a}b$.

Ta có: $\frac{1}{{lo{g_b}a}} + \frac{1}{{lo{g_a}b}} = \sqrt {2025} \Leftrightarrow \frac{{lo{g_a}b + lo{g_b}a}}{{lo{g_a}b.lo{g_b}a}} = \sqrt {2025} $
$\Leftrightarrow lo{g_a}b + lo{g_b}a = \sqrt {2025} $

Do đó, $P = 2026 \Leftrightarrow \frac{m}{{lo{g_{ab}}b}} – \frac{m}{{lo{g_{ab}}a}} = 2026 \Leftrightarrow mlo{g_b}(ab) – mlo{g_a}(ab) = 2026$

$ \Leftrightarrow m\left( {lo{g_b}a + 1} \right) – m\left( {1 + lo{g_a}b} \right) = 2026 \Leftrightarrow m\left( {lo{g_b}a – lo{g_a}b} \right) = 2026\left( * \right)$

Mặt khác

${\left( {lo{g_b}a – lo{g_a}b} \right)^2} = {\left( {lo{g_b}a + lo{g_a}b} \right)^2} – 4 = 2025 – 4 = 2021 \Rightarrow lo{g_b}a – lo{g_a}b = \sqrt {2021} $

Do vậy, $\left( * \right) \Leftrightarrow m = \frac{{2026}}{{\sqrt {2021} }} = \frac{{2026\sqrt {2021} }}{{2021}}$

Câu 12: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời $\frac{1}{{lo{g_2}x}} + \frac{1}{{lo{g_2}y}} + \frac{1}{{lo{g_2}z}} = \frac{1}{{2026}}$ và $lo{g_2}\left( {xyz} \right) = 2026$. Tính $lo{g_2}\left( {xyz\left( {x + y + z} \right) – xy – yz – zx + 1} \right)$

A. 4044 .

B. 1010 .

C. 4022 .

D. 4040 .

Lời giải

Chọn A.

Đặt $a = lo{g_2}x;b = lo{g_2}y;c = lo{g_2}z$.

$ \Rightarrow a + b + c = lo{g_2}x + lo{g_2}y + lo{g_2}z = lo{g_2}\left( {xyz} \right) = 2026$

Ta có $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{{2026}}$ và $a + b + c = 2026$

$\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + ac + bc} \right) = abc$

$ \Leftrightarrow {a^2}b + a{b^2} + abc + abc + {b^2}c + b{c^2} + {a^2}c + a{c^2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 0$

Vì vai trò $a,b,c$ như nhau nên giả sử $a + b = 0 \Rightarrow c = 2026 \Rightarrow z = {2^{2026}}$ và $xy = 1$.

$lo{g_2}\left( {xyz\left( {x + y + z} \right) – xy – yz – zx + 1} \right) = lo{g_2}\left( {z\left( {x + y + z} \right) – 1 – yz – zx + 1} \right)$

$ = lo{g_2}\left( {{z^2}} \right) = 2lo{g_2}z = 4052$

Câu 13: Cho $x = lo{g_2}3,y = lo{g_2}337$.

Từ đó hãy tính giá trị của biểu thức: $P = \frac{{ – ln\frac{1}{2} – ln\frac{2}{3} – ln\frac{3}{4} – \ldots – ln\frac{{2021}}{{2022}}}}{{ln1348}}$ theo $x,y$.

A. $P = \frac{{1 + x + y}}{{2 + y}}$.

B. $P = \frac{{1 + x + y}}{{2y}}$.

C. $P = \frac{{x + y}}{{2y}}$.

D. $P = – \frac{{1 + x + y}}{{2 + y}}$.

Lời giải

Chọn A.

$P = \frac{{ – ln\frac{1}{2} – ln\frac{2}{3} – ln\frac{3}{4} – \ldots – ln\frac{{2021}}{{2022}}}}{{ln1348}} = \frac{{ – \left( {ln\frac{1}{2} + ln\frac{2}{3} + ln\frac{3}{4} + \ldots + ln\frac{{2021}}{{2022}}} \right)}}{{ln1348}}$

$ = \frac{{ – ln\frac{1}{{2022}}}}{{ln1348}} = \frac{{ln2022}}{{ln1348}} = \frac{{lo{g_2}2022}}{{lo{g_2}1348}} = \frac{{lo{g_2}\left( {2.3.337} \right)}}{{lo{g_2}\left( {{2^2}.337} \right)}}$

$ = \frac{{lo{g_2}2 + lo{g_2}3 + lo{g_2}337}}{{lo{g_2}{2^2} + lo{g_2}337}} = \frac{{1 + x + y}}{{2 + y}}$

Câu 14: Cho $a,b$ là hai số thực dương thỏa mãn: $logb \ne – 1011$ và $lo{g^2}a + 4lo{g^2}b = 4loga \cdot logb$. Giá trị của biểu thức $L = \frac{{3033 + loga + logb}}{{2021 + log\left( {a + 9{b^2}} \right)}}$ bằng

A. $L = – \frac{5}{2}$.

B. $L = 3$.

C. $L = \frac{3}{4}$.

D. $L = \frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $lo{g^2}a + 4lo{g^2}b = 4loga \cdot logb$

$ \Leftrightarrow lo{g^2}a + 4lo{g^2}b – 4loga \cdot logb = 0 \Leftrightarrow {(loga – 2logb)^2} = 0 \Leftrightarrow loga = 2logb \Leftrightarrow a = {b^2}$.

Vậy $L = \frac{{3033 + loga + logb}}{{2021 + log\left( {a + 9{b^2}} \right)}} = \frac{{3033 + log{b^2} + logb}}{{2021 + log\left( {{b^2} + 9{b^2}} \right)}}$

$ = \frac{{3033 + 3logb}}{{2022 + 2logb}} = \frac{{3 \cdot \left( {1011 + logb} \right)}}{{2 \cdot \left( {1011 + logb} \right)}} = \frac{3}{2}$

Câu 15: Cho $x,y,m$ là ba số thực dương khác 1 và $x > y$ thỏa mãn $lo{g_m}\frac{{x + 3y}}{4} = \frac{1}{{lo{g_x}{m^2}}} + \frac{1}{{lo{g_y}{m^2}}}$. Khi đó biểu thức $P = \frac{{{x^2} + 4xy + {y^2}}}{{{{(x + y)}^2}}}$ có giá trị bằng:

A. $P = \frac{{25}}{8}$.

B. $P = \frac{{25}}{{100}}$.

C. $P = \frac{{59}}{{50}}$.

D. $P = \frac{{59}}{5}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $lo{g_m}\frac{{x + 3y}}{4} = \frac{1}{{lo{g_x}{m^2}}} + \frac{1}{{lo{g_y}{m^2}}} \Leftrightarrow lo{g_m}\frac{{x + 3y}}{4} = lo{g_m}\sqrt x + lo{g_m}\sqrt y $

$ \Leftrightarrow x + 3y = 4\sqrt {xy} \Leftrightarrow {(x + 3y)^2} = 16xy \Leftrightarrow {x^2} – 10xy + 9{y^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x – 9y} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow x = 9y$ do $(x > y)$

Như vậy: $P = \frac{{{x^2} + 4xy + {y^2}}}{{{{(x + y)}^2}}} = \frac{{81{y^2} + 36{y^2} + {y^2}}}{{{{(9y + y)}^2}}} = \frac{{118{y^2}}}{{100{y^2}}} = \frac{{59}}{{50}}$.

Câu 16: Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $2 + lo{g_2}a = 3 + lo{g_3}b = lo{g_6}\left( {a + b} \right)$. Tính giá trị của $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

A. 2 .

B. 108 .

C. 216 .

D. 324 .

Lời giải

Chọn B.

Đặt $lo{g_2}a = x,lo{g_3}b = y$. Ta có $a = {2^x},b = {3^y}$ và $2 + x = 3 + y \Leftrightarrow y = x – 1$;

$lo{g_6}\left( {a + b} \right) = 2 + x \Leftrightarrow a + b = {6^{2 + x}} = {36.6^x}$.

Khi đó $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{{a + b}}{{a \cdot b}} = \frac{{36 \cdot {6^x}}}{{{2^x} \cdot {3^y}}} = \frac{{36 \cdot {6^x}}}{{{2^x} \cdot {3^{x – 1}}}} = \frac{{108 \cdot {6^x}}}{{{2^x} \cdot {3^x}}} = 108$.

Câu 17: Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ để $lo{g_n}256$ là một số nguyên dương?

A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn C.

$lo{g_n}256 = 8 \cdot lo{g_n}2 = \frac{8}{{lo{g_2}n}}$ là số nguyên dương

$ \Leftrightarrow lo{g_2}n \in \left\{ {1;2;4;8} \right\} \Leftrightarrow n \in \left\{ {2;4;16;256} \right\}$.

Vậy có 4 số nguyên dương.

Câu 18: Cho $n$ là số nguyên dương, tìm $n$ sao cho $lo{g_a}2019 + {2^2}lo{g_{\sqrt a }}2019 + {3^2}lo{g_{\sqrt[3]{a}}}2019 + \ldots + {n^2}lo{g_{\sqrt[n]{a}}}2019 = {1008^2} \times {2017^2}lo{g_a}2019$

A. 2017 .

B. 2019 .

C. 2016 .

D. 2018 .

Lời giải

Chọn C.

$lo{g_a}2019 + {2^2}lo{g_{\sqrt a }}2019 + {3^2}lo{g_{\sqrt[3]{a}}}2019 + \ldots + {n^2}lo{g_{\sqrt[n]{a}}}2019 = {1008^2} \times {2017^2}lo{g_a}2019\left( * \right)$

Ta có ${n^2}lo{g_{\sqrt[n]{a}}}2019 = {n^2} \cdot n \cdot lo{g_a}2019 = {n^3}lo{g_a}2019$. Suy ra

$VT\left( {{\;^*}} \right) = \left( {{1^3} + {2^3} + \ldots + {n^3}} \right) \cdot lo{g_a}2019 = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2} \cdot lo{g_a}2019$

VP $\left( * \right) = {1008^2} \times {2017^2}lo{g_a}2019$. Khi đó $\left( * \right)$ được:

${n^2}{(n + 1)^2} = {2^2} \cdot {1008^2} \cdot {2017^2} = {2016^2} \cdot {2017^2} \Rightarrow n = 2016$.

Câu 19: Tổng $S = 1 + {2^2}lo{g_{\sqrt 2 }}2 + {3^2}lo{g_{\sqrt[3]{2}}}2 + \ldots . + {2018^2}lo{g_{\sqrt[{201}]{2}}}2$ dưới đây.

A. ${1008^2} \cdot {2018^2}$.

B. ${1009^2} \cdot {2019^2}$.

C. ${1009^2} \cdot {2018^2}$.

D. ${2019^2}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có ${1^3} + {2^3} + {3^3} + \ldots + {n^3} = \frac{{{{(n\left( {n + 1} \right))}^2}}}{4}$.

Mặt khác

$S = 1 + {2^2}lo{g_{\sqrt 2 }}2 + {3^2}lo{g_{\sqrt[3]{2}}}2 + \ldots . + {2018^2}lo{g_{\sqrt[{2018}]{2}}}2 = 1 + {2^2}lo{g_{{2^{\frac{1}{2}}}}}2 + {3^2}lo{g_{{2^{\frac{1}{3}}}}}2 + \ldots . + {2018^2}lo{g_{{2^{\frac{1}{{2018}}}}}}2$

$ = 1 + {2^3}lo{g_2}2 + {3^3}lo{g_2}2 + \ldots . + {2018^3}lo{g_2}2 = 1 + {2^3} + {3^3} + \ldots + {2018^3} = {\left[ {\frac{{2018\left( {2018 + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$

$ = {1009^2} \cdot {2019^2}$.

Câu 20: Tìm bộ ba số nguyên dương $\left( {a;b;c} \right)$ thỏa mãn

$log1 + log\left( {1 + 3} \right) + log\left( {1 + 3 + 5} \right) + \ldots + log\left( {1 + 3 + 5 + \ldots + 19} \right) – 2log5040 = a + blog2 + clog3$

A. $\left( {2;6;4} \right)$.

B. $\left( {1;3;2} \right)$.

C. $\left( {2;4;4} \right)$.

D. $\left( {2;4;3} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $log1 + log\left( {1 + 3} \right) + log\left( {1 + 3 + 5} \right) + \ldots + log\left( {1 + 3 + 5 + \ldots + 19} \right) – 2log5040 = a + blog2 + clog3$

$ \Leftrightarrow log1 + log{2^2} + log{3^2} + \ldots + log{10^2} – 2log5040 = a + blog2 + clog3$

$ \Leftrightarrow log\left( {1 \cdot {2^2} \cdot {3^2} \cdot {{10}^2}} \right) – 2log5040 = a + blog2 + clog3$

$ \Leftrightarrow log{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 10)^2} – 2log5040 = a + blog2 + clog3$

$ \Leftrightarrow 2log\left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 10} \right) – 2log5040 = a + blog2 + clog3$

$ \Leftrightarrow 2\left( {log10! – log7!} \right) = a + blog2 + clog3 \Leftrightarrow 2log\left( {8.9.10} \right) = a + blog2 + clog3$

$ \Leftrightarrow 2 + 6log2 + 4log3 = a + blog2 + clog3$.

Vậy $a = 2,b = 6,c = 4$.

Câu 21: Cho $x,y,z$ là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; $lo{g_a}x,lo{g_{\sqrt a }}y,lo{g_{\sqrt[3]{a}}}z$ lập thành cấp số cộng, với $a$ là số thực dương khác 1 . Giá trị của $p = \frac{{9x}}{y} + \frac{y}{z} + \frac{{3z}}{x}$ là

A. 13 .

B. 3 .

C. 12 .

D. 10 .

Lời giải

Chọn A.

$x,y,z$ là ba số thực dương lập thành cấp số nhân nên ta có $xz = {y^2}$ (1).

$lo{g_a}x,lo{g_{\sqrt a }}y,lo{g_{\sqrt[3]{a}}}z$ lập thành cấp số cộng nên:

$lo{g_a}x + lo{g_{\sqrt[3]{a}}}z = 2lo{g_{\sqrt a }}y \Leftrightarrow lo{g_a}x + 3lo{g_a}z = 4lo{g_a}y \Leftrightarrow x{z^3} = {y^4}$

Từ (1) và (2) ta suy ra $x = y = z$.

Vậy $p = \frac{{9x}}{y} + \frac{y}{z} + \frac{{3z}}{x} = 9 + 1 + 3 = 13$.

Câu 22: Cho ba số thực dương $x,y,z$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương $a\left( {a \ne 1} \right)$ thì $lo{g_a}x,lo{g_{\sqrt a }}y,lo{g_{\sqrt[3]{a}}}z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{1959x}}{y} + \frac{{2019y}}{z} + \frac{{60z}}{x}$.

A. 60 .

B. 2019 .

C. 4038 .

D. $\frac{{2019}}{2}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $x,y,z$ là ba số thực dường, theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì ${y^2} = x.z$ (1).

Với mỗi số thực $a\left( {a \ne 1} \right),lo{g_a}x,lo{g_{\sqrt a }}y,lo{g_{\sqrt[3]{a}}}z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì $2lo{g_{\sqrt a }}y = lo{g_a}x + lo{g_{\sqrt[3]{a}}}z \Leftrightarrow 4lo{g_a}y = lo{g_a}x + 3lo{g_a}z\left( 2 \right)$.

Thay (1) vào (2) ta được $2lo{g_a}x.z = lo{g_a}x + 3lo{g_a}z \Leftrightarrow lo{g_a}x = lo{g_a}z \Leftrightarrow x = z$.

Từ (1) ta suy ra $y = x = z$. Thay vào giả thiết thì $P = 1959 + 2019 + 60 = 4038$.

Câu 23: Gọi $a$ là số thực sao cho 3 số $a + lo{g_3}2021,a + lo{g_9}2021,a + lo{g_{81}}2021$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm công bội q của cấp số nhân đó.

A. $q = \frac{1}{2}$.

B. $q = 2$.

C. $q = 3$.

D. $q = \frac{1}{3}$.

Lời giải

Chọn A.

Do 3 số $a + lo{g_3}2021;a + lo{g_9}2021;a + lo{g_{81}}2021$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên công bội $q$ của cấp số nhân là:

$q = \frac{{a + lo{g_9}2021}}{{a + lo{g_3}2021}} = \frac{{a + lo{g_{81}}2021}}{{a + lo{g_9}2021}} = \frac{{lo{g_{81}}2021 – lo{g_9}2021}}{{lo{g_9}2021 – lo{g_3}2021}} = \frac{{ – \frac{1}{4}lo{g_3}2021}}{{ – \frac{1}{2}lo{g_3}2021}} = \frac{1}{2}$.

Câu 24: Cho tam giác $ABC$ có $BC = a,CA = b,AB = c$. Nếu $a,b,c$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì

A. $lnsinA \cdot lnsinC = {(lnsinB)^2}$.

B. $lnsinA \cdot lnsinC = 2lnsinB$.

C. $lnsinA + lnsinC = 2lnsinB$.

D. $lnsinA + lnsinC = ln\left( {2sinB} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Theo định lý sin trong tam giác $ABC$ ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2RsinA} \\
{b = 2RsinB{\text{,\;\;}}} \\
{c = 2RsinC}
\end{array}} \right.$ với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Vì $a,b,c$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên ta có:

a.c $ = {b^2} \Rightarrow \left( {2RsinA} \right) \cdot \left( {2RsinC} \right) = {(2RsinB)^2} \Rightarrow sinA \cdot sinC = {(sinB)^2}$.

Do ${0^ \circ } < sinA,sinB,sinC \leqslant {180^ \circ }$ nên $sinA,sinB,sinC > 0$.

Vì thế ta có thể suy ra $ln\left( {sinA \cdot sinC} \right) = ln\left[ {{{(sinB)}^2}} \right] \Rightarrow lnsinA + lnsinC = 2lnsinB$.

Câu 25: Tìm số nguyên dương $n$ sao cho

$\frac{{lo{g_{2022}}2023 + {2^2}lo{g_{\sqrt {2022} }}2023 + {3^2}lo{g_{\sqrt[3]{{2022}}}}2023 + \ldots + {n^2}lo{g_{\sqrt[n]{{2022}}}}2023}}{{lo{g_{2022}}2023}} = {1011^2}{.2023^2}$

A. $n = 2021$.

B. $n = 2019$.

C. $n = 2022$.

D. $n = 2023$.

Lời giải

Chọn C.

$\frac{{lo{g_{2022}}2023 + {2^2}lo{g_{\sqrt {2022} }}2023 + {3^2}lo{g_{\sqrt[3]{{2022}}}}2023 + \ldots + {n^2}lo{g_{\sqrt[n]{{2022}}}}2023}}{{lo{g_{2022}}2023}} = {1011^2}{.2023^2}$ $ \Leftrightarrow \frac{{lo{g_{2022}}2023 + {2^3}lo{g_{2022}}2023 + {3^3}lo{g_{2022}}2023 + \ldots + {n^3}lo{g_{2022}}2023}}{{lo{g_{2022}}2023}} = {1011^2}{.2023^2}$

$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 + {2^3} + {3^3} + \ldots + {n^3}} \right)lo{g_{2022}}2023}}{{lo{g_{2022}}2023}} = {1011^2} \cdot {2023^2}$

$ \Leftrightarrow 1 + {2^3} + {3^3} + \ldots + {n^3} = {1011^2} \cdot {2023^2}$

$ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2} = {1011^2} \cdot {2023^2}$

$ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 1011.2023$

$ \Leftrightarrow {n^2} + n – 2022.2023 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 2022\left( N \right)} \\
{n = – 2023\left( L \right)}
\end{array}} \right.$

Câu 26: Cho $n > 1$ là một số nguyên. Giá trị của biểu thức $A = \frac{1}{{lo{g_2}2020!}} + \frac{1}{{lo{g_3}2020!}} + \ldots + \frac{1}{{lo{g_{2020}}2020!}}$ bằng

A. $A = 0$.

B. $A = 2020$.

C. $A = 2020$ !.

D. $A = 1$.

Lời giải

Chọn D.

$n > 1,n \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{1}{{lo{g_2}n!}} + \frac{1}{{lo{g_3}2020!}} + \frac{1}{{lo{g_4}2020!}} + \ldots + \frac{1}{{lo{g_{2020}}2020!}}$

$ = lo{g_{2020!}}2 + lo{g_{2020!}}3 + lo{g_{2020!}}4 + \ldots + lo{g_{2020!}}2020$

$ = lo{g_{2020!}}\left( {2.3.4 \ldots 2020} \right) = lo{g_{2020!}}2020! = 1$

BÌNH LUẬN: Sử dụng công thức

$lo{g_a}b = \frac{1}{{lo{g_b}a}},lo{g_a}bc = lo{g_a}b + lo{g_a}c,lo{g_a}a = 1$

Câu 27: Cho $x = 2022$ !. Tính $A = \frac{1}{{lo{g_{{2^{2022}}}}x}} + \frac{1}{{lo{g_{{3^{2022}}}}x}} + \ldots + \frac{1}{{lo{g_{{{2021}^{2022}}}}x}} + \frac{1}{{lo{g_{{{2022}^{2022}}}}x}}$.

A. $A = \frac{1}{{4044}}$.

B. $A = 2022$.

C. $A = \frac{1}{{2022}}$.

D. $A = 4044$.

Lời giải

Chọn B.

$A = \frac{1}{{lo{g_{{2^{2022}}}}x}} + \frac{1}{{lo{g_{{3^{2022}}}}x}} + \ldots + \frac{1}{{lo{g_{{{2021}^{2022}}}}x}} + \frac{1}{{lo{g_{{{2022}^{2022}}}}x}}$

$ = lo{g_x}{2^{2022}} + lo{g_x}{3^{2022}} + \ldots + lo{g_x}{2021^{2022}} + lo{g_x}{2022^{2022}}$ $ = 2022.lo{g_x}2 + 2022.lo{g_x}3 + \ldots + 2022.lo{g_x}2021 + 2022.lo{g_x}2022$

$ = 2022.\left( {lo{g_x}2 + lo{g_x}3 + \ldots + lo{g_x}2021 + lo{g_x}2022} \right)$

$ = 2022.lo{g_x}\left( {2.3 \ldots ..2021.2022} \right)$

$ = 2022 \cdot lo{g_{2022!}}\left( {2022!} \right) = 2022$

Câu 28: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3y + 1} + \sqrt {4z + 1} = 15$ và ${3^{2x + \sqrt {3y + 1} }} + {3^{3y + \sqrt {4z + 1} }} + {3^{4z + \sqrt {2x + 1} }} = {3^{30}}$. Giá trị của $x \cdot y \cdot z$ bằng

A. 288 .

B. 864 .

C. 1152 .

D. 576 .

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện $x \geqslant \frac{{ – 1}}{2};y \geqslant \frac{{ – 1}}{3};z \geqslant \frac{{ – 1}}{4}$.

Ta có: ${15^2} = {(\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3y + 1} + \sqrt {4z + 1} )^2} \leqslant 3 \cdot \left( {2x + 1 + 3y + 1 + 4z + 1} \right) = 3 \cdot \left( {2x + 3y + 4z + 3} \right)$

Suy ra $2x + 3y + 4z \geqslant \frac{{{{15}^2}}}{3} – 3 = 72$.

Mặt khác, từ giả thiết và chứng minh trên, ta có

${3^{30}} = {3^{2x + \sqrt {3y + 1} }} + {3^{3y + \sqrt {4z + 1} }} + {3^{4z + \sqrt {2x + 1} }} \geqslant 3\sqrt[3]{{{3^{2x + \sqrt {3y + 1} }} \cdot {3^{3y + \sqrt {4z + 1} }} \cdot {3^{4z + \sqrt {2x + 1} }}}}$

$ = 3 \cdot \sqrt[3]{{{3^{2x + \sqrt {3y + 1} + 3y + \sqrt {4z + 1} + 4z + \sqrt {2x + 1} }}}} = 3\sqrt[3]{{{3^{2x + 3y + 4z + 15}}}} \geqslant 3 \cdot \sqrt[3]{{{3^{72 + 15}}}} = {3^{30}}$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {2x + 1} = \sqrt {3y + 1} = \sqrt {4z + 1} } \\
{{3^{2x + \sqrt {3y + 1} }} = {3^{3y + \sqrt {4z + 1} }} = {3^{4z + \sqrt {2x + 1} }}} \\
{2x + 3y + 4z = 72}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 12} \\
{y = 8} \\
{z = 6}
\end{array}} \right.} \right.$.

Ta được $x.y.z = 12.8.6 = 576$.

Câu 29: Giả sử $a,b$ là các số thực sao cho ${x^3} + {y^3} = a \cdot {10^{3z}} + b \cdot {10^{2z}}$ đúng với mọi số thực dương $x,y$, $z$ thoả mãn $log\left( {x + y} \right) = z$ và $log\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1$. Giá trị của $a + b$ bằng

A. $\frac{{29}}{2}$.

B. $ – \frac{{31}}{2}$.

C. $\frac{{31}}{2}$.

D. $ – \frac{{25}}{2}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: ${x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – xy\left( {x + y} \right)$ và $xy = \frac{1}{2}\left[ {{{(x + y)}^2} – \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]$

Từ giả thiết, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = {{10}^z}} \\
{{x^2} + {y^2} = {{10}^{z + 1}}}
\end{array} \Rightarrow {x^3} + {y^3} = {{10}^z} \cdot {{10}^{z + 1}} – \frac{1}{2}\left( {{{10}^{2z}} – {{10}^{z + 1}}} \right) \cdot {{10}^z}} \right.$.

Vì ${x^3} + {y^3} = a \cdot {10^{3z}} + b \cdot {10^{2z}}$ đúng với mọi số thực dương $x,y,z$ nên

${10^z} \cdot {10^{z + 1}} – \frac{1}{2}\left( {{{10}^{2z}} – {{10}^{z + 1}}} \right) \cdot {10^z} = a \cdot {10^{3z}} + b \cdot {10^{2z}},\forall z$

$\; \Leftrightarrow {10^{2z + 1}} – \frac{1}{2} \cdot {10^{3z}} + \frac{1}{2} \cdot {10^{2z + 1}} = a \cdot {10^{3z}} + b \cdot {10^{2z}},\forall z$

$\; \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left. {a + \frac{1}{2}} \right) \cdot {{10}^{3z}} + \left( {b – 15} \right) \cdot {{10}^{2z}} = 0,\forall z} \\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + \frac{1}{2} = 0} \\
{b – 15 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = – \frac{1}{2}} \\
{b = 15}
\end{array} \Rightarrow a + b = \frac{{29}}{2}.} \right.} \right.}
\end{array}} \right.$

Câu 30: Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\sqrt {logx} + \sqrt {logy} + log\sqrt x + log\sqrt y = 100$ và $\sqrt {logx} $, $\sqrt {logy} ,log\sqrt x ,log\sqrt y $ là các số nguyên dương. Khi đó kết quả xy bằng

A. ${10^{164}}$.

B. ${10^{100}}$.

C. ${10^{200}}$.

D. ${10^{144}}$.

Lời giải

Chọn A.

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \sqrt {logx} } \\
{b = \sqrt {logy} }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{logx = {a^2}} \\
{logy = {b^2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {{10}^{{a^2}}}} \\
{y = {{10}^{{b^2}}}}
\end{array} \Rightarrow xy = {{10}^{{a^2} + {b^2}}}} \right.} \right.} \right.$.

Ta có : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{log\sqrt x = log\sqrt {{{10}^{{a^2}}}} = \frac{{{a^2}}}{2}} \\
{log\sqrt y = log\sqrt {{{10}^{{b^2}}}} = \frac{{{b^2}}}{2}}
\end{array}} \right.$ thỏa điều kiện $\frac{{{a^2}}}{2}$ và $\frac{{{b^2}}}{2}$ là các số nguyên dương.

Vậy ${a^2}$ và ${b^2}$ là các số chẵn dương . Do đó $a$ và $b$ là các số chẵn dương .

Ta có : $\sqrt {logx} + \sqrt {logy} + log\sqrt x + log\sqrt y = 100$

$ \Leftrightarrow a + b + log\sqrt {{{10}^{{a^2}}}} + log\sqrt {{{10}^{{b^2}}}} = 100$

$ \Leftrightarrow a + b + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = 100 \Leftrightarrow {a^2} + 2a + \left( {{b^2} + 2b – 200} \right) = 0.\left( * \right)$

Ta coi $\left( * \right)$ là phương trình bậc 2 , ẩn là $a$ và tham số $b$.

Do đó $\left( * \right)$ có $\Delta ‘ = 201 – {b^2} – 2b$

Để $\left( * \right)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta ‘ \geqslant 0 \Leftrightarrow 1 \leqslant b \leqslant \sqrt {202} – 1$ (Do $b$ nguyên dương).

Như vậy $b \in \left\{ {1;2;3; \ldots ;13} \right\}$

Mà $b$ là các số chẵn dương nên $b \in \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}$.

Vì $a$ là số chẵn, dương với $b \in \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}$, thay vào phương trình $\left( {{\;^*}} \right)$ ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = 8} \\
{a = 10}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = 10} \\
{a = 8}
\end{array}} \right.$.

Vậy $xy = {10^{{a^2} + {b^2}}} = {10^{164}}$.