Đề Thi Học Kỳ 1 Toán 11 Kết Nối Tri Thức Giải Chi Tiết-Đề 7

Đề thi học kỳ 1 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 7 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y = 2024 + 2023tanx$ là:

A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Câu 2: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $sin\alpha = \frac{{12}}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Tính $cos\alpha $.

A. $cos\alpha = \frac{1}{{13}}$. B. $cos\alpha = \frac{5}{{13}}$. C. $cos\alpha = – \frac{5}{{13}}$. D. $cos\alpha = – \frac{1}{{13}}$.

Câu 3: Công thức nào sau đây sai?

A. $cos\left( {a – b} \right) = cosacosb + sinasinb$. B. $cos\left( {a – b} \right) = cosacosb – sinasinb$.

C. $sin\left( {a – b} \right) = sinacosb – cosasinb$. D. $sin\left( {a + b} \right) = sinacosb + cosasinb$.

Câu 4: Cho $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ là nghiệm của phương trình nào sau đây.

A. $sin2x = 1$. B. $sinx = 1$. C. $sinx = 0$. D. $sin2x = 0$.

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. $f\left( x \right) = 1 – cosx$. B. $f\left( x \right) = si{n^2}x$. C. $f\left( x \right) = cos2x$. D. $f\left( x \right) = x + tanx$.

Câu 6: Nghiệm của phương trình $cos2x = \frac{1}{2}$ là

A. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $. B. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi $. C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $. D. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

Câu 7: Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?

A. ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} $. B. ${u_n} = n + \frac{1}{n}$. C. ${u_n} = {2^n} + 1$. D. ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$

Câu 8: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng ?

A. $1; – 3; – 7; – 11; – 15$; B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12; \ldots $ C. $1; – 2; – 4; – 6; – 8 – ; \ldots $. D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9; \ldots $

Câu 9: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 7$ và ${u_2} = 4$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. -3 . B. $\frac{5}{2}$. C. $\frac{2}{5}$. D. 3 .

Câu 10: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{ – n}}{{n + 1}}$. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $ – \frac{1}{2}, – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}$. B. $ – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}; – \frac{6}{7}$. C. $\frac{1}{2},\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}$. D. $\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}$.

Câu 11: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ vói số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai $d = 2$. Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?

A. ${u_n} = 2n + 1$. B. ${u_n} = 3 + n$. C. ${u_n} = 2\left( {n + 1} \right)$. D. ${u_n} = 2\left( {n – 1} \right)$.

Câu 12: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${u_{n + 1}} = {u_n} \cdot q,\forall n \geqslant 1$. B. ${u_n} = {u_1} \cdot {q^n},\forall n \geqslant 1$. C. ${u_n} = {u_{n + 1}} \cdot q,\forall n \geqslant 1$. D. ${u_{n + 1}} = {u_1} \cdot {q^{n + 1}},\forall n \geqslant 1$

Câu 13: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = u_n^2}
\end{array}} \right.$. B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = – 2{u_n}}
\end{array}} \right.$. C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 3} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + 1}
\end{array}} \right.$. D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = {u_{n – 1}}.{u_n}}
\end{array}} \right.$.

Câu 14: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 1} \\
{{u_n} = {u_{n – 1}} + 2{u_{n – 2}}\left( {n \geqslant 3;n \in \mathbb{N}} \right)}
\end{array}} \right.$. Giá trị ${u_4} + {u_5}$ là:

A. 16 . B. 20 . C. 22 . D. 24 .

Câu 15: Giá trị của $lim\left( {\frac{2}{n}} \right)$ bằng

A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 .

Câu 16: Giá trị của $lim\frac{{n + 2}}{{2n}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$. B. $ + \infty $. C. 1 . D. 2 .

Câu 17: Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x – 1)$ bằng

A. 0 . B. 1 . C. -1 . D. 2 .

Câu 18: Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 3$. Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2f(x)$ bằng

A. 6 . B. 2 . C. 3 . D. 5 .

Câu 19: Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x – 15}}{{x – 2}}$ là:

A. 0 . B. 1 . C. $ + \infty $. D. $ – \infty $.

Câu 20: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 7}}{{x – 3}}$.

A. $ + \infty $. B. $ – \infty $. C. 0 . D. 2 .

Câu 21: Cho biết $\lim \left( {{u_n}} \right) = 1$. Giá trị của $\lim \left( {2{u_n} – 3} \right)$ bằng

A. -1 . B. 1 . C. $ + \infty $. D. 3 .

Câu 22: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3$. Giá trị của $\lim \left( {{u_n}} \right)$ bằng

A. -1 . B. 1 . C. 7 . D. 3 .

Câu 23: Cho giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {{x^2} – 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3$ thì $a$ bằng bao nhiêu?

A. $a = 2$. B. $a = 0$ C. $a = – 2$. D. $a = – 1$.

Câu 24: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2{x^2} – 6}}{{x – \sqrt 3 }} = a\sqrt b $. Khi đó ${a^2} + {b^2}$ bằng

A. 6 . B. 7 . C. 10 . D. 25 .

Câu 25: Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + 1}&{khix \ne – 1} \\
m&{khix = – 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại ${x_o} = – 1$

A. $m = – 2$. B. $m = 2$. C. $m = 3$. D. $m = 0$.

Câu 26: Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 2$ ?

A. $f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$. B. $f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$. C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 2}}$. D. $f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} – x – 2}}{{{x^2} – 4}}$

Câu 27: Một thư viện thống kê số người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau:

Lập bảng tần số ghép nhóm có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng sau: $\left[ {25;34} \right);\left[ {34;43} \right)$; $\left[ {43;52} \right);\left[ {52;61} \right);\left[ {61;70} \right);$$\left[ {70;79} \right);\left[ {79;88} \right);\left[ {88;97} \right)$. Khi đó nhóm có tần số lớn nhất là.

Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:

A. Nhóm ứng với nửa khoảng $\left[ {88;97} \right)$. B. Nhóm ứng với nửa khoảng $\left[ {43;52} \right)$.

C. Nhóm ứng với nửa khoảng $\left[ {79;88} \right)$. D. Nhóm ứng với nửa khoảng $\left[ {70;79} \right)$.

Câu 28: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 20 học sinh lớp lá như sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là

Cỡ mẫu: $n = 1 + 2 + 4 + 10 + 3 = 20$.

A. ${M_e} = \frac{{1123}}{{10}}$. B. ${M_e} = \frac{{907}}{{10}}$. C. ${M_e} = \frac{{997}}{{10}}$. D. ${M_e} = \frac{{1087}}{{10}}$

Câu 29: Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài kiểm tra đánh giá thường xuyên ( đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:

Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài kiểm tra của các em học sinh là

Ta có:

A. 10,5 . B. 12,3 . C. 13,7 . D. 14,5 .

Câu 30: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Qua 3 điểm phân biệt xác định được duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua 1 điểm và 1 đường thẳng xác định được duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua 2 đường thẳng cắt nhau xác định được duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua 4 điểm phân biệt xác định được duy nhất một mặt phẳng.

Câu 31: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $\vartriangle $ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng nào dưới đây?

A. Đường thẳng $AB$. B. Đường thẳng $AD$. C. Đường thẳng $AC$. D. Đường thẳng $SA$.

Câu 32: Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AC$ cắt $BD$ tại $O$ còn $A’C’$ cắt $B’D’$ tại $O’$. Khi đó $\left( {AB’D’} \right)$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $\left( {A’OC’} \right)$. B. $\left( {BDA’} \right)$. C. $\left( {BDC’} \right)$. D. $\left( {BCD} \right)$.

Câu 33: Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $AM = BM$ và $AN = 2NC$. Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {DMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là đường thẳng nào dưới đây?

A. $DN$. B. $MN$. C. $DM$. D. $AC$.

Câu 34: Xét một phép chiếu song song bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.

C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.

D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.

Câu 35: Cho hình chóp $S.ABCD$. Giao tyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là

A. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AB,CD$.

B. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AD,BC$.

C. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC,BC$.

D. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC,BD$.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt 3 \left( {sinx – sin2x} \right) = cosx – cos2x$

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\frac{{\sqrt {{x^2} + 3} – 2}}{{x – 1}}\;khi\;x \ne 1} \\
{ – m + 3}&{\;khi\;x = 1}
\end{array}} \right.$. Tìm $m$ để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$.

Câu 3: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là $45\;cm,43\;cm,41\;cm, \ldots ,31\;cm$. Cái thang đó có bao nhiêu bậc? Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AD$ và $AD = 2BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Chứng minh rằng $OG$ song song với $\left( {SBC} \right)$.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

1.A	2.D	3.B	4.B	5.D
6.A	7.D	8	9.A	10.A
11.A	12.A	13	14.A	15.C
16.A	17.A	18.A	19.D	20.A
21.A	22.A	23.C	24.D	25.A
26.A	27.B	28.C	29.C	30.C
31. B	32.C	33.A	34.C	35.D

HƯỚNG DÃ̃N GIẢI CHI TIẾT

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y = 2024 + 2023tanx$ là:

A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Lời giải

Hàm số $y = 2024 + 2023tanx$ xác định khi: $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Câu 2: Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $sin\alpha = \frac{{12}}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Tính $cos\alpha $.

A. $cos\alpha = \frac{1}{{13}}$.

B. $cos\alpha = \frac{5}{{13}}$.

C. $cos\alpha = – \frac{5}{{13}}$.

D. $cos\alpha = – \frac{1}{{13}}$.

Lời giải

Ta có : Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ nên $cos\alpha < 0$.

$si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1 \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}} \Rightarrow cos\alpha = – \frac{5}{{13}}$.

Câu 3: Công thức nào sau đây sai?

A. $cos\left( {a – b} \right) = cosacosb + sinasinb$.

B. $cos\left( {a – b} \right) = cosacosb – sinasinb$.

C. $sin\left( {a – b} \right) = sinacosb – cosasinb$.

D. $sin\left( {a + b} \right) = sinacosb + cosasinb$.

Lời giải

Ta có $cos\left( {a + b} \right) = cosacosb – sinasinb$

Câu 4: Cho $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ là nghiệm của phương trình nào sau đây.

A. $sin2x = 1$.

B. $sinx = 1$.

C. $sinx = 0$.

D. $sin2x = 0$.

Lời giải

Ta có: $sinx = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. $f\left( x \right) = 1 – cosx$.

B. $f\left( x \right) = si{n^2}x$.

C. $f\left( x \right) = cos2x$.

D. $f\left( x \right) = x + tanx$.

Lời giải

Hàm số $f\left( x \right) = x + tanx$ có tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$ nên $\forall x \in D \Rightarrow – x \in D$

Ta có $f\left( { – x} \right) = – x + tan\left( { – x} \right) = – x – tanx = – f\left( x \right),\forall x \in D$.

Nên hàm số $f\left( x \right) = x + tanx$ là hàm số lẻ.

Câu 6: Nghiệm của phương trình $cos2x = \frac{1}{2}$ là

A. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $.

B. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi $.

C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $.

D. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

Lời giải

$cos2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 7: Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?

A. ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} $.

B. ${u_n} = n + \frac{1}{n}$.

C. ${u_n} = {2^n} + 1$.

D. ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$

Lời giải

Các dãy số ${n^2};n;{2^n}$ dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi $n$ tăng lên vô hạn, nên các dãy $\sqrt {{n^2} + 1} ;n + \frac{1}{n};{2^n} + 1$ cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn.

Nhận xét: $0 < {u_n} = \frac{n}{{n + 1}} = 1 – \frac{1}{{n + 1}} < 1$.

Câu 8: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng ?

A. $1; – 3; – 7; – 11; – 15$;

B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12; \ldots $

C. $1; – 2; – 4; – 6; – 8 – ; \ldots $.

D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9; \ldots $

Lời giải

Ta lần lượt kiểm tra : ${u_2} – {u_1} = {u_3} – {u_2} = {u_4} – {u_3} = \ldots $ ?

Xét đáp án: $1; – 3; – 7; – 11; – 15; \ldots \Rightarrow {u_2} – {u_1} = {u_3} – {u_2} = {u_4} – {u_3} = \ldots \Rightarrow $ chọn

Xét đáp án: $1; – 3; – 6; – ; – 1; \ldots \Rightarrow {u_2} – {u_1} = – 4 \ne – 3 = {u_3} – {u_2} \to $ loại

Xét đáp án: $1; – 2; – 4; – 6; – 8; \ldots \Rightarrow {u_2} – {u_1} = – 3 \ne – 2 = {u_3} – {u_2} \to $ loại

Xét đáp án: $1; – 3; – 5; – ;7 – 9; \ldots \Rightarrow {u_2} – {u_1} = – 4 \ne – 2 = {u_3} – {u_2} \to $ loại

Câu 9: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 7$ và ${u_2} = 4$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. -3 .

B. $\frac{5}{2}$.

C. $\frac{2}{5}$.

D. 3 .

Lời giải

Công sai của cấp số cộng: $d = {u_2} – {u_1} = 4 – 7 = – 3$.

Câu 10: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{ – n}}{{n + 1}}$. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. $ – \frac{1}{2}, – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}$.

B. $ – \frac{2}{3}; – \frac{3}{4}; – \frac{4}{5}; – \frac{5}{6}; – \frac{6}{7}$.

C. $\frac{1}{2},\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6}$.

D. $\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\frac{6}{7}$.

Lời giải

Ta có ${u_1} = – \frac{1}{2};{u_2} = – \frac{2}{3};{u_3} = – \frac{3}{4};{u_4} = – \frac{4}{5};{u_5} = – \frac{5}{6}$.

Câu 11: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ vói số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai $d = 2$. Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?

A. ${u_n} = 2n + 1$.

B. ${u_n} = 3 + n$.

C. ${u_n} = 2\left( {n + 1} \right)$.

D. ${u_n} = 2\left( {n – 1} \right)$.

Lời giải

Số hạng tổng quát của cấp số cộng: ${u_n} = {u_1} + d = 3 + \left( {n – 1} \right) \cdot 2 = 2n + 1$

Câu 12: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${u_{n + 1}} = {u_n} \cdot q,\forall n \geqslant 1$.

B. ${u_n} = {u_1} \cdot {q^n},\forall n \geqslant 1$.

C. ${u_n} = {u_{n + 1}} \cdot q,\forall n \geqslant 1$.

D. ${u_{n + 1}} = {u_1} \cdot {q^{n + 1}},\forall n \geqslant 1$

Lời giải

Theo ĐN, Số hạng tổng quát của cấp số nhân: ${u_{n + 1}} = {u_n} \cdot q,\forall n \geqslant 1$.

Câu 13: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = u_n^2}
\end{array}} \right.$.
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = – 2{u_n}}
\end{array}} \right.$.

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 3} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + 1}
\end{array}} \right.$.

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = {u_{n – 1}}.{u_n}}
\end{array}} \right.$.

Lời giải

Do $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = – 2$ ( không đổi) nên dãy số $\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = – 2{u_n}}
\end{array}} \right.$ là một cấp số nhân.

Câu 14: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 1} \\
{{u_n} = {u_{n – 1}} + 2{u_{n – 2}}\left( {n \geqslant 3;n \in \mathbb{N}} \right)}
\end{array}} \right.$. Giá trị ${u_4} + {u_5}$ là:

A. 16 .

B. 20 .

C. 22 .

D. 24 .

Lời giải

Ta có

${u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 1 + 2.1 = 3$.

${u_4} = {u_3} + 2{u_2} = 3 + 2.1 = 5$.

${u_5} = {u_4} + 2{u_3} = 5 + 2.3 = 11$.

Vậy ${u_4} + {u_5} = 5 + 11 = 16$.

Câu 15: Giá trị của $lim\left( {\frac{2}{n}} \right)$ bằng

A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 3 .

Lời giải

Ta có, theo hệ quả $lim\left( {\frac{1}{n}} \right) = 0 \Rightarrow lim\left( {\frac{k}{n}} \right) = 0,\forall k \in \mathbb{R}$

Câu 16: Giá trị của $lim\frac{{n + 2}}{{2n}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

B. $ + \infty $.

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải

$lim\frac{{n + 2}}{{2n}} = lim\frac{{1 + \frac{2}{n}}}{2} = \frac{1}{2}$

Câu 17: Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x – 1)$ bằng

A. 0 .

B. 1 .

C. -1 .

D. 2 .

Lời giải

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x – 1) = 1 – 1 = 0$

Câu 18: Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 3$. Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2f(x)$ bằng

A. 6 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 5 .

Lời giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2f(x) = 2 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 2.3 = 6$

Câu 19: Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x – 15}}{{x – 2}}$ là:

A. 0 .

B. 1 .

C. $ + \infty $.

D. $ – \infty $.

Lời giải

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x – 15) = – 13 < 0} \\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x – 2) = 0}
\end{array}} \right.$. Vì $x \to {2^ + }$nên $x > 2$. Do đó $x – 2 > 0$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x – 15}}{{x – 2}} = – \infty $.

Câu 20: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 7}}{{x – 3}}$.

A. $ + \infty $.

B. $ – \infty $.

C. 0 .

D. 2 .

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} (2x + 7) = 13 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} (x – 3) = 0,x \to {3^ + } \Rightarrow x – 3 > 0$.

Vậy, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 7}}{{x – 3}} = + \infty $.

Câu 21: Cho biết $\lim \left( {{u_n}} \right) = 1$. Giá trị của $\lim \left( {2{u_n} – 3} \right)$ bằng

A. -1 .

B. 1 .

C. $ + \infty $.

D. 3 .

Lời giải

Theo định lý về giới hạn của dãy, ta có $\lim \left( {2{u_n} – 3} \right) = \lim 2{u_n} – \lim 3 = 2 \cdot \lim {u_n} – 3 = 2.1 – 3 = – 1$

Câu 22: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3$. Giá trị của $\lim \left( {{u_n}} \right)$ bằng

A. -1 .

B. 1 .

C. 7 .

D. 3 .

Lời giải

$\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3 \Leftrightarrow \lim 4 + \lim {u_n} = 3 \Leftrightarrow 4 + \lim {u_n} = 3 \Rightarrow \lim {u_n} = – 1$

Câu 23: Cho giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {{x^2} – 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3$ thì $a$ bằng bao nhiêu?

A. $a = 2$.

B. $a = 0$

C. $a = – 2$.

D. $a = – 1$.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {{x^2} – 2ax + 3 + {a^2}} \right) = {( – 2)^2} – 2a( – 2) + 3 + {a^2} = {a^2} + 4a + 7$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {{x^2} – 2ax + 3 + {a^2}} \right) = 3 \Leftrightarrow {a^2} + 4a + 7 = 3 \Leftrightarrow {a^2} + 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a = – 2$.

Câu 24: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2{x^2} – 6}}{{x – \sqrt 3 }} = a\sqrt b $. Khi đó ${a^2} + {b^2}$ bằng

A. 6 .

B. 7 .

C. 10 .

D. 25 .

Lời giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2{x^2} – 6}}{{x – \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2\left( {{x^2} – 3} \right)}}{{x – \sqrt 3 }}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2(x – \sqrt 3 )(x + \sqrt 3 )}}{{x – \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } 2(x + \sqrt 3 ) = 4\sqrt 3 $.

Suy ra $a = 4,b = 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 25$.

Câu 25: Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + 1}&{khix \ne – 1} \\
m&{khix = – 1}
\end{array}} \right.$ liên tục tại ${x_o} = – 1$

A. $m = – 2$.

B. $m = 2$.

C. $m = 3$.

D. $m = 0$.

Lời giải

Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D = \mathbb{R}$. Ta có: $f( – 1) = m$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} (3x + 1) = 3 \cdot ( – 1) + 1 = – 2$.

Hàm số đã cho liên tục tại ${x_o} = – 1$ khi $f( – 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f(x) \Leftrightarrow m = – 2$.

Vậy $m = – 2$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 26: Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 2$ ?

A. $f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$.

B. $f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$.

C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x – 2}}$.

D. $f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} – x – 2}}{{{x^2} – 4}}$

Lời giải

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định tại $x = 2$ nên nó liên tục tại $x = 2$

Câu 27: Một thư viện thống kê số người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau:

Lập bảng tần số ghép nhóm có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng sau: $\left[ {25;34} \right);\left[ {34;43} \right)$; $\left[ {43;52} \right);\left[ {52;61} \right);\left[ {61;70} \right);$$\left[ {70;79} \right);\left[ {79;88} \right);\left[ {88;97} \right)$. Khi đó nhóm có tần số lớn nhất là.

A. Nhóm ứng với nửa khoảng $\left[ {88;97} \right)$.

B. Nhóm ứng với nửa khoảng $\left[ {43;52} \right)$.

C. Nhóm ứng với nửa khoảng $\left[ {79;88} \right)$.

D. Nhóm ứng với nửa khoảng $\left[ {70;79} \right)$.

Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Lời giải

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm ứng với nửa khoảng [43;52).

Câu 28: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 20 học sinh lớp lá như sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. ${M_e} = \frac{{1123}}{{10}}$.

B. ${M_e} = \frac{{907}}{{10}}$.

C. ${M_e} = \frac{{997}}{{10}}$.

D. ${M_e} = \frac{{1087}}{{10}}$

Cỡ mẫu: $n = 1 + 2 + 4 + 10 + 3 = 20$.

Lời giải

Ta có ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{20}}$ là chiều cao của 20 học sinh được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó, trung vị là $\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right)$. Do $\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right)$ thuộc nhóm $\left[ {97;106} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị. Do đó:

$p = 4,{a_4} = 97,{m_4} = 10,{m_1} + {m_2} + {m_3} = 7,{a_4} – {a_3} = 9$. Do đó:

${M_e} = 97 + \frac{{\frac{{20}}{2} – 7}}{{10}} \cdot 9 = \frac{{997}}{{10}}$.

Câu 29: Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài kiểm tra đánh giá thường xuyên ( đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:

Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài kiểm tra của các em học sinh là

A. 10,5 .

B. 12,3 .

C. 13,7 .

D. 14,5 .

Ta có:

Lời giải

Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài kiểm tra của các em học sinh là:

$\overline x = \frac{{1.10,5 + 2.11,5 + 5.12,5 + 12 \cdot 13,5 + 20.14,5}}{{40}} = 13,7$ (phút).

Câu 30: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Qua 3 điểm phân biệt xác định được duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua 1 điểm và 1 đường thẳng xác định được duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua 2 đường thẳng cắt nhau xác định được duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua 4 điểm phân biệt xác định được duy nhất một mặt phẳng.

Lời giải

Theo các cách xác định mặt phẳng, qua 2 đường thẳng cắt nhau xác định được duy nhất một mặt phẳng.

Câu 31: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $\vartriangle $ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng nào dưới đây?

A. Đường thẳng $AB$.

B. Đường thẳng $AD$.

C. Đường thẳng $AC$.

D. Đường thẳng $SA$.

Lời giải

Hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có chung điểm $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AD,BC$ nên giao tuyến $\Delta $ đi qua $S$ và lần lượt song song với $AD,BC$.

Câu 32: Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AC$ cắt $BD$ tại $O$ còn $A’C’$ cắt $B’D’$ tại $O’$. Khi đó $\left( {AB’D’} \right)$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $\left( {A’OC’} \right)$.

B. $\left( {BDA’} \right)$.

C. $\left( {BDC’} \right)$.

D. $\left( {BCD} \right)$.

Lời giải

Vì $B’D’//BD$ nên $B’D’//\left( {BDC’} \right)$. Vì $AD’//BC’$ nên $AD’//\left( {BDC’} \right)$.

Từ đó suy ra $\left( {AB’D’} \right)//\left( {BDC’} \right)$.

Câu 33: Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $AM = BM$ và $AN = 2NC$. Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {DMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là đường thẳng nào dưới đây?

A. $DN$.

B. $MN$.

C. $DM$.

D. $AC$.

Lời giải

Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {DMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là đường thẳng $DN$.

Câu 34: Xét một phép chiếu song song bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.

B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.

C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.

D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.

Lời giải

Xét hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ và phép chiếu lên mặt phẳng $\left( {A’B’C’D’} \right)$ theo phương chiếu $AA’$.

Hai đường thẳng $A’D,BC’$ chéo nhau và có hình chiếu là hai đường thẳng $A’D’,B’C’$ song song.

Mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng chiếu có hình chiếu là chính nó.

Xét hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $a$, hình chiếu của $a$ trên mặt phẳng chiếu $\left( Q \right)$ là $a’$. Vì $b$ không thuộc $\left( P \right)$ nên hình chiếu của $b$ không trùng $a’$.

Khi $A’B’ = A’D’$ thì mọi tam giác $MB’D’\left( {M \in AA’} \right)$ đều có hình biểu diễn là tam giác cân $A’B’D’$.

Câu 35: Cho hình chóp $S.ABCD$. Giao tyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là

A. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AB,CD$.

B. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AD,BC$.

C. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC,BC$.

D. Đường thẳng đi qua $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AC,BD$.

Lời giải

Ta có: $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Trong $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O = AC \cap BD$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)} \\
{O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)}
\end{array}} \right.$.

Vậy $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt 3 \left( {sinx – sin2x} \right) = cosx – cos2x$

Lời giải

Ta có $\sqrt 3 \left( {sinx – sin2x} \right) = cosx – cos2x$$ \Leftrightarrow \sqrt 3 sinx – cosx = \sqrt 3 sin2x – cos2x$

$ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}sinx – \frac{1}{2}cosx = \frac{{\sqrt 3 }}{2}sin2x – \frac{1}{2}cos2x$$ \Leftrightarrow sin\left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) = sin\left( {2x – \frac{\pi }{6}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – \frac{\pi }{6} = 2x – \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x – \frac{\pi }{6} = \pi – 2x + \frac{\pi }{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – k2\pi } \\
{x = \frac{{4\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vậy họ nghiệm của phương trình là: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – k2\pi } \\
{x = \frac{{4\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\frac{{\sqrt {{x^2} + 3} – 2}}{{x – 1}}\;khi\;x \ne 1} \\
{ – m + 3}&{\;khi\;x = 1}
\end{array}} \right.$. Tìm $m$ để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$.

Lời giải

Hàm số xác định tại ${x_0} = 1$ và $f(1) = – m + 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{(x – 1)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x – 1)(x + 1)}}{{(x – 1)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}} = \frac{1}{2}$

Hàm số đã cho liên tục tại ${x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$$ \Leftrightarrow – m + 3 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}$

Vậy $m = \frac{5}{2}$.

Câu 3: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là $45\;cm,43\;cm,41\;cm, \ldots ,31\;cm$. Cái thang đó có bao nhiêu bậc? Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Lời giải

Chiều dài các thanh ngang của cái thang (tính từ bậc dưới cùng) tạo thành một cấp số cộng có: ${u_1} = 45;d = – 2$.

Suy ra $n = \frac{{45 – 31}}{2} + 1 = 8$.

Do đó cái thang có 8 bậc.

Ta lại có ${S_8} = \frac{{8\left( {45 + 31} \right)}}{2} = 304$.

Vậy người đó cần mua thanh gỗ có chiều dài $304\;cm$.

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AD$ và $AD = 2BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Chứng minh rằng $OG$ song song với $\left( {SBC} \right)$.

Lời giải

Tứ giác $ABCD$ là hình thang, đáy lớn là $AD \Rightarrow AD\parallel BC$.

Khi đó: $\vartriangle EBC \sim \vartriangle EAD \Rightarrow \frac{{EB}}{{EA}} = \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{BC}}{{AD}} = \frac{1}{2}$

$ \Rightarrow EB = \frac{{EA}}{2},EC = \frac{{ED}}{2} \Rightarrow B,C$ lần lượt là trung điểm của $AE,DE$

$ \Rightarrow BD,AC$ là hai đường trung tuyến trong tam giác $ADE$.

mà $O = AC \cap BD$

$ \Rightarrow O$ là trọng tâm tam giác $ADE \Rightarrow \frac{{DO}}{{DB}} = \frac{2}{3}$

Gọi $I$ là trung điểm $SC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ nên $\frac{{DG}}{{DI}} = \frac{2}{3}$.

Xét $\vartriangle DGO$ và $\vartriangle DIB$ có $\frac{{DG}}{{DI}} = \frac{{DO}}{{DB}} = \frac{2}{3},D$ là góc chung

$ \Rightarrow \vartriangle DGO \sim \vartriangle DIB \Rightarrow OG\parallel IB$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OG\parallel IB} \\
{OG \not\subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow OG\parallel \left( {SBC} \right).\;} \\
{IB \subset \left( {SBC} \right)}
\end{array}} \right.$