30 Câu Trắc Nghiệm Về Hàm Số Liên Tục Có Lời Giải Chi Tiết

Chọn D

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$, chứa $x = 2$. Theo giả thiết thì ta phải có

$m = f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right) = 3$

Chọn A

. Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$. Theo giả thiết ta phải có

$3 + m = f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} – {x^2} + 2x – 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x – 1}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow m = 0$

Chọn C

Hàm số $f\left( x \right)$ có TXĐ: $D = \left[ {0; + \infty } \right).$ Điều kiện bài toán tương đương với

Ta có: $k + 1 = y\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt x – 1}}{{x – 1}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\mkern 1mu} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = – \frac{1}{2}.$

Chọn B

Hàm số $f\left( x \right)$ có tập xác định là $\left( { – 1; + \infty } \right).$ Theo giả thiết ta phải có

$m = f\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{3 – x}}{{\sqrt {x + 1} – 2}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \frac{{\left( {3 – x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{x – 3}} = – \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\mkern 1mu} \left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right) = – 4$

Chọn B

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Dễ thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right),\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

(i) Xét tại $x = – 1$, ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {\mkern 1mu} \frac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {\mkern 1mu} \left( {{x^2} – x + 1} \right)$$ = 3 = f\left( { – 1} \right).$

$\xrightarrow[{}]{{}}$ hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = – 1$.

(ii) Xét tại $x = 0$, ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \frac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \left( {{x^2} – x + 1} \right) = 1 = f\left( 0 \right).$

$\xrightarrow[{}]{{}}$ hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 0$.

Chọn B

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có TXĐ $D = \mathbb{R}$.

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} – 1}}$ liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$, $\left( { – 1;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

(i) Xét tại $x = – 1$, ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x – 1}} = \frac{1}{2} = f\left( { – 1} \right)$$\xrightarrow[{}]{{}}$ Hàm số liên tục tại $x = – 1$.

(ii) Xét tại $x = 1$, ta có $\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x – 1}} = + \infty \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {\mkern 1mu} \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {\mkern 1mu} \frac{x}{{x – 1}} = – \infty \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$\xrightarrow[{}]{{}}$Hàm số $y = f\left( x \right)$ gián đoạn tại $x = 1$.

Chọn A

TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$; $\left( {2; + \infty } \right)$.

Khi đó $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow $$f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2$

$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 2 \right){\mkern 1mu} .$ $\left( * \right)$

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 2 \right) = 4{m^2} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {\mkern 1mu} \left[ {\left( {1 – m} \right)x} \right] = 2\left( {1 – m} \right) \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {\mkern 1mu} {m^2}{x^2}{\mkern 1mu} = 4{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$\xrightarrow[{}]{{}}\left( * \right) \Leftrightarrow 4{m^2} = 2\left( {1 – m} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = – 1 \hfill \\
m = \frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right..$

Chọn A

Dễ thấy $f\left( x \right)$ liên tục trên mỗi khoảng $\left( {0;4} \right)$ và $\left( {4;6} \right)$. Khi đó hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {0;6} \right]$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $x = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 6$.

Tức là ta cần có $\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ – }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 6 \right) \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \left( * \right)$

$ \bullet \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} \sqrt x = 0 \hfill \\
f\left( 0 \right) = \sqrt 0 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.;$

$ \bullet \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ – }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ – }} {\mkern 1mu} \left( {1 + m} \right) = 1 + m \hfill \\
f\left( 6 \right) = 1 + m \hfill \\
\end{gathered} \right.;$

$ \bullet \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim \sqrt x = 2}\limits_{x \to {4^ – }} {\mkern 1mu} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} {\mkern 1mu} \left( {1 + m} \right) = 1 + m \hfill \\
f\left( 4 \right) = 1 + m \hfill \\
\end{gathered} \right.;$Khi đó $\left( * \right)$ trở thành $1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1 < 2.$

Chọn C

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right).$ Khi đó hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liê tục tại $x = 1,$ tức là ta cần có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right). \left( * \right)$

Ta có $f\left( x \right) = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2}&{khi x > 1} \\
a&{khi x = 1} \\
{2 – x}&{khi x < 1}
\end{array}} \right.$

$\xrightarrow[{}]{}\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {2 – x} \right) = 1 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x – 2} \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\xrightarrow[{}]{}\left( * \right)$

không tỏa mãn với mọi $a \in \mathbb{R}.$

Vậy không tồn tại giá trị $a$ thỏa yêu cầu.

Chọn A

Hàm số xác định và liên tục trên $\left[ {0;1} \right)$. Khi đó $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right). \left( * \right)$

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = a \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – 1}}{{\sqrt x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)} \right] = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$\xrightarrow[{}]{}\left( * \right) \Leftrightarrow a = 4$

Chọn D

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = – 2 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { – 2x} \right) = – 2 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x – 1}}{{\sqrt {2 – x} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left[ { – \left( {\sqrt {2 – x} + 1} \right)} \right] = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$liên tục tại $x = 1.$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$

Chọn A

Điều kiện bài toán trở thành: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f(x) = f(3)$ $ \bullet $

Ta có

$f\left( 3 \right) = 1 – 3{a^2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} – 5x + 6}}{{\sqrt {4x – 3} – x}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {\sqrt {4x – 3} + x} \right)}}{{1 – x}} = – 3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left( {1 – {a^2}x} \right) = 1 – 3{a^3}.$

$\xrightarrow[{}]{}\left( * \right) \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}\xrightarrow[{}]{}{a_{\min }} = – \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$

Chọn C

Ta cần có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right). \left( * \right)$

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 2 \right) = 2{a^2} – \frac{7}{4} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} – 2}}{{x – 2}} = \frac{1}{4} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {{a^2}x + \frac{1}{4}} \right) = 2{a^2} – \frac{7}{4} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$\xrightarrow[{}]{}\left( * \right) \Leftrightarrow a = \pm 1\xrightarrow[{}]{}{a_{\max }} = 1$

Chọn C

Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right).$

Mặt khác $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = 1 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {1 – \cos x} \right) = 1 – \cos 0 = 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {x + 1} = \sqrt {0 + 1} = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$gián đoạn tại $x = 0.$

Chọn A

Ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( { – \infty ; – 1} \right),\,\,\left( { – 1;1} \right),\,\,\left( {1; + \infty } \right).$

$ \bullet $ Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( { – 1} \right) = \cos \left( { – \frac{\pi }{2}} \right) = 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} \left( {x – 1} \right) = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$gián đoạn tại $x = – 1.$

$ \bullet $ Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x – 1} \right) = 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \cos \frac{{\pi x}}{2} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$liên tục tại $x = 1.$

Chọn B

Dễ thấy tại điểm có hoành độ $x = 1$ đồ thị của hàm số bị $”$đứt$”$ nên hàm số không liên tục tại đó.

Cụ thể: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0\not = 3 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right)$ nên $f\left( x \right)$ gián đoạn tại $x = 1.$

Chọn A

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Dễ thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;0} \right),\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} x = 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 0.$

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = 1 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} x = 1 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1.$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Chọn D

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Dễ thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;1} \right),\left( {1;3} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = 4 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$ gián đoạn tại $x = 1.$

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 3 \right) = 2 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left( {x + 1} \right) = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$gián đoạn tại $x = 3.$

Chọn A

Hàm số $y = h\left( x \right)$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Dễ thấy hàm số $y = h\left( x \right)$ liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;0} \right),\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
h\left( 0 \right) = 1 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} 2x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$không liên tục tại $x = 0$.
Ta có $\left\{ \begin{gathered}
h\left( 2 \right) = 5 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 5 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {3x – 1} \right) = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$liên tục tại $x = 2$.

Chọn B

Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Điều kiện bài toán trở thành $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right). \left( * \right)$

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = 2 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{m^2}x + 1} \right) = {m^2} + 1 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {{x^2} + x} \right) = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$\xrightarrow[{}]{}\left( * \right) \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 2$

$ \Leftrightarrow m = \pm 1\xrightarrow[{}]{}S = 0.$

Chọn C

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Dễ thấy $f\left( x \right)$ liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;0} \right),\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( { – x\cos x} \right) = 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{1 + x}} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$liên tục tại $x = 0$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2}}}{{1 + x}} = \frac{1}{2}\\
\mathop {\,\,\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \,\mathop {\lim {x^3} = 1}\limits_{x \to {1^ + }}
\end{array} \right.$
$\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right)$ không liên tục tại $x = 1$.

Chọn B

(i) Hàm $f\left( x \right)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}\xrightarrow[{}]{}$ A đúng.

(ii) Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( { – 1} \right) = – 1 < 0 \hfill \\
f\left( { – 2} \right) = 23 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right) = 0$ có nghiệm ${x_1}$ trên $\left( { – 2;1} \right)$, mà

$\left( { – 2; – 1} \right) \subset \left( { – 2;0} \right) \subset \left( { – \infty ;1} \right)\xrightarrow[{}]{}$ B sai và C đúng

(iii) Ta có $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = – 1 < 0 \hfill \\
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow[{}]{}f\left( x \right) = 0$ có nghiệm ${x_2}$ thuộc $\left( {0;\frac{1}{2}} \right).$ Kết hợp với (1) suy ra $f\left( x \right) = 0$ có các nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa: $ – 3 < {x_1} < – 1 < 0 < {x_2} < \frac{1}{2}\xrightarrow[{}]{}$ D đúng.

Chọn D

Hàm số $f\left( x \right) = 2{x^4} – 5{x^2} + x + 1$ là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta có

(i) $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = 1 \hfill \\
f\left( { – 1} \right) = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow f\left( { – 1} \right).f\left( 0 \right) < 0$ $\xrightarrow{{}}f\left( x \right) = 0$có ít nhất một nghiệm ${x_1}$ thuộc $\left( { – 1;0} \right)$.

(ii) $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = 1 \hfill \\
f\left( 1 \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0$ $\xrightarrow{{}}f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm ${x_2}$ thuộc $\left( {0;1} \right).$

(iii) $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = – 1 \hfill \\
f\left( 2 \right) = 15 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0$ $\xrightarrow{{}}f\left( x \right) = 0$có ít nhất một nghiệm ${x_3}$ thuộc $\left( {1;2} \right).$

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ đã cho có các nghiệm${x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_3}$ thỏa

$ – 1 < {x_1} < 0 < {x_2} < 1 < {x_3} < 2$

Chọn D

Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 3x – 1$ là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – 2; – 1} \right), \left( { – 1;0} \right), \left( {0;2} \right).$

Ta có

$ \bullet $ $\left\{ \begin{gathered}
f\left( { – 2} \right) = – 3 \hfill \\
f\left( { – 1} \right) = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $ \Rightarrow f\left( { – 2} \right)f\left( { – 1} \right) < 0\xrightarrow{{}}\left( 1 \right)$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( { – 2; – 1} \right).$

$ \bullet $ $\left\{ \begin{gathered}
f\left( { – 1} \right) = 1 \hfill \\
f\left( 0 \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $ \Rightarrow f\left( { – 1} \right)f\left( 0 \right) < 0\xrightarrow{{}}\left( 1 \right)$có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( { – 1;0} \right).$

$ \bullet $ $\left\{ \begin{gathered}
f\left( 2 \right) = 1 \hfill \\
f\left( 0 \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $ \Rightarrow f\left( 2 \right)f\left( 0 \right) < 0\xrightarrow{{}}\left( 1 \right)$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {0;2} \right).$

Như vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có ít nhất ba thuộc khoảng $\left( { – 2;2} \right)$. Tuy nhiên phương trình $f\left( x \right) = 0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có đúng nghiệm trên $\mathbb{R}.$

Chọn B

Ta có $f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow f\left( x \right) – 5 = 0$. Đặt $g\left( x \right) = f\left( x \right) – 5.$ Khi đó

$\left\{ \begin{gathered}
g\left( { – 1} \right) = f\left( { – 1} \right) – 5 = 2 – 5 = – 3 \hfill \\
g\left( 4 \right) = f\left( 4 \right) – 5 = 7 – 5 = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow g\left( { – 1} \right)g\left( 4 \right) < 0$

Vậy phương trình $g\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;4} \right)$ hay phương trình $f\left( x \right) = 5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;4} \right)$.

Chọn C

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + \left( {2m – 2} \right)x + m – 3$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ sao cho ${x_1} < – 1 < {x_2} < {x_3}$. Khi đó $f\left( x \right) = \left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)$.

Ta có $f\left( { – 1} \right) = \left( { – 1 – {x_1}} \right)\left( { – 1 – {x_2}} \right)\left( { – 1 – {x_3}} \right) > 0$ (do ${x_1} < – 1 < {x_2} < {x_3}$).

Mà $f\left( { – 1} \right) = – m – 5$ nên suy ra $ – m – 5 > 0 \Leftrightarrow m < – 5.$

● Thử lại: Với $m < – 5$, ta có

▪ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = – \infty $ nên tồn tại $a < – 1$ sao cho $f\left( a \right) < 0$. $\left( 1 \right)$

▪ Do $m < – 5$ nên $f\left( { – 1} \right) = – m – 5 > 0$. $\left( 2 \right)$

▪ $f\left( 0 \right) = m – 3 < 0$. $\left( 3 \right)$

▪ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty $ nên tồn tại $b > 0$ sao cho $f\left( b \right) > 0$. $\left( 4 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$;

Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$, suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( { – 1;0} \right)$;

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$, suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0; + \infty } \right).$

Vậy khi $m < – 5$ thỏa mãn $\xrightarrow[{m \in \left( { – 10;10} \right)}]{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ { – 9; – 8; – 7; – 6} \right\}.$