Đề Kiểm Tra Cuối Học Kỳ 1 Toán 11 Cánh Diều Giải Chi Tiết-Đề 4

Đề kiểm tra cuối học kỳ 1 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 4 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = cotx$. B. $y = cosx$. C. $y = sinx$. D. $y = tanx$.

Câu 2: Phương trình nào sau đây có nghiệm?

A. $sinx = \frac{1}{2}$. B. $cosx = 2$. C. $sinx = \pi $. D. $cosx = – 2$.

Câu 3: Hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ là hàm số tuần hoàn có chu kì $T$là ?

A. $T = 2\pi $ B. $T = \pi $. C. $T = \frac{\pi }{2}$. D. $T = 4\pi $.

Câu 4: Tập giá trị của hàm số $y = si{n^4}x + co{s^4}x$ là đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Tính $P = a + b$

A. $\frac{1}{2}$. B. 1 . C. $\frac{3}{2}$. D. $ – \frac{1}{2}$.

Câu 5: Phương trình $\left( {cosx – 2} \right)\left( {sinx – 1} \right) = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$ ?

A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm

Câu 6: Cho $\sin x = – \frac{1}{5}$. Tính $cos2x$.

A. $cos2x = \frac{{24}}{{25}}$. B. $cos2x = \frac{{23}}{{25}}$. C. $cos2x = \frac{{19}}{{25}}$ D. $cos2x = \frac{{17}}{{25}}$

Câu 7: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 3;{u_8} = 18$. Công sai của cấp số cộng đó là

A. $d = 3$. B. $d = – 3$. C. $d = 2$. D. $d = – 2$.

Câu 8: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và công bội $q = – 2$. Giá trị của ${u_3}$ bằng

A. 12 . B. -12 . C. 1 . D. $\frac{3}{4}$.

Câu 9: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng tổng quát là ${u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1$.

B. Dãy số là cấp số cộng có công sai $d = \frac{1}{3}$.

C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 3$.

D. Dãy số là cấp số nhân có công bội $q = \frac{1}{3}$.

Câu 10: Cho dãy $\left( {{u_n}} \right)$ có $lim{u_n} = 2023$, dãy $\left( {{v_n}} \right)$ có $lim{v_n} = – 1$. Khi đó $lim\left( {{u_n} \cdot {v_n}} \right)$ bằng

A. -2023 . B. 2022 . C. 2023 . D. 2024 .

Câu 11: Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ có $lim\left( {{u_n}} \right) = a,lim\left( {{v_n}} \right) = b$, với $a,b,k$ là các số thực tùy ý. Chon mệnh đề sai trong các mệnh đề sau :

A. $limk = k$. B. $lim\left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b$. C. $lim\left( {k \cdot {u_n}} \right) = ka$. D. $lim{k^n} = + \infty $.

Câu 12: Tính $L = lim\frac{{2024n – 1}}{{2023{n^3} + 3}}$

A. $L = – \frac{1}{3}$. B. $L = + \infty $. C. $L = 0$. D. $L = 1$.

Câu 13: Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} – 2x + 1} \right)$ bằng

A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 .

Câu 14: Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ bằng

A. 2 . B. $ + \infty $. C. -2 . D. $ – \infty $.

Câu 15: Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 3x – 1}}{{2x + 2}}$ bằng

A. $\frac{{ – 3}}{2}$. B. $\frac{3}{2}$. C. $\frac{{ – 1}}{2}$. D. $ + \infty $.

Câu 16: Hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ liên tục trên khoảng nào sau đây.

A. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$. B. $\left( { – \infty ;2} \right)$. C. $\left( {1; + \infty } \right)$. D. $\left( { – \infty ;1} \right)$.

Câu 17: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm ${x_0} = 1$.

A. $y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)$ B. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. C. $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$. D. $y = \frac{x}{{x – 1}}$.

Câu 18: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $SA//\left( {SBC} \right)$. B. $SD//\left( {SBC} \right)$. C. $BC//\left( {SAD} \right)$. D. $SC//\left( {ABD} \right)$.

Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ hỏi mệnh đề nào sau đây đúng

A. $AB//AA’$. B. $AB//\left( {A’B’C’} \right)$. C. $AB//\left( {ABB’A’} \right)$. D. $BC//\left( {ACC’A’} \right)$.

Câu 20: Cho một hình hộp, hỏi mệnh đề nào sau đây luôn đúng

Theo tính chất hình hộp ta có hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

A. Các cạnh của hình hộp đều bằng nhau.

B. Các mặt bên của hình hộp đều là hình vuông.

C. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

D. Hình hộp không là hình lăng trụ.

Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

B. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

C. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

D. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.

Câu 22: Cho cấp số cộng có tổng $n$ số hạng đầu là ${S_n} = 3{n^2} + 4n,n \in {\mathbb{N}^*}$. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là

A. ${u_{10}} = 55$. B. ${u_{10}} = 67$. C. ${u_{10}} = 59$. D. ${u_{10}} = 61$.

Câu 23: Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_2} = 2$ và ${u_5} = 16$

A. ${u_1} = 2;q = 2$. B. ${u_1} = 2;q = 1$. C. ${u_1} = – 2;q = – 1$. D. ${u_1} = 1;q = 2$.

Câu 24: Biết rằng $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 1}}{{\sqrt x – 1}}}&{\;khi\;x \ne 1} \\
a&{\;khi\;x = 1}
\end{array}} \right.$
liên tục trên đoạn [0;1] (với $a$ là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị $a$ là đúng?

A. $a$ là một số nguyên. B. $a$ là một số vô tỉ.

C. $a > 5$. D. $a < 0$.

Câu 25: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận $mp\left( \alpha \right)//mp\left( \beta \right)$ ?

A. $\left( \alpha \right)//\left( \gamma \right)$ và $\left( \beta \right)//\left( \gamma \right)(\left( \gamma \right)$ là mặt phẳng nào đó $)$.

B. $\left( \alpha \right)//a$ và $\left( \alpha \right)//b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt thuộc $\left( \beta \right)$.

C. $\left( \alpha \right)//a$ và $\left( \alpha \right)//b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với $\left( \beta \right)$.

D. $\left( \alpha \right)//a$ và $\left( \alpha \right)//b$ với $a,b$ là hai đường thẳng cắt nhau thuộc $\left( \beta \right)$.

Câu 26: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm. $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $CD$. Đường thẳng $IJ$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( {SAC} \right)$. B. $\left( {SCD} \right)$. C. $\left( {SAB} \right)$. D. $\left( {SAD} \right)$.

Câu 27: Trong các hình sau hình nào biểu diễn cho một hình hộp có đáy là hình bình hành?

A. Hình b. B. Hình a C. Cả hình a và $b$. D. Không có hình nào.

Câu 28: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_1} = 1,{u_{n + 1}} = 3{u_n} + 2n – 1$. Tính ${u_{15}}$.

A. 9565923 . B. 28697799 . C. 9565938 . D. 28697814 .

Câu 29: Cho hình chóp $S.ABC$, gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $BC//\left( {SMN} \right)$. B. $BC//\left( {AMN} \right)$. C. $MN/\left( {SAB} \right)$. D. $BC//\left( {SMC} \right)$.

Câu 30: Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Mặt phẳng $\left( {ABA’} \right)$ song song với

A. $\left( {AA’C’} \right)$. B. $\left( {CC’D’} \right)$. C. $\left( {ADD’} \right)$. D. $\left( {BB’A’} \right)$.

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a \in \left( { – 10;10} \right)$ sao cho $lim\left( {5n – 3\left( {{a^2} – 2} \right){n^3}} \right) = – \infty $ ?

A. 16 . B. 3 . C. 5 . D. 10.

Câu 32: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$, $SBC$ và $SAC$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\left( {IJK} \right)//\left( {SAB} \right)$. B. $\left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)$. C. $\left( {IJK} \right)//\left( {SDC} \right)$. D. $\left( {IJK} \right)//\left( {SBC} \right)$

Câu 33: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 6x + 5}}{{\sqrt {x + 4} – 3}}}&{\;khi\;x > 5} \\
{4x + {m^2} + 3m}&{\;khi\;x \leqslant 5}
\end{array}} \right.$. Với giá trị nguyên dương nào của tham số $m$ thì hàm số có giới hạn tại $x = 5$.

A. $m = 1$. B. $m = 4$. C. $m = 3$ D. $m = 2$.

Câu 34: Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\sqrt {x + 2025} – 45}}{x}\,khi\,x > 0} \\
{\frac{{7x + a}}{{180}}\,khi\,x \leqslant 0}
\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của $a$ để hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 0$.

A. $a = 3$. B. $a = 1$. C. $a = 2$. D. $a = \frac{1}{2}$.

Câu 35: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Các điểm $M,N,P$ lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng $SA,AB,CD$ như hình vẽ. Đường thẳng nào sau đây không song song với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ ?

A. Đường thẳng $SB$. B. Đường thẳng $SD$. C. Đường thẳng $AD$. D. Đường thẳng $BC$.

II. TỰ LUẬN

Câu 36: Giải phương trình: $(sinx + 1)(2cosx – 1) = 0$

Câu 37: Hùng đang tiết kiệm để mua một cây đàn piano có giá 142 triệu đồng. Trong tháng đầu tiên, anh ta để dành được 20 triệu đồng. Mỗi tháng tiếp theo anh ta để dành được 3 triệu đồng và đưa số tiền tiết kiệm của mình. Hỏi ít nhất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó?

Câu 38: Tìm $m$ để tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ với $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {x + 3} – 2\sqrt x }}{{x – 1}}}&{ khi x > 1} \\
{mx – 2}&{ khi x \leqslant 1}
\end{array}} \right.$

Câu 39: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và tam giác $SAB$ là tam giác đều. Một điểm $M$ di động trên cạnh $BC$ sao cho $BM = x,(x < a)$.

a) Chứng minh $CD$ song song với $\left( {SAB} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $M$ và song song với $SA$ và $CD$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tính theo $a$ và $x$ là ?

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

1.B	2.A	3.D	4.C	5.A
6.B	7.A	8.A	9.D	10.A
11.D	12.C	13.B	14.D	15.A
16.D	17.D	18.C	19.B	20.C
21.D	22.D	23.D	24.A	25.D
26.D	27.A	28.A	29.A	30.B
31.A	32.A	33.A	34.C	35.B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = cotx$.

B. $y = cosx$.

C. $y = sinx$.

D. $y = tanx$.

Lời giải

Hàm số $y = cosx$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và $cos\left( { – x} \right) = cosx,\forall x \in \mathbb{R}$ nên là hàm số chẵn.

Câu 2: Phương trình nào sau đây có nghiệm?

A. $sinx = \frac{1}{2}$.

B. $cosx = 2$.

C. $sinx = \pi $.

D. $cosx = – 2$.

Lời giải

Phương trình $sinx = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left| m \right| \leqslant 1$ nên phương trình có nghiệm là $sinx = \frac{1}{2}$

Câu 3: Hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ là hàm số tuần hoàn có chu kì $T$là ?

A. $T = 2\pi $

B. $T = \pi $.

C. $T = \frac{\pi }{2}$.

D. $T = 4\pi $.

Lời giải

Hàm số $y = A\sin \left( {ax + b} \right)$ là hàm số tuần hoàn có chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}$

Nên àm số $y = \sin \frac{x}{2}$ là hàm số tuần hoàn có chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| {\frac{1}{2}} \right|}} = 4\pi $

Câu 4: Tập giá trị của hàm số $y = si{n^4}x + co{s^4}x$ là đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Tính $P = a + b$

A. $\frac{1}{2}$.

B. 1 .

C. $\frac{3}{2}$.

D. $ – \frac{1}{2}$.

Lời giải

$si{n^4}x + co{s^4}x = {\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right)^2} – 2si{n^2}x \cdot co{s^2}x = 1 – \frac{1}{2}si{n^2}2x$

Ta có: $0 \leqslant si{n^2}2x \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leqslant 1 – \frac{1}{2}si{n^2}2x \leqslant 1\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} y = 1$và $\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} y = \frac{1}{2}$.

Tập giá trị của hàm số là $\left[ {\frac{1}{2};1} \right]$ do đó $P = a + b = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

Câu 5: Phương trình $\left( {cosx – 2} \right)\left( {sinx – 1} \right) = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$ ?

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Lời giải

Ta có: $\left( {cosx – 2} \right)\left( {sinx – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{cosx – 2 = 0\left( {vn} \right)} \\
{sinx – 1 = 0}
\end{array}} \right.$.

$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $

Ta có: $x \in \left( {0;2\pi } \right)$nên $0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 2\pi \Rightarrow k = 0$

Từ đó suy ra phương trình có 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$.

Câu 6: Cho $\sin x = – \frac{1}{5}$. Tính $cos2x$.

A. $cos2x = \frac{{24}}{{25}}$.

B. $cos2x = \frac{{23}}{{25}}$.

C. $cos2x = \frac{{19}}{{25}}$

D. $cos2x = \frac{{17}}{{25}}$

Lời giải

Ta có: $cos2x = 1 – 2{\sin ^2}x = 1 – 2.{\left( { – \frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{23}}{{25}}$

Câu 7: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 3;{u_8} = 18$. Công sai của cấp số cộng đó là

A. $d = 3$.

B. $d = – 3$.

C. $d = 2$.

D. $d = – 2$.

Lời giải

Ta có ${u_8} = {u_1} + 7d \Leftrightarrow 18 = – 3 + 7d \Leftrightarrow d = 3$, nên cấp số cộng có công sai $d = 3$.

Câu 8: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và công bội $q = – 2$. Giá trị của ${u_3}$ bằng

A. 12 .

B. -12 .

C. 1 .

D. $\frac{3}{4}$.

Lời giải

Ta có: ${u_3} = {u_1} \cdot {q^2} = 3 \cdot {( – 2)^2} = 12$.

Câu 9: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng tổng quát là ${u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1$.

B. Dãy số là cấp số cộng có công sai $d = \frac{1}{3}$.

C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 3$.

D. Dãy số là cấp số nhân có công bội $q = \frac{1}{3}$.

Lời giải

Ta có: $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{3}$ và $q = \frac{1}{3}$

Câu 10: Cho dãy $\left( {{u_n}} \right)$ có $lim{u_n} = 2023$, dãy $\left( {{v_n}} \right)$ có $lim{v_n} = – 1$. Khi đó $lim\left( {{u_n} \cdot {v_n}} \right)$ bằng

A. -2023 .

B. 2022 .

C. 2023 .

D. 2024 .

Lời giải

Nếu $lim{u_n} = a,lim{v_n} = b$ thì $lim\left( {{u_n} \cdot {v_n}} \right) = a.b$.

Do đó $lim\left( {{u_n} \cdot {v_n}} \right) = 2023 \cdot \left( { – 1} \right) = – 2023$.

Câu 11: Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ có $lim\left( {{u_n}} \right) = a,lim\left( {{v_n}} \right) = b$, với $a,b,k$ là các số thực tùy ý. Chon mệnh đề sai trong các mệnh đề sau :

A. $limk = k$.

B. $lim\left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b$.

C. $lim\left( {k \cdot {u_n}} \right) = ka$.

D. $lim{k^n} = + \infty $.

Lời giải

Ta có $lim{k^n} = + \infty $ nếu $k > 1$ và $lim{k^n} = 0$ nếu $\left| k \right| < 1$.

Câu 12: Tính $L = lim\frac{{2024n – 1}}{{2023{n^3} + 3}}$

A. $L = – \frac{1}{3}$.

B. $L = + \infty $.

C. $L = 0$.

D. $L = 1$.

Lời giải

Ta có: $L = lim\frac{{2024n – 1}}{{2023{n^3} + 3}} = lim\frac{{{n^3}\left( {\frac{{2024}}{{{n^2}}} – \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {2023 + \frac{3}{{{n^3}}}} \right)}} = lim\frac{{\frac{{2024}}{{{n^2}}} – \frac{1}{{{n^3}}}}}{{2023 + \frac{3}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{{2023}} = 0$

Câu 13: Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} – 2x + 1} \right)$ bằng

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 0 .

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} – 2x + 1} \right) = 2$

Câu 14: Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ bằng

A. 2 .

B. $ + \infty $.

C. -2 .

D. $ – \infty $.

Lời giải

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (2x + 1) = 3 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (x – 1) = 0,x – 1 < 0$ khi $x \to {1^ – }$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = – \infty $

Câu 15: Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 3x – 1}}{{2x + 2}}$ bằng

A. $\frac{{ – 3}}{2}$.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $\frac{{ – 1}}{2}$.

D. $ + \infty $.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 3x – 1}}{{2x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 3 – \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{2}{x}}} = \frac{{ – 3}}{2}$.

Câu 16: Hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ liên tục trên khoảng nào sau đây.

A. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ;2} \right)$.

C. $\left( {1; + \infty } \right)$.

D. $\left( { – \infty ;1} \right)$.

Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số: ${x^2} – 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 1} \\
{x \ne 2}
\end{array}} \right.$

Hàm số có tập xác định $D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { – \infty ;1} \right);\left( {1;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

Câu 17: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm ${x_0} = 1$.

A. $y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)$

B. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$.

C. $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$.

D. $y = \frac{x}{{x – 1}}$.

Lời giải

Ta có hàm số $y = \frac{x}{{x – 1}}$ không xác định tại ${x_0} = 1$ nên hàm số gián đoạn tại ${x_0} = 1$.

Câu 18: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $SA//\left( {SBC} \right)$.

B. $SD//\left( {SBC} \right)$.

C. $BC//\left( {SAD} \right)$.

D. $SC//\left( {ABD} \right)$.

Lời giải

Ta có: $BC//AD$ (do $ABCD$ là hình bình hành).

Mà $AD \subset \left( {SAD} \right),BC \not\subset \left( {SAD} \right)$ nên $BC//\left( {SAD} \right)$.

Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ hỏi mệnh đề nào sau đây đúng

A. $AB//AA’$.

B. $AB//\left( {A’B’C’} \right)$.

C. $AB//\left( {ABB’A’} \right)$.

D. $BC//\left( {ACC’A’} \right)$.

Lời giải

Ta có $AB//A’B’$ và $A’B’ \subset \left( {A’B’C’} \right),AB \not\subset \left( {A’B’C’} \right)$ suy ra $AB//\left( {A’B’C’} \right)$

Câu 20: Cho một hình hộp, hỏi mệnh đề nào sau đây luôn đúng

A. Các cạnh của hình hộp đều bằng nhau.

B. Các mặt bên của hình hộp đều là hình vuông.

C. Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

D. Hình hộp không là hình lăng trụ.

Lời giải

Theo tính chất hình hộp ta có hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

B. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

C. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

D. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.

Lời giải

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Câu 22: Cho cấp số cộng có tổng $n$ số hạng đầu là ${S_n} = 3{n^2} + 4n,n \in {\mathbb{N}^*}$. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là

A. ${u_{10}} = 55$.

B. ${u_{10}} = 67$.

C. ${u_{10}} = 59$.

D. ${u_{10}} = 61$.

Lời giải

Ta có ${u_{10}} = {S_{10}} – {S_9} = \left( {3 \cdot {{10}^2} + 4 \cdot 10} \right) – \left( {3 \cdot {9^2} + 4 \cdot 9} \right) = 61$.

Câu 23: Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_2} = 2$ và ${u_5} = 16$

A. ${u_1} = 2;q = 2$.

B. ${u_1} = 2;q = 1$.

C. ${u_1} = – 2;q = – 1$.

D. ${u_1} = 1;q = 2$.

Lời giải

Ta có ${u_2} = 2$ và ${u_5} = 16$, nên ${u_1} \ne 0,q \ne 0$

Do đó: $\frac{{{u_5}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_1} \cdot {q^4}}}{{{u_1} \cdot q}} = {q^3} \Rightarrow {q^3} = 8 \Rightarrow q = 2$

Lại có: ${u_2} = {u_1} \cdot q \Rightarrow {u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = 1$

Vậy ${u_1} = 1;q = 2$.

Câu 24: Biết rằng $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 1}}{{\sqrt x – 1}}}&{\;khi\;x \ne 1} \\
a&{\;khi\;x = 1}
\end{array}} \right.$
liên tục trên đoạn [0;1] (với $a$ là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị $a$ là đúng?

A. $a$ là một số nguyên.

B. $a$ là một số vô tỉ.

C. $a > 5$.

D. $a < 0$.

Lời giải

Hàm số xác định và liên tục trên $[0;1)$. Khi đó $f(x)$ liên tục trên [0 ; 1] khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = f(1)\,\,\,(*)$.

Ta có:

$f(1) = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – 1}}{{\sqrt x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} [(x + 1)(\sqrt x + 1)] = 4$

Do đó, $(*) \Leftrightarrow a = 4$

Vậy $a$ là số nguyên.

Câu 25: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận $mp\left( \alpha \right)//mp\left( \beta \right)$ ?

A. $\left( \alpha \right)//\left( \gamma \right)$ và $\left( \beta \right)//\left( \gamma \right)(\left( \gamma \right)$ là mặt phẳng nào đó $)$.

B. $\left( \alpha \right)//a$ và $\left( \alpha \right)//b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt thuộc $\left( \beta \right)$.

C. $\left( \alpha \right)//a$ và $\left( \alpha \right)//b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với $\left( \beta \right)$.

D. $\left( \alpha \right)//a$ và $\left( \alpha \right)//b$ với $a,b$ là hai đường thẳng cắt nhau thuộc $\left( \beta \right)$.

Lời giải

Trong trường hợp: $\left( \alpha \right)//\left( \gamma \right)$ và $\left( \beta \right)//\left( \gamma \right)(\left( \gamma \right)$ là mặt phẳng nào đó $)$ thì $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ có thể trùng nhau $ \Rightarrow $ Loại ${\mathbf{A}}$.

$\left( \alpha \right)//a$ và $\left( \alpha \right)//b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt thuộc $\left( \beta \right)$ thì $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vẫn có thể cắt nhau (hình 1) $ \Rightarrow $ Loại ${\mathbf{B}}$.

$\left( \alpha \right)//a$ và $\left( \alpha \right)//b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với $\left( \beta \right)$ thì $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vẫn có thể cắt nhau (hình 2$) \Rightarrow $ Loại ${\mathbf{C}}$.

Câu 26: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm. $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $CD$. Đường thẳng $IJ$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( {SAC} \right)$.

B. $\left( {SCD} \right)$.

C. $\left( {SAB} \right)$.

D. $\left( {SAD} \right)$.

Lời giải

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{IJ \not\subset \left( {SAD} \right)} \\
{IJ//SD} \\
{SD \subset \left( {SAD} \right)}
\end{array} \Rightarrow IJ//\left( {SAD} \right)} \right.$.

Câu 27: Trong các hình sau hình nào biểu diễn cho một hình hộp có đáy là hình bình hành?

A. Hình b.

B. Hình a

C. Cả hình a và $b$.

D. Không có hình nào.

Lời giải

Ta có hình $b$ là hình biểu diễn cho hình hộp có đáy là hình bình hành.

Câu 28: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_1} = 1,{u_{n + 1}} = 3{u_n} + 2n – 1$. Tính ${u_{15}}$.

A. 9565923 .

B. 28697799 .

C. 9565938 .

D. 28697814 .

Lời giải

Ta có: ${u_{n + 1}} = 3{u_n} + 2n – 1 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} + n + 1 = 3\left( {{u_n} + n} \right)$

Chọn dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ thỏa mãn ${v_n} = {u_n} + n \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = 3{v_n} \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân có $q = 3;{v_1} = {u_1} + 1 = 2$.

Vậy ${v_n} = {v_1} \cdot {q^{n – 1}} = {2.3^{n – 1}} \Rightarrow {u_n} = {2.3^{n – 1}} – n \Rightarrow {u_{15}} = 9565923$.

Câu 29: Cho hình chóp $S.ABC$, gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $BC//\left( {SMN} \right)$.

B. $BC//\left( {AMN} \right)$.

C. $MN/\left( {SAB} \right)$.

D. $BC//\left( {SMC} \right)$.

Lời giải

Ta có: $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ suy ra $MN//BC$.

Mà $MN \subset \left( {SMN} \right),BC \not\subset \left( {SMN} \right)$ nên $BC//\left( {SMN} \right)$.

Câu 30: Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Mặt phẳng $\left( {ABA’} \right)$ song song với

A. $\left( {AA’C’} \right)$.

B. $\left( {CC’D’} \right)$.

C. $\left( {ADD’} \right)$.

D. $\left( {BB’A’} \right)$.

Lời giải

Ta có:

$CC’//AA’ \Rightarrow CC’//\left( {ABA’} \right)$

$C’D’//AB \Rightarrow C’D’//\left( {ABA’} \right)$

Mặt khác: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CC’,C’D’ \subset \left( {CC’D’} \right)} \\
{CC’ \cap C’D’ = \left\{ {C’} \right\}} \\
{CC’//\left( {ABA’} \right),C’D’//\left( {ABA’} \right)}
\end{array}} \right.$.

$ \Rightarrow \left( {CC’D’} \right)//\left( {ABA’} \right)$

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a \in \left( { – 10;10} \right)$ sao cho $lim\left( {5n – 3\left( {{a^2} – 2} \right){n^3}} \right) = – \infty $ ?

A. 16 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 10 .

Lời giải

Ta có $lim\left( {5n – 3\left( {{a^2} – 2} \right){n^3}} \right) = – \infty $

$ \Leftrightarrow lim{n^3}\left( {\frac{5}{{{n^2}}} – 3\left( {{a^2} – 2} \right)} \right) = – \infty $

$ \Leftrightarrow lim\left( {\frac{5}{{{n^2}}} – 3\left( {{a^2} – 2} \right)} \right) < 0$

$ \Leftrightarrow {a^2} – 2 > 0 \Leftrightarrow a > \sqrt 2 \vee a < – \sqrt 2 ;$

mà $a \in \mathbb{Z}$ và $a \in \left( { – 10;10} \right)$,

suy ra tất cả giá trị của a thỏa mãn ycbt là $a \in \left\{ { – 9; – 8; \ldots ; – 2;2;3; \ldots ;9} \right\}$ (gồm 16 giá trị).

Câu 32: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$, $SBC$ và $SAC$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\left( {IJK} \right)//\left( {SAB} \right)$.

B. $\left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)$.

C. $\left( {IJK} \right)//\left( {SDC} \right)$.

D. $\left( {IJK} \right)//\left( {SBC} \right)$

Lời giải

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AC$ và $BC$.

Do $I,K$ lần lượt là trọng tâm của $\vartriangle ABC,\vartriangle SAC$ nên ta có $\frac{{MK}}{{MS}} = \frac{{MI}}{{MB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IK//SB$

Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của $\vartriangle ABC,\vartriangle SBC$ nên ta có $\frac{{NI}}{{NA}} = \frac{{NJ}}{{NS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IJ//SA$

Ta có:

$IK//SB$

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{IJ//SA} \\
{\left( {IJK} \right):IK \cap IJ = I} \\
{\left( {SAB} \right):SA \cap SB = S}
\end{array}} \right\} \Rightarrow \left( {IJK} \right)//\left( {SAB} \right)$

$\left( {SAB} \right):SA \cap SB = S$

Câu 33: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} – 6x + 5}}{{\sqrt {x + 4} – 3}}}&{\;khi\;x > 5} \\
{4x + {m^2} + 3m}&{\;khi\;x \leqslant 5}
\end{array}} \right.$. Với giá trị nguyên dương nào của tham số $m$ thì hàm số có giới hạn tại $x = 5$.

A. $m = 1$.

B. $m = 4$.

C. $m = 3$

D. $m = 2$.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{{x^2} – 6x + 5}}{{\sqrt {x + 4} – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{(x – 5)(x – 1)(\sqrt {x + 4} + 3)}}{{(x – 5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} (x – 1)(\sqrt {x + 4} + 3) = 24$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} \left( {4x + {m^2} + 3m} \right) = 20 + {m^2} + 3m$.

Hàm só có giới hạn tại $x = 5$ khi chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f(x)$

$ \Leftrightarrow 20 + {m^2} + 3m = 24 \Leftrightarrow {m^2} + 3m – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1(N)} \\
{m = – 4(L)}
\end{array}} \right.$

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 34: Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{\sqrt {x + 2025} – 45}}{x},x > 0} \\
{\frac{{7x + a}}{{180}},x \leqslant 0}
\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của $a$ để hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 0$.

A. $a = 3$.

B. $a = 1$.

C. $a = 2$.

D. $a = \frac{1}{2}$.

Lời giải

Tập xác định: $D = \mathbb{R};x = 0 \in D$.

Ta có: $f(0) = \frac{a}{{180}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 2025} – 45}}{x}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + 2025 – {{45}^2}}}{{x(\sqrt {x + 2025} + 45)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 2025} + 45}} = \frac{1}{{90}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {\frac{{7x + a}}{{180}}} \right) = \frac{a}{{180}}$.

Để hàm số đã cho liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = f(0) \Leftrightarrow \frac{1}{{90}} = \frac{a}{{180}} \Leftrightarrow a = 2$.

Vậy $a = 2$.

Câu 35: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Các điểm $M,N,P$ lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng $SA,AB,CD$ như hình vẽ. Đường thẳng nào sau đây không song song với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ ?

A. Đường thẳng $SB$.

B. Đường thẳng $SD$.

C. Đường thẳng $AD$.

D. Đường thẳng $BC$.

Lời giải

Vì $SB//MN \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow SB//\left( {MNP} \right)$ (loại đáp án ${\mathbf{A}})$.

Vì $BC//AD//NP \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC//\left( {MNP} \right)} \\
{AD//\left( {MNP} \right)}
\end{array}} \right.$ (loại đáp án $\left. {{\mathbf{C}},{\mathbf{D}}} \right)$.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 36: Giải phương trình: $(sinx + 1)(2cosx – 1) = 0$

Lời giải

Ta có: $(sinx + 1)(2cosx – 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
sinx + 1 = 0 \hfill \\
2cosx – 1 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
sinx = – 1 \hfill \\
cosx = \frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Với $sinx = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Với $cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow cosx = cos\frac{\pi }{3}$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình: $x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ;x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 37: Hùng đang tiết kiệm để mua một cây đàn piano có giá 142 triệu đồng. Trong tháng đầu tiên, anh ta để dành được 20 triệu đồng. Mỗi tháng tiếp theo anh ta để dành được 3 triệu đồng và đưa số tiền tiết kiệm của mình. Hỏi ít nhất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó?

Lời giải

Tổng số tiền Hùng tiết kiệm được vào mỗi tháng (đơn vị: triệu đồng) lập thành một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 20$ và công sai $d = 3$.

Tổng số tiền Hùng tiết kiệm được vào tháng thứ $n$ bằng

${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = 20 + \left( {n – 1} \right) \cdot 3 = 3n + 17$

Hùng có đủ tiền mua cây đàn $ \Leftrightarrow 3n + 17 \geqslant 142 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{{125}}{3} \approx 41,67$.

Vậy ít nhất vào tháng thứ 42 thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó.

Câu 38: Tìm $m$ để tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ với $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {x + 3} – 2\sqrt x }}{{x – 1}}}&{ khi x > 1} \\
{mx – 2}&{ khi x \leqslant 1}
\end{array}} \right.$

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (mx – 2) = m – 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 3 – 4x}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + 2\sqrt x )}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – 3(x – 1)}}{{(x – 1)(\sqrt {x + 3} + 2\sqrt x )}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – 3}}{{(\sqrt {x + 3} + 2\sqrt x )}} = – \frac{3}{4}$

Suy ra để tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \Leftrightarrow m – 2 = – \frac{3}{4} \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}$.

Vậy khi $m = \frac{5}{4}$ thì tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$.

Câu 39: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và tam giác $SAB$ là tam giác đều. Một điểm $M$ di động trên cạnh $BC$ sao cho $BM = x,(x < a)$.

a) Chứng minh $CD$ song song với $\left( {SAB} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $M$ và song song với $SA$ và $CD$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tính theo $a$ và $x$ là ?

Lời giải

a) Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD//AB} \\
{AB \subset \left( {SAB} \right)}
\end{array} \Rightarrow CD//\left( {SAB} \right)} \right.$

b) Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)} \\
{CD//\left( \alpha \right)} \\
{CD \subset \left( {ABCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN,MN//CD,MN \cap AD = N} \right.$

Tương tự ta vẽ $NP//SA,NP \cap SD = P$ suy ra $PQ//CD,PQ \cap SC = Q$

Ta suy ra thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là tứ giác $MNPQ$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//CD} \\
{PQ//CD}
\end{array}} \right.$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình thang.

Mặt khác $\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{DN}}{{DA}} = \frac{{a – x}}{a}\left( {CD//MN} \right)$

Mà $\frac{{DP}}{{DS}} = \frac{{DN}}{{DA}} = \frac{{CQ}}{{CS}} = \frac{{a – x}}{a}\left( {NP//SA,PQ//CD} \right)$ suy ra $\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CQ}}{{CS}} \Rightarrow MQ//SA$

Do đó: $\frac{{MQ}}{{SB}} = \frac{{NP}}{{SA}} = \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{a – x}}{a} \Rightarrow MQ = NP($ do $SA = SB)$

Suy ra $MNPQ$ là hình thang cân. Gọi $H,K$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $Q,P$.

Do tính chất hình thang cân nên ta có $MH = NK,PQ = HK$

Ta có: $\frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SC}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{x}{a} \Rightarrow PQ = x$

Mặt khác ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//AB} \\
{MQ//SB}
\end{array} \Rightarrow \left( {MN,MQ} \right) = {{60}^ \circ }} \right.$

Xét tam giác $MQH$ vuông tại $H$ có

$QH = MH \cdot tan{60^ \circ } = \frac{{MN – HK}}{2}tan{60^ \circ } = \frac{{a – x}}{2}\sqrt 3 $

${S_{MNPQ}} = \frac{{\left( {MN + PQ} \right)QH}}{2} = \frac{{a + x}}{2} \cdot \frac{{a – x}}{2}\sqrt 3 = \frac{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)}}{4}\sqrt 3 $