Các Dạng Toán Về Giới Hạn Của Dãy Số Giải Chi Tiết

Các dạng toán về giới hạn của dãy số giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Định nghĩa 1: Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là 0 khi $n$ dần tới dương vô cực, nếu $\left| {{u_n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kỉ hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$ hay ${u_n} \to 0$ khi $n \to + \infty $.

Chú ý: Tữ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau:

– $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k$ là một số nguyên dương;

– $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0$ nếu $|q| < 1$;

– Nếu $\left| {{u_n}} \right| \leqslant {v_n}$ với mọi $n \geqslant 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$.

Định nghĩa 2: Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là số thực a khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} – a} \right) = 0$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a$ hay ${u_n} \to a$ khi $n \to + \infty $.

2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

a) Nếu $\lim {u_n} = a$ và $\lim {v_n} = b$ thì

$\mathop { \bullet \lim }\limits_{} \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a\, + b$ $\mathop { \bullet \lim }\limits_{} \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = a\, – b$

$ \bullet \lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b$ $ \bullet \lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = \frac{a}{b}$ (nếu $b \ne 0$).

b) Nếu $\left\{ \begin{gathered}
\lim {u_n} = a \hfill \\
{u_n} \geqslant 0,\,\forall n \hfill \\
\end{gathered} \right.$ thì $\left\{ \begin{gathered}
\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \hfill \\
a \geqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \right..$

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$, với $\left| q \right| < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$\boxed{S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + \ldots + {u_n} + \ldots = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\,\,\,\,\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right).}$

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

$ \bullet $ Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là $ + \infty $ khi$n \to + \infty $, nếu ${u_n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{} {\mkern 1mu} {u_n} = + \infty $ hay ${u_n} \to + \infty $ khi $n \to + \infty .$

$ \bullet $ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là $ – \infty $ khi $n \to + \infty $, nếu $\mathop {\lim }\limits_{} {\mkern 1mu} \left( { – {u_n}} \right) = + \infty $.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{} {\mkern 1mu} {u_n} = – \infty $ hay ${u_n} \to – \infty $ khi $n \to + \infty .$

Nhận xét: $\lim {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{} {\mkern 1mu} \left( { – {u_n}} \right) = – \infty .$

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) $\lim {n^k} = + \infty $ với $k$ nguyên dương;

b) $\lim {q^n} = + \infty {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} $nếu $q > 1$.

Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây:

a) Nếu $\lim {u_n} = a\;$ và $lim{v_n} = \pm \infty $ thì$\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0$.

b) Nếu $\lim {u_n} = a\; > 0$, $lim{v_n} = 0$ và ${v_n} > 0,\forall n > 0$ thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty .$

c) Nếu $\lim {u_n} = + \infty $ và $\lim {v_n} = a > 0$ thì $\lim {\mkern 1mu} {u_n}.{v_n} = + \infty .$
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ
1. Phương pháp
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của ${n^k}$, với $k$ là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn.

Chú ý : Cho $P\left( n \right),\,\,Q\left( n \right)$ lần lượt là các đa thức bậc $m,\,\,k$ theo biến $n:$

$\begin{gathered}
P\left( x \right) = {a_m}{n^m} + {a_{m – 1}}{n^{m – 1}} + \cdots + {a_1}n + {a_0}\,\left( {{a_m}\not = 0} \right) \hfill \\
Q\left( n \right) = {b_k}{n^k} + {b_{k – 1}}{n^{k – 1}} + \cdots + {b_1}n + {b_0}\,\,\left( {{b_k}\not = 0} \right) \hfill \\
\end{gathered} $

Khi đó $\lim \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} = \lim \frac{{{a_m}{n^m}}}{{{b_k}{n^k}}}$, viết tắt $\frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} \sim \frac{{{a_m}{n^m}}}{{{b_k}{n^k}}}$, ta có các trường hợp sau :

Nếu « bậc tử » $ < $ « bậc mẫu ($m < k$) thì $\lim \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} = 0.$

Nếu « bậc tử » $ = $ « bậc mẫu ($m = k$) thì $\lim \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} = \frac{{{a_m}}}{{{b_k}}}.$

Nếu « bậc tử » $ > $ « bậc mẫu ($m > k$) thì $\lim \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} = \left\{ \begin{gathered}
+ \infty \,\,\,khi\,\,{a_m}{b_k} > 0 \hfill \\
– \infty \,\,\,khi\,\,{a_m}{b_k} < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right..$

Để ý rằng nếu $P\left( n \right),\,\,Q\left( n \right)$ có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể $\sqrt[m]{{{n^k}}}$ tì có bậc là $\frac{k}{n}.$ Ví dụ $\sqrt n $ có bậc là $\frac{1}{2},\,\,\sqrt[3]{{{n^4}}}$ có bậc là $\frac{4}{3},…$

Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng !
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính $\lim \frac{{3{n^3} – 5{n^2} + 1}}{{2{n^3} + 6{n^2} + 4n + 5}}$.

Lời giải

$\lim \frac{{3{n^3} – 5{n^2} + 1}}{{2{n^3} + 6{n^2} + 4n + 5}} = \lim \frac{{3 – \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{2 + \frac{6}{n} + \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} = \frac{3}{2}$

Ví dụ 2: Tính $\lim \frac{{n + 2{n^2}}}{{{n^3} + 3n – 1}}$

Lời giải

Ta có $\lim \frac{{n + 2{n^2}}}{{{n^3} + 3n – 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{3}{{{n^2}}} – \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0.$

Giải nhanh : Dạng « bậc tử » $ < $ « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.

Ví dụ 3: Tính $\lim \frac{{{n^7} + {n^2}}}{{{n^3} + 3n – 1}}$

Lời giải

$\lim \frac{{{n^7} + {n^2}}}{{{n^3} + 3n – 1}} \approx \frac{{{n^7}}}{{{n^3}}} = {n^4} = + \infty $

Ví dụ 4: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n + b}}{{5n + 3}}$ trong đó $b$ là tham số thực. Để dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn, giá trị của $b$ bằng bào nhiêu

Lời giải

Ta có $\lim {u_n} = \lim \frac{{2n + b}}{{5n + 3}} = \lim \frac{{2 + \frac{b}{n}}}{{5 + \frac{3}{n}}} = \frac{2}{5}\,\,\left( {\forall b \in \mathbb{R}} \right)$

Giải nhanh : $\frac{{2n + b}}{{5n + 3}} \sim \frac{{2n}}{{5n}} = \frac{2}{5}$ với mọi $b \in \mathbb{R}.$

Ví dụ 5: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}}.$ Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $2$, giá trị của $a$ bằng bao nhiêu

Lời giải

$2 = \lim {u_n} = \lim \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}} = \lim \frac{{4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{5}{{{n^2}}}}} = \frac{4}{a}\,\,\left( {a\not = 0} \right) \Leftrightarrow a = 2.$

Giải nhanh : $2 \sim \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}} \sim \frac{{4{n^2}}}{{a{n^2}}} = \frac{4}{a} \Leftrightarrow a = 2.$

Ví dụ 6: Tính giới hạn $L = \lim \frac{{\left( {{n^2} + 2n} \right)\left( {2{n^3} + 1} \right)\left( {4n + 5} \right)}}{{\left( {{n^4} – 3n – 1} \right)\left( {3{n^2} – 7} \right)}}.$

Lời giải

$L = \lim \frac{{\left( {{n^2} + 2n} \right)\left( {2{n^3} + 1} \right)\left( {4n + 5} \right)}}{{\left( {{n^4} – 3n – 1} \right)\left( {3{n^2} – 7} \right)}} = \lim \frac{{\left( {1 + \frac{2}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)\left( {4 + \frac{5}{n}} \right)}}{{\left( {1 – \frac{3}{{{n^3}}} – \frac{1}{{{n^4}}}} \right)\left( {3 – \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{{1.2.4}}{{1.3}} = \frac{8}{3}.$

Giải nhanh: $\frac{{\left( {{n^2} + 2n} \right)\left( {2{n^3} + 1} \right)\left( {4n + 5} \right)}}{{\left( {{n^4} – 3n – 1} \right)\left( {3{n^2} – 7} \right)}} \sim \frac{{{n^2}.2{n^3}.4n}}{{{n^4}.3{n^2}}} = \frac{8}{3}.$
Dạng 2. Dãy số chứa căn thức
1. Phương pháp
Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.

• $A – B\,$ lượng liên hợp là $A + B$
• $\sqrt A – B$ lượng liên hợp là $\sqrt A + B$
• $\sqrt A – \sqrt B \,$ lượng liên hợp là $\sqrt A + \sqrt B \,$
• $\sqrt[3]{A} – B$ lượng liên hợp là $\left( {\sqrt[3]{{{A^2}}} + B\sqrt[3]{A} + {B^2}} \right)$
• $\sqrt[3]{A} + B\,\,$ lượng liên hợp là $\left( {\sqrt[3]{{{A^2}}} – B\sqrt[3]{A} + {B^2}} \right)$

2. Các ví dụ 
Ví dụ 1. Tính $\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 7} – \sqrt {{n^2} + 5} } \right)$

Lời giải

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 7} – \sqrt {{n^2} + 5} } \right) = \lim \frac{{{n^2} + 7 – {n^2} – 5}}{{\sqrt {{n^2} + 7} + \sqrt {{n^2} + 5} }} = \lim \frac{2}{{\sqrt {{n^2} + 7} + \sqrt {{n^2} + 5} }} = 0$

Ví dụ 2. Tính $\lim \left( {\sqrt {{n^2} – n + 1} – n} \right)$

Lời giải

. $\sqrt {{n^2} – n + 1} – n \sim \sqrt {{n^2}} – n = 0\xrightarrow[{}]{}$nhân lượng liên hợp :

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} – n + 1} – n} \right) = \lim \frac{{ – n + 1}}{{\sqrt {{n^2} – n + 1} + n}} = \lim \frac{{ – 1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 – \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = – \frac{1}{2}$

Giải nhanh : $\sqrt {{n^2} – n + 1} – n = \frac{{ – n + 1}}{{\sqrt {{n^2} – n + 1} + n}} \sim \frac{{ – n}}{{\sqrt {{n^2}} + n}} = – \frac{1}{2}.$

Ví dụ 3. Tính $\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + n} \right)$

Lời giải

$\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + n \sim \sqrt[3]{{ – {n^3}}} + n = 0\xrightarrow[{}]{}$nhân lượng liên hợp :

$\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + n} \right) = \lim \frac{{{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^2} – {n^3}} \right)}^2}}} – n\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + {n^2}}} = \lim \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{1}{n} – 1} \right)}^2}}} – \sqrt[3]{{\frac{1}{n} – 1}} + 1}} = \frac{1}{3}.$

Giải nhanh : $\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + n = \frac{{{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^2} – {n^3}} \right)}^2}}} – n\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + {n^2}}} \sim \frac{{{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{n^6}}} – n\sqrt[3]{{ – {n^3}}} + {n^2}}} = \frac{1}{3}.$

Ví dụ 4. Tính $\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right)} \right]$

Lời giải

$\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right) \sim \sqrt n \left( {\sqrt n – \sqrt n } \right) = 0\xrightarrow[{}]{}$nhân lượng liên hợp :

$\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right) = \lim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \lim \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{1}{2}$

Giải nhanh : $\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right) = \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \sim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n + \sqrt n }} = \frac{1}{2}.$

Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ
1. Phương pháp
Trong tính giới hạn $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ mà ${u_n};{v_n}$ là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho ${a^n}$ với a là cơ số lớn nhất. Sau đó sử dụng công thức: $\lim {q^n} = 0$ với $\left| q \right| < 1.$
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính $\lim \frac{{{3^n} – {{2.5}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}} + {5^n}}}$

Lời giải

Giải nhanh : $\frac{{{3^n} – {{2.5}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}} + {5^n}}}\sim\frac{{ – {{2.5}^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = – 10$

Cụ thể : $\lim \frac{{{3^n} – {{2.5}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}} + {5^n}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} – 10}}{{2.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 1}} = – 10.$

Ví dụ 2: Tính $\lim \frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}$

Lời giải

Giải nhanh : $\frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}\sim\frac{{{3^n}}}{{{4^n}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n}\xrightarrow[{}]{{}}0.$

Cụ thể : $\lim \frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} – 8.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} – 3.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} + 1}} = \frac{0}{1} = 0.$

Ví dụ 3: Tính $\lim \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}{2^{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}}$

Lời giải

Cách 1: Giải bằng tự luận

Ta có: $\lim \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}{2^{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}} = \lim {\left( { – 1} \right)^n}.\frac{2}{9}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0.$

Cách 2: Mẹo giải nhanh

$\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}{2^{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}} \sim {\left( { – 1} \right)^n}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{5n}} = 0.$

Ví dụ 4: Tính $\lim \frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}.$

Lời giải

Cách 1: Giải bằng tự luận

Ta có: $\frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} – 4.2{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} – \frac{3}{{{n^4}}}}}{{3.{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} + 1}}$ (chia tử và mẫu cho ${n^4}$).

Suy ra $\lim \frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \frac{0}{1} = 0.$

Cách 2: Mẹo giải nhanh

$\frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} \sim \frac{{{3^n}}}{{{4^n}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n} = 0.$

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ thuộc $\left( {0;20} \right)$ sao cho $\lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} – 1}}{{3 + {n^2}}} – \frac{1}{{{2^n}}}} $ là một số nguyên.

Lời giải

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
\lim \frac{{a{n^2} – 1}}{{3 + {n^2}}} = \lim \frac{{a – \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{3}{{{n^2}}} + 1}} = a \hfill \\
\lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} – 1}}{{3 + {n^2}}} – \frac{1}{{{2^n}}}} = \sqrt {3 + a} .$

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
a \in \left( {0;20} \right),\,\,a \in \mathbb{Z} \hfill \\
\sqrt {a + 3} \in \mathbb{Z} \hfill \\
\end{gathered} \right.\xrightarrow[{}]{}a \in \left\{ {1;6;13} \right\}.$

Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1. Phương pháp
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là $\left| q \right| < 1.$

• Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (u_n)

$S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + … = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$

• Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10

$X = N,{a_1}{a_2}{a_3}…{a_n}… = N + \frac{{{a_1}}}{{10}} + \frac{{{a_2}}}{{{{10}^2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{{10}^3}}} + … + \frac{{{a^n}}}{{{{10}^n}}} + …$
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $1,\,\, – \frac{1}{2},\,\,\frac{1}{4},\,\, – \frac{1}{8},…,{\left( { – \frac{1}{2}} \right)^{n – 1}},…$

Lời giải

Theo đề cho ta có: ${u_1} = 1,\,\,q = – \frac{1}{2}.$

$S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{2}{3}.$

Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn $a = 0,212121…$ (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số.

Lời giải

Cách 1: Giải bằng tự luận

Ta có: $a = 0,212121…$

$\begin{gathered}
= 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + … \hfill \\
= 21\left( {\frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^4}}} + \frac{1}{{{{10}^6}}} + …} \right) \hfill \\
\end{gathered} $

Tổng $S = \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^4}}} + \frac{1}{{{{10}^6}}} + …$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có ${u_1} = \frac{1}{{{{10}^2}}},\,\,q = \frac{1}{{{{10}^2}}}.$

$S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = \frac{{\frac{1}{{{{10}^2}}}}}{{1 – \frac{1}{{{{10}^2}}}}} = \frac{1}{{99}}.$ Do đó $A = 21.\frac{1}{{99}} = \frac{7}{{33}}.$

Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính

Nhập vào màn hình $0,\left( {21} \right)$ và ấn phím $\boxed = $ ta được kết quả $\frac{7}{{33}}.$

Ví dụ 3: Tổng ${S_n} = 1 + 0,9 + {\left( {0,9} \right)^2} + {\left( {0,9} \right)^3} + … + {\left( {0,9} \right)^{n – 1}} + …$ có kết quả bằng bao nhiêu?

Lời giải

$S = 1 + 0,9 + {\left( {0,9} \right)^2} + {\left( {0,9} \right)^3} + … + {\left( {0,9} \right)^{n – 1}} + …$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có ${u_1} = 1,\,\,q = 0,9.$

$S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = \frac{1}{{1 – 0,9}} = 10.$

Ví dụ 4: Cho $S = 1 + q + {q^2} + {q^3} + …,\,\,\left| q \right| < 1$

$\begin{gathered}
T = 1 + Q + {Q^2} + {Q^3} + …,\,\,\left| Q \right| < 1 \hfill \\
E = 1 + qQ + {q^2}{Q^2} + {q^3}{Q^3} + … \hfill \\
\end{gathered} $

Biểu thị biểu thức $E$theo $S,T$

Lời giải

• $S = 1 + q + {q^2} + {q^3} + …,\,\,\left| q \right| < 1$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có ${u_1} = 1,\,\,q = q.$

Khi đó: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = \frac{1}{{1 – q}} \Rightarrow q = \frac{{S – 1}}{S}.$ (1)

• Tương tự: $T = \frac{1}{{1 – Q}} \Rightarrow Q = \frac{{T – 1}}{T}.$ (2)

• $E = 1 + q.Q + {q^2}.{Q^2} + {q^3}.{Q^3} + …$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng công bội $qQ$ (vì $\left| {qQ} \right| < 1$, và ${u_1} = 1$).

$E = \frac{{{u_1}}}{{1 – qQ}}$ (3)

Thay (1), (2) vào (3): $E = \frac{{{u_1}}}{{1 – \frac{{T – 1}}{T}.\frac{{S – 1}}{S}}} \Rightarrow E = \frac{{ST}}{{S + T – 1}}.$

Ví dụ 5: Tìm số hạng ${U_1}$ của cấp số nhân lùi vô hạn, biết $S = 4;\,\,q = \frac{1}{2}.$

Lời giải

Ta có: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right) \Rightarrow 4 – \frac{{{u_1}}}{{1 – \frac{1}{2}}} \Rightarrow {u_1} = 2.$

Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết $S = – 6;\,\,{U_1} = – 3.$

Lời giải

Ta có: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right) \Rightarrow – 6 = \frac{{ – 3}}{{1 – q}} \Rightarrow q = \frac{1}{2}.$

Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn

1. Phương pháp

1) Dạng tồng các phân số.

Ví Dụ: $A = \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}},n \geqslant 2,n \in N$

Ta phân tích : $\frac{1}{{k(k + 1)}} = \frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}$.(1)

Để tính $A$ ta thay $k$ từ $2,3,,n$ vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng

2) Dạng tích các phân số:

Ví dụ: $B = \frac{{{2^2} – 1}}{{{2^2}}} \cdot \frac{{{3^2} – 1}}{{{3^2}}} \ldots ,n \geqslant 2,n \in N$

Ta phân tích: $\frac{{{k^2} – 1}}{{{k^2}}} = \frac{{k – 1}}{k}:\frac{k}{{k + 1}}.(2)$

Để tính $B$ ta thay $k$ từ $2,3,,n$ vào biểu thức $(2)$ ta tính dễ dàng

3) Dạng đa thức:

a) Mỗi đơn thức ở dạng tích:

Ví dụ: $C = 1.2.3 + 2.3.4 + \ldots 99.100.101$

Ta tách:

$4k(k + 1)(k + 2):4 = k(k + 1)(k + 2)[(k + 3) – (k – 1)]\quad ,k \geqslant 1,k \in N$ $ = ( – (k – 1)k(k + 1)(k + 2) + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)):4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (3)$

Để tính $C$ ta thay $k$ từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính được dễ dàng

Ví dụ: $D = 3.5.7 + 5.7.9 + \ldots + (2n + 1)(2n + 3)(2n + 5),n \geqslant 1,n \in N$

Ta tách: $(2k + 1)(2k + 3)(2k + 5) = (2k + 1)(2k + 3)(2k + 5)[(2k + 7) – (2k + 1)]:8$

$ = ((2k + 1)(2k + 3)(2k + 5)(2k + 7) – (2k – 1)(2k + 1)(2k + 3)$$(2k + 5)):8{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (4)$

Đề tính $D$ ta thay $k$ từ : $1,2,3,,n$ vào biều thức (4) ta tính dễ dàng

4 ) Đơn thức dạng lũy thừa

Ví Dụ: Tính $E = {1^3} + {2^3} + \ldots + {n^3},\quad n \in N.n \geqslant 1$

Ta dùng hẳng đẳng thức : ${(x + 1)^3} = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1$.

$x = 1\quad {2^3} = {1^3} \ldots + {3.1^2} + 3.1 + 1$

$x = 2\quad {3^3} = {2^3} \cdot + 3 \cdot {2^2} + 3 \cdot 2 + 1$

…

$x = n\quad {(n + 1)^3} = {n^3} \ldots + 3 \cdot {n^2} + 3 \cdot n + 1$

Cộng vế theo vế

${(n + 1)^3} – {1^3} = 3\left( {{1^2} + {2^2} + \ldots + {n^2}} \right) + 3(1 + 2 + 3 + \ldots \ldots n) + n$

${n^3} + 3{n^2} + 3n = 3E + \frac{{3n(n + 1)}}{2} + n$

$3E = {n^3} + 3{n^2} + 3n – \left( {\frac{{3 \cdot n(n + 1)}}{2} + n} \right)$$ = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{2}$

$ \Rightarrow $$E = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

Ngoài ra ta có thể dự đoán được số hạng tổng quát, có thể kết hợp quy nạp để khẳng đinh.

Có thể ùng vòng lặp MTCT để giải quyết các bài toán này.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho ${u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + … + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}$. Tính $\lim {u_n}$

Lời giải

Ta luôn có: $\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}$ áp dụng vào ${u_n}:$

• ${u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}$

$ = \left( {\frac{1}{1} – \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{4}} \right) + … + \left( {\frac{1}{n} – \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1 – \frac{1}{{n + 1}}$

Do đó: $\lim {u_n} = \lim \left( {1 – \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.$

Ví dụ 2: Cho ${u_n} = \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + \frac{1}{{7.9}} + … + \frac{1}{{\left( {2n – 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}.$ Tính $\lim {u_n}$

Lời giải

Ta luôn có: $\frac{1}{{\left( {2k – 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2k – 1}} – \frac{1}{{2k + 1}}} \right).$

${u_n} = \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + \frac{1}{{7.9}} + … + \frac{1}{{\left( {2n – 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}$
$ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{5}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{5} – \frac{1}{7}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{7} – \frac{1}{9}} \right) + … + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2n – 1}} – \frac{1}{{2n + 1}}} \right)$
$ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{{2n + 1}}} \right).$

Do đó $\lim {u_n} = \lim \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{6}.$

Ví dụ 3: $\lim \frac{{1 + 2 + 3 + … + n}}{{2{n^2}}}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Vì $1 + 2 + 3 + … + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ nên: $\lim \frac{{1 + 2 + 3 + … + n}}{{2{n^2}}} = \lim \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{4{n^2}}} = \frac{1}{4}.$

Ví dụ 4: Tính giới hạn: $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$

Lời giải

Ta có: $\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{{2^2} – 1}}{{{2^2}}}.\frac{{{3^2} – 1}}{{{3^2}}}…\frac{{{n^2} – 1}}{{{n^2}}}$

$ = \frac{{\left( {2 + 1} \right).\left( {2 – 1} \right).\left( {3 + 1} \right).\left( {3 – 1} \right)…\left( {n + 1} \right)\left( {n – 1} \right)}}{{{2^2}{{.3}^2}…{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$

Vậy $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \frac{1}{2}.$

Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy: $\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = 2 \hfill \\
{U_{n + 1}} = \frac{{{U_n} + 1}}{2};\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \hfill \\
\end{gathered} \right..$

Lời giải

Cách 1: Giải bằng tự luận

Ta chứng minh dãy $\left( {{U_n}} \right)$ là bị chặn: $1 < {U_n} \leqslant 2.$

Dãy $\left( {{U_n}} \right)$ là dãy giảm.

Thật vậy ta xét ${U_{k + 1}} < {U_k} \Leftrightarrow \frac{{{U_n} + 1}}{2} < {U_k}$$ \Leftrightarrow 2{U_k} > {U_k} + 1 \Leftrightarrow {U_k} > 1$ (đúng).

Vậy dãy $\left( {{U_n}} \right)$ có giới hạn. Đặt $\lim {U_n} = a$.

Ta có: $\lim \left( {{U_{n + 1}}} \right) = \lim \left( {\frac{{{U_n} + 1}}{2}} \right)$ hay $a = \frac{{a + 1}}{2} \Leftrightarrow a = 1.$

Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính

Khai báo: $1 \to X${biến đếm}; $2 \to A$ {giá trị ${u_1}$ }

Ghi vào màn hình: $X = X + 1:A = \frac{{A + 1}}{2}$

Ấn $\boxed{CALC}$ và lặp lại phím $\boxed = $, quan sát ta thấy dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1. Vậy $\lim {U_n} = 1.$

Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy: $\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = \sqrt 2 \hfill \\
{U_{n + 1}} = \sqrt {2 + {U_n}} ;\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \hfill \\
\end{gathered} \right..$

Lời giải

Cách 1: Giải bằng tự luận

Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn: $\sqrt 2 \leqslant {U_n} < 2$ (bằng phương pháp quy nạp).

• ${U_1} = \sqrt 3 $ (đúng).

• Giả sử ${U_k} \geqslant \sqrt 2 ,\,\,\forall k \geqslant 1.$

Ta có: ${U_{k + 1}} = \sqrt {2 + {U_k}} \geqslant \sqrt {2 + \sqrt 2 } > \sqrt 2 \,\,\left( {\forall k \geqslant 1} \right).$

Vậy ${U_k} \geqslant \sqrt 2 \,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Tương tự: ${U_n} < 2\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$ Ta chứng minh dãy $\left( {{U_n}} \right)$ là dãy tăng (bằng phương pháp quy nạp).

+ ${U_1} = \sqrt 2 ;\,\,{U_2} = \sqrt {2 + \sqrt 2 } \Rightarrow {U_1} < {U_2}.$

+ Giả sử ${U_{k – 1}} < {U_k}\,\,\forall k \geqslant 2$. Ta xét ${U_k} < {U_{k + 1}};\,\,\forall k \in {\mathbb{N}^*}$

$ \Leftrightarrow {U_k} < \sqrt {2 + {U_m}} \Leftrightarrow U_k^2 < 2 + {U_k} \Leftrightarrow U_k^2 – {U_k} – 2 < 0$

$ \Leftrightarrow – 1 < {U_k} < 2$ (luôn đúng vì $\sqrt 2 < {U_k} < 2,\,\,\forall k \in {\mathbb{N}^*}$)

Vậy dãy $\left( {{U_n}} \right)$ tăng; bị chặn trên nên có giới hạn, gọi $a = \lim {U_n} = \lim {U_{n + 1}}$.

Ta có: $\lim {U_n} = \sqrt {2 + Lim{U_n}} \Leftrightarrow a = \sqrt {2 + a} \Leftrightarrow {a^2} = 2 + a$

$ \Leftrightarrow {a^2} – a – 2 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
a = 2 \,(nhận)\, \hfill \\
a = – 1 \,(loại)\, \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính

Khai báo: $1 \to X${biến đếm}; $\sqrt 2 \to A$ {giá trị ${u_1}$ }

Ghi vào màn hình: $X = X + 1:A = \sqrt {2 + A} $

Ấn $\boxed{CALC}$ và lặp lại phím $\boxed = $, quan sát ta thấy dãy tăng và bị chặn dưới bởi 2. Vậy $\lim {U_n} = 2.$

Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy: $\left\{ \begin{gathered}
{U_1} = 3 \hfill \\
{U_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{U_n} + \frac{3}{{{U_n}}}} \right);\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \hfill \\
\end{gathered} \right..$

Lời giải

Ta có: ${U_n} > 0,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: ${U_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{U_n} + \frac{3}{{{U_n}}}} \right) \geqslant \sqrt 3 ,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Vậy $\left( {{U_n}} \right)$ là dãy bị chặn dưới.

Vì ${U_n} \geqslant \sqrt 3 \Rightarrow U_n^2 \geqslant 3 \Rightarrow {U_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{U_n} + \frac{3}{{{U_n}}}} \right) \leqslant \frac{1}{2}\left( {{U_n} + \frac{{U_n^2}}{{{U_n}}}} \right)$

$ = \frac{1}{2}\left( {{U_n} + {U_n}} \right) = {U_n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Dãy đã cho là giảm.
Vậy dãy có giới hạn. Đặt $\lim {U_{n + 1}} = \lim {U_n} = a.$

Ta có: $\lim {U_n} = \lim \left[ {\frac{1}{2}\left( {{U_n} + \frac{3}{{{U_n}}}} \right)} \right]$

$ \Rightarrow a = \frac{1}{2}\left( {a + \frac{3}{a}} \right) \Rightarrow {a^2} = 3 \Rightarrow a = \sqrt 3 .$