Các Dạng Bài Tập Về Hàm Số Liên Tục Giải Chi Tiết

Các dạng bài tập về hàm số liên tục giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm

1. Phương pháp

Ta cần phải nắm vững định nghĩa:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $K$và ${x_0} \in K.$ Hàm số $y = f\left( x \right)$ gọi là liên tục tại ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0}) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ – } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f(x) = f({x_0}).$

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 2} – \sqrt {2 – x} }}{x}$ với $x \ne 0.$ Phải bổ sung thêm giá trị $f\left( 0 \right)$ bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục tại $x = 0?$

Lời giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 2} – \sqrt {2 – x} }}{x}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 2 – 2 + x}}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 – x} } \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 – x} } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Như vậy để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì phải bổ sung thêm giá trị $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Ví dụ 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
a – {x^2} \,với\, x \ne 1 \, và \, a \in \mathbb{R} \hfill \\
3 & \,với\,x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Giá trị của a để $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$ là bao nhiêu?

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}.$ Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {a – {x^2}} \right) = a – 1.$

Để hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a – 1 = 3 \Leftrightarrow a = 4.$

Ví dụ 3: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} – x + 6}}} với\, x \ne 3 \,và\, x \ne – 2 \hfill \\
b + 3  \,với\, x = 3 \,và\, b \in \mathbb{R} \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Tìm b để $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 3.$

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}.$ Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} – x + 6}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3};\,\,f\left( 3 \right) = b + 3.$

Để hàm số liên tục tại $x = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$

$ \Leftrightarrow b + \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow b = \frac{{ – 2\sqrt 3 }}{3}.$

Ví dụ 4: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
a – 2 & khi x < 2 \hfill \\
\sin \frac{\pi }{x} & khi x \geqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại $x = 2.$

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}.$ Ta có

$f\left( 2 \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {a – 2} \right) = a – 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sin \frac{\pi }{2} = 1$

Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $a – 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3.$

Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm ${x_0}.$

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} – 2}}{{x – 2}} & \,nếu\, x > 2 \hfill \\
ax + 2 & \,nếu\, x \leqslant 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$; ${x_0} = 2.$

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}.$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} – 2}}{{x – 2}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{3x + 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{3x + 2}} + 4} \right]}} = \frac{1}{4}.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = ax + 2 = 2a + 2.$

Lại có: $f\left( 2 \right) = 2a + 2$.

Hàm số liên tục tại ${x_0} = 2$ nếu $2a + 2 = \frac{1}{4} \Rightarrow a = – \frac{7}{8}.$

Ví dụ 6: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{x – 2}}{{\sqrt {x + 5} }} \,với\, – 5 < x < 4 \hfill \\
mx + 2  \,với\, x = 4 \hfill \\
\frac{{\sqrt x }}{3} \,với\, x > 4 \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Tìm giá trị của m để $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 4$.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \frac{{x – 2}}{{\sqrt {x + 5} }} = \frac{2}{3};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\sqrt x }}{3} = \frac{2}{3}.$

Và $f\left( 4 \right) = 4m + 2$

Để hàm số liên tục tại $x = 4$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)$

$ \Leftrightarrow 4m + 2 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow m = – \frac{1}{3}.$

Ví dụ 7: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt {{x^2} + 8} – 3}}{{{x^2} – 4x + 3}} & khi x < 1 \hfill \\
\frac{1}{6}\cos \pi x + {a^2} – x & khi x \geqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right..$ Tìm giá trị của a để $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$.

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}.$

• $f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}\cos \pi + {a^2} – 1 = – \frac{1}{6} + {a^2} – 1.$

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{1}{6}\cos \pi x + {a^2} – x} \right)$$ = – \frac{1}{6} + {a^2} – 1.$

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 8} – 3}}{{{x^2} – 4x + 3}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 8} – 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}}{{\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 8 – 9}}{{\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x + 1}}{{\left( {x – 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 8} + 3} \right)}} = – \frac{1}{6}.$

Để hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

$ \Leftrightarrow – \frac{1}{6} + {a^2} – 1 = – \frac{1}{6} \Leftrightarrow a = \pm 1.$

Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định

1. Phương pháp

• Để chứng minh hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.

• Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.

• Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào

• Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

• Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a,b} \right]$ nếu nó liên tục trên $\left( {a,b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} {\mkern 1mu} f(x) = f(a){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} {\mkern 1mu} f(x) = f(b){\mkern 1mu} .$

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a)$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}\, khi \,x \ne – 2 \hfill \\
– 4 \,khi\, x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

b)$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} – 2}}{{x – \sqrt 2 }}\, khi\, x \ne \sqrt 2 \hfill \\
2\sqrt 2 \,khi\, x = \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Lời giải

a) Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục với $\forall x \ne – 2$ $\left( 1 \right)$

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x + 2}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {x – 2} \right) = – 2 – 2 = – 4$

• $f\left( { – 2} \right) = – 4$$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f\left( x \right) = f\left( { – 2} \right) \Rightarrow f\left( x \right)$ liên tục tại $x = – 2$$\left( 2 \right)$

• Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục với $\forall x \ne \sqrt 2 $$\left( 1 \right)$

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{{x^2} – 2}}{{x – \sqrt 2 }}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right)}}{{x – \sqrt 2 }}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left( {x + \sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 $

• $f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 $ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) \Rightarrow f\left( x \right)$liên tục tại $x = \sqrt 2 $ $\left( 2 \right)$

• Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của $m$ để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

a)$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 2}} \,khi\, x \ne – 2 \hfill \\
m \,khi\, x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

b)$f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} + x \,khi\, x < 1 \hfill \\
2 \,kh\,i x = 1 \hfill \\
mx + 1 \,khi\, x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Lời giải

a) Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục với $\forall x \ne 2$.

• Do đó $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ $\left( 1 \right)$

• Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 2}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3$

$f\left( 2 \right) = m$

• Khi đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow $$3 = m \Leftrightarrow m = 3$.

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {mx + 1} \right) = m + 1$

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {{x^2} + x} \right) = 1 + 1 = 2$

$f\left( 1 \right) = 2$

• Từ $YCBT \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

$ \Leftrightarrow m + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1.$

Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng

1. Phương pháp

• Chứng minh phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm

– Tìm hai số a và b sao cho $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$

– Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$

– Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$

• Chứng minh phương trình $f\left( x \right) = 0$có ít nhất k nghiệm

– Tìm k cặp số ${a_i},{b_i}$ sao cho các khoảng $\left( {{a_i};{b_i}} \right)$ rời nhau và

$f({a_i})f({b_i}) < 0,\,\,i = 1,…,k$

– Phương trình $f\left( x \right) = 0$có ít nhất một nghiệm ${x_i} \in \left( {{a_i};{b_i}} \right).$

• Khi phương trình $f\left( x \right) = 0$có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho :

– $f\left( a \right), f\left( b \right)$ không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.

– Hoặc $f\left( a \right), f\left( b \right)$còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $m\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2x + 1 = 0.$

Lời giải

Đặt $f\left( x \right) = m\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2x + 1.$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\mathbb{R}.$

Ta có: $f\left( 1 \right) = 3;\,\,f\left( { – 2} \right) = – 3 \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( { – 2} \right) < 0.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a) $\left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3 = 0$

b) $\cos x + m\cos 2x = 0$

c) $m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1$

Lời giải

a) Xét $\left[ \begin{gathered}
m = 1 \hfill \\
m = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Phương trình có dạng ${x^2} – x – 3 = 0$ nên PT có nghiệm

• Với $\left\{ \begin{gathered}
m \ne 1 \hfill \\
m \ne 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ giả sử $f\left( x \right) = \left( {1 – {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} – x – 3$

• $f\left( x \right)$ liên tục trên R nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ { – 1;0} \right]$

• Ta có $f\left( { – 1} \right) = {m^2} + 1 > 0; f\left( 0 \right) = – 1 < 0 \Rightarrow f\left( { – 1} \right).f\left( 0 \right) < 0$

• Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số $m$

b) Đặt $f\left( x \right) = \cos x + m\cos 2x \Rightarrow f\left( x \right)$ liên tục trên R

• Ta có $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} > 0; f\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }} < 0$$ \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{4}} \right).f\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) < 0$

• Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số $m$

c) Đặt $f\left( x \right) = m\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) – 2\sin 5x – 1 \Rightarrow f\left( x \right)$ liên tục trên R

• Ta có $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = – \sqrt 2 – 1 < 0; f\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 – 1 > 0$$ \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{4}} \right).f\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) < 0$

• Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số $m$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a)${x^3} – 3x + 1 = 0$ b)$2x + 6\sqrt[3]{{1 – x}} = 3$

Lời giải

$\left. a \right)$ Dễ thấy hàm $f\left( x \right) = {x^3} – 3x + 1$ liên tục trên $R$.

Ta có:

• $\left\{ \begin{gathered}
f\left( { – 2} \right) = – 1 \hfill \\
f\left( { – 1} \right) = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow f\left( { – 2} \right).f\left( { – 1} \right) < 0 \Rightarrow $tồn tại một số ${a_1} \in \left( { – 2; – 1} \right):f\left( {{a_1}} \right) = 0\left( 1 \right).$

• $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = 1 \hfill \\
f\left( 1 \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow $ tồn tại một số ${a_2} \in \left( {0;1} \right):f\left( {{a_2}} \right) = 0\left( 2 \right).$

• $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = – 1 \hfill \\
f\left( 2 \right) = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0 \Rightarrow $ tồn tại một số ${a_3} \in \left( {1;2} \right):f\left( {{a_3}} \right) = 0\left( 3 \right).$

Do ba khoảng $\left( { – 2; – 1} \right), \left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$ đôi một không giao nhau nên phương trình ${x^3} – 3x + 1 = 0$ có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên ${x^3} – 3x + 1 = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

$\left. b \right)$ Đặt $\sqrt[3]{{1 – x}} = t \Leftrightarrow x = 1 – {t^3} \Rightarrow 2{t^3} – 6t + 1 = 0$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = 2{t^3} – 6t + 1$ liên tục trên $R$.

Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
f\left( { – 2} \right).f\left( { – 1} \right) = – 3.5 < 0 \hfill \\
f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) = 1.\left( { – 3} \right) < 0 \hfill \\
f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) = – 3.5 < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow $ tồn tại 3 số ${t_1}, {t_2}$và ${t_3}$ lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là $\left( { – 2; – 1} \right), \left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$ sao cho $f\left( {{t_1}} \right) = f\left( {{t_2}} \right) = f\left( {{t_3}} \right) = 0$ và do đây là phương trình bậc 3 nên $f\left( t \right) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Ứng với mỗi giá trị ${t_1}, {t_2}$và ${t_3}$ ta tìm được duy nhất một giá trị $x$ thỏa mãn $x = 1 – {t^3}$ và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) ${x^5} – 3x + 3 = 0$ b) ${x^4} + {x^3} – 3{x^2} + x + 1 = 0$

Lời giải

$\left. a \right)$ Xét $f\left( x \right) = {x^5} – 3x + 3.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Rightarrow $ tồn tại một số ${x_1} > 0$ sao cho $f\left( {{x_1}} \right) > 0.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = – \infty \Rightarrow $ tồn tại một số ${x_2} < 0$ sao cho $f\left( {{x_2}} \right) < 0.$

Từ đó $f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0 \Rightarrow $ luôn tồn tại một số ${x_0} \in \left( {{x_2};{x_1}} \right):f\left( {{x_0}} \right) = 0$ nên phương trình ${x^5} – 3x + 3 = 0$ luôn có nghiệm.

$\left. b \right)$ Xét $f\left( x \right) = {x^4} + {x^3} – 3{x^2} + x + 1$ liên tục trên $R$

Ta có: $f\left( { – 1} \right) = – 3 < 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Rightarrow $ tồn tại một số $a > 0$ sao cho $f\left( a \right) > 0$.

$ \Rightarrow {x^2} – x – 3 = 0$ nên luôn tồn tại một số ${x_0} \in \left( {0;a} \right)$ thỏa mãn $f\left( {{x_0}} \right) = 0$ nên phương trình ${x^4} + {x^3} – 3{x^2} + x + 1 = 0$ luôn có nghiệm.

Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ luôn có nghiệm $x \in \left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$ với $a \ne 0$ và $2a + 6b + 19c = 0$.

Lời giải

Đặt $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \Rightarrow f\left( x \right)$ liên tục trên R

$\left. + \right)$ Nếu $c = 0$ thì $f\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm là $\left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \frac{1}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$\left. + \right)$ Nếu $c \ne 0$, ta có $f\left( 0 \right) = c; f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{a}{9} + \frac{b}{3} + c$$ = \frac{1}{{18}}\left( {2a + 6b + 18c} \right) = – \frac{c}{{18}}$

$ \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( {\frac{1}{3}} \right) = – \frac{{{c^2}}}{{18}} < 0$. Do đó $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trong $\left( {0;\frac{1}{3}} \right)$