Đề Thi Học Kỳ 1 Toán 11 Cánh Diều Giải Chi Tiết-Đề 2

Đề thi học kỳ 1 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Góc có số đo $\frac{{ – 7\pi }}{4}$ thì góc đó có số đo là

A. $ – {315^o}$. B. $ – {630^o}$. C. $ – {1^o}45’$. D. $ – {135^o}$.

Câu 2: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác góc lượng giác nào trong các góc lượng giác có số đo dưới đây có cùng điểm cuối với góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{4}$?

A. $\frac{{10\pi }}{3}$. B. $ – \frac{{5\pi }}{4}$. C. $\frac{{25\pi }}{4}$. D. $\frac{{7\pi }}{4}$.

Câu 3: Cho $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) > 0.$ B. $\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) \geqslant 0.$

C. $\tan \left( {\alpha + \pi } \right) < 0.$ D. $\tan \left( {\alpha + \pi } \right) > 0.$

Câu 4: Cho $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ và $\frac{{7\pi }}{2} < \alpha < 4\pi $. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$. B. $\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$. C. $\sin \alpha = \frac{2}{3}$. D. $\sin \alpha = – \frac{2}{3}$.

Câu 5: Tính giá trị $\cos \left( {\alpha – \frac{\pi }{6}} \right)$biết $\sin \alpha = \frac{1}{3},\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi .$

A. $ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$. B. $ – \frac{{1 + 2\sqrt 6 }}{6}$. C. $\frac{{1 – 2\sqrt 6 }}{6}$. D. $\frac{{1 + 2\sqrt 6 }}{6}$.

Câu 6: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \tan 4x$. B. $y = \cos 3x$. C. $y = \cot 5x$. D. $y = \sin 2x$.

Câu 7: Tất cả các nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \frac{\pi }{3}$ là

A. $\left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\
x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. B. $\left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\
x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

C. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. D. $\left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\
x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 8: Cho dãy số $({u_n})$biết ${u_n} = \frac{{2{n^2} – n – 1}}{{n + 2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm

Câu 9: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $1; – 2; – 4; – 6; – 8$. B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12.$

C. $1; – 3; – 7; – 11; – 15.$ D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9$.

Câu 10: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ có ${u_1} = 1$ và ${u_2} = 3$. Giá trị của ${u_3}$ bằng

A. $6.$ B. $9.$ C. $4.$ D. $5.$

Câu 11: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và công bội $q = 2$. Giá trị của ${u_2}$ bằng

A. $8$. B. $9$. C. $6$. D. $\frac{3}{2}$.

Câu 12: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và ${u_6} = 486$. Công bội q bằng

A. $q = 3$. B. $q = 5$. C. $q = \frac{3}{2}$. D. $q = \frac{2}{3}$.

Câu 13: $\lim \frac{{2024}}{{3 – 4n}}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$. B. $0$. C. $ + \infty $. D. $ – \frac{1}{4}$.

Câu 14: Tổng $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + … + \frac{1}{{{3^n}}} + …$ có giá trị là:

A. $ – \frac{2}{3}$. B. $\frac{3}{2}$. C. $\frac{2}{3}$. D. $ – \frac{3}{2}$.

Câu 15: Giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 18n} – n} \right)$ bằng

A. $9$. B. $ + \infty $. C. $18$. D. $0$.

Câu 16: Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x – 1}}{{x + 2}}$bằng

A. 1. B. $ – \frac{1}{2}$. C. 2. D. $ – \infty $.

Câu 17: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 1} }}{{x + 1}}$ bằng

A. $ – 9\,.$ B. $3\,.$ C. $ – 3\,.$ D. $9\,.$

Câu 18: Cho $a \in \mathbb{R}$, $a \ne 0$. Khi đó $\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} \left( {\frac{{{x^2} – 2}}{{a{x^2} – 1}}} \right) = 3$ thì giá trị của $a$bằng

A. $ – 1$. B. $1$. C. $2$. D. $\frac{1}{3}$.

Câu 19: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng$.$

B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng$.$

C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

Câu 20: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang $ABCD \left( {AB \cap CD} \right).$

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hình chóp S. ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là SO$(O$ là giao điểm của AC và $BD).$

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là SI$(I$ là giao điểm của AD và $BC).$

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ là đường trung bình của ABCD.

Câu 21: Trong không gian, cho hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau. Một đường thẳng $c$ song song với $a$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $b$ và $c$ chéo nhau. B. $b$ và $c$ cắt nhau.

C. $b$ và $c$ chéo nhau hoặc cắt nhau. D. $b$ và $c$ song song với nhau.

Câu 22: Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,\,SC$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $MN\,//(ABC)$. B. $MN\,//\,(SAB)$. C. $MN\,//\,(SAC)$. D. $MN\,//\,(SBC)$.

Câu 23: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu $\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ và $a \subset \left( \alpha \right), b \subset \left( \beta \right)$ thì $a\parallel b.$

B. Nếu $a\parallel \left( \alpha \right)$ và $b\parallel \left( \beta \right)$ thì $a\parallel b.$

C. Nếu $\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ và $a \subset \left( \alpha \right)$ thì $a\parallel \left( \beta \right).$

D. Nếu $a\parallel b$ và $a \subset \left( \alpha \right), b \subset \left( \beta \right)$ thì $\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right).$

Câu 24: Cho hình hộp$ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $\left( {AB’D’} \right)$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. $\left( {BCA’} \right)$. B. $\left( {BC’D} \right)$. C. $\left( {A’C’C} \right)$. D. $\left( {BDA’} \right)$.

Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left( {A’BC} \right)\parallel \left( {AB’C’} \right)$. B. $\left( {BA’C’} \right)\parallel \left( {B’AC} \right)$.

C. $\left( {ABC’} \right)\parallel \left( {A’B’C} \right)$. D. $(ABC)\parallel \left( {A’B’C’} \right)$

Câu 26: Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?

A. Hình chữ nhật. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình thoi.

Câu 27: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Hình chiếu song song của điểm $M$ theo phương $AC$ lên mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ là điểm nào sau đây?

A. $D$. B. Trung điểm của $CD$.

C. Trung điểm của $BD$. D. Trọng tâm tam giác $BCD$.

Câu 28: Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình bình hành. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $MN//\left( {SBD} \right)$. B. $MN//\left( {SAB} \right)$. C. $MN//\left( {SAC} \right)$ D. $MN//\left( {SCD} \right)$.

Câu 29: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Các điểm $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB,SAD$. $M$ là trung điểm $CD$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $IJ\,//\,(SCD)$. B. $IJ\,//\,(SBM)$. C. $IJ\,//\,(SBC)$. D. $IJ//(SBD)$.

Câu 30: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm $SA$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $OM//\left( {SCD} \right)$. B. $OM//\left( {SBD} \right)$. C. $OM//\left( {SAB} \right)$. D. $OM//\left( {SAD} \right)$.

Câu 31: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là

A. $[40;60)$. B. $[20;40)$. C. $[60;80)$. D. $[80;100)$.

Câu 32: Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:

Có bao nhiêu học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối có thời gian từ 18,5 phút đến dưới 21,5 phút?

A. $24$. B. $15$. C. $2$. D. $20$.

Câu 33: Mẫu số liệu $(T)$ được mô tả dưới dạng bảng thống kê sau:

Số lượng thí sinh có ít nhất một môn học có điểm từ 6 đến dưới 7 là:

A. 23. B. 192. C. 56. D. 69.

Câu 34: Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$. B. $\left[ {9;11} \right)$. C. $\left[ {11;13} \right)$. D. $\left[ {13;15} \right)$.

Câu 35: Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.

II. TỰ LUẬN

Câu 36a: Tìm tập xác định của hàm số $y = \cot \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$

Câu 36b: Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao $950\;m$ so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là $1,5\;m$. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển?

Câu 37a: Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt {3 – 2x} + x}}{{3 + x}},x < – 3 \hfill \\
2mx + 5,x \geqslant – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tìm m để hàm số có giới hạn tại x = – 3

Câu 37b: Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:

Hãy ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD các cạnh đáy không song song nhau. Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng (SCD).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua M, song song với CD và SA.

ĐÁP ÁN

I. TRẮC NGHIỆM

1	2	3	4	5
A	C	D	A	C
6	7	8	9	10
B	B	A	C	D
11	12	13	14	15
C	A	B	B	A
16	17	18	19	20
C	C	D	C	D
21	22	23	24	25
C	A	C	B	D
26	27	28	29	30
B	B	B	D	A
31	32	33	34	35
A	A	D	B	B

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Góc có số đo $\frac{{ – 7\pi }}{4}$ thì góc đó có số đo là

A. $ – {315^o}$. B. $ – {630^o}$. C. $ – {1^o}45’$. D. $ – {135^o}$.

Lời giải

Góc có số đo $\frac{{ – 7\pi }}{4}$ thì góc đó có số đo là:

$\frac{{ – {{7.180}^o}}}{4} = – {315^o}$.

Câu 2: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác góc lượng giác nào trong các góc lượng giác có số đo dưới đây có cùng điểm cuối với góc lượng giác có số đo $\frac{\pi }{4}$?

A. $\frac{{10\pi }}{3}$. B. $ – \frac{{5\pi }}{4}$. C. $\frac{{25\pi }}{4}$. D. $\frac{{7\pi }}{4}$.

Lời giải

Ta có $\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi $

Câu 3: Cho $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) > 0.$ B. $\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) \geqslant 0.$ C. $\tan \left( {\alpha + \pi } \right) < 0.$ D. $\tan \left( {\alpha + \pi } \right) > 0.$

Lời giải

Ta có

$0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \to \frac{\pi }{2} < \alpha + \frac{\pi }{2} < \pi $$\xrightarrow{{}}\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) < 0$

$0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \to \pi < \alpha + \pi < \frac{{3\pi }}{2}$$\xrightarrow{{}}\tan \left( {\alpha + \pi } \right) > 0$

Câu 4: Cho $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ và $\frac{{7\pi }}{2} < \alpha < 4\pi $. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$. B. $\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$. C. $\sin \alpha = \frac{2}{3}$. D. $\sin \alpha = – \frac{2}{3}$.

Lời giải

$\cos \alpha = \frac{1}{3}$$ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 – {\cos ^2}\alpha $$ = 1 – {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$$ \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Vì $\frac{{7\pi }}{2} < \alpha < 4\pi $ nên $\sin \alpha = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Câu 5: Tính giá trị $\cos \left( {\alpha – \frac{\pi }{6}} \right)$ biết $\sin \alpha = \frac{1}{3},\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi .$

A. $ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$. B. $ – \frac{{1 + 2\sqrt 6 }}{6}$. C. $\frac{{1 – 2\sqrt 6 }}{6}$. D. $\frac{{1 + 2\sqrt 6 }}{6}$.

Lời giải

Vì $\sin \alpha = \frac{1}{3},\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $nên $\cos \alpha = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Do đó $\cos \left( {\alpha – \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{6} = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{1 – 2\sqrt 6 }}{6}$.

Câu 6: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \tan 4x$. B. $y = \cos 3x$. C. $y = \cot 5x$. D. $y = \sin 2x$.

Lời giải

Hàm số $y = \cos 3x$ là hàm số chẵn do có tập xác định là $D = \mathbb{R}$, $\forall x \in D, – x \in D$ ta có:

$\cos 3( – x) = \cos ( – 3x) = \cos 3x$.

Câu 7: Tất cả các nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \frac{\pi }{3}$ là

A. $\left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\
x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. B. $\left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\
x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

C. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. D. $\left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{3} + k\pi \hfill \\
x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

Áp dụng công thức: $\sin x = \sin a \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = a + k2\pi \hfill \\
x = \pi – a + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 8: Cho dãy số $({u_n})$ biết ${u_n} = \frac{{2{n^2} – n – 1}}{{n + 2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm

Lời giải

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{2{n^2} + 3n}}{{n + 3}} – \frac{{2{n^2} – n – 1}}{{n + 2}} = \frac{{2{n^2} + 10n + 3}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy dãy số đã cho là dãy tăng

Câu 9: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $1; – 2; – 4; – 6; – 8$. B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12.$

C. $1; – 3; – 7; – 11; – 15.$ D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9$.

Lời giải

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tính chất ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$ thì được gọi là một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số: $1; – 3; – 7; – 11; – 15$ là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng $ – 4.$

Câu 10: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ có ${u_1} = 1$ và ${u_2} = 3$. Giá trị của ${u_3}$ bằng

A. $6.$ B. $9.$ C. $4.$ D. $5.$

Lời giải

Công sai $d = {u_2} – {u_1} = 2$ nên ${u_3} = {u_2} + d = 5.$

Câu 11: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và công bội $q = 2$. Giá trị của ${u_2}$ bằng

A. $8$. B. $9$. C. $6$. D. $\frac{3}{2}$.

Lời giải

Ta có: ${u_2} = {u_1}.q = 3.2 = 6$.

Câu 12: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và ${u_6} = 486$. Công bội q bằng

A. $q = 3$. B. $q = 5$. C. $q = \frac{3}{2}$. D. $q = \frac{2}{3}$.

Lời giải

Chọn A

Theo đề ra ta có: $\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 2 \hfill \\
{u_6} = 486 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 2 \hfill \\
486 = {u_1}.{q^5} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow {q^5} = 243 = {3^5}$$ \Rightarrow q = 3$.

Câu 13: $\lim \frac{{2024}}{{3 – 4n}}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$. B. $0$. C. $ + \infty $. D. $ – \frac{1}{4}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $\lim \frac{{2024}}{{3 – 4n}} = \lim \frac{{\frac{{2024}}{n}}}{{\frac{{3 – 4n}}{n}}} = im\frac{{\frac{{2024}}{n}}}{{\frac{3}{n} – 4}} = \frac{0}{{0 – 4}} = 0$.

Câu 14: Tổng $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + … + \frac{1}{{{3^n}}} + …$ có giá trị là:

A. $ – \frac{2}{3}$. B. $\frac{3}{2}$. C. $\frac{2}{3}$. D. $ – \frac{3}{2}$.

Lời giải

Ta có: $S$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có ${u_1} = 1; q = \frac{1}{3}$.

Suy ra: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = \frac{1}{{1 – \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2}$

Câu 15: Giới hạn $\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 18n} – n} \right)$ bằng

A. $9$. B. $ + \infty $. C. $18$. D. $0$.

Lời giải

$\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 18n} – n} \right) = \lim \frac{{18n}}{{\sqrt {{n^2} + 18n} + n}} = \lim \frac{{18}}{{\sqrt {1 + \frac{{18}}{n}} + 1}} = 9$.

Câu 16: Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x – 1}}{{x + 2}}$bằng

A. 1. B. $ – \frac{1}{2}$. C. 2. D. $ – \infty $.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2 – \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2$.

Câu 17: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 1} }}{{x + 1}}$ bằng

A. $ – 9\,.$ B. $3\,.$ C. $ – 3\,.$ D. $9\,.$

Lời giải

Ta có: $K = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} + 1} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – x\sqrt {9 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x + 1}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – \sqrt {9 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{1}{x}}} = – 3$.

Câu 18: Cho $a \in \mathbb{R}$, $a \ne 0$. Khi đó $\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} \left( {\frac{{{x^2} – 2}}{{a{x^2} – 1}}} \right) = 3$ thì giá trị của $a$bằng

A. $ – 1$. B. $1$. C. $2$. D. $\frac{1}{3}$.

Lời giải

Ta có $\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} – 2}}{{a{x^2} – 1}}} \right)$$ = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{1 – \frac{2}{{{x^2}}}}}{{a – \frac{1}{{{x^2}}}}}} \right)$$ = \frac{1}{a} = 3 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}$.

Câu 19: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng

B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng

C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng

D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng

Câu 20: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang $ABCD \left( {AB \cap CD} \right).$

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hình chóp S. ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là SO$(O$ là giao điểm của AC và $BD).$

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là SI$(I$ là giao điểm của AD và $BC).$

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ là đường trung bình của ABCD.

Câu 21: Trong không gian, cho hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau. Một đường thẳng $c$ song song với $a$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $b$ và $c$ chéo nhau. B. $b$ và $c$ cắt nhau.

C. $b$ và $c$ chéo nhau hoặc cắt nhau. D. $b$ và $c$ song song với nhau.

Lời giải

Phương án A sai vì $b, c$có thể cắt nhau.

Phương án B sai vì $b, c$có thể chéo nhau.

Phương án D sai vì nếu $b$ và $c$ song song thì $a$ và $b$ song song hoặc trùng nhau.

Câu 22: Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,\,SC$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $MN\,//(ABC)$. B. $MN\,//\,(SAB)$. C. $MN\,//\,(SAC)$. D. $MN\,//\,(SBC)$.

Lời giải

Theo giả thiết thì $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,\,SC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta SBC$, do đó $MN\,//\,BC$.

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{MN \not\subset (ABC)} \\
{BC \subset (ABC)\,\,\,\,\,} \\
{MN\,//\,BC}
\end{array} \Rightarrow } \right.$ $MN\,//\,(ABC)$.

Câu 23: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu $\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ và $a \subset \left( \alpha \right), b \subset \left( \beta \right)$ thì $a\parallel b.$

B. Nếu $a\parallel \left( \alpha \right)$ và $b\parallel \left( \beta \right)$ thì $a\parallel b.$

C. Nếu $\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)$ và $a \subset \left( \alpha \right)$ thì $a\parallel \left( \beta \right).$

D. Nếu $a\parallel b$ và $a \subset \left( \alpha \right), b \subset \left( \beta \right)$ thì $\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right).$

Lời giải

Vì $\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right) \Rightarrow \left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ không có điểm chung

Mà $a \subset \left( \alpha \right)$

Suy ra $a$ và $\left( \beta \right)$ không có điểm chung.

Vậy $a//\left( \beta \right)$.

Câu 24: Cho hình hộp$ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $\left( {AB’D’} \right)$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. $\left( {BCA’} \right)$. B. $\left( {BC’D} \right)$. C. $\left( {A’C’C} \right)$. D. $\left( {BDA’} \right)$.

Lời giải

Do $ADC’B’$ là hình bình hành nên $AB’//DC’$, và $ABC’D’$ là hình bình hành nên $AD’//BC’$ nên $\left( {AB’D’} \right)//\left( {BC’D} \right)$.

Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left( {A’BC} \right)\parallel \left( {AB’C’} \right)$. B. $\left( {BA’C’} \right)\parallel \left( {B’AC} \right)$.

C. $\left( {ABC’} \right)\parallel \left( {A’B’C} \right)$. D. $(ABC)\parallel \left( {A’B’C’} \right)$

Lời giải

Câu 26: Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?

A. Hình chữ nhật. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình thoi.

Lời giải

Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang.

Câu 27: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Hình chiếu song song của điểm $M$ theo phương $AC$ lên mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ là điểm nào sau đây?

A. $D$. B. Trung điểm của $CD$.

C. Trung điểm của $BD$. D. Trọng tâm tam giác $BCD$.

Lời giải

Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $CD$

Khi đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ADC$ nên $MN\,//\,AC$. Do đó, hình chiếu song song của $M$ theo phương $AC$lên mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ là điểm $N$.

Câu 28: Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình bình hành. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $MN//\left( {SBD} \right)$. B. $MN//\left( {SAB} \right)$. C. $MN//\left( {SAC} \right)$ D. $MN//\left( {SCD} \right)$.

Câu 29: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Các điểm $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB,SAD$. $M$ là trung điểm $CD$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $IJ\,//\,(SCD)$. B. $IJ\,//\,(SBM)$. C. $IJ\,//\,(SBC)$. D. $IJ//(SBD)$.

Câu 30: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm $SA$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $OM//\left( {SCD} \right)$. B. $OM//\left( {SBD} \right)$. C. $OM//\left( {SAB} \right)$. D. $OM//\left( {SAD} \right)$.

Câu 31: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là

A. $[40;60)$. B. $[20;40)$. C. $[60;80)$. D. $[80;100)$.

Lời giải

Mốt ${M_0}$ chứa trong nhóm $[40;60)$

Câu 32: Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:

Có bao nhiêu học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối có thời gian từ 18,5 phút đến dưới 21,5 phút?

A. $24$. B. $15$. C. $2$. D. $20$.

Lời giải

Số học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối có thời gian từ 18,5 phút đến dưới 21,5 phút là 24.

Câu 33: Mẫu số liệu $(T)$ được mô tả dưới dạng bảng thống kê sau:

Số lượng thí sinh có ít nhất một môn học có điểm từ 6 đến dưới 7 là:

A. 23. B. 192. C. 56. D. 69.

Lời giải

Chọn D

Số lượng thí sinh có ít nhất một môn học có điểm từ 6 đến dưới 7 là 69

Câu 34: Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left[ {7;9} \right)$. B. $\left[ {9;11} \right)$. C. $\left[ {11;13} \right)$. D. $\left[ {13;15} \right)$.

Câu 35: Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.

II. TỰ LUẬN

Câu 36a: Tìm tập xác định của hàm số $y = \cot \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$

Lời giải

Hàm số $y = \cot \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$ xác định khi và chỉ khi $x – \frac{\pi }{3} \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$, tức là $x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$. Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

Câu 36b: Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao $950\;m$ so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là $1,5\;m$. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển?

Lời giải

Kí hiệu ${u_n}$ là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ $n$.

Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với ${u_1} = 950$ và $d = 1,5$.

Ta có ${u_{12}} = {u_1} + 11d = 950 + 11.1,5 = 966,5$.

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao 966,5 m so với mực nước biển.

Câu 37a: Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{{\sqrt {3 – 2x} + x}}{{3 + x}}\,khi\,x < – 3 \hfill \\
2mx + 5\,khi\,x \geqslant – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tìm m để hàm số có giới hạn tại x = – 3

Lời giải

Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \frac{{ – (x – 1)(x + 3)}}{{(3 + x)(\sqrt {3 – 2x} – x)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \frac{{( – x + 1)}}{{(\sqrt {3 – 2x} – x)}}$= $\frac{2}{3}$

* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} (2mx + 5)$= – 6m+5

Để hàm số có giới hạn tại x = -3 khi và chi khi:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f(x)$$ \Leftrightarrow – 6m + 5 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{{18}}$

Câu 37b: Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:

Hãy ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải

Số trung bình của mẫu số liệu xấp xỉ bằng:

$\left( {6,75.8 + 7,25.10 + 7,75.16 + 8,25.24 + 8,75.13 + 9,25.7 + 9,75.4} \right):82 = 8,12$.

Nhóm chứa mốt là: $\left[ {8;8,5} \right)$.

Mốt của mẫu số liệu là:

${M_0} = 8 + \frac{{24 – 16}}{{\left( {24 – 16} \right) + \left( {24 – 13} \right)}} \cdot \left( {8,5 – 8} \right) = 8,21$.

Gọi ${x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{85}}$ lần lượt là tần số theo thứ tự không gian.

Do ${x_1}, \ldots ,{x_8} \in \left[ {6,5;7} \right);{x_9}, \ldots ,{x_{18}} \in \left[ {7;7,5} \right);{x_{19}}, \ldots ,{x_{34}} \in \left[ {7,5;8} \right)$;

${x_{35}}, \ldots ,{x_{58}} \in \left[ {8;8,5} \right);{x_{59}}, \ldots ,{x_{71}} \in \left[ {8,5;9} \right); \ldots $.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{41}} + {x_{42}}} \right)$ thuộc nhóm $\left[ {8;8,5} \right)$ nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là ${Q_2} = 8 + \frac{{\frac{{82}}{2} – 34}}{{24}}\left( {8,5 – 8} \right) = 8,15$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{20}} + {x_{21}}} \right)$ thuộc nhóm $\left[ {7,5;8} \right)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${Q_1} = 7,5 + \frac{{\frac{{82}}{4} – 18}}{{16}}\left( {8 – 7,5} \right) = 7,58$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{61}} + {x_{62}}} \right)$ thuộc nhóm $\left[ {8,5;9} \right)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${Q_3} = 8,5 + \frac{{\frac{{3.82}}{4} – 58}}{{13}}\left( {9 – 8,5} \right) = 8,63$

Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD các cạnh đáy không song song nhau. Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng (SCD).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua M, song song với CD và SA.

Lời giải

a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

S là điểm chung thứ nhất.

AB $ \cap $ CD = I suy ra I là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến là SI.

b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua M, song song với CD và SA.

Kẻ đường thẳng qua M song song CD, cắt SC tại H, cắt SD t ại K.

Kẻ đường thẳng qua K song song SA cắt AD tại E

Kẻ đường thẳng qua E song song CD cắt BC tại F