40 Câu Trắc Nghiệm Bài Các Khái Niệm Mở Đầu VecTơ Giải Chi Tiết

40 câu trắc nghiệm bài các khái niệm mở đầu vectơ giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ VECTƠ

Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài.
B. Hai vectơ gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài.
C. Hai vectơ gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng.
D. Hai vectơ gọi là đối nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.

Lời giải

Chọn B

Theo định nghĩa hai véc tơ đối nhau.

Câu 2. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song.
B. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng.
C. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng hướng.
D. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau.

Lời giải

Chọn A

Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau thì chúng cùng phương nên có giá trùng nhau hoặc song song.

Câu 3. Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là
A. Hai vectơ cùng hướng.
B. Hai vectơ cùng phương.
C. Hai vectơ đối nhau.
D. Hai vectơ bằng nhau.

Lời giải

Chọn C

Theo định nghĩa hai vectơ đối nhau.

Câu 4. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được gọi là bằng nhau nếu ${\vec a^2} = {\vec b^2}$.
B. Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.
C. Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng độ dài.
D. Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Lời giải

Chọn D

Theo định nghĩa thì “Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.”

Câu 5. Cho hai vectơ khác vectơ – không, không cùng phương. Có bao nhiêu vectơ khác $\vec 0$ cùng phương với cả hai vectơ đó?
A. 2 .
B. 1 .
C. không có.
D. vô số.

Lời giải

Chọn C

Giả sử tồn tại một vec-tơ $\vec c$ cùng phương với cả hai véc-tơ $\vec a,\vec b$. Lúc đó tồn tại các số thực $h$ và $k$ sao cho $\vec c = h\vec a$ và $\vec c = k\vec b$. Từ đó suy ra $h\vec a = k\vec b \Leftrightarrow \vec a = \frac{k}{h}\vec b$.

Suy ra hai véc-tơ $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương. (mâu thuẫn).

Câu 6. Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ đều khác vectơ $\vec 0$. Những khẳng định nào sau đây là $SAI$ ?
A. $\vec a,\vec b,\vec c$ đều cùng phương với vectơ $\vec 0$.
B. Nếu $\vec b$ không cùng hướng với $\vec a$ thì $\vec b$ ngược hướng với $\vec a$.
C. Nếu $\vec a$ và $\vec b$ đều cùng phương với $\vec c$ thì $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương.
D. Nếu $\vec a$ và $\vec b$ đều cùng hướng với $\vec c$ thì $\vec a$ và $\vec b$ cùng hướng.

Lời giải

Chọn B

theo tính chất của hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

Câu 7. Phát biểu nào sau đây sai?
A. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.
B. Độ dài của vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.
C. Hai vec tơ cùng phương thì cùng hướng.
D. Vec tơ là đoạn thẳng có hướng.

Lời giải

Chọn C

Hai vec tơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.

Câu 8. Vectơ có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$ được kí hiệu là:
A. $AB$.
B. $\overrightarrow {AB} $.
C. $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$.
D. $\overrightarrow {BA} $.

Lời giải

Chọn B

Câu 9. Từ hai điểm phân biệt $A,B$ xác định được bao nhiêu vectơ khác $\vec 0$ ?
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Các vectơ thỏa đề gồm $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} $.

Câu 10. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. $\vec 0$ cùng hướng với mọi vectơ.
B. $\vec 0$ cùng phương với mọi vectơ.
C. $\overrightarrow {AA} = \vec 0$.
D. $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > 0$.

Lời giải

Chọn D

Mệnh đề $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > 0$ là mệnh đề sai, vì khi $A \equiv B$ thì $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 0$.

Câu 11. Cho ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng, trong đó điểm $N$ nằm giữa hai điểm $M$ và $P$. Khi đó các cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
A. $\overrightarrow {MP} $ và $\overrightarrow {PN} $.
B. $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {PN} $.
C. $\overrightarrow {NM} $ và $\overrightarrow {NP} $.
D. $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {MP} $.

Lời giải

Chọn D

Cặp vectơ cùng hướng là $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {MP} $.

Câu 12. Cho tam giác $ABC$, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu là điểm $A$ và điểm cuối là các đỉnh $B,C$ ?
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 5 .

Lời giải

Chọn B

Đó là các vectơ: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $.

Câu 13. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$. Hỏi cặp véctơ nào sau đây cùng hướng?
A. $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {MB} $.
B. $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {CB} $.
C. $\overrightarrow {MA} $ và $\overrightarrow {MB} $.
D. $\overrightarrow {AN} $ và $\overrightarrow {CA} $.

Lời giải

Chọn A

Câu 14. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$. Xác định các vectơ cùng phương với $\overrightarrow {MN} $.
A. $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {PA} ,\overrightarrow {PC} ,\overrightarrow {CP} $
B. $\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {PA} ,\overrightarrow {AP} $
C. $\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {PA} ,\overrightarrow {PC} ,\overrightarrow {CP} $
D. $\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {PN} ,\overrightarrow {CP} $

Lời giải

Chọn C

Câu 15. Cho hình bình hành $ABCD$. Số vectơ khác $\vec 0$, cùng phương với vectơ $\overrightarrow {AB} $ và có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hình bình hành $ABCD$ là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Các vectơ cùng phường với $\overrightarrow {AB} $ thỏa yêu cầu bài toán là $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DC} $.

Câu 16. Cho tứ giác $ABCD$. Số các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là
A. 4 .
B. 6 .
C. 8 .
D. 12 .

Lời giải

Chọn D

Từ mỗi đỉnh ta có một điểm đầu và ba đỉnh còn lại là ba điểm cuối, vậy tạo nên ba véctơ. Với bốn đỉnh như vậy ta có tất cả $3.4 = 12$ véctơ.

Câu 17. Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm $O$ sao cho bằng với $\overrightarrow {AB} $ ?
A. $\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {FD} $
B. $\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {ED} $
C. $\overrightarrow {BO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED} $
D. $\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED} $

Lời giải

Chọn D

Câu 18. Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Số vectơ khác $\vec 0$, có điểm đầu điểm cuối là đỉnh của lục giác hoặc tâm $O$ và cùng phương với vectơ $\overrightarrow {OC} $ là
A. 3 .
B. 4 .
C. 8 .
D. 9 .

Lời giải

Chọn D

Các vectơ thỏa mãn là: $\overrightarrow {CO} ,\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OF} ,\overrightarrow {FC} ,\overrightarrow {CF} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {DE} $.

Câu 19. Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Ba vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {BA} $ là:
A. $\overrightarrow {OF} ,\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {OC} $.
B. $\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {OF} ,\overrightarrow {DE} $.
C. $\overrightarrow {OF} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {CO} $.
D. $\overrightarrow {OF} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {OC} $.

Lời giải

Chọn C

Giả sử lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ có hình vẽ như sau

Dựa vào hình vẽ và tính chất của lục giác đều ta có các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {BA} $ là $\overrightarrow {OF} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {CO} $.

Câu 20. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ và $BC$. Có bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong các điểm $A,B,C,M,N,P$ bằng véctơ $\overrightarrow {MN} $ ?
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3

Lời giải

Chọn C

Các véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong các điểm $A,B,C,M,N,P$ bằng véctơ $\overrightarrow {MN} $ là: $\overrightarrow {BP} $ và $\overrightarrow {PC} $

Câu 21. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O;E$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow {OA} = \vec H\vec E$.
B. $\overrightarrow {OH} = \overrightarrow {DE} $.
C. $\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {OE} $.
D. $\overrightarrow {BH} = \overrightarrow {CD} $.

Lời giải

Chọn B

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

Do $E$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$ nên $I$ là trung điểm của $OE$ (1).

Ta có, $CH$ // $DB$ (cùng vuông góc với $AB$ )

Tương tự, $BH//DC$ (cùng vuông góc với $AC$ )

Từ đó suy ra $BHCD$ là hình bình hành nên $I$ là trung điểm của $HD\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) suy ra, $OHED$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {OH} = \overrightarrow {DE} $.

Câu 22. Cho tứ giác $ABCD$ có $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
A. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
B. $DA = BC$.
C. $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} $.
D. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $.

Lời giải

Chọn C

$AC$ và $BD$ là hai đường chéo của tứ giác $ABCD$ nên hai vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} $ không cùng phương vì vậy không thể bằng nhau.

Câu 23. Cho $\vartriangle ABC$ với điểm $M$ nằm trong tam giác. Gọi $A’,B’,C’$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA$, $AB$ và $N,P,Q$ lần lượt là các điểm đối xứng với $M$ qua $A’,B’,C’$. Câu nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {PC} $ và $\overrightarrow {QB} = \overrightarrow {NC} $
B. $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {QN} $ và $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {PC} $
C. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CN} $ và $\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {QN} $
D. $\overrightarrow {AB’} = \overrightarrow {BN} $ và $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} $

Lời giải

Chọn B

Ta có $AMCP$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {PC} $

Lại có $AQBM$ và $BMCN$ là hình bình hành

$ \Rightarrow NC = BM = QA$

$ \Rightarrow AQNC$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {QN} $.

Câu 24. Cho hình thoi $ABCD$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} $.
B. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} $.
C. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} $.
D. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $.

Lời giải

Chọn D

Câu 25. Cho $\overrightarrow {AB} $ khác $\vec 0$ và cho điểm $C$. Có bao nhiêu điểm $D$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {CD} } \right|$ ?
A. Vô số.
B. 1 điểm.
C. 2 điểm.
D. Không có điểm nào.

Lời giải

Chọn A

$\left| {\overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {CD} } \right| \Leftrightarrow AB = CD$. Do $A,B,C$ cố định nên có vô số điểm $D$ thỏa mãn. Tập hợp điểm $D$ là đường tròn tâm $C$ bán kính $AB$.

Câu 26. Chọn câu dưới đây để mệnh đề sau là mệnh đề đúng: Nếu có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} $ thì
A. Tam giác $ABC$ cân.
B. Tam giác $ABC$ đều.
C. $A$ là trung điểm đoạn $BC$.
D. Điểm $B$ trùng với điểm $C$.

Lời giải

Chọn D

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} $ thì $A,B,C$ thẳng hàng và $B,C$ nằm cùng phía so với $A$. Mà $AB = AC$ nên điểm $B$ trùng với điểm $C$.

Câu 27. Cho tam giác $ABC$ và $D$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABDC$.
B. $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$.
C. $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ADBC$.
D. $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ACBD$.

Lời giải

Chọn A

Từ đẳng thức vectơ ta suy ra $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABDC$.

Câu 28. Cho lục giác đều $ABCDEF$ và $O$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {FO} $. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $O$ là tâm của lục giác $ABCDEF$.
B. $O$ là trung điểm của đoạn $FC$.
C. EDCO là hình bình hành.
D. $O$ là trung điểm của đoạn $ED$.

Lời giải

Chọn D

Do $ABCDEF$ là lục giác đều và $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {FO} $ nên $O$ là trung điểm của đoạn $ED$ là khẳng định sai.

Câu 29. Cho bốn điểm $A,B,C,D$ thỏa mãn $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $ và các mệnh đề.

(I) $ABCD$ là hình bình hành.

(II) $D$ nằm giữa $B$ và $C$.

(III) $C$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $D$ và song song hoặc trùng với đường thẳng $AB$.

(IV) Bốn điểm $A,B,C,D$ thẳng hàng.

Số mệnh đề đúng?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .

Lời giải

Chọn A

Ta có mệnh đề ” $ABCD$ là hình bình hành” là sai khi ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.

Mệnh đề ” $D$ nằm giữa $B$ và $C$ ” là sai khi ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

Mệnh đề “Bốn điểm $A,B,C,D$ thẳng hàng” là sai khi ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

Mệnh đề ” $C$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $D$ và song song hoặc trùng với đường thẳng $AB$ ” là đúng theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau.

Vậy số mệnh đề đúng là 1 .

Câu 30. Trong mặt phẳng nghiên có ma sát, cho một vật chịu tác dụng các lực được biểu diễn nằm trên mặt phẳng nghiêng như hình vẽ ( $\alpha $ là góc nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang).

Có các khẳng định sau:

1. $\vec P$ có phương thẳng đứng và có hướng từ trên xuống dưới.

2. hai vectơ $\overrightarrow {{P_2}} $ và vectơ $\vec N$ cùng phương, ngược hướng.

3. hai vectơ $\overrightarrow {{P_1}} $ và vectơ $\overrightarrow {{F_k}} $ cùng chiều.

4. ${\vec F_{ms}}$ có phương song song với mặt phẳng nghiêng.

5. Có 3 cặp vectơ cùng phương với nhau.

6. hai vectơ $\overrightarrow {{P_1}} $ và vectơ $\overrightarrow {{F_k}} $ bằng nhau.

Số khẳng định sai?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .

Lời giải

Chọn C

khi vật ở vị trí cân bằng thì độ lớn hai lực bằng nhau và ngược chiều nhau nên $\vec T = \vec P$ là sai

1. $\vec P$ có phương thẳng đứng và có hướng từ trên xuống dưới. Đúng

2. hai vectơ $\overrightarrow {{P_2}} $ và vectơ $\vec N$ cùng phương, ngược hướng. Đúng

3. hai vectơ ${\vec P_1}$ và vectơ $\overrightarrow {{F_k}} $ cùng chiều. Sai vì hai vectơ ${\vec P_1}$ và vectơ $\overrightarrow {{F_k}} $ ngược chiều

4. ${\vec F_{ms}}$ có phương song song với mặt phẳng nghiêng. Đúng

5. Có 3 cặp vectơ cùng phương với nhau. Sai vì Có 4 cặp vectơ cùng phương với nhau.

6. hai vectơ ${\vec P_1}$ và vectơ $\overrightarrow {{F_k}} $ bằng nhau. Sai vì hai vectơ ${\vec P_1}$ và vectơ $\overrightarrow {{F_k}} $ ngược hướng.

DẠNG 2: TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ

Câu 31. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = 6a,AC = 8a$. Tính $\left| {\overrightarrow {BC} } \right|$.
A. $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 14a$.
B. $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 5a$.
C. $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 10a$.
D. $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {14} a$.

Lời giải

Chọn C

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo pitago $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 10a$

$ \Rightarrow BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 10a$.

Câu 32. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = 3a,AC = 4a$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \frac{5}{2}a$.
B. $\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 5a$.
C. $\overrightarrow {AM} = \frac{5}{2}a$.
D. $\overrightarrow {BC} = 5a$.

Lời giải

Chọn A

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo pitago $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a$

$M$ là trung điểm cạnh $BC \Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}a \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \frac{5}{2}a$.

Câu 33. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, có $AB = a$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a$.
B. $\overrightarrow {BC} = a\sqrt 2 $.
C. $\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\left| {\overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {AB} } \right|$.

Lời giải

Chọn B

Vì tam giác $ABC$ vuông tại cân $A \Rightarrow AC = AB = a \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {AB} } \right| = a$. Đáp A, D đúng theo pitago $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\sqrt 2 $. Vậy B sai.

$M$ là trung điểm cạnh $BC \Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a$.

Đáp C đúng

Câu 34. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = 2a,AC = 3a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tính $\left| {\overrightarrow {AG} } \right|$.
A. $\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = a\sqrt {13} $.
B. $\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}$.
C. $\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = \frac{{a\sqrt {13} }}{3}$.
D. $\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}$.

Lời giải

Chọn C

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo pitago $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt {13} $

$ \Rightarrow AG = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt {13} }}{3} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = \frac{{a\sqrt {13} }}{3}$.

Câu 35. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng 1. Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Tính $\left| {\overrightarrow {AH} } \right|$.
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
B. 1. C. 2 .
D. $\sqrt 3 $.

Lời giải

Chọn A

$\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Câu 36. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = a\sqrt 3 $.
B. $\overrightarrow {AM} = a$.
C. $\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} $.
D. $\overrightarrow {AM} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Lời giải

Chọn A

$\vartriangle ABC$ đều cạnh $2a$ nên $\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $.

Câu 37. Cho hình chữ nhật $ABCD$, có $AB = 4$ và $AC = 5$. Tìm độ dài vectơ $\overrightarrow {BC} $.
A. 3 .
B. $\sqrt {41} $.
C. 9 .
D. $ \pm 3$ .

Lời giải

Chọn A

$\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{C^2} – A{B^2}} = \sqrt {{5^2} – {4^2}} = 3$

Câu 38. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3,BC = 4$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow {CA} $.
A. $\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 5$.
B. $\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 25$.
C. $\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 7$.
D. $\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt 7 $.

Lời giải

Chọn A

$\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5$

Câu 39. Cho hình thoi $ABCD$ có $AB = a$ và góc $\widehat {BAD} = {60^ \circ }$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình thoi. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow {AC} $
A. $\overrightarrow {OD} = 2a$.
B. $\left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
C. $\left| {\overrightarrow {OD} } \right| = 2a$.
D. $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 $.

Lời giải

Chọn D

Tam giác $ABC$ cân, có góc $BAD$ bằng ${60^ \circ }$ nên là tam giác $ABC$ đều cạnh $a$.

$ \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 $.

Câu 40. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh a, tâm O. Tính $\left| {\overrightarrow {OD} } \right|$.
A. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
B. $\sqrt 2 a$.
C. $a$.
D. $\frac{{{a^2}}}{2}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\left| {\overrightarrow {OD} } \right| = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.