Trắc Nghiệm Bài 17 Hàm Số Liên Tục Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm bài 17 Hàm số liên tục mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 14 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$. Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên [a ; b] là

A. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f(x) = f(b)$.

B. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = f(a)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f(x) = f(b)$.

C. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f(x) = f(b)$.

D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = f(a)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f(x) = f(b)$.

Lời giải

Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn [a ; b].

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f(x) = f(b)$.

Chọn A

Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên [a ; b]. Tìm mệnh đề đúng.

A. Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên [a ; b] và $f(a)f(b) > 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $(a;b)$.

B. Nếu $f(a)f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(a;b)$.

C. Nếu hàm số $f(x)$ liên tục, tăng trên [a ; b] và $f(a)f(b) > 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $(a;b)$.

D. Nếu phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trong khoảng $(a;b)$ thì hàm số $f(x)$ phải liên tục trên $(a;b)$.

Lời giải

Vì $f(a)f(b) > 0$ nên $f(a)$ và $f(b)$ cùng dương hoặc cùng âm. Mà $f(x)$ liên tục, tăng trên [a ; b] nên đồ thị hàm $f(x)$ nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên [a ; b] hay phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $(a;b)$.

Chọn C

Câu 3. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn [a ; b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Nếu $f(a) \cdot f(b) > 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm nằm trong $(a;b)$.

B. Nếu $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm nằm trong $(a;b)$.

C. Nếu $f(a)$. $f(b) > 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm nằm trong $(a;b)$.

D. Nếu phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm nằm trong $(a;b)$ thì $f(a) \cdot f(b) < 0$.

Lời giải

Chọn B

Vì theo định lý 3 trang 139/sgk.

Câu 4. Cho đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ sau:

Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x = 0$ nhưng không liên tục tại điểm $x = 0$.

B. Hàm số $y = f(x)$ liên tục tại điểm $x = 0$ nhưng không có đạo hàm tại điểm $x = 0$.

C. Hàm số $y = f(x)$ liên tục và có đạo hàm tại điểm $x = 0$.

D. Hàm số $y = f(x)$ không liên tục và không có đạo hàm tại điểm $x = 0$.

Lời giải

Chọn B

Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm $x = 0$ nên nó liên tục tại điểm $x = 0$ nhưng không có đạo hàm tại điểm $x = 0$.

Câu 5. Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại $x = 1$ ?

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y$ nên hàm số không liên tục tại $x = 1$.

Câu 6. Cho các mệnh đề:

1. Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f(a)$. $f(b) < 0$ thì tồn tại ${x_0} \in (a;b)$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = 0$.

2. Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên [a ; b] và $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm. 3. Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục, đơn điệu trên [a ; b] và $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất.

A. Có đúng hai mệnh đề sai.

B. Cả ba mệnh đề đều đúng.

C. Cả ba mệnh đề đều sai.

D. Có đúng một mệnh đề sai.

Lời giải

Chọn D

Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn [a ; b].

Câu 7. Cho hàm số $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{1 – {x^3}}}{{1 – x}},}&{{\text{ khi }}x < 1} \\
{1,}&{{\text{, khi }}\quad x \geqslant 1}
\end{array}} \right.$. Hãy chọn kết luận đúng

A. $y$ liên tục phải tại $x = 1$.

B. $y$ liên tục tại $x = 1$.

C. $y$ liên tục trái tại $x = 1$.

D. $y$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $y(1) = 1$.Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{1 – {x^3}}}{{1 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{(1 – x)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {1 + x + {x^2}} \right) = 4$

Nhận thấy: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = y(1)$.

Suy ra $y$ liên tục phải tại $x = 1$.

Câu 8. Cho hàm số $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 7x + 12}}{{x – 3}}}&{{\text{ khi }}x \ne 3} \\
{ – 1}&{{\text{ khi }}x = 3}
\end{array}} \right.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại ${x_0} = 3$.

B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại ${x_0} = 3$.

C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại ${x_0} = 3$.

D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại ${x_0} = 3$.

Lời giải

Chọn D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} – 7x + 12}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x – 4) = – 1 = y(3)$ nên hàm số liên tục tại ${x_0} = 3$.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} – 7x + 12} \right) – \left( {{3^2} – 7.3 + 12} \right)}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} – 7x + 12} \right)}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x – 4) = – 1 \Rightarrow {y^\prime }(3) = – 1$.

Câu 9. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – 2}}{{\sqrt {x + 2} – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 2} \\
4&{{\text{ khi }}x = 2}
\end{array}} \right.$. Chọn mệnh đề đúng?

A. Hàm số liên tục tại $x = 2$.

B. Hàm số gián đoạn tại $x = 2$.

C. $f(4) = 2$.

D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 2$.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định:

$D = \mathbb{R}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x – 2}}{{\sqrt {x + 2} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (\sqrt {x + 2} + 2) = 4$

$f(2) = 4$$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)$

Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$.

Câu 10. Cho hàm số $f(x) = \frac{{2x – 1}}{{{x^3} – x}}$. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số liên tục tại $x = – 1$.

B. Hàm số liên tục tại $x = 0$.

C. Hàm số liên tục tại $x = 1$.

D. Hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Tại $x = \frac{1}{2}$, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x – 1}}{{{x^3} – 1}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$.

Câu 11. Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 1$ :

A. $f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}$.

B. $f(x) = \frac{{{x^2} – x – 2}}{{{x^2} – 1}}$.

C. $f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}$.

D. $f(x) = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}$.

Lời giải

А) $f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = + \infty $ suy ra $f(x)$ không liên tục tại $x = 1$.

B) $f(x) = \frac{{{x^2} – x – 2}}{{{x^2} – 1}}$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 2}}{{x – 1}} = – \infty $ suy ra $f(x)$ không liên tục tại $x = 1$.

C) $f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 3 = f(1)$ suy ra $f(x)$ liên tục tại $x = 1$.

D) $f(x) = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = + \infty $ suy ra $f(x)$ không liên tục tại $x = 1$.

Câu 12. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm ${x_0} = – 1$.

A. $y = (x + 1)\left( {{x^2} + 2} \right)$.

B. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$.

C. $y = \frac{x}{{x – 1}}$.

D. $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$.

Lời giải

Ta có $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ không xác định tại ${x_0} = – 1$ nên gián đoạn tại ${x_0} = – 1$.

Câu 13. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại $x = 2$ ?

A. $y = \frac{{3x – 4}}{{x – 2}}$.

B. $y = \sin x$.

C. $y = {x^4} – 2{x^2} + 1$

D. $y = \tan x$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $y = \frac{{3x – 4}}{{x – 2}}$ có tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} $, do đó gián đoạn tại $x = 2$.

Câu 14. Hàm số $y = \frac{x}{{x + 1}}$ gián đoạn tại điểm ${x_0}$ bằng?

A. ${x_0} = 2024$.

B. ${x_0} = 1$.

C. ${x_0} = 0$

D. ${x_0} = – 1$.

Lời giải

Chọn D

Vì hàm số $y = \frac{x}{{x + 1}}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \{ – 1\} $ nên hàm số gián đoạn tại điểm ${x_0} = – 1$.

Câu 15. Cho hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{{x^2} – 1}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số không liên tục tại các điểm $x = \pm 1$.

B. Hàm số liên tục tại mọi $x \in \mathbb{R}$.

C. Hàm số liên tục tại các điểm $x = – 1$.

D. Hàm số liên tục tại các điểm $x = 1$.

Lời giải

Chọn A

Hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{{x^2} – 1}}$ có tập xác định $\mathbb{R}\backslash \{ \pm 1\} $. Do đó hàm số không liên tục tại các điểm $x = \pm 1$.

Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = {x^3} – x$.

B. $y = \cot x$.

C. $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$.

D. $y = \sqrt {{x^2} – 1} $.

Chọn A

Lời giải

Vì $y = {x^3} – x$ là đa thức nên nó liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 17. Cho bốn hàm số ${f_1}(x) = 2{x^3} – 3x + 1,{f_2}(x) = \frac{{3x + 1}}{{x – 2}},{f_3}(x) = \cos x + 3$ và ${f_4}(x) = {\log _3}x$. Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập $\mathbb{R}$ ?

A. 1.

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

Lời giải

* Ta có hai hàm số ${f_2}(x) = \frac{{3x + 1}}{{x – 2}}$ và ${f_4}(x) = {\log _3}x$ có tập xác định không phải là tập $\mathbb{R}$ nên không thỏa yêu cầu.

* Cả hai hàm số ${f_1}(x) = 2{x^3} – 3x + 1$ và ${f_3}(x) = \cos x + 3$ đều có tập xác định là $\mathbb{R}$ đồng thời liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên $\mathbb{R}$ ?

A. $f(x) = \tan x + 5$.

B. $f(x) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 – x}}$.

C. $f(x) = \sqrt {x – 6} $.

D. $f(x) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$.

Chọn D

Lời giải

Hàm số $f(x) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ là hàm phân thức hữu tỉ và có tập xác định là $D = \mathbb{R}$ do đó hàm số $f(x) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Phương pháp:

Cách 1: Hàm số liên tục tại $x = {x_0}$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$.

Cách 2: Hàm số liên tục tại $x = {x_0}$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = f({x_0})$

Câu 19. Tìm ${\text{m}}$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne – 2} \\
m&{{\text{ khi }}x = – 2}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = – 2$

A. $m = – 4$.

B. $m = 2$.

C. $m = 4$.

D. $m = 0$.

Lời giải

Chọn A

Hàm số liên tục tại $x = – 2$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} m = m \Leftrightarrow m = – 4$

Câu 20. Cho hàm số $y = f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^3} – 1}}{{x – 1}}{\text{ khi }}x \ne 1} \\
{2m + 1{\text{ khi }}x = 1}
\end{array}} \right.$. Giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$ là:

A. $m = – \frac{1}{2}$.

B. $m = 2$.

C. $m = 1$.

D. $m = 0$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $f(1) = 2m + 1$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 3$

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$ thì $f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y \Rightarrow 2m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1$.

Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số ${\text{m}}$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 2} \\
{m\quad {\text{ khi }}x = 2}&{}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 2$.

A. $m = 3$.

B. $m = 1$.

C. $m = 2$.

D. $m = 0$.

Lời giải

Chọn A

$f(2) = m$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2)(x + 1)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 3$.

Hàm số liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow m = 3$.

Câu 22. Để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{2{x^2} – 3x + 1}}{{2(x – 1)}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\
m&{{\text{ khi }}x = 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$ thì giá trị $m$ bằng

A. 0,5 .

B. 1,5 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn A

$f(1) = m$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} – 3x + 1}}{{2(x – 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(2x – 1)}}{{2(x – 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x – 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.

Câu 23. Để hàm số $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + 3x + 2}&{{\text{ khi }}}&{x \leqslant – 1} \\
{4x + a}&{{\text{ khi }}}&{x > – 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại điểm $x = – 1$ thì giá trị của $a$ là

A. -4 .

B. 4 .

C. 1 .

D. -1 .

Lời giải

Chọn B

Hàm số liên tục tại $x = – 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = y( – 1)$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} (4x + a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = y( – 1) \Leftrightarrow a – 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4$.

Câu 24. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^3} – {x^2} + 2x – 2}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\
{3x + m}&{{\text{ khi }}x = 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$.

A. $m = 0$.

B. $m = 6$.

C. $m = 4$.

D. $m = 2$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $f(1) = m + 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} – {x^2} + 2x – 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3$. Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 3 = m + 3 \Leftrightarrow m = 0$.

Câu 25. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt x – 1}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\
k&{{\text{ khi }}x = 1}
\end{array}} \right.$. Tìm $k$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$.

A. $k = \frac{1}{2}$.

B. $k = – 1$.

C. $k = 1$.

D. $k = 0$.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$f(1) = k$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{1}{2}$

Để hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow k = \frac{1}{2}$.

Câu 26. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3 – \sqrt x }}{{9 – x}}}&{{\text{ khi }}x \ne 9} \\
a&{{\text{ khi }}x = 9}
\end{array}} \right.$. Tìm $a$ để hàm số liên tục tại ${x_0} = 9$.

A. $a = 0$.

B. $a = – \frac{1}{6}$.

C. $a = \frac{1}{6}$.

D. $a = 1$.

Lời giải

Chọn C

Ta có

$f(9) = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{3 – \sqrt x }}{{9 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{(3 – \sqrt x )(3 + \sqrt x )}}{{(9 – x)(3 + \sqrt x )}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{9 – x}}{{(9 – x)(3 + \sqrt x )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{1}{{(3 + \sqrt x )}} = \frac{1}{6}$.

Để hàm số liên tục tại ${x_0} = 9$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x) = f(9) \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}$.

Câu 27. Biết hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + b}&{khix \leqslant – 1} \\
{x + a}&{khi\quad x > – 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = – 1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = b – 2$.

B. $a = – 2 – b$.

C. $a = 2 – b$.

D. $a = b + 2$.

Lời giải

Chọn A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = f( – 1) = b – 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = a – 1$.

Để liên tục tại $x = – 1$ ta có $b – 3 = a – 1 \Leftrightarrow a = b – 2$

Câu 28. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3 – x}}{{\sqrt {x + 1} – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 3} \\
m&{{\text{ khi }}x = 3}
\end{array}} \right.$. Hàm số đã cho liên tục tại $x = 3$ khi $m = $ ?

A. -1 .

B. 1 .

C. 4 .

D. -4 .

Lời giải

Chọn D

$f(3) = m$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3 – x}}{{\sqrt {x + 1} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(3 – x)(\sqrt {x + 1} + 2)}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} ( – \sqrt {x + 1} – 2) = – 4$

Để hàm số liên tục tại $x = 3$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = f(3)$

Suy ra, $m = – 4$.

Câu 29. Biết hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a{x^2} + bx – 5}&{{\text{ khi }}}&{x \leqslant 1} \\
{2ax – 3b}&{{\text{ khi }}}&{x > 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$ Tính giá trị của biểu thức $P = a – 4b$.

A. $P = – 4$.

B. $P = – 5$.

C. $P = 5$.

D. $P = 4$.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {a{x^2} + bx – 5} \right) = a + b – 5 = f(1)$.$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2ax – 3b) = 2a – 3b$.

Do hàm số liên tục tại $x = 1$ nên $a + b – 5 = 2a – 3b \Rightarrow a – 4b = – 5$.

Câu 30. Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – x}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\
{m – 1}&{khi\quad x = 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$

A. $m = 0$.

B. $m = – 1$.

C. $m = 1$

D. $m = 2$.

Lời giải

Chọn D

TXĐ: $D = R$

Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – x}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1$

$f(1) = m – 1$.

Hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow m – 1 = 1 \Leftrightarrow m = 2$

Câu 31. Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\
{{m^2} + m – 1}&{{\text{ khi }}x = 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại điểm $x = 1$ ?

A. 0 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(x – 2)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x – 2) = – 1$.

Để hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 1$ cần: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$$ \Leftrightarrow {m^2} + m – 1 = – 1$$ \Leftrightarrow {m^2} + m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0({\text{TM}})} \\
{m = – 1({\text{L}})}
\end{array}} \right.$.

Câu 32. Tìm $a$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {x + 2} – 2}}{{x – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 2} \\
{2x + a}&{{\text{ khi }}x = 2}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 2$ ?

A. $\frac{{15}}{4}$.

B. $ – \frac{{15}}{4}$.

C. $\frac{1}{4}$.

D. 1 .

Lời giải

Chọn B

Ta có $f(2) = 4 + a$.

Ta tính được $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2 – 4}}{{(x – 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{4}$.

Hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi $f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \Leftrightarrow 4 + a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = – \frac{{15}}{4}$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $a = – \frac{{15}}{4}$.

Câu 33. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{\sqrt {x + 2} – 2}}}&{{\text{ khi }}x > 2} \\
{{m^2}x – 4m + 6}&{{\text{ khi }}x \leqslant 2}
\end{array},m} \right.$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ ?

A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 1

Lời giải

Chọn D

Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{\sqrt {x + 2} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{(x – 2)(x – 1)(\sqrt {x + 2} + 2)}}{{x – 2}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x – 1)(\sqrt {x + 2} + 2) = 4$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {{m^2}x – 4m + 6} \right) = 2{m^2} – 4m + 6$

$f(2) = 2{m^2} – 4m + 6$

Để hàm số liên tục tại $x = 2$ thì$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = f(2)$

$ \Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 6 = 4 \Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy có một giá trị của $m$ thỏa mãn hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$.

Câu 34. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {3{x^2} + 2x – 1} – 2}}{{{x^2} – 1}},}&{x \ne 1} \\
{4 – m}&{x = 1}
\end{array}} \right.$. Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ khi

A. $m = 3$.

B. $m = – 3$.

C. $m = 7$.

D. $m = – 7$.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định $D = \mathbb{R},{x_0} = 1 \in \mathbb{R}$.

Ta có $f(1) = 4 – m$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 2x – 1} – 2}}{{(x + 1)(x – 1)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(3x + 5)}}{{(x + 1)(x – 1)\left( {\sqrt {3{x^2} + 2x – 1} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x + 5}}{{(x + 1)\left( {\sqrt {3{x^2} + 2x – 1} + 2} \right)}} = 1$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x) = f(1) \Leftrightarrow 4 – m = 1 \Leftrightarrow m = 3$.

Câu 35. Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} – 1}}}&{{\text{ khi }}}&{x < – 1} \\
{mx + 2}&{{\text{ khi }}}&{x \geqslant – 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = – 1$.

A. $m = \frac{{ – 3}}{2}$.

B. $m = \frac{{ – 5}}{2}$.

C. $m = \frac{3}{2}$.

D. $m = \frac{5}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

$ + f( – 1) = – m + 2$.

$ + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ + }} f(x) = – m + 2$.

$ + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{{(x + 1)(x + 2)}}{{(x – 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{{x + 2}}{{x – 1}} = \frac{{ – 1}}{2}.$

Hàm số liên tục tại $x=-1$$ \Leftrightarrow – m + 2 = \frac{{ – 1}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}$.

Câu 36. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {{x^2} + 4} – 2}}{{{x^2}}}}&{{\text{khi}}x \ne 0} \\
{2a – \frac{5}{4}}&{{\text{khi}}x = 0}
\end{array}} \right.$. Tìm giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 0$.
A. $a = – \frac{3}{4}$.

B. $a = \frac{4}{3}$.

C. $a = – \frac{4}{3}$.

D. $a = \frac{3}{4}$.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} – 2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 4} – 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 4 – 4}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} + 2}} = \frac{1}{4}.$

$f(0) = 2a – \frac{5}{4}.$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) \Leftrightarrow 2a – \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$.

Vậy $a = \frac{3}{4}$.

Câu 37. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 2x + 3}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\
{3x + m – 1}&{{\text{ khi }}x = 1}
\end{array}} \right.$. Tìm $m$ để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$.

A. $m = 1$.

B. $m = 3$.

C. $m = 0$.

D. $m = 2$.

Lời giải

Chọn C

TXĐ $D = \mathbb{R}$

Ta có $f(1) = 2 + m$.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} – 2x + 3} \right) = 2$.

Hàm số liên tục tại ${x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 2 = m + 2 \Leftrightarrow m = 0$.

Câu 38. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 2} \\
a&{{\text{ khi }}x = 2}
\end{array}} \right.$. Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $a$ bằng

A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .

D. -1 .

Lời giải

Chọn A

Hàm số liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)$.

Ta có $f(2) = a,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x – 1) = 1$.

Do đó $a = 1$

Câu 39. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3 – x}}{{\sqrt {x + 1} – 2}}}&{{\text{ khi }}x \ne 3} \\
{mx + 2}&{{\text{ khi }}\quad x = 3}
\end{array}} \right.$.Hàm số liên tục tại điểm $x = 3$ khi $m$ bằng:

A. -2 .

B. 4 .

C. -4 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn A

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có $f(3) = 3m + 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{3 – x}}{{\sqrt {x + 1} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [ – (\sqrt {x + 1} + 2)] = – 4$.

Hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = f(3) \Leftrightarrow 3m + 2 = – 4 \Leftrightarrow m = – 2$.

Câu 40. Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}}&{{\text{ khi }}x > 4} \\
{mx + 1}&{{\text{ khi }}x \leqslant 4}
\end{array}} \right.$ liên tục tại điểm $x = 4$.

A. $m = \frac{7}{4}$.

B. $m = 8$.

C. $m = – \frac{7}{4}$.

D. $m = – 8$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f(x) = f(4) = 4m + 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} (x + 4) = 8$.

Hàm số liên tục tại điểm $x = 4 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = f(4) \Leftrightarrow 4m + 1 = 8 \Leftrightarrow m = \frac{7}{4}$.

Câu 41. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 2x}}{{x – 2}}{\text{ khi x}} > 2} \\
{mx – 4{\text{ khi x}} \leqslant 2}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 2$.

A. $m = 3$.

B. $m = 2$.

C. $m = – 2$.

D. Không tồn tại $m$.

Lời giải

Chọn A

Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – 2x}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x(x – 2)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} (mx – 4) = 2m – 4$

Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) \Leftrightarrow 2m – 4 = 2 \Leftrightarrow m = 3$.

Câu 42. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {x + 3} – m}}{{x – 1}}khix \ne 1}&{} \\
n&{khix = 1}
\end{array}} \right.$. Để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$ thì giá trị của biểu thức $(m + n)$ tương ứng bằng:

A. $\frac{3}{4}$.

B. 1 .

C. $ – \frac{1}{2}$.

D. $\frac{9}{4}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

$f(1) = n$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 – {m^2}}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + m)}}$

Hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 – {m^2}}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + m)}}$ (1)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ tồn tại khi 1 là nghiệm của phương trình: $1 + 3 – {m^2} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 2} \\
{m = – 2}
\end{array}} \right.$.

Khi $m = 2$ thì $(1) \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x – 1}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + 2)}} \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \Rightarrow n = \frac{1}{4}$.

Khi $m = – 2$ thì $(1) \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} – 2}}$ suy ra không tồn tại $n$.

Vậy $m + n = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

Câu 43. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^3} – 6{x^2} + 11x – 6}}{{x – 3}}}&{{\text{ khi }}x \ne 3} \\
m&{{\text{ khi }}x = 3}
\end{array}} \right.$. Tìm giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3$ ?

A. $m = 1$.

B. $m = 2$.

C. $m = 3$.

D. $m = 0$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $f(3) = m$.$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} – 6{x^2} + 11x – 6}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 2.$

Câu 44. Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x – \cos 7x}}{{{x^2}}}$. Tìm giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3$ ?

A. 40 .

B. 0 .

C. -4 .

D. 20 .

Lời giải

Chọn B

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x – \cos 7x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin 5x\sin 2x}}{{{x^2}}} = 2.5.2 = 20$.

Câu 45. Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x + 1}}{\text{ khi }}x > – 1} \\
{mx – 2{m^2}{\text{ khi }}x \leqslant – 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = – 1$.

A. $m \in \left\{ {1; – \frac{3}{2}} \right\}$.

B. $m \in \{ 1\} $.

C. $m \in \left\{ { – \frac{3}{2}} \right\}$.

D. $m \in \left\{ { – 1;\frac{3}{2}} \right\}$.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định $D = R$.

$f( – 1) = – m – 2{m^2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \left( {mx – 2{m^2}} \right) = – m – 2{m^2}$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{{x^2} – x – 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{(x + 1)(x – 2)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} (x – 2) = – 3$.

Hàm số liên tục tại $x = – 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = f( – 1)$$ \Leftrightarrow – m – 2{m^2} = – 3 \Leftrightarrow 2{m^2} + m – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1} \\
{m = – \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.$

Vậy các giá trị của $m$ là $m \in \left\{ {1; – \frac{3}{2}} \right\}$.

Câu 46. Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 2x}}}&{{\text{ khi }}x < 2} \\
{mx + m + 1}&{{\text{ khi }}x \geqslant 2}
\end{array}} \right.$ liên tục tại điểm $x = 2$.

A. $m = \frac{1}{6}$.

B. $m = – \frac{1}{6}$.

C. $m = – \frac{1}{2}$.

D. $m = \frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2)(x – 1)}}{{x(x – 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x – 1}}{x} = \frac{1}{2}$.$f(2) = 3m + 1$.

Để hàm số liên tục tại điểm $x = 2 \Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = – \frac{1}{6}$.

Câu 47. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {{x^2} + 4} – 2}}{{{x^2}}}{\text{ khi }}x \ne 0} \\
{2a – \frac{5}{4}{\text{ khi }}x = 0}
\end{array}} \right.$. Tìm các giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$.

A. $a = – \frac{3}{4}$.

B. $a = \frac{4}{3}$.

C. $a = – \frac{4}{3}$.

D. $a = \frac{3}{4}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có

+$f(0) = 2a – \frac{5}{4}$.

$ + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} – 2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} + 2}}} \right) = \frac{1}{4}$.

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 0$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) \Leftrightarrow 2a – \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$.

Câu 48. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} – bx – 2}}{{4{x^3} – 3x + 1}}{\text{ khi }}x \ne \frac{1}{2}} \\
{\frac{c}{2}\quad {\text{ khi }}x = \frac{1}{2}}
\end{array},(a,b,c \in \mathbb{R})} \right.$. Biết hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2}$. Tính $S = abc$.

A. $S = – 36$.

B. $S = 18$.

C. $S = 36$.

D. $S = – 18$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} – bx – 2}}{{4{x^3} – 3x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {a{x^2} + 1} } \right)}^2} – {{(bx + 2)}^2}}}{{{{(2x – 1)}^2}(x + 1)\left( {\sqrt {a{x^2} + 1} + bx + 2} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {a – {b^2}} \right){x^2} – 4bx – 3}}{{{{(2x – 1)}^2}(x + 1)\left( {\sqrt {a{x^2} + 1} + bx + 2} \right)}}$.

Để hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {a – {b^2}} \right){x^2} – 4bx – 3 = m{{(2x – 1)}^2}} \\
{\sqrt {\frac{a}{4} + 1} + \frac{b}{2} + 2 \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – 3} \\
{b = – 3} \\
{a = – 3}
\end{array}} \right.} \right.$.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} – bx – 2}}{{4{x^3} – 3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ – 12{x^2} + 12x – 3}}{{{{(2x – 1)}^2}(x + 1)\left( {\sqrt { – 3{x^2} + 1} – 3x + 2} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ – 3}}{{(x + 1)\left( {\sqrt { – 3{x^2} + 1} – 3x + 2} \right)}} = \frac{{ – 3}}{{\frac{3}{2}}} = – 2 = \frac{c}{2} \Rightarrow c = – 4$.

Vậy $S = abc = – 3( – 3)( – 4) = – 36$.

Câu 49. Tìm $a$ để hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}}&{x \ne 1} \\
a&{{\text{ khi }}}&{x = 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

A. $a = 1$.

B. $a = 0$.

C. $a = 2$.

D. $a = – 1$.

Lời giải

Chọn C

Tập xác định $D = R$.

$f(1) = a$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2$.

$f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow a = 2$.

Câu 50. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{1 – cosx}}{{{x^2}}}\,\,\,\,khi\,x \ne 0 \hfill \\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. f(x) có đạo hàm tại x=0.

B. $f(\sqrt 2 ) < 0$.

C. f(x) liên tục tại x=0.

D. f(x) gián đoạn tại x=0.

Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$

Lời giải

Ta có f(0)=1 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{4 \cdot {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}$

Vì $f(0) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ nên f(x) gián đoạn tại x=0.

Do đó f(x) không có đạo hàm tại x=0.

$\forall x \ne 0\quad f(x) = \frac{{1 – \cos x}}{{{x^2}}} \geqslant 0$.

$f(\sqrt 2 ) > 0$

Vậy A, B,C sai.

Câu 51. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – x\cos x,x < 0} \\
{\frac{{{x^2}}}{{1 + x}},0 \leqslant x < 1.{\text{ }}} \\
{{x^3},x \geqslant 1}
\end{array}} \right.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số $f(x)$ liên tục tại mọi điểm $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

B. Hàm số $f(x)$ bị gián đoạn tại điểm $x = 0$.

C. Hàm số $f(x)$ bị gián đoạn tại điểm $x = 1$.

D. Hàm số $f(x)$ bị gián đoạn tại điểm $x = 0$ và $x = 1$.

Lời giải

$f(x)$ liên tục tại $x \ne 0$ và $x \ne 1$.

* Tại $x = 0$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} ( – x\cos x) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{1 + x}} = 0,f(0) = 0$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0)$.

Hàm số liên tục tại $x = 0$.

* Tại $x = 1$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2}}}{{1 + x}} = \frac{1}{2},\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^3} = 1.$
Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$.

Hàm số gián đoạn tại $x = 1$.

Câu 52. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} + x – 2}}{{x – 1}}}&{{\text{ khi }}x \ne 1} \\
{3m}&{{\text{ khi }}x = 1}
\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số gián đoạn tại $x = 1$.

A. $m \ne 2$.

B. $m \ne 1$.

C. $m \ne 2$.

D. $m \ne 3$.

Lời giải

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Hàm số gián đoạn tại $x = 1$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x – 2}}{{x – 1}} \ne 3m$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(x + 2)}}{{x – 1}} \ne 3m \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 2) \ne 3m \Leftrightarrow 3 \ne 3m \Leftrightarrow m \ne 1$.