Đề Ôn Thi HK1 Toán 11 Kết Nối Tri Thức Giải Chi Tiết-Đề 6

Đề ôn thi HK1 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 6 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y = \cot x$ là:

A. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$. B. $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. C. $\mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. D. $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 2: Xét các mệnh đề sau:

1. Phương trình $sinx = 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

2. Phương trình $cosx = 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

3. Phương trình $cotx = 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Số mệnh đề đúng là:

A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 .

Câu 3: Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ của phương trình $cos\left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right) = 1$ là

A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .

Câu 4: Cho dãy $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{{( – 1)}^{n – 1}}}}{{n + 1}}$. Số hạng thứ 9 của dãy là:

A. ${u_9} = \frac{1}{{10}}$. B. ${u_9} = \frac{{ – 1}}{{10}}$. C. ${u_9} = \frac{{ – 1}}{9}$. D. ${u_9} = \frac{1}{9}$

Câu 5: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa $\left| {{u_n} – 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$. Khi đó:

A. $lim{u_n}$ không tồn tại. B. $lim{u_n} = 1$.

C. $lim{u_n} = 0$. D. $lim{u_n} = 2$.

Câu 6: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {n^2} + n + 1$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$. Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

A. 5 . B. 3 . C. 6 . D. 4 .

Câu 7: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. ${u_n} = {n^2}$. B. ${u_n} = \frac{1}{{\sqrt n }}$. C. ${u_n} = 3 – 2n$. D. ${u_n} = – 2{n^2} + 3n + 1$.

Câu 8: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là $ – 4,1,x$. Khi đó giá trị của $x$ bằng:

A. $x = 9$. B. $x = 4$. C. $x = 7$. D. $x = 6$.

Câu 9: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${S_2} = 4,{S_3} = 13$. Biết ${u_2} < 0$, giá trị của ${S_5}$ bằng

A. 11 . B. 2 . C. $\frac{{35}}{{16}}$. D. $\frac{{181}}{{16}}$.

Câu 10: Cho hai góc $\alpha $ và $\beta $ thỏa mãn $sin\alpha = \frac{3}{5},\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi } \right)$ và $cos\beta = \frac{{12}}{{13}},\left( {0 < \beta < \frac{\pi }{2}} \right)$. Giá trị của $sin\left( {\alpha – \beta } \right)$ là

A. $ – \frac{{56}}{{65}}$. B. $\frac{{56}}{{65}}$. C. $\frac{{16}}{{65}}$. D. $ – \frac{{16}}{{65}}$.

Câu 11: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.

A. Nếu $lim{u_n} = + \infty $ và $lim{v_n} = a > 0$ thì $lim\left( {{u_n}{v_n}} \right) = + \infty $.

B. Nếu $lim{u_n} = a \ne 0$ và $lim{v_n} = \pm \infty $ thì $lim\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = 0$.

C. Nếu $lim{u_n} = a > 0$ và $lim{v_n} = 0$ thì $lim\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty $.

D. Nếu $lim{u_n} = a < 0$ và $lim{v_n} = 0$ và ${v_n} > 0$ với mọi $n$ thì $lim\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = – \infty $.

Câu 12: Nghiệm của phương trình $tan3x = tanx$ là

A. $x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$. B. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$. C. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$. D. $x = \frac{{k\pi }}{6},k \in \mathbb{Z}$.

Câu 13: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {a;b} \right]$. Tìm mệnh đề đúng.

A. Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) > 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.

B. Nếu $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.

C. Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, tăng trên $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) > 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.

D. Nếu phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số $f\left( x \right)$ phải liên tục trên $\left( {a;b} \right)$.

Câu 14: Biết giới hạn $lim\frac{{3 – 2n}}{{5n + 1}} = \frac{a}{b}$ trong đó $a,b \in Z$ và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $a.b$.

A. 6 . B. 3 . C. -10 . D. 15

Câu 15: Tìm $lim\left( { – 2{n^3} + a{n^2} + b} \right)$, với $a,b$ là các tham số.

A. $a$. . B. $ – \infty $. C. $ + \infty $. D. $ – 2 + a + b$

Câu 16: Chọn kết quả sai trong các kết quả dưới đây?

A. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$. B. $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^5} = – \infty $. C. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{{x^2}}} = + \infty $. D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} C = C$.

Câu 17: Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 1}}$. Khẳng định nào sau đây sai?

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

A. Hàm số liên tục tại $x = 1$. B. Hàm số không liên tục tại $x = – 1$.

C. Hàm số liên tục tại $x = 0$. D. Hàm số liên tục tại mọi điểm $x \in \mathbb{R}$.

Câu 18: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} – 9}}{{{x^2} – 3x}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có 2 điểm gián đoạn là $x = – 3,x = 3$.

B. Hàm số chỉ có 1 điểm gián đoạn là $x = 0$.

C. Hàm số chỉ có 1 điểm gián đoạn là $x = 0$.

D. Hàm số có 2 điểm gián đoạn là $x = 0,x = 3$.

Câu 19: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{2{x^2} + 3x – 14}}{{4 – {x^2}}}}&{\;khi\;x \ne 2} \\
a&{\;khi\;x = 2}
\end{array}} \right.$. Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục tại $x = 2$ ?

A. $ – \frac{{11}}{4}$. B. $\frac{{11}}{4}$. C. $\frac{{11}}{2}$. D. $ – \frac{{11}}{2}$.

Câu 20: Hàm số nào sau đây gián đoạn tại điểm ${x_0} = – 1$.

A. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. B. $y = \frac{x}{{x – 1}}$. C. $y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)$. D. $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$.

Câu 21: Biết hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a{x^2} + bx – 5}&{\;khi\;}&{x \leqslant 1} \\
{2ax – 3b}&{\;khi\;}&{x > 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$. Tính giá trị của biểu thức $P = a – 4b$.

A. $P = – 4$. B. $P = 5$. C. $P = – 5$. D. $P = 4$.

Câu 22: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song.

C. Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

Câu 23: Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Mặt phẳng $\left( {AB’D’} \right)$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. $\left( {BCA’} \right)$. B. $\left( {BC’D} \right)$. C. $\left( {A’C’C} \right)$. D. $\left( {BDA’} \right)$.

Câu 24: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD,G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ và $N$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $NB = 2NC$. Kết luận nào sau đây sai?

A. $NG//\left( {BCM} \right)$. B. $NG//\left( {ACD} \right)$.

C. $NG$ và $AB$ chéo nhau. D. $NG//CM$.

Câu 25: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M,I$ lần lượt là trung điểm của $BD,SD$. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng $\left( {SAO} \right)$ ?

A. Điểm $B$. B. Điểm $M$. C. Điểm $I$. D. Điểm $C$.

Câu 26: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $E$ là trung điểm của $SA$. Mặt phẳng nào dưới đây chứa đường thẳng $OE$ ?

A. $\left( {SBC} \right)$. B. $\left( {ABCD} \right)$. C. $\left( {SAC} \right)$. D. $\left( {CDE} \right)$.

Câu 27: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$. Giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {ABQ} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ADP} \right)$ là

A. $AG$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. B. $AI$ với $I$ là trung điểm của $BD$.

C. $AE$ với $E$ là trung điểm của $BQ$. D. $AK$ với $K$ là trung điểm của $PQ$.

Câu 28: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB//CD$ và $AB = 2CD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SA$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $AM//DN$. B. $MN//BC$. C. $SB//MC$. D. $MD//NC$.

Câu 29: Với điều kiện nào sau đây thì đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ ?

Áp dụng định nghĩa: $d \cap \left( P \right) = \emptyset $

A. $d//a$ và $a \subset \left( P \right)$. B. $d//a$ và $a//\left( P \right)$.

C. $d \cap \left( P \right) = \emptyset $. D. $d//a$ và $a \cap \left( P \right) = \emptyset $.

Câu 30: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. $I$ là trung điểm $SB.J,K$ là điểm thuộc $BC,AD$ sao cho $\frac{{BJ}}{{BC}} = \frac{{DK}}{{DA}} = \frac{1}{3},M$ là trung điểm $SA$. Hỏi $SC$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. $\left( {MJK} \right)$ B. $\left( {IJK} \right)$ C. $\left( {IBK} \right)$ D. $\left( {IJA} \right)$

Câu 31: Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $AD,BC,AC$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G$. Điểm nào sau đây thuộc giao tuyến của $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ ?

A. $M = EF \cap DB$ B. $Q = GF \cap DC$ C. $K = EG \cap BC$ D. $P = EG \cap DC$

Câu 32: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$. B. $\left[ {9;11} \right)$. C. $\left[ {11;13} \right)$. D. $\left[ {13;15} \right)$.

Câu 33: Theo số liệu thông kê điểm Giữa học kì I môn toán khối 10 của một trường THPT được cho bởi bảng số liệu sau:

Điểm nào đại diện cho nhiều học sinh đạt được nhất?

A. 6,5 . B. 7,5 . C. 7,25 . D. 8 .

Câu 34: Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị là

Cỡ mẫu: $n = 9 + 5 + 15 + 14 + 7 = 50$.

A. $\left[ {30;45} \right)$. B. $\left[ {15;30} \right)$. C. $\left[ {45;60} \right)$. D. $\left[ {60;75} \right)$.

Câu 35: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ và tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. ${Q_1} = \frac{{1360}}{{37}},{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}$. B. ${Q_1} = \frac{{1360}}{{37}},{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}$. C. ${Q_1} = \frac{{136}}{5},{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}$. D. ${Q_1} = \frac{{136}}{5},{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}$.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1: Giải phương trình $sin2x + cosx – \sqrt 2 sin\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 1$.

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{{x – 1}} – \frac{3}{{{x^3} – 1}}}&{\;khi\;x > 1} \\
{mx + 2}&{\;khi\;x \leqslant 1}
\end{array}} \right.$. Tìm $m$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 3: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con; mỗi đôi thỏ con, khi tròn hai tháng tuổi, lại mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau một năm sẽ có tất cả bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm có một đôi thỏ sơ sinh? Giả sử thời gian trong năm này không có con thỏ nào chết.

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB//CD$ và $AB = 2CD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Lấy $E$ thuộc cạnh $SA,F$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3}$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $O$ và song song với mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$. Gọi $P$ là giao điểm của $SD$ với $\left( \alpha \right)$. Tính tỉ số $\frac{{SP}}{{SD}}$.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

1.C	2.A	3.B	4.A	5.D
6.D	7.A	8.D	9.D	10.B
11.C	12.B	13.C	14.C	15.B
16.C	17.B	18.D	19.A	20.A
21.C	22.A	23.B	24.A	25.D
26.C	27.A	28.D	29.C	30.A
31.D	32.B	33.C	34.A	35.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y = \cot x$ là:

A. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$.

B. $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

C. $\mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

D. $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Lời giải

Điều kiện xác định: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định là $\mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Câu 2: Xét các mệnh đề sau:

1. Phương trình $sinx = 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

2. Phương trình $cosx = 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

3. Phương trình $cotx = 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Số mệnh đề đúng là:

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 0 .

Lời giải

Mệnh đề (1) và (3) đúng.

Phương trình $cosx = 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$ nên mệnh đề (2) sai.

Câu 3: Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ của phương trình $cos\left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right) = 1$ là

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải

Ta có: $cos\left( {2x – \frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x – \frac{\pi }{2} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Khi: $x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ { – \frac{{3\pi }}{4};\frac{\pi }{4}} \right\}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$.

Câu 4: Cho dãy $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{{( – 1)}^{n – 1}}}}{{n + 1}}$. Số hạng thứ 9 của dãy là:

A. ${u_9} = \frac{1}{{10}}$.

B. ${u_9} = \frac{{ – 1}}{{10}}$.

C. ${u_9} = \frac{{ – 1}}{9}$.

D. ${u_9} = \frac{1}{9}$

Lời giải

Ta có ${u_9} = \frac{{{{( – 1)}^{9 – 1}}}}{{9 + 1}} = \frac{1}{{10}}$.

Câu 5: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa $\left| {{u_n} – 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$. Khi đó:

A. $lim{u_n}$ không tồn tại.

B. $lim{u_n} = 1$.

C. $lim{u_n} = 0$.

D. $lim{u_n} = 2$.

Lời giải

Ta có: $\left| {{u_n} – 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}} \Rightarrow lim\left( {{u_n} – 2} \right) = lim\frac{1}{{{n^3}}} = 0$$ \Rightarrow lim{u_n} – 2 = 0 \Rightarrow lim{u_n} = 2$.

Câu 6: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {n^2} + n + 1$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$. Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

A. 5 .

B. 3 .

C. 6 .

D. 4 .

Lời giải

Ta có ${n^2} + n + 1 = 21 \Leftrightarrow {n^2} + n – 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 4} \\
{n = – 5}
\end{array}} \right.$.

Vì $n \in {\mathbb{N}^*}$ nên ta chọn $n = 4$. Vậy số 21 là số hạng thứ tư của dãy số đã cho.

Câu 7: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. ${u_n} = {n^2}$.

B. ${u_n} = \frac{1}{{\sqrt n }}$.

C. ${u_n} = 3 – 2n$.

D. ${u_n} = – 2{n^2} + 3n + 1$.

Lời giải

Xét ${u_n} = {n^2}$. Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = {(n + 1)^2} – {n^2} = 2n + 1 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Vậy ${u_n} = {n^2}$ là dãy số tăng.

Câu 8: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là $ – 4,1,x$. Khi đó giá trị của $x$ bằng:

A. $x = 9$.

B. $x = 4$.

C. $x = 7$.

D. $x = 6$.

Lời giải

Theo tính chất các số hạng trong cấp số cộng, ta có: $\frac{{ – 4 + x}}{2} = 1 \Leftrightarrow – 4 + x = 2 \Leftrightarrow x = 6$.

Câu 9: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${S_2} = 4,{S_3} = 13$. Biết ${u_2} < 0$, giá trị của ${S_5}$ bằng

A. 11 .

B. 2 .

C. $\frac{{35}}{{16}}$.

D. $\frac{{181}}{{16}}$.

Lời giải

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S_2} = 4} \\
{{S_3} = 13}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + {u_1}q = 4} \\
{{u_3} = 9}
\end{array}} \right.} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\left( {1 + q} \right) = 4} \\
{{u_1} \cdot {q^2} = 9}
\end{array}} \right.$

Suy ra $\frac{{1 + q}}{{{q^2}}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow 4{q^2} – 9q – 9 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{q = – \frac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 16 \Rightarrow {u_2} = – 12 < 0\left( {TM} \right)} \\
{q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = 3 > 0\left( L \right)}
\end{array}} \right.$

Ta có ${S_5} = {u_1} \cdot \frac{{{q^5} – 1}}{{q – 1}} = 16 \cdot \frac{{{{\left( { – \frac{3}{4}} \right)}^5} – 1}}{{ – \frac{3}{4} – 1}} = \frac{{181}}{{16}}$.

Câu 10: Cho hai góc $\alpha $ và $\beta $ thỏa mãn $sin\alpha = \frac{3}{5},\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi } \right)$ và $cos\beta = \frac{{12}}{{13}},\left( {0 < \beta < \frac{\pi }{2}} \right)$. Giá trị của $sin\left( {\alpha – \beta } \right)$ là

A. $ – \frac{{56}}{{65}}$.

B. $\frac{{56}}{{65}}$.

C. $\frac{{16}}{{65}}$.

D. $ – \frac{{16}}{{65}}$.

Lời giải

Ta có: $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ nên $cos\alpha < 0 \Rightarrow cos\alpha = – \sqrt {1 – si{n^2}\alpha } = – \frac{4}{5}$.

Lại có: $0 < \beta < \frac{\pi }{2}$ nên $sin\beta > 0 \Rightarrow sin\beta = \sqrt {1 – co{s^2}\alpha } = \frac{5}{{13}}$.

Vậy $sin\left( {\alpha – \beta } \right) = sin\alpha cos\beta – cos\alpha sin\beta $$ = \frac{3}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}} – \left( {\frac{{ – 4}}{5}} \right) \cdot \frac{5}{{13}} = \frac{{56}}{{65}}$.

Câu 11: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.

A. Nếu $lim{u_n} = + \infty $ và $lim{v_n} = a > 0$ thì $lim\left( {{u_n}{v_n}} \right) = + \infty $.

B. Nếu $lim{u_n} = a \ne 0$ và $lim{v_n} = \pm \infty $ thì $lim\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = 0$.

C. Nếu $lim{u_n} = a > 0$ và $lim{v_n} = 0$ thì $lim\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty $.

D. Nếu $lim{u_n} = a < 0$ và $lim{v_n} = 0$ và ${v_n} > 0$ với mọi $n$ thì $lim\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = – \infty $.

Lời giải

Nếu $lim{u_n} = a > 0$ và $lim{v_n} = 0$ thì $lim\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty $ là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của ${v_n}$ là dương hay âm.

Câu 12: Nghiệm của phương trình $tan3x = tanx$ là

A. $x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

B. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

C. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

D. $x = \frac{{k\pi }}{6},k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

Ta có $tan3x = tanx \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{cos3x \ne 0} \\
{cosx \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}} \\
{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}} \right.} \right.$

Ta có $tan3x = tanx \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Kết hợp điều kiện $\left( * \right)$ suy ra $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 13: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {a;b} \right]$. Tìm mệnh đề đúng.

A. Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) > 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.

B. Nếu $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.

C. Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, tăng trên $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) > 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.

D. Nếu phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$ thì hàm số $f\left( x \right)$ phải liên tục trên $\left( {a;b} \right)$.

Lời giải

Vì $f\left( a \right)f\left( b \right) > 0$ nên $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$ cùng dương hoặc cùng âm. Mà $f\left( x \right)$ liên tục, tăng trên $\left[ {a;b} \right]$ nên đồ thị hàm $f\left( x \right)$ nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên $\left[ {a;b} \right]$ hay phương trình $f\left( x \right) = 0$ không có nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Câu 14: Biết giới hạn $lim\frac{{3 – 2n}}{{5n + 1}} = \frac{a}{b}$ trong đó $a,b \in Z$ và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $a.b$.

A. 6 .

B. 3 .

C. -10 .

D. 15

Lời giải

Ta có: $lim\frac{{3 – 2n}}{{5n + 1}} = lim\frac{{\frac{3}{n} – 2}}{{5 + \frac{1}{n}}} = – \frac{2}{5}$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 2} \\
{b = 5}
\end{array} \Rightarrow a \cdot b = – 10} \right.$.

Câu 15: Tìm $lim\left( { – 2{n^3} + a{n^2} + b} \right)$, với $a,b$ là các tham số.

A. $a$.

B. $ – \infty $.

C. $ + \infty $.

D. $ – 2 + a + b$

Lời giải

Ta có $lim\left( { – 2{n^3} + a{n^2} + b} \right) = lim\left[ {{n^3}\left( { – 2 + \frac{a}{n} = \frac{b}{{{n^3}}}} \right)} \right] = – \infty $.

Câu 16: Chọn kết quả sai trong các kết quả dưới đây?

A. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$.

B. $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^5} = – \infty $.

C. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{{x^2}}} = + \infty $.

D. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} C = C$.

Lời giải

Ta có $:\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 2 = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2} = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{{x^2}}} = 0$.

Câu 17: Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 1}}$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số liên tục tại $x = 1$.

B. Hàm số không liên tục tại $x = – 1$.

C. Hàm số liên tục tại $x = 0$.

D. Hàm số liên tục tại mọi điểm $x \in \mathbb{R}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Lời giải

Suy ra hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 1}}$ liên tục tại mọi điểm $x \in \mathbb{R}$.

Câu 18: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} – 9}}{{{x^2} – 3x}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có 2 điểm gián đoạn là $x = – 3,x = 3$.

B. Hàm số chỉ có 1 điểm gián đoạn là $x = 0$.

C. Hàm số chỉ có 1 điểm gián đoạn là $x = 0$.

D. Hàm số có 2 điểm gián đoạn là $x = 0,x = 3$.

Lời giải

Tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {0;3} \right\} \Rightarrow $ hàm số gián đoạn tại các điểm $x = 0,x = 3$.

Câu 19: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{2{x^2} + 3x – 14}}{{4 – {x^2}}}}&{\;khi\;x \ne 2} \\
a&{\;khi\;x = 2}
\end{array}} \right.$. Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục tại $x = 2$ ?

A. $ – \frac{{11}}{4}$.

B. $\frac{{11}}{4}$.

C. $\frac{{11}}{2}$.

D. $ – \frac{{11}}{2}$.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} + 3x – 14}}{{4 – {x^2}}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x – 2)(2x + 7)}}{{(2 – x)(2 + x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ – 2x – 7}}{{x + 2}} = – \frac{{11}}{4}$ và $f(2) = a$

Để hàm số liên tục tại $x = 2$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow a = – \frac{{11}}{4}$.

Câu 20: Hàm số nào sau đây gián đoạn tại điểm ${x_0} = – 1$.

A. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$.

B. $y = \frac{x}{{x – 1}}$.

C. $y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)$.

D. $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$.

Lời giải

Hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ xác định khi và chỉ khi $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne – 1$

Tập xác định của hàm số là $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( { – 1; + \infty } \right)$

Hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Vậy hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ gián đoạn tại điểm ${x_0} = – 1$.

Câu 21: Biết hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a{x^2} + bx – 5}&{\;khi\;}&{x \leqslant 1} \\
{2ax – 3b}&{\;khi\;}&{x > 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$. Tính giá trị của biểu thức $P = a – 4b$.

A. $P = – 4$.

B. $P = 5$.

C. $P = – 5$.

D. $P = 4$.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {a{x^2} + bx – 5} \right) = a + b – 5 = f(1)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2ax – 3b) = 2a – 3b$.

Do hàm số liên tục tại $x = 1$ nên $a + b – 5 = 2a – 3b \Rightarrow a – 4b = – 5$.

Câu 22: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song.

C. Hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

Lời giải

Áp dụng định nghĩa: Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

Câu 23: Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Mặt phẳng $\left( {AB’D’} \right)$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. $\left( {BCA’} \right)$.

B. $\left( {BC’D} \right)$.

C. $\left( {A’C’C} \right)$.

D. $\left( {BDA’} \right)$.

Lời giải

Do $ADC’B’$ là hình bình hành nên $AB’//DC’$ và $ABC’D’$ là hình bình hành nên $AD’//BC’$ nên $\left( {AB’D’} \right)//\left( {BC’D} \right)$.

Câu 24: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD,G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ và $N$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $NB = 2NC$. Kết luận nào sau đây sai?

A. $NG//\left( {BCM} \right)$.

B. $NG//\left( {ACD} \right)$.

C. $NG$ và $AB$ chéo nhau.

D. $NG//CM$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $NG \subset \left( {BCM} \right)$ do $NG$ không song song $\left( {BCM} \right)$.

Câu 25: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M,I$ lần lượt là trung điểm của $BD,SD$. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng $\left( {SAO} \right)$ ?

A. Điểm $B$.

B. Điểm $M$.

C. Điểm $I$.

D. Điểm $C$.

Lời giải

Ba điểm $A,O,C$ thẳng hàng nên điểm $C$ nằm trên mặt phẳng $\left( {SAO} \right)$.

Câu 26: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $E$ là trung điểm của $SA$. Mặt phẳng nào dưới đây chứa đường thẳng $OE$ ?

A. $\left( {SBC} \right)$.

B. $\left( {ABCD} \right)$.

C. $\left( {SAC} \right)$.

D. $\left( {CDE} \right)$.

Lời giải

Do $O \in AC$ và $E \in SA$ nên $OE \subset \left( {SAC} \right)$.

Câu 27: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$. Giao tuyến giữa mặt phẳng $\left( {ABQ} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ADP} \right)$ là

A. $AG$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.

B. $AI$ với $I$ là trung điểm của $BD$.

C. $AE$ với $E$ là trung điểm của $BQ$.

D. $AK$ với $K$ là trung điểm của $PQ$.

Lời giải

Ta có $A \in \left( {ABQ} \right) \cap \left( {ADP} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, ta gọi $G = BQ \cap PD$. Do $BQ,DP$ là các đường trung tuyến nên $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{G \in BQ \subset \left( {ABQ} \right) \Rightarrow G \in \left( {ABQ} \right)} \\
{G \in DP \subset \left( {ADP} \right) \Rightarrow G \in \left( {ADP} \right)}
\end{array} \Rightarrow G \in \left( {ABQ} \right) \cap \left( {ADP} \right)} \right.$.

Do đó, ta có $AG = \left( {ABQ} \right) \cap \left( {ADP} \right)$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.

Câu 28: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB//CD$ và $AB = 2CD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SA$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $AM//DN$.

B. $MN//BC$.

C. $SB//MC$.

D. $MD//NC$.

Lời giải

Các đáp án ${\mathbf{A}},{\mathbf{B}},{\mathbf{C}}$ sai vì các đường thẳng đó không đồng phẳng.

Ta có $MN$ là đường trung bình trong tam giác $SAB \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//AB} \\
{MN = \frac{1}{2}AB}
\end{array}} \right.$.

Mặt khác: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD//AB} \\
{CD = \frac{1}{2}AB}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//CD} \\
{MN = CD}
\end{array}} \right.} \right.$ suy ra $MNCD$ là hình bình hành.

Vậy $MD//NC$.

Câu 29: Với điều kiện nào sau đây thì đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ ?

A. $d//a$ và $a \subset \left( P \right)$.

B. $d//a$ và $a//\left( P \right)$.

C. $d \cap \left( P \right) = \emptyset $.

D. $d//a$ và $a \cap \left( P \right) = \emptyset $.

Lời giải

Áp dụng định nghĩa: $d \cap \left( P \right) = \emptyset $

Câu 30: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. $I$ là trung điểm $SB.J,K$ là điểm thuộc $BC,AD$ sao cho $\frac{{BJ}}{{BC}} = \frac{{DK}}{{DA}} = \frac{1}{3},M$ là trung điểm $SA$. Hỏi $SC$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. $\left( {MJK} \right)$

B. $\left( {IJK} \right)$

C. $\left( {IBK} \right)$

D. $\left( {IJA} \right)$

Lời giải

Do $\frac{{BJ}}{{BC}} = \frac{{DK}}{{DA}} = \frac{1}{3}$ và $BC = AD$ nên $BJ = DK$ hay $JC = AK$

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $JK$. Khi đó: $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{AK}}{{JC}} = 1 \Rightarrow O$ là trung điểm $AC$

$ \Rightarrow MO$ là đường trung bình tam giác $SAC \Rightarrow MO//SC$, mà $MO \subset \left( {MJK} \right)$

Vậy $SC//\left( {MJK} \right)$.

Câu 31: Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $AD,BC,AC$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G$. Điểm nào sau đây thuộc giao tuyến của $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ ?

A. $M = EF \cap DB$

B. $Q = GF \cap DC$

C. $K = EG \cap BC$

D. $P = EG \cap DC$

Lời giải

Vì $EG,DC$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$, gọi $P = EG \cap DC$ khi đó $P$ thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$.

Câu 32: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$.

B. $\left[ {9;11} \right)$.

C. $\left[ {11;13} \right)$.

D. $\left[ {13;15} \right)$.

Lời giải

Số trung bình của mẫu số liệu trên là: $\overline x = \frac{{6.2 + 8.7 + 10.7 + 12.3 + 14.1}}{{20}} = 9,4$

Câu 33: Theo số liệu thông kê điểm Giữa học kì I môn toán khối 10 của một trường THPT được cho bởi bảng số liệu sau:

Điểm nào đại diện cho nhiều học sinh đạt được nhất?

A. 6,5 .

B. 7,5 .

C. 7,25 .

D. 8 .

Lời giải

Theo bảng thống kê, giá trị lớn nhất là 60 thuộc lớp [6,5;8) nên giá trị đại diện là

$\frac{{6,5 + 8}}{2} = 7,25$

Câu 34: Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị là

A. $\left[ {30;45} \right)$.

B. $\left[ {15;30} \right)$.

C. $\left[ {45;60} \right)$.

D. $\left[ {60;75} \right)$.

Cỡ mẫu: $n = 9 + 5 + 15 + 14 + 7 = 50$.

Lời giải

Gọi ${x_1}, \ldots ,{x_{50}}$ là thời gian khảo sát tập thể dục trong ngày của 50 học sinh khối 11 và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$. Do hai giá trị ${x_{25}},{x_{26}}$ thuộc nhóm $\left[ {30;45} \right)$.

Câu 35: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ và tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. ${Q_1} = \frac{{1360}}{{37}},{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}$.

B. ${Q_1} = \frac{{1360}}{{37}},{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}$.

C. ${Q_1} = \frac{{136}}{5},{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}$.

D. ${Q_1} = \frac{{136}}{5},{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}$.

Lời giải

Cỡ mẫu là $n = 128$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_{32}} + {x_{33}}}}{2}$. Do ${x_{32}},{x_{33}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {25;30} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$.

Do đó, $p = 3;{a_3} = 25;{m_3} = 25;{m_1} + {m_2} = 21,{a_4} – {a_3} = 5$ và ta có ${Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{128}}{4} – 21}}{{25}} \cdot 5 = \frac{{136}}{5}$

Với tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{96}} + {x_{97}}}}{2}$. Do ${x_{96}},{x_{97}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {35;40} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_3}$.

Do đó, $p = 5;{a_5} = 35;{m_5} = 21;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} = 7 + 14 + 25 + 37 = 83;{a_6} – {a_5} = 5$ và ta có ${Q_3} = 35 + \frac{{\frac{{3.128}}{4} – 83}}{{21}} \cdot 5 = \frac{{800}}{{21}}$.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1: Giải phương trình $sin2x + cosx – \sqrt 2 sin\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 1$.

Lời giải

Ta có: $sin2x + cosx – \sqrt 2 sin\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow 2sinxcosx + cosx – sinx + cosx – 1 = 0$

$ \Leftrightarrow 2cosx\left( {sinx + 1} \right) – \left( {sinx + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {sinx + 1} \right)\left( {2cosx – 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{s\;i\;nx + 1 = 0} \\
{2c\;o\;sx – 1 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{s\;i\;nx = – 1} \\
{c\;o\;sx = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{{x – 1}} – \frac{3}{{{x^3} – 1}}}&{\;khi\;x > 1} \\
{mx + 2}&{\;khi\;x \leqslant 1}
\end{array}} \right.$. Tìm $m$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Khi $x \in \left( { – \infty ;1} \right):f\left( x \right) = mx + 2$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\left( { – \infty ;1} \right)$.

Khi $x \in \left( {1; + \infty } \right):f\left( x \right) = \frac{1}{{x – 1}} – \frac{3}{{{x^3} – 1}}$ là hiệu hai hàm phân thức nên liên tục trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

Tại $x = 1$ :

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{1}{{x – 1}} – \frac{3}{{{x^3} – 1}}} \right)$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x – 2}}{{{x^3} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x – 1)(x + 2)}}{{(x – 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} = 1$.

Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (mx + 2) = 2 + m$ và $f(1) = 2 + m$.

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow $ hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$

$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 2 + m = 1 \Leftrightarrow m = – 1$.

Vậy với $m = – 1$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 3: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con; mỗi đôi thỏ con, khi tròn hai tháng tuổi, lại mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau một năm sẽ có tất cả bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm có một đôi thỏ sơ sinh? Giả sử thời gian trong năm này không có con thỏ nào chết.

Lời giải

Số đôi thỏ tạo thành dãy Fibonacci, gọi ${u_n}$ là số đôi thỏ tại tháng thứ $n$ ta có dãy số cho bởi công thức truy hồi sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = {u_2} = 1} \\
{{u_n} = {u_{n – 1}} + {u_{n – 2}},n \geqslant 3}
\end{array}} \right.$

Số lượng đôi thỏ là:

Vậy sau một năm có 144 đôi thỏ.

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB//CD$ và $AB = 2CD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Lấy $E$ thuộc cạnh $SA,F$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3}$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $O$ và song song với mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$. Gọi $P$ là giao điểm của $SD$ với $\left( \alpha \right)$. Tính tỉ số $\frac{{SP}}{{SD}}$.

Lời giải

Vì $\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3}$ nên $EF//AC$.

Mà $EF \subset \left( {BEF} \right),AC \not\subset \left( {BEF} \right)$ nên $AC$ song song với mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$.

Vì $AC$ qua $O$ và $AC$ song song với mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$ nên $AC \subset \left( \alpha \right)$.

Trong $\left( {SAC} \right)$, gọi $I = SO \cap EF$; trong $\left( {SBD} \right)$, gọi $N = BI \cap SD$.

Suy ra $N$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$.

Hai mặt phẳng song song $\left( {BEF} \right)$ và $\left( \alpha \right)$ bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba là $\left( {SCD} \right)$ theo hai giao tuyến lần lượt là $FN$ và $Ct$ nên hai giao tuyến đó song song nhau, tức là $Ct//FN$.

Trong $\left( {SCD} \right),Ct$ cắt $SD$ tại $P$. Khi đó $P$ là giao điểm của $SD$ với $\left( \alpha \right)$.

Trong hình thang $ABCD$, do $AB//CD$ và $AB = 2CD$ nên $\frac{{BO}}{{OD}} = \frac{{AB}}{{CD}} = 2 \Rightarrow \frac{{BO}}{{BD}} = \frac{2}{3}$.

Trong tam giác $SAC$, có $EF//AC$ nên $\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{IS}}{{IO}} = 2$.

Xét tam giác $SOD$ với cát tuyến $NIB$,

ta có: $\frac{{NS}}{{ND}} \cdot \frac{{BD}}{{BO}} \cdot \frac{{IO}}{{IS}} = 1$$ \Rightarrow \frac{{NS}}{{ND}} = \frac{{BO}}{{BD}} \cdot \frac{{IS}}{{IO}} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$

Suy ra: $\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{4}{7}\left( 1 \right)$.

Lại có: $\frac{{SN}}{{SP}} = \frac{{SF}}{{SC}} = \frac{2}{3}($ Do $CP//FN)\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{SP}}{{SD}} = \frac{6}{7}$.