Đề Ôn Tập Học Kỳ 1 Toán 11 Kết Nối Tri Thức Giải Chi Tiết-Đề 1

Đề ôn tập học kỳ 1 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM .

Câu 1: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \sin \alpha $. B. $sin\left( {\pi + \alpha } \right) = sin\alpha $.

C. $\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \alpha $. D. $tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \cot \left( {2\alpha } \right)$.

Câu 2: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\sin \alpha = \frac{{12}}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Tính $\cos \alpha $.

A. $\cos \alpha = \frac{1}{{13}}$. B. $\cos \alpha = \frac{5}{{13}}$. C. $\cos \alpha = – \frac{5}{{13}}$. D. $\cos \alpha = – \frac{1}{{13}}$.

Câu 3: Công thức nào sau đây sai?

A. $\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

B. $\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b – \sin a\sin b$.

C. $\sin \left( {a – b} \right) = \sin a\cos b – \cos a\sin b$.

D. $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$.

Câu 4: Tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ là

A. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$. B. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

C. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$. D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. $f\left( x \right) = 1 – cos x$. B. $f\left( x \right) = {\sin ^2}x$.

C. $f\left( x \right) = \cos 2x$. D. $f\left( x \right) = x + \tan x$.

Câu 6: Nghiệm của phương trình $cos\,2x = \frac{1}{2}$ là

A. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $. B. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi $.

C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $. D. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

Câu 7: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{ – n}}{{n + 1}}.$ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $ – \frac{1}{2}, – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}.$ B. $ – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}; – \frac{6}{7}.$

C. $\frac{1}{2},\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}.$ D. $\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}.$

Câu 8: Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?

A. ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} $. B. ${u_n} = n + \frac{1}{n}$. C. ${u_n} = {2^n} + 1$. D. ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$

Câu 9: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$xác định bởi $\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 1; {u_2} = 1 \hfill \\
{u_n} = {u_{n – 1}} + 2{u_{n – 2}} \left( {n \geqslant 3;n \in \mathbb{N}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Giá trị ${u_4} + {u_5}$ là:

A. 16. B. 20. C. 22. D. 24.

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng ?

A. $1; – 3; – 7; – 11; – 15;…$. B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12;…$.

C. $1; – 2; – 4; – 6; – 8 – ;…$. D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9;…$.

Câu 11: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 7$ và ${u_2} = 4$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. $ – 3$. B. $\frac{5}{2}$. C. $\frac{2}{5}$. D. 3.

Câu 12: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ vói số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai $d = 2$. Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?

A. ${u_n} = 2n + 1$. B. ${u_n} = 3 + n$. C. ${u_n} = 2(n + 1)$. D. ${u_n} = 2(n – 1)$.

Câu 13: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${u_{n + 1}} = {u_n} \cdot q,\forall n \geqslant 1$. B. ${u_n} = {u_1} \cdot {q^n},\forall n \geqslant 1$.

C. ${u_n} = {u_{n + 1}} \cdot q,\forall n \geqslant 1$. D. ${u_{n + 1}} = {u_1} \cdot {q^{n + 1}},\forall n \geqslant 1$

Câu 14: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n – 1}},\forall n \geqslant 2$. B. ${u_n} = {u_1}^n \cdot q,\forall n \geqslant 2$.

C. ${u_n} = {u_1} \cdot {q^n},\forall n \geqslant 2$. D. ${u_n} = {u_1}^{n – 1} \cdot q,\forall n \geqslant 2$

Câu 15: Giá trị của $\lim \left( {\frac{2}{n}} \right)$ bằng

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Câu 16: Cho biết $\lim \left( {{u_n}} \right) = 1$. Giá trị của $\lim \left( {2{u_n} – 3} \right)$ bằng

A. $ – 1$. B. 1. C. $ + \infty $. D. 3.

Câu 17: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3$. Giá trị của $\lim \left( {{u_n}} \right)$ bằng

A. $ – 1$. B. 1. C. $7$. D. 3.

Câu 18: Giá trị của $\lim \frac{{n + 2}}{{2n}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$. B. $ + \infty $. C. $1$. D. $2$.

Câu 19: Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x – 1} \right)$bằng

A. $0$. B. 1. C. $ – 1$. D. 2.

Câu 20: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 3$. Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2f\left( x \right)$ bằng

A. $6$. B. $2$. C. $3$. D. $5$.

Câu 21: Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x – 15}}{{x – 2}}$ là:

A. $0$. B. $1$. C. $ + \infty $. D. $ – \infty $.

Câu 22: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 7}}{{x – 3}}$.

A. $ + \infty $. B. $ – \infty $. C. $0$. D. $2$.

Câu 23: Cho giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {{x^2} – 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3$ thì $a$ bằng bao nhiêu?

A. $a = 2$. B. $a = 0$ C. $a = – 2$. D. $a = – 1$.

Câu 24: Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 2$?

A. $f(x) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$. B. $f(x) = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$. C. $f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 2}}$. D. $f(x) = \frac{{3{x^2} – x – 2}}{{{x^2} – 4}}$.

Câu 25: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2{x^2} – 6}}{{x – \sqrt 3 }} = a\sqrt b $. Khi đó ${a^2} + {b^2}$ bằng

A. $6$. B. $7$. C. $10$. D. $25$.

Câu 26: Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
3x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne – 1 \hfill \\
m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ liên tục tại ${x_o} = – 1$

A. $m = – 2$. B. $m = 2$. C. $m = 3$. D. $m = 0$.

Câu 27: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ác quy ô tô được cho như sau:

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {2,5;3} \right)$ là

A. $2,9$. B. $2,7$. C. $2,8$. D. $2,75$.

Câu 28: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ác quy ô tô được cho như sau:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. $50$. B. $48$. C. $14$. D. $6$.

Câu 29: Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11B3 cho trong bảng bên dưới

A. $56,71$. B. $52,81$. C. $53,15$. D. $51,81$.

Câu 30: Cho hình chóp $S.ABCD$. Giao tyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$và $\left( {SBD} \right)$ là

A. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AB,\,$$CD$.

B. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AD,\,$$BC$.

C. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC,\,$$BC$.

D. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC,\,$$BD$.

Câu 31: Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $AM = BM$ và $AN = 2NC$. Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {DMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là đường thẳng nào dưới đây?

A. $DN$. B. $MN$. C. $DM$. D. $AC$.

Câu 32: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $\Delta $ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng nào dưới đây?

A. Đường thẳng $AB$. B. Đường thẳng $AD$.

C. Đường thẳng $AC$. D. Đường thẳng $SA$.

Câu 33: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi hai điểm $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\,AC$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. Mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$. B. Mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

C. Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. D. Mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

Câu 34: Cho hình hộp $ABCD.\,A’B’C’D’$ có $AC$ cắt $BD$ tại $O$ còn $A’C’$ cắt $B’D’$ tại $O’$. Khi đó $\left( {AB’D’} \right)$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $\left( {A’OC’} \right)$. B. $\left( {BDA’} \right)$. C. $\left( {BDC’} \right)$. D. $\left( {BCD} \right)$.

Câu 35: Xét một phép chiếu song song bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.

C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.

D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.

II. PHẦN TỰ LUẬN.

Câu 36: Giải phương trình $\sin 4x + \cos 5x = 0$.

Câu 37: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt {{x^2} + 3} – 2}}{{x – 1}} khi x \ne 1 \hfill \\
\,\,\,\, – m + 3 khi x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tìm $m$ để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$.

Câu 38: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là $45\;cm,43\;cm$,$41\;cm, \ldots ,31\;cm$.

Cái thang đó có bao nhiêu bậc? Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Câu 39: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biễu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Hình 3

————– HẾT ————–

ĐÁP ÁN

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM.

1.A	2.D	3.B	4.A	5.D
6.A	7.A	8.D	9.A	10.A
11.A	12.A	13.A	14.A	15.C
16.A	17.A	18.A	19.A	20.A
21.D	22.A	23.C	24.A	25.D
26.A	27.D	28.A	29.D	30.D
31.A	32.B	33.D	34.C	35.C

GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. $\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \sin \alpha $. B. $sin\left( {\pi + \alpha } \right) = sin\alpha $.

C. $\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \alpha $. D. $tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \cot \left( {2\alpha } \right)$.

Lời giải

Chọn A

Câu 2: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\sin \alpha = \frac{{12}}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Tính $\cos \alpha $.

A. $\cos \alpha = \frac{1}{{13}}$. B. $\cos \alpha = \frac{5}{{13}}$. C. $\cos \alpha = – \frac{5}{{13}}$. D. $\cos \alpha = – \frac{1}{{13}}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có : Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ nên $\cos \alpha < 0$.

${\sin ^2}\alpha \, + \,\,co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 – {\sin ^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}$

$ \Rightarrow \cos \alpha = – \frac{5}{{13}}$.

Câu 3: Công thức nào sau đây sai?

A. $\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$. B. $\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b – \sin a\sin b$.

C. $\sin \left( {a – b} \right) = \sin a\cos b – \cos a\sin b$. D. $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b – \sin a\sin b$

Câu 4: Tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ là:

A. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$. B. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

C. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$. D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

Lời giải

Chọn A

Hàm số $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ xác định khi: $\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi $.

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. $f\left( x \right) = 1 – cos x$. B. $f\left( x \right) = {\sin ^2}x$. C. $f\left( x \right) = \cos 2x$. D. $f\left( x \right) = x + \tan x$.

Lời giải

Chọn D

Hàm số $f\left( x \right) = x + \tan x$ có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$ nên $\forall x \in D \Rightarrow – x \in D$

Ta có $f\left( { – x} \right) = – x + \tan \left( { – x} \right) = – x – \tan x = – f\left( x \right),\forall x \in D.$

Nên hàm số $f\left( x \right) = x + \tan x$ là hàm số lẻ.

Câu 6: Nghiệm của phương trình $cos\,2x = \frac{1}{2}$ là

A. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $. B. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi $. C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $. D. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

Lời giải

Chọn A

$cos\,2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 7: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{ – n}}{{n + 1}}.$ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $ – \frac{1}{2}, – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}.$ B. $ – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}; – \frac{6}{7}.$

C. $\frac{1}{2},\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}.$ D. $\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}.$

Lời giải

Chọn A

Ta có ${u_1} = – \frac{1}{2};{u_2} = – \frac{2}{3};{u_3} = – \frac{3}{4};{u_4} = – \frac{4}{5};{u_5} = – \frac{5}{6}$.

Câu 8: Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?

A. ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} $. B. ${u_n} = n + \frac{1}{n}$. C. ${u_n} = {2^n} + 1$. D. ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$

Lời giải

Chọn D

Các dãy số ${n^2};n;{2^n}$ dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi $n$ tăng lên vô hạn, nên các dãy $\sqrt {{n^2} + 1} $;$n + \frac{1}{n}$; ${2^n} + 1$ cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn.

Nhận xét: $0 < {u_n} = \frac{n}{{n + 1}} = 1 – \frac{1}{{n + 1}} < 1$.

Câu 9: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$xác định bởi $\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 1; {u_2} = 1 \hfill \\
{u_n} = {u_{n – 1}} + 2{u_{n – 2}} \left( {n \geqslant 3;n \in \mathbb{N}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Giá trị ${u_4} + {u_5}$ là:

A. 16. B. 20. C. 22. D. 24.

Lời giải

Chọn A

Ta có

$\begin{gathered}
{u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 1 + 2.1 = 3. \hfill \\
{u_4} = {u_3} + 2{u_2} = 3 + 2.1 = 5. \hfill \\
{u_5} = {u_4} + 2{u_3} = 5 + 2.3 = 11. \hfill \\
\end{gathered} $

Vậy ${u_4} + {u_5} = 5 + 11 = 16.$

Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng ?

A. $1; – 3; – 7; – 11; – 15;…$. B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12;…$. C. $1; – 2; – 4; – 6; – 8 – ;…$. D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9;…$.

Lời giải

Chọn A

Ta lần lượt kiểm tra : ${u_2} – {u_1} = {u_3} – {u_2} = {u_4} – {u_3} = …?$

Xét đáp án: $1; – 3; – 7; – 11; – 15;… \Rightarrow {u_2} – {u_1} = {u_3} – {u_2} = {u_4} – {u_3} = … \Rightarrow $chọn

Xét đáp án: $1; – 3; – 6; – ; – 1;… \Rightarrow {u_2} – {u_1} = – 4 \ne – 3 = {u_3} – {u_2} \to $loại

Xét đáp án: $1; – 2; – 4; – 6; – 8;… \Rightarrow {u_2} – {u_1} = – 3 \ne – 2 = {u_3} – {u_2} \to $loại

Xét đáp án: $1; – 3; – 5; – ;7 – 9;… \Rightarrow {u_2} – {u_1} = – 4 \ne – 2 = {u_3} – {u_2} \to $loại

Câu 11: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 7$ và ${u_2} = 4$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. $ – 3$. B. $\frac{5}{2}$. C. $\frac{2}{5}$. D. 3.

Lời giải

Chọn A

Công sai của cấp số cộng: $d = {u_2} – {u_1} = 4 – 7 = – 3$.

Câu 12: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai $d = 2$. Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?

A. ${u_n} = 2n + 1$. B. ${u_n} = 3 + n$. C. ${u_n} = 2(n + 1)$. D. ${u_n} = 2(n – 1)$.

Lời giải

Chọn A

Số hạng tổng quát của cấp số cộng: ${u_n} = {u_1} + d = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1$

Câu 13: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${u_{n + 1}} = {u_n} \cdot q,\forall n \geqslant 1$. B. ${u_n} = {u_1} \cdot {q^n},\forall n \geqslant 1$.

C. ${u_n} = {u_{n + 1}} \cdot q,\forall n \geqslant 1$. D. ${u_{n + 1}} = {u_1} \cdot {q^{n + 1}},\forall n \geqslant 1$

Lời giải

Chọn A

Theo ĐN, Số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${u_{n + 1}} = {u_n} \cdot q,\forall n \geqslant 1$.

Câu 14: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n – 1}},\forall n \geqslant 2$. B. ${u_n} = {u_1}^n \cdot q,\forall n \geqslant 2$.

C. ${u_n} = {u_1} \cdot {q^n},\forall n \geqslant 2$. D. ${u_n} = {u_1}^{n – 1} \cdot q,\forall n \geqslant 2$

Lời giải

Chọn A

Theo ĐN cấp số nhân, ta có ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n – 1}},\forall n \geqslant 2$

Câu 15: Giá trị của $\lim \left( {\frac{2}{n}} \right)$ bằng

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Lời giải

Chọn C

Ta có, theo hệ quả $\lim \left( {\frac{1}{n}} \right) = 0 \Rightarrow \lim \left( {\frac{k}{n}} \right) = 0,\forall k \in \mathbb{R}$

Câu 16: Cho biết $\lim \left( {{u_n}} \right) = 1$. Giá trị của $\lim \left( {2{u_n} – 3} \right)$ bằng

A. $ – 1$. B. 1. C. $ + \infty $. D. 3.

Lời giải

Chọn A

Theo định lý về giới hạn của dãy, ta có$\lim \left( {2{u_n} – 3} \right) = \lim 2{u_n} – \lim 3 = 2.\lim {u_n} – 3 = 2.1 – 3 = – 1$

Câu 17: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3$. Giá trị của $\lim \left( {{u_n}} \right)$ bằng

A. $ – 1$. B. 1. C. $7$. D. 3.

Lời giải

Chọn A

$\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3 \Leftrightarrow \lim 4 + \lim {u_n} = 3 \Leftrightarrow 4 + \lim {u_n} = 3 \Rightarrow \lim {u_n} = – 1$

Câu 18: Giá trị của $\lim \frac{{n + 2}}{{2n}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$. B. $ + \infty $. C. $1$. D. $2$.

Lời giải

Chọn A

$\lim \frac{{n + 2}}{{2n}} = \lim \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{2} = \frac{1}{2}$

Câu 19: Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x – 1} \right)$ bằng

A. $0$. B. 1. C. $ – 1$. D. 2.

Lời giải

Chọn A

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x – 1} \right) = 1 – 1 = 0$

Câu 20: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 3$. Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2f\left( x \right)$ bằng

A. $6$. B. $2$. C. $3$. D. $5$.

Lời giải

Chọn A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2f\left( x \right) = 2.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2.3 = 6$

Câu 21: Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x – 15}}{{x – 2}}$ là:

A. $0$. B. $1$. C. $ + \infty $. D. $ – \infty $.

Lời giải

Chọn D

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x – 15} \right) = – 13 < 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x – 2} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Vì $x \to {2^ + }$ nên $x > 2$. Do đó $x – 2 > 0$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x – 15}}{{x – 2}} = – \infty $.

Câu 22: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 7}}{{x – 3}}$.

A. $ + \infty $. B. $ – \infty $. C. $0$. D. $2$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 7} \right) = 13 > 0$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x – 3} \right) = 0$, $x \to {3^ + } \Rightarrow x – 3 > 0$.

Vậy,$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 7}}{{x – 3}} = + \infty $.

Câu 23: Cho giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {{x^2} – 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3$ thì $a$ bằng bao nhiêu?

A. $a = 2$. B. $a = 0$ C. $a = – 2$. D. $a = – 1$.

Lời giải

Chọn C

Ta có, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {{x^2} – 2ax + 3 + {a^2}} \right) = {\left( { – 2} \right)^2} – 2a( – 2) + 3 + {a^2} = {a^2} + 4a + 7$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {{x^2} – 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3$.

$ \Leftrightarrow {a^2} + 4a + 7 = 3$.

$ \Leftrightarrow {a^2} + 4a + 4 = 0$.

$ \Leftrightarrow a = – 2$.

Câu 24: Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 2$?

A. $f(x) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$. B. $f(x) = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$. C. $f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 2}}$. D. $f(x) = \frac{{3{x^2} – x – 2}}{{{x^2} – 4}}$.

Lời giải

Chọn A

Hàm số $f(x) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định tại $x = 2$ nên nó liên tục tại $x = 2$.

Câu 25: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2{x^2} – 6}}{{x – \sqrt 3 }} = a\sqrt b $. Khi đó ${a^2} + {b^2}$ bằng

A. $6$. B. $7$. C. $10$. D. $25$.

Lời giải

Chọn D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2{x^2} – 6}}{{x – \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2\left( {{x^2} – 3} \right)}}{{x – \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2\left( {x – \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{x – \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } 2\left( {x + \sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3 $.

Suy ra $a = 4,\,b = 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 25$.

Câu 26: Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
3x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne – 1 \hfill \\
m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ liên tục tại ${x_o} = – 1$

A. $m = – 2$. B. $m = 2$. C. $m = 3$. D. $m = 0$.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ là $D = \mathbb{R}$. Ta có:

$f\left( { – 1} \right) = m$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \left( {3x + 1} \right) = 3.\left( { – 1} \right) + 1 = – 2$.

Hàm số đã cho liên tục tại ${x_o} = – 1$ khi $f\left( { – 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f\left( x \right) \Leftrightarrow m = – 2$.

Vậy $m = – 2$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 27: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ác quy ô tô được cho như sau:

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {2,5;3} \right)$ là

A. $2,9$. B. $2,7$. C. $2,8$. D. $2,75$.

Lời giải

Chọn D

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {2,5;3} \right)$ là: $\frac{{2,5 + 3}}{2} = 2,75$.

Câu 28: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ác quy ô tô được cho như sau:

Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. $50$. B. $48$. C. $14$. D. $6$.

Lời giải

Chọn A

Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $n = 4 + 9 + 14 + 11 + 7 + 5 = 50$

Câu 29: Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11B3 cho trong bảng bên dưới

A. $56,71$. B. $52,81$. C. $53,15$. D. $51,81$.

Lời giải

Chọn D

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau

Tổng số học sinh là $n = 42$. Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11B3 là

$\overline x = \frac{{10.43 + 7.48 + 16.53 + 4.58 + 2.63 + 3.68}}{{42}} \approx 51,81\,(kg)$

Câu 30: Cho hình chóp $S.ABCD$. Giao tyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$và $\left( {SBD} \right)$ là

A. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AB,\,$$CD$.

B. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AD,\,$$BC$.

C. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC,\,$$BC$.

D. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC,\,$$BD$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Trong $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O = AC \cap BD$ thì $\left\{ \begin{gathered}
O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \hfill \\
O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Vậy $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Câu 31: Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $AM = BM$ và $AN = 2NC$. Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {DMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là đường thẳng nào dưới đây?

A. $DN$. B. $MN$. C. $DM$. D. $AC$.

Lời giải

Chọn A

Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {DMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là đường thẳng $DN$.

Câu 32: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $\Delta $ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng nào dưới đây?

A. Đường thẳng $AB$. B. Đường thẳng $AD$.

C. Đường thẳng $AC$. D. Đường thẳng $SA$.

Lời giải

Chọn B

Hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có chung điểm $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AD$, $BC$ nên giao tuyến $\Delta $ đi qua $S$ và lần lượt song song với $AD$, $BC$.

Câu 33: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi hai điểm $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\,AC$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. Mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$. B. Mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

C. Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. D. Mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN//BC$ mà $BC \subset \left( {BCD} \right)$ nên $MN//\left( {BCD} \right)$.

Câu 34: Cho hình hộp $ABCD.\,A’B’C’D’$ có $AC$ cắt $BD$ tại $O$ còn $A’C’$ cắt $B’D’$ tại $O’$. Khi đó $\left( {AB’D’} \right)$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $\left( {A’OC’} \right)$. B. $\left( {BDA’} \right)$. C. $\left( {BDC’} \right)$. D. $\left( {BCD} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Vì $B\prime D\prime //BD$ nên $B\prime D\prime //\left( {BDC\prime } \right)$. Vì $AD\prime //BC\prime $ nên $AD\prime //\left( {BDC\prime } \right)$.

Từ đó suy ra $\left( {AB\prime D\prime } \right)//\left( {BDC\prime } \right)$.

Câu 35: Xét một phép chiếu song song bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.

C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.

D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.

Lời giải

Chọn C

Xét hình hộp $ABCD.\,A’B’C’D’$ và phép chiếu lên mặt phẳng $\left( {A\prime B\prime C\prime D\prime } \right)$ theo phương chiếu $AA\prime $.

* Hai đường thẳng $A\prime D$, $BC\prime $ chéo nhau và có hình chiếu là hai đường thẳng $A\prime D\prime $, $B\prime C\prime $ song song.

* Mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng chiếu có hình chiếu là chính nó.

* Xét hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $a$, hình chiếu của $a$ trên mặt phẳng chiếu $\left( Q \right)$ là $a\prime $. Vì $b$ không thuộc $\left( P \right)$ nên hình chiếu của $b$ không trùng $a\prime $.

* Khi $A\prime B\prime = A\prime D\prime $ thì mọi tam giác $MB\prime D\prime $ ($M \in AA\prime $) đều có hình biểu diễn là tam giác cân $A\prime B\prime D\prime $.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 36: Giải phương trình $\sin 4x + \cos 5x = 0$.

Lời giải

Ta có $\sin 4x + \cos 5x = 0$

$ \Leftrightarrow \cos 5x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 4x} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{5x = \frac{\pi }{2} + 4x + k2\pi } \\
{5x = – \frac{\pi }{2} – 4x + k2\pi }
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{9}}
\end{array}\,\,\,\,} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 37: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt {{x^2} + 3} – 2}}{{x – 1}} khi x \ne 1 \hfill \\
\,\,\,\, – m + 3 khi x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tìm $m$ để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$.

Lời giải

Hàm số xác định tại ${x_0} = 1$, $f\left( 1 \right) = – m + 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}} = \frac{1}{2}$.

Hàm số đã cho liên tục tại ${x_0} = 1$$ \Leftrightarrow $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$$ \Leftrightarrow $$ – m + 3 = \frac{1}{2}$$ \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}$.

Vậy $m = \frac{5}{2}$.

Câu 38: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là $45\;cm,43\;cm$,$41\;cm, \ldots ,31\;cm$.

Cái thang đó có bao nhiêu bậc? Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Lời giải

Chiều dài các thanh ngang của cái thang (tính từ bậc dưới cùng) tạo thành một cấp số cộng có: ${u_1} = 45;\,d = – 2$.

Suy ra $n = \frac{{45 – 31}}{2} + 1 = 8$.

Do đó cái thang có 8 bậc.

Ta lại có ${S_8} = \frac{{8\left( {45 + 31} \right)}}{2} = 304$.

Vậy người đó cần mua thanh gỗ có chiều dài 304 cm.

Câu 39:Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biễu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Lời giải

Ta có dãy số: $1;\,1;\,2;\,3;\,5;\,8;\,13;\,21$.

Nhận xét: Kể từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng của dãy bằng tổng của hai số hạng liền trước.