Đề Ôn Thi Học Kỳ 1 Toán 11 Cánh Diều Giải Chi Tiết-Đề 1

Đề ôn thi học kỳ 1 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM:

Câu 1: (NB) Cho góc lượng giác $\alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi $. Tìm $k$ để $10\pi < \alpha < 11\pi .$

A. $k = 4.$ B. $k = 5.$ C. $k = 6.$ D. $k = 7.$

Câu 2: (TH) Cho đồ thị hàm số như sau :

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. là hàm số $y = \sin x$ và đồng biến trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$.

B. là hàm số $y = \cos x$ và đồng biến trong khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$.

C. là hàm số $y = \sin x$ và đồng biến trong khoảng $\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)$.

D. là hàm số $y = \tan x$và đồng biến trong khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

Câu 3: (NB) Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ${u_n} = {( – 1)^n}$

A. Bị chặn B. Không bị chặn

C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới

Câu 4: (TH) Cho dãy số $\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 4 \hfill \\
{u_{n + 1}} = {u_n} + n \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tìm số hạng thứ $5$ của dãy số.

A. $16$. B. $12$. C. $15$. D. $14$.

Câu 5: (TH) Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_2} = 3$ và ${u_4} = 7$. Giá trị của ${u_{15}}$ bằng

A. $27$. B. $31$. C. $35$. D. $29$.

Câu 6: (NB) Cho một cấp số cộng có ${u_1} = – \frac{1}{2};\,\,d = \frac{1}{2}$. Hãy chọn kết quả đúng.

A. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,1;\,\frac{1}{2};\,1….$

B. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2}…..$

C. Dạng khai triển: $\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2};\,2;\,\frac{5}{2};…..$

D. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2}…..$

Câu 7: (TH) Cho dãy số ${u_1} = 1$;${u_n} = {u_{n – 1}} + 2$, $\left( {n \in \mathbb{N},n > 1} \right)$. Kết quả nào đúng?

A. ${u_5} = 9$. B. ${u_3} = 4$ C. ${u_2} = 2$. D. ${u_6} = 13$.

Câu 8: (NB) Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$. B. $1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16$.

C. $1;\,\, – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,1$. D. $1;\,\, – 2;\,\,4;\,\, – 8;\,\,16$.

Câu 9: (TH) Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right);{u_1} = 1,q = 2$. Hỏi số $1024$ là số hạng thứ mấy?

A. $11$. B. $9$. C. $8$. D. $10$.

Câu 10: (NB) Cho $\lim {u_n} = – 3$; $\lim {v_n} = 2$. Khi đó $\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right)$ bằng

A. $ – 5$. B. $ – 1$. C. $5$. D. $1$.

Câu 11: (TH) $L = \lim \frac{{n – 1}}{{{n^3} + 3}}$ bằng

A. $L = 1.$ B. $L = 0.$ C. $L = 3.$ D. $L = 2.$

Câu 12: (TH) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{5x + 3}}$bằng

A. $0$. B. $\frac{1}{3}$. C. $ + \infty $. D. $\frac{1}{5}$.

Câu 13: (TH) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} – x}}{{x – 1}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$. B. $ – \frac{1}{2}$. C. $\frac{3}{2}$ D. $ – \frac{3}{2}$.

Câu 14: (TH)$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x + 2}}{{x – 1}}$ bằng:

A. $ + \infty $. B. $\frac{1}{2}$. C. $ – \infty $ D. $ – \frac{1}{2}$.

Câu 15: (TH) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} {\mkern 1mu} \frac{1}{{x – 3}}$ bằng

A. $ – \frac{1}{6}$. B. $ – \infty $. C. $0$. D. $ + \infty $.

Câu 16: (NB) Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 2$?

A. $y = \sqrt {x + 2} $. B. $y = \sin x$.

C. $y = \frac{{{x^2}}}{{x – 2}}$. D. $y = {x^2} – 3x + 2$.

Câu 17: (NB) Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ liên tục trên khoảng:

A. $\left( {0;2} \right)$. B. $\left( { – 2;0} \right)$. C. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$. D. $\left( {1;3} \right)$.

Câu 18: (NB) Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{{x^3} – x}}$. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số liên tục tại $x = – 1$. B. Hàm số liên tục tại $x = 0$.

C. Hàm số liên tục tại $x = 1$. D. Hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2}$.

Câu 19: (NB) Hàm số nào dưới đây liên tục trên $\mathbb{R}$?

A. $y = 2x – 3\cos x$. B. $y = 1 + \tan x$.

C. $y = x – \cot x$. D. $y = \frac{1}{{\cos x}}$.

Câu 20: (NB) Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho?

A. $2.$ B. $3.$ C. $4.$ D. $6.$

Câu 21: (TH) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $d$ qua $S$ và song song với $BC$.

B. $d$ qua $S$ và song song với $DC$.

C. $d$ qua $S$ và song song với $AB$.

D. $d$ qua $S$ và song song với $BD$.

Câu 22: (TH) Cho hai đường thẳng phân biệt $a,\;b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, $b \subset \left( \alpha \right)$. Khi đó:

A. $a\,\parallel \,b.$ B. $a,\;b$ chéo nhau.

C. $a\,\parallel \,b$ hoặc $a,\;b$ chéo nhau. D. $a,\;b$ cắt nhau.

Câu 23: (TH) Cho $d\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, mặt phẳng $\left( \beta \right)$ qua $d$ cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến $d’$. Khi đó:

A. $d\,\parallel \,d’.$ B. $d$ cắt $d’$. C. $d$ và $d’$ chéo nhau. D. $d \equiv d’.$

Câu 24: (TH) Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận $mp\left( \alpha \right)\parallel mp\left( \beta \right)?$

A. $\left( \alpha \right)\parallel \left( \gamma \right)$ và $\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\;(\left( \gamma \right)$ là mặt phẳng nào đó$).$

B. $\left( \alpha \right)\parallel a$ và $\left( \alpha \right)\parallel b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt thuộc $\left( \beta \right).$

C. $\left( \alpha \right)\parallel a$ và $\left( \alpha \right)\parallel b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với $\left( \beta \right).$

D. $\left( \alpha \right)\parallel a$ và $\left( \alpha \right)\parallel b$ với $a,b$ là hai đường thẳng cắt nhau thuộc$\left( \beta \right).$

Câu 25: (TH) Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a và b có hình chiếu là hai đường thẳng song song a’ và b’. Khi đó:

A. a và b phải song song với nhau.

B. a và b phải cắt nhau.

C. a và b có thể chéo nhau hoặc song song với nhau.

D. a và b không thể song song.

Câu 26: (NB) Cho dãy số liệu thống kê: $21$, $23$, $24$,$25$, $22$, $20$. Số trung bình cộng của dãy số liệu thống kê đã cho là

A. $23,5$. B. $22$. C. $22,5$. D. $14$.

Câu 27: (NB) Một nhóm $11$ học sinh tham gia một kỳ thi. Số điểm thi của $11$ học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau (thang điểm 10): $0;0;3;6;6;7;7;8;8;8;9$. Tìm số trung bình của mẫu số liệu (tính chính xác đến hàng phần trăm).

A. $5$. B. $5,54$. C. $6$. D. $5,64$.

Câu 28: (NB) Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Mẫu số liệu ghép nhóm này có số mốt bằng

A. 14. B. 9. C. 7. D. 5.

Câu 29: (NB) Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc củacác nhân viên một công ty như sau:

Có bao nhiêu nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ 15 phút đến dưới 20 phút?

A. 6. B. 9. C. 14. D. 13.

Câu 30: (NB) Mốt của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$. B. $\left[ {9;11} \right)$. C. $\left[ {11;13} \right)$. D. $\left[ {13;15} \right)$.

Câu 31: (TH) Điều tra về số tiền mua đồ dùng học tập trong một tháng của 40 học sinh, ta có mẫu số liệu như sau (đơn vị: nghìn đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu là

A. $22,5$. B. $25$. C. $25,5$. D. $27$.

Câu 32: (TH) Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$. B. $\left[ {9;11} \right)$. C. $\left[ {11;13} \right)$. D. $\left[ {13;15} \right)$.

Câu 33: (TH) Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.

Câu 34: (TH) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 7. B. 7,6. C. 8. D. 8,6.

Câu 35: (TH) Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$. B. $\left[ {9;11} \right)$. C. $\left[ {11;13} \right)$. D. $\left[ {13;15} \right)$.

II. PHẦN TỰ LUẬN:

Câu 36: (VDT) Giải phương trình $\cos 3x = \cos x$

Câu 37: (VDT) Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 3$ và công sai $d = 7$.Kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của $\left( {{u_n}} \right)$ đều lớn hơn $2018$?

Câu 38: (VDT) Để tiết kiệm năng lượng, một công ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho dân với theo hình thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm $10$ số; bậc $1$ từ số thứ $1$ đến số thứ $10$, bậc $2$ từ số thứ $11$ đến số $20$, bậc $3$ từ số thứ $21$ đến số thứ $30$,…. Bậc $1$ có giá là $800$ đồng/$1$ số, giá của mỗi số ở bậc thứ $n + 1$ tăng so với giá của mỗi số ở bậc thứ $n$ là $2,5\% $. Gia đình ông A sử dụng hết $347$ số trong tháng $1$, hỏi tháng $1$ ông A phải đóngbao nhiêu tiền? (đơn vị là đồng, kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 39: (VDT) [VD]Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{x + \sqrt {x + 2} }}{{x + 1}} , khi x > – 1 \hfill \\
2x + 3 , khi x \leqslant – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. tại ${x_0} = – 1$

Câu 40: (VDC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E là trung điểm của SC.Tìm giao tuyến của $\left( {BED} \right)$và $\left( {SAC} \right)$.

Câu 41: (VDC)

Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của chiếc điện thoại mới, chị An thống kê thời gian sử dụng điện thoại của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:

Chị An cho rằng có khoảng $25\% $ số lần sạc điện thoại chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của chị An có hợp lí không?

ĐÁP ÁN

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM:

1	2	3	4	5
B	C	B	D	D
6	7	8	9	10
D	A	A	A	A
11	12	13	14	15
B	A	D	C	B
16	17	18	19	20
C	B	D	A	C
21	22	23	24	25
A	C	A	D	C
26	27	28	29	30
C	D	A	A	B
31	32	33	34	35
B	B	B	C	B

GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: (NB) Cho góc lượng giác $\alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi $. Tìm $k$ để $10\pi < \alpha < 11\pi .$

A. $k = 4.$ B. $k = 5.$ C. $k = 6.$ D. $k = 7.$

Lời giải

Chọn B.

Ta có $10\pi < \alpha < 11\pi \xrightarrow{{}}\frac{{19\pi }}{2} < k2\pi < \frac{{21\pi }}{2}\,\xrightarrow{{}}k = 5.$

Câu 2: (TH) Cho đồ thị hàm số như sau :

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. là hàm số $y = \sin x$ và đồng biến trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$.

B. là hàm số $y = \cos x$ và đồng biến trong khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$.

C. là hàm số $y = \sin x$ và đồng biến trong khoảng $\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)$.

D. là hàm số $y = \tan x$và đồng biến trong khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Câu 3: (NB) Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ${u_n} = {( – 1)^n}$

A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới

Lời giải

ChọnB.

Câu 4: (TH) Cho dãy số $\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 4 \hfill \\
{u_{n + 1}} = {u_n} + n \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tìm số hạng thứ $5$ của dãy số.

A. $16$. B. $12$. C. $15$. D. $14$.

Lời giải

Chọn D

Ta có ${u_2} = {u_1} + 1 = 5$; ${u_3} = {u_2} + 2 = 7$; ${u_4} = {u_3} + 3 = 10$. Do đó số hạng thứ $5$của dãy số là ${u_5} = {u_4} + 4 = 14$.

Câu 5: (TH) Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_2} = 3$ và ${u_4} = 7$. Giá trị của ${u_{15}}$ bằng

A. $27$. B. $31$. C. $35$. D. $29$.

Lời giải

Chọn D

Từ giả thiết ${u_2} = 3$ và ${u_4} = 7$ suy ra ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered}
{u_1} + d = 3 \hfill \\
{u_1} + 3d = 7 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 1 \hfill \\
d = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Vậy ${u_{15}} = {u_1} + 14d = 29$.

Câu 6: (NB) Cho một cấp số cộng có ${u_1} = – \frac{1}{2};\,\,d = \frac{1}{2}$. Hãy chọn kết quả đúng.

A. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,1;\,\frac{1}{2};\,1….$

B. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2}…..$

C. Dạng khai triển: $\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2};\,2;\,\frac{5}{2};…..$

D. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2}…..$

Lời giải

Chọn D

Câu 7: (TH) Cho dãy số ${u_1} = 1$;${u_n} = {u_{n – 1}} + 2$, $\left( {n \in \mathbb{N},n > 1} \right)$. Kết quả nào đúng?

A. ${u_5} = 9$. B. ${u_3} = 4$. C. ${u_2} = 2$. D. ${u_6} = 13$.

Lời giải

Chọn A

Ta có ${u_n} = {u_{n – 1}} + 2$ $ \Rightarrow {u_n} – {u_{n – 1}} = 2$ nên dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d = 2$.

Nên theo công thức tổng quát của CSC ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$.

Do đó: ${u_2} = {u_1} + d$$ = 1 + 2 = 3$; ${u_3} = {u_1} + 2d$$ = 1 + 2.2$$ = 5$;${u_5} = {u_1} + 4d$$ = 1 + 4.2$$ = 9$;

${u_6} = {u_1} + 5d$$ = 1 + 5.2$ $ = 11$.

Vậy ${u_5} = 9$.

Câu 8: (NB) Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$. B. $1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16$.

C. $1;\,\, – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,1$. D. $1;\,\, – 2;\,\,4;\,\, – 8;\,\,16$.

Lời giải

Chọn A

Dãy $1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$.

Dãy $1;\,\, – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,1$ là cấp số nhân với công bội $q = – 1$.

Dãy $1;\,\, – 2;\,\,4;\,\, – 8;\,\,16$ là cấp số nhân với công bội $q = – 2$.

Dãy $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$.

Câu 9: (TH) Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right);{u_1} = 1,q = 2$. Hỏi số $1024$ là số hạng thứ mấy?

A. $11$. B. $9$. C. $8$. D. $10$.

Lời giải

Chọn A

Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} \Leftrightarrow {1.2^{n – 1}} = 1024 \Leftrightarrow {2^{n – 1}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n – 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11$.

Câu 10: (NB) Cho $\lim {u_n} = – 3$; $\lim {v_n} = 2$. Khi đó $\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right)$ bằng

A. $ – 5$. B. $ – 1$. C. $5$. D. $1$.

Lời giải

Chọn A

$\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = \lim {u_n} – \lim {v_n} = – 3 – 2 = – 5$.

Câu 11: (TH) $L = \lim \frac{{n – 1}}{{{n^3} + 3}}$.

A. $L = 1.$ B. $L = 0.$ C. $L = 3.$ D. $L = 2.$

Lời giải

Chọn B

Ta có $\lim \frac{{n – 1}}{{{n^3} + 3}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} – \frac{1}{{{n^3}}}}}{{1 + \frac{3}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0$.

Câu 12: (TH) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{5x + 3}}$ bằng

A. $0$. B. $\frac{1}{3}$. C. $ + \infty $. D. $\frac{1}{5}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{5x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{5 + \frac{3}{x}}} = 0$.

Câu 13: (TH) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} – x}}{{x – 1}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$. B. $ – \frac{1}{2}$. C. $\frac{3}{2}$ D. $ – \frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} – x}}{{x – 1}} = \frac{{\sqrt 4 + 1}}{{ – 1 – 1}} = – \frac{3}{2}$.

Câu 14: (TH)$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x + 2}}{{x – 1}}$ bằng:

A. $ + \infty $. B. $\frac{1}{2}$. C. $ – \infty $ D. $ – \frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x + 2}}{{x – 1}} = – \infty $ vì $\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) = 3 > 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x – 1} \right) = 0 \hfill \\
x – 1 < 0,\forall x < 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Câu 15: (TH) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} {\mkern 1mu} \frac{1}{{x – 3}}$ bằng

A. $ – \frac{1}{6}$. B. $ – \infty $. C. $0$. D. $ + \infty $.

Lời giải

Chọn B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left( {x – 3} \right) = 0,x – 3 < 0,\forall x < 3$.

Câu 16: (NB) Hàm số nào sau đây không liên tục tại $x = 2$?

A. $y = \sqrt {x + 2} $. B. $y = \sin x$.

C. $y = \frac{{{x^2}}}{{x – 2}}$. D. $y = {x^2} – 3x + 2$.

Lời giải

Chọn C

Hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{{x – 2}}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$ nên không liên tục tại $x = 2$.

Câu 17: (NB) Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ liên tục trên khoảng:

A. $\left( {0;2} \right)$. B. $\left( { – 2;0} \right)$. C. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$. D. $\left( {1;3} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ liên tục khi ${x^2} – 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \ne 1 \hfill \\
x \ne 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Ta có: $x = 1 \in \left( {0;2} \right)$ loại A

$x = 2 \in \left( {1;3} \right)$ loại D

$\left\{ {1;2} \right\} \subset \left( { – \infty ; + \infty } \right)$ loại C

Câu 18: (NB) Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{{x^3} – x}}$. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số liên tục tại $x = – 1$. B. Hàm số liên tục tại $x = 0$.

C. Hàm số liên tục tại $x = 1$. D. Hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Tại $x = \frac{1}{2}$, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x – 1}}{{{x^3} – 1}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)$. Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$.

Câu 19: (NB) Hàm số nào dưới đây liên tục trên $\mathbb{R}$?

A. $y = 2x – 3\cos x$. B. $y = 1 + \tan x$.

C. $y = x – \cot x$. D. $y = \frac{1}{{\cos x}}$.

Lời giải

Chọn A

+ Do hàm số $y = 1 + \tan x$ và hàm số $y = \frac{1}{{\cos x}}$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$ nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$. Do đó loại phương án B, D

+ Do hàm số $y = x – \cot x$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\,\,$nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$. Do đó loại phương án C

+ Do hàm số $y = 2x – 3\cos x$ là hàm số sơ cấp có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 20: (NB) Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho?

A. $2.$ B. $3.$ C. $4.$ D. $6.$

Lời giải

Chọn C.

Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn điểm đã cho là $C_4^3 = 4.$

Câu 21: (TH) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $d$ qua $S$ và song song với $BC$. B. $d$ qua $S$ và song song với $DC$.

C. $d$ qua $S$ và song song với $AB$. D. $d$ qua $S$ và song song với $BD$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
AD \subset \left( {SAD} \right) \hfill \\
BC \subset \left( {SAC} \right) \hfill \\
d = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SAC} \right) \hfill \\
AD//BC \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow d//BC$ (Theo hệ quả của định lý 2 (Giao tuyến của ba mặt phẳng)).

Câu 22: (TH) Cho hai đường thẳng phân biệt $a,\;b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Giả sử $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, $b \subset \left( \alpha \right)$. Khi đó:

A. $a\,\parallel \,b.$ B. $a,\;b$ chéo nhau.

C. $a\,\parallel \,b$ hoặc $a,\;b$ chéo nhau. D. $a,\;b$ cắt nhau.

Lời giải

Chọn C

Vì $a\,\parallel \,\left( \alpha \right)$ nên tồn tại đường thẳng $c \subset \left( \alpha \right)$ thỏa mãn $a\,\parallel \,c.$ Suy ra $b,\;c$ đồng phẳng và xảy ra các trường hợp sau:

• Nếu $b$ song song hoặc trùng với $c$ thì $a\,\parallel \,b$.

• Nếu $b$ cắt $c$ thì $b$ cắt $\left( \beta \right) \equiv \left( {a,c} \right)$ nên $a,\;b$ không đồng phẳng. Do đó $a,\;b$ chéo nhau.

Câu 23: (TH) Cho $d\,\parallel \,\left( \alpha \right)$, mặt phẳng $\left( \beta \right)$ qua $d$ cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến $d’$. Khi đó:

A. $d\,\parallel \,d’.$ B. $d$ cắt $d’$.

C. $d$ và $d’$ chéo nhau. D. $d \equiv d’.$

Lời giải

Chọn A

Ta có: $d’ = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$. Do $d$ và $d’$ cùng thuộc $\left( \beta \right)$ nên $d$ cắt $d’$ hoặc $d\,\parallel \,d’$.

Nếu $d$ cắt $d’$. Khi đó, $d$ cắt $\left( \alpha \right)$ (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy $d\,\parallel \,d’$.

Câu 24: (TH) Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận $mp\left( \alpha \right)\parallel mp\left( \beta \right)?$

A. $\left( \alpha \right)\parallel \left( \gamma \right)$ và $\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\;(\left( \gamma \right)$ là mặt phẳng nào đó$).$

B. $\left( \alpha \right)\parallel a$ và $\left( \alpha \right)\parallel b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt thuộc $\left( \beta \right).$

C. $\left( \alpha \right)\parallel a$ và $\left( \alpha \right)\parallel b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với $\left( \beta \right).$

D. $\left( \alpha \right)\parallel a$ và $\left( \alpha \right)\parallel b$ với $a,b$ là hai đường thẳng cắt nhau thuộc$\left( \beta \right).$

Lời giải

Chọn D

Trong trường hợp: $\left( \alpha \right)\parallel \left( \gamma \right)$ và $\left( \beta \right)\parallel \left( \gamma \right)\;(\left( \gamma \right)$ là mặt phẳng nào đó) thì $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ có thể trùng nhau $ \Rightarrow $ Loại A

$\left( \alpha \right)\parallel a$ và $\left( \alpha \right)\parallel b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt thuộc $\left( \beta \right)$ thì $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vẫn có thể cắt nhau (hình 1) $ \Rightarrow $ Loại B

$\left( \alpha \right)\parallel a$ và $\left( \alpha \right)\parallel b$ với $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với $\left( \beta \right)$ thì $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vẫn có thể cắt nhau (hình 2) $ \Rightarrow $ Loại C

Câu 25: (TH) Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a và b có hình chiếu là hai đường thẳng song song a’ và b’. Khi đó:

A. a và b phải song song với nhau.

B. a và b phải cắt nhau.

C. a và b có thể chéo nhau hoặc song song với nhau.

D. a và b không thể song song.

Lời giải

Chọn C

Nếu $a’\parallel b’$ thì $mp\left( {a,a’} \right)\parallel mp\left( {b,b’} \right)$. Bởi vậy a và b có thể song song hoặc chéo nhau.

Câu 26: (NB) Cho dãy số liệu thống kê: $21$, $23$, $24$,$25$, $22$, $20$. Số trung bình cộng của dãy số liệu thống kê đã cho là

A. $23,5$. B. $22$. C. $22,5$. D. $14$.

Lời giải

Chọn C

Số trung bình là : $\overline x = $$\frac{{21 + 23 + 24 + 25 + 22 + 20}}{6}$$ = 22,5$.

Câu 27: (NB) Một nhóm $11$ học sinh tham gia một kỳ thi. Số điểm thi của $11$ học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau (thang điểm 10): $0;0;3;6;6;7;7;8;8;8;9$. Tìm số trung bình của mẫu số liệu (tính chính xác đến hàng phần trăm).

A. $5$. B. $5,54$. C. $6$. D. $5,64$.

Lời giải

Chọn D

$\overline x = \frac{{0.2 + 3.1 + 6.2 + 7.2 + 8.3 + 9}}{{11}} = 5,64$.

Câu 28: (NB) Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Mẫu số liệu ghép nhóm này có số mốt bằng

A. 14. B. 9. C. 7. D. 5.

Lời giải

Chọn A

Câu 29: (NB) Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Có bao nhiêu nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ 15 phút đến dưới 20 phút?

A. 6. B. 9. C. 14. D. 13.

Lời giải

Chọn A

Câu 30: (NB) Mốt của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$. B. $\left[ {9;11} \right)$. C. $\left[ {11;13} \right)$. D. $\left[ {13;15} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Câu 31: (TH) Điều tra về số tiền mua đồ dùng học tập trong một tháng của 40 học sinh, ta có mẫu số liệu như sau (đơn vị: nghìn đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu là

A. $22,5$. B. $25$. C. $25,5$. D. $27$.

Lời giải

Chọn B

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là

$\bar x = \frac{{12,5.2 + 17,5.5 + 22,5.15 + 27,5.8 + 32,5.9 + 37,5.1}}{{40}} = 25$.

Câu 32: (TH) Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$. B. $\left[ {9;11} \right)$. C. $\left[ {11;13} \right)$. D. $\left[ {13;15} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Gọi ${x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{20}}$ lần lượt là số ngày bán hàng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Do ${x_1},{x_2} \in \left[ {5;7} \right);{x_3}, \ldots ,{x_9} \in \left[ {7;9} \right);{x_{10}}, \ldots ,{x_{16}} \in \left[ {9;11} \right);{x_{17}}, \ldots ,{x_{19}} \in \left[ {11;13} \right)$; ${x_{20}} \in \left[ {13;15} \right)$.

Trung vị của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$ thuộc nhóm $\left[ {9;11} \right)$.

Câu 33: (TH) Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.

Lời giải

Chọn B

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right)$ thuộc nhóm $\left[ {9;11} \right)$nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là

${Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} – 9}}{7}\left( {11 – 9} \right) = 10,7$

Câu 34: (TH) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 7. B. 7,6. C. 8. D. 8,6.

Lời giải

Chọn C

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_4} + {x_5}} \right)$ thuộc nhóm $\left[ {7;9} \right)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{20}}{4} – 2}}{7}\left( {9 – 7} \right) = 7,86$

Câu 35: (TH) Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$. B. $\left[ {9;11} \right)$. C. $\left[ {11;13} \right)$. D. $\left[ {13;15} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Gọi ${x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{20}}$ lần lượt là thời gian chạy của các vận động viên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Do ${x_1},{x_2} \in \left[ {5;7} \right);{x_3}, \ldots ,{x_9} \in \left[ {7;9} \right);{x_{10}}, \ldots ,{x_{16}} \in \left[ {9;11} \right);{x_{17}}, \ldots ,{x_{19}} \in \left[ {11;13} \right)$; ${x_{20}} \in \left[ {13;15} \right)$.

Trung vị của mẫu số liệu là ${x_{10}}, \ldots ,{x_{16}}$ thuộc nhóm $\left[ {9;11} \right)$.

II. PHẦN TỰ LUẬN:

Câu 42: Giải phương trình $\cos 3x = \cos x$

Lời giải

$\cos 3x = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
3x = x + k2\pi \hfill \\
3x = – x + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = k\pi \hfill \\
x = k\frac{\pi }{2} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 43: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 3$ và công sai $d = 7$.Kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của $\left( {{u_n}} \right)$ đều lớn hơn $2018$?

Lời giải

${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$$ = 3 + 7\left( {n – 1} \right)$$ = 7n – 4$

${u_n} > 2018$$ \Leftrightarrow 7n – 4 > 2018$$ \Leftrightarrow n > \frac{{2022}}{7}$ $n = 289$

Câu 44: (VDT) Để tiết kiệm năng lượng, một công ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho dân với theo hình thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm $10$ số; bậc $1$ từ số thứ $1$ đến số thứ $10$, bậc $2$ từ số thứ $11$ đến số $20$, bậc $3$ từ số thứ $21$ đến số thứ $30$,…. Bậc $1$ có giá là $800$ đồng/$1$ số, giá của mỗi số ở bậc thứ $n + 1$ tăng so với giá của mỗi số ở bậc thứ $n$ là $2,5\% $. Gia đình ông A sử dụng hết $347$ số trong tháng $1$, hỏi tháng $1$ ông A phải đóngbao nhiêu tiền? (đơn vị là đồng, kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

Gọi ${u_1}$ là số tiền phải trả cho $10$ số điện đầu tiên. ${u_1}$=10. 800= 8000 (đồng)

${u_2}$ là số tiền phải trả cho các số điện từ $11$ đến $20$: ${u_2} = {u_1}(1 + 0,025)$

${u_{34}}$ là số tiền phải trả cho các số điện từ $331$ đến $340$: ${u_{34}} = {u_1}{(1 + 0,025)^{33}}$

Số tiền phải trả cho $340$ số điện đầu tiên là: ${S_1} = {u_1}.\frac{{1 – {{\left( {1 + 0,025} \right)}^{34}}}}{{1 – \left( {1 + 0,025} \right)}} = 420903,08$Số tiền phỉ trả cho các số điện từ $341$ đến $347$ là: ${S_2} = 7.800{(1 + 0,025)^{34}} = 12965,80$

Vậy tháng $1$ gia đình ông A phải trả số tiền là: $S = {S_1} + {S_2} = 433868,89$ (đồng).

Câu 45: (VDT) [VD]Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{x + \sqrt {x + 2} }}{{x + 1}} , khi x > – 1 \hfill \\
2x + 3 , khi x \leqslant – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. tại ${x_0} = – 1$

Lời giải

Ta có: $f\left( { – 1} \right) = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} f\left( x \right) = 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{x + \sqrt {x + 2} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} – x – 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – \sqrt {x + 2} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{x – 2}}{{x – \sqrt {x + 2} }} = \frac{3}{2}$.

Suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} f\left( x \right)$.

Vậy hàm số gián đoạn tại $x = – 1$.

Câu 46: (VDC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E là trung điểm của SC.Tìm giao tuyến của $\left( {BED} \right)$và $\left( {SAC} \right)$.

Lời giải

Có $\left\{ \begin{gathered}
E \in (BDE) \hfill \\
E \in SC \subset (SAC) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow E \in (BDE) \cap (SAC)\,(1)$

Trong mp(ABCD) gọi

$O = BD \cap AC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
O \in BD \subset (BDE) \hfill \\
O \in AC \subset (SAC) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow O \in (BDE) \cap (SAC)$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $(BDE) \cap (SAC) = EO$.

Câu 47: (VDC) Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của chiếc điện thoại mới, chị An thống kê thời gian sử dụng điện thoại của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:

Chị An cho rằng có khoảng $25\% $ số lần sạc điện thoại chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của chị An có hợp lí không?

Lời giải

Gọi ${x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{23}}$ lần lượt là số lần sử dụng theo thứ tự không gian.

Do ${x_1},{x_2} \in \left[ {7;9} \right);{x_3}, \ldots ,{x_7} \in \left[ {9;11} \right);{x_8}, \ldots ,{x_{14}} \in \left[ {11;13} \right)$

${x_{15}}, \ldots ,{x_{20}} \in \left[ {13;15} \right), \ldots $

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right)$ thuộc nhóm [9;11)

Nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{23}}{4} – 2}}{5}\left( {11 – 9} \right) = 10,5$.

Do ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứ $25\% $ số lượng các số liệu nên ta thấy nhận định của chị An là hợp lí.